中考數(shù)學(xué)中的最值問題解法(學(xué)生版)

1、中考數(shù)學(xué)幾何最值問題解法在平面幾何的動(dòng)態(tài)問題中，當(dāng)某幾何元素在給定條件變動(dòng)時(shí)，求某幾何量如線段的長(zhǎng)度、圖形的周 長(zhǎng)或面積、角的度數(shù)以與它們的和與差的最大值或最小值問題，稱為最值問題。解決平面幾何最值問題的常用的方法有：1應(yīng)用兩點(diǎn)間線段最短的公理含應(yīng)用三角形的三邊關(guān)系求最值；2應(yīng)用垂線段最短的性質(zhì)求最值；3應(yīng)用軸對(duì)稱的性質(zhì)求最值；4應(yīng)用二次函數(shù)求最值;5應(yīng)用其它知識(shí)求最值。下面通過近年全國(guó)各地中考的實(shí)例探討其解法。應(yīng)用兩點(diǎn)間線段最短的公理含應(yīng)用三角形的三邊關(guān)系求最值典型例題:例1.如圖，/ MON=90，矩形ABCD勺頂點(diǎn)A、B分別在邊OMON上，當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí),A隨之在邊OM上運(yùn)動(dòng),矩形 ABCD勺

2、形狀保持不變，其中AB=2, BC=1,運(yùn)動(dòng)過B在邊ON上程中，點(diǎn)D到點(diǎn)O的最大距離為A.2B.5D.例2.在銳角三角形 ABC中，BC=4 2，/ ABC=45 ,BD平分/ ABC M N分別是BDBC上的動(dòng)點(diǎn)，那么 CM+M的最小值是。例3.如圖，圓柱底面半徑為 2cm，高為9 cm，點(diǎn)A B分別是圓柱兩底面圓周上的點(diǎn)，且A、B在同一母線上，用一棉線從 A順著圓柱側(cè)面繞3圈到B,求棉線最短為cm。例4.在厶ABC中，AB= 5, AC= 3, AD是BC邊上的中線，那么 AD的取值圍是練習(xí)題：1. 如圖，長(zhǎng)方體的底面邊長(zhǎng)分別為2 cm和4cm，高為5 cm.假設(shè)一只螞蟻從經(jīng)過4個(gè)側(cè)面爬行

3、一圈到達(dá) Q點(diǎn)，那么螞蟻爬行的最短路徑長(zhǎng)為【】A.13cm B.12cm C.10cm D.8cmP點(diǎn)開始4cm P2. 如圖，圓柱的底面周長(zhǎng)為6cm AC是底面圓的直徑，高 BC=6cm點(diǎn)P是母線BC上一2點(diǎn)，且PC=BC. 只螞蟻從A點(diǎn)出發(fā)沿著圓柱體的外表爬行到點(diǎn)P的最短距離是 【3】A、4cm B、5cm C、3.5 cm D、7cm3. 如下列圖，在邊長(zhǎng)為 2的正三角形 ABC中，E、F、G分別為AB AC BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P為線段EF上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接 BP、GP那么 BPG的周長(zhǎng)的最小值是 = .二、應(yīng)用垂線段最短的性質(zhì)求最值：典型例題：例1.在厶ABC中，AB= AC= 5, BC=

4、 6.假設(shè)點(diǎn)P在邊AC上移動(dòng)，那么 BP的最小值是.例2.如圖，菱形ABCD中, AB=2, / A=120，點(diǎn)P, Q K分別為線段BC CD, BD上的任 意一點(diǎn)，那么PK+QKA.1B .3C . 2 D . 3 +1的最小值為【】例 3.梯形 ABCD AD/ BC, AB丄BC, AD= 1, AB= 2, BC= 3,問題1:如圖1, P為AB邊上的一點(diǎn)，以PD, PC為邊作平行四邊形 PCQD請(qǐng)問對(duì)角線PQ DC的長(zhǎng)能否相 等，為什么？問題2 :如圖2,假設(shè)P為AB邊上一點(diǎn)，以PD PC為邊作平行四邊形 PCQD請(qǐng)問對(duì)角線PQ的長(zhǎng)是否存在 最小值？如果存在，請(qǐng)求出最小值，如果不存

5、在，請(qǐng)說明理由.問題3:假設(shè)P為AB邊上任意一點(diǎn)，延長(zhǎng)PD到E,使DE=PD,再以PE,PC為邊作平行四邊形PCQE請(qǐng)?zhí)骄繉?duì)角線PQ的長(zhǎng)是否也存在最小值？如果存在，請(qǐng)求出最小值，如果不存在，請(qǐng)說明理由.問題4:如圖3,假設(shè)P為DC邊上任意一點(diǎn)，延長(zhǎng) PA到E,使AE= nPAn為常數(shù),以PE PB為邊作平行 四邊形PBQE請(qǐng)?zhí)骄繉?duì)角線 PQ的長(zhǎng)是否也存在最小值？如果存在，請(qǐng)求出最小值，如果不存在，請(qǐng)說明 理由.例4.如圖，點(diǎn)A的坐標(biāo)為-1 , 0，點(diǎn)B在直線y x上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)線段 AB最短時(shí)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為【】K -A.0, 0B.1 ,-22/1 1B. C.-,D.二,2C2222例5.如圖，

6、在 ABC中，/ C=90 , AC=BC=4 D是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E、' .F分別在AC BC邊上運(yùn)動(dòng)點(diǎn) E不與點(diǎn) A C重合，且保持 AE=CF連接 / DE DF、IDSEF.在此運(yùn)動(dòng)變化的過程中，有以下結(jié)論： 厶DFE是等腰直角三角形； 四邊形CEDF不可能為正方形； 四邊形CEDF的面積隨點(diǎn)E位置的改變而發(fā)生變化； 點(diǎn)C到線段EF的最大距離為巳其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是【】A. 1個(gè)B. 2個(gè)C. 3個(gè)D. 4個(gè)例6.如圖,第一步：如圖，在線段AD上任意取一點(diǎn)E,沿EB EC剪下一個(gè)三角形紙片EBC余下局部不再使用;第二步：如圖，沿三角形EBC的中位線GH將紙片剪成兩局部，并在線段G

7、H上任意取一點(diǎn)M,線段BC上任意取一點(diǎn)N,沿MN將梯形紙片GBCH剪成兩局部;第三步：如圖，將 MN左側(cè)紙片繞G點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn) 180°,使線段GB與GE重合，將MN右側(cè)紙片繞H點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn) 180°,使線段 HC與HE重合，拼成一個(gè)與三角形紙片EBC面積相等的四邊形紙片.注：裁剪和拼圖過程均無縫且不重疊 那么拼成的這個(gè)四邊形紙片的周長(zhǎng)的最小值為cm,最大值為 cm例7.如圖，在 ABC中，/ C=90 , AC=BC=4 D是AB的中點(diǎn)，點(diǎn) E、F分別在AC BC邊上運(yùn)動(dòng)點(diǎn) E不與點(diǎn)A、C重合，且保持AE=CF連接DE DF、EF.在此運(yùn)動(dòng)變化的過程中，有以下結(jié)

8、論： 厶DFE是等腰直角三角形； 四邊形CEDF不可能為正方形; 四邊形CEDF的面積隨點(diǎn)E位置的改變而發(fā)生變 化； 點(diǎn)C到線段EF的最大距離為：'.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是【】E例 8.如圖， ABC中，/ BAC=60，/ ABC=45 ,AB=2.2 , D是線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以 AD為直徑畫A. 1個(gè) B. 2個(gè)C. 3個(gè) D. 4個(gè)OO分別交AB, AC于 E, F,連接EF,那么線段EF長(zhǎng)度的最小值為.例9.如下列圖，在菱形 ABCD中, AB=4, / BAD=120 , AEF為正三角形，點(diǎn) E、F分別在菱形的邊 BC. CD上滑動(dòng)，且E、F不與B. C. D重合.1證

9、明不管 E、F在BC. CD上如何滑動(dòng)，總有 BE=CF2當(dāng)點(diǎn)E、F在BC. CD上滑動(dòng)時(shí)，分別探討四邊形 AECF和 CEF的面積是否發(fā)生變化？如果不變，求出這個(gè)定值；如果變化，求出最大或 最小值.例10.在銳角 ABC中，AB=4, BC=5 / ACB=45，將 ABC繞點(diǎn)B按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，得到AA iBC.1如圖1，當(dāng)點(diǎn)G在線段CA的延長(zhǎng)線上時(shí)，求/ CC iAi的度數(shù)；2如圖2，連接AA, CC.假設(shè) ABA1的面積為4,求厶CBG的面積；3如圖3，點(diǎn)E為線段AB中點(diǎn)，點(diǎn)P是線段AC上的動(dòng)點(diǎn)，在 ABC繞點(diǎn)B按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)過程中, 點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)P1,求線段EP長(zhǎng)度的最大值與最

10、小值.例11.如圖，在 ABC中，點(diǎn) D E分別在邊 BC AC上，連接AD DE且/仁/ B=Z C.1由題設(shè)條件，請(qǐng)寫出三個(gè)正確結(jié)論：要求不再添加其他字母和輔助線，找結(jié)論過程中添加的字母和輔助線不能出現(xiàn)在結(jié)論中，不必證明答：結(jié)論一：；結(jié)論二：；結(jié)論三：.2假設(shè)/ B=45 , BC=2當(dāng)點(diǎn)D在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)點(diǎn) D不與B、C重合， 求CE的最大值； 假設(shè) ADE是等腰三角形，求此時(shí) BD的長(zhǎng).注意：在第2的求解過程中，假設(shè)有運(yùn)用1中得出的結(jié)論，須加以證明練習(xí)題：1. 如圖，0P平分/ MON PAL ON于點(diǎn)A,點(diǎn)Q是射線0M上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，假設(shè) PA=2,那么PQ的最小值為【 】A、1B、2

11、C 、3D 42. 如圖，等腰梯形 ABCD中, AD/ BC AD=AB=CD=2 / C=60 , M是 BC的中點(diǎn).1求證： MDC是等邊三角形;2將厶MDC繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)，當(dāng)M即MD與AB交于一點(diǎn)E, M即 MC同時(shí)與 AD交于一點(diǎn)F時(shí)，點(diǎn)E, F和點(diǎn)A構(gòu)成 AEF試探究 AEF的周長(zhǎng)是否存在最小值. 如果不存在，請(qǐng)說明理由；如果存在， 請(qǐng)計(jì)算出厶AEF周長(zhǎng)的最小值.3.如圖，00的半徑為2，點(diǎn)0到直線I的距離為3,點(diǎn)P是直線I上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),PQ切00于點(diǎn)QA.13那么PQ的最小值為【4.如圖，在四邊形ABCC中, / A=90°, AD=4 連接 BDBDL CD設(shè)P是BC邊上

12、一動(dòng)點(diǎn)，那么 DP長(zhǎng)的最小值為.5.如圖，在 Rt ABC中，/ C=90 ,AB=10cm AC: BC=4: 3AlZ度為1cm/s，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿BtCA方向向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，速度為2cm/s，當(dāng)一個(gè)運(yùn)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí),另一個(gè)運(yùn)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng).1求AC BC的長(zhǎng)；2設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x秒， PBQ的面積為ycm?，當(dāng)厶PBQ存在時(shí)，求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值圍；3當(dāng)點(diǎn)Q在CA上運(yùn)動(dòng)，使 PQLAB時(shí)，以點(diǎn) B P、Q為定點(diǎn)的三角形與 ABC是否相似，請(qǐng)說明理由;4當(dāng)x=5秒時(shí)，在直線PQ上是否存在一點(diǎn) M使厶BCM得周長(zhǎng)最小，假設(shè)存在, 求出最小周長(zhǎng)，假設(shè)不存在，請(qǐng)說明

13、理由.、應(yīng)用軸對(duì)稱的性質(zhì)求最值：典型例題：例1. 20213分如圖，圓柱形玻璃杯高為12cm底面周長(zhǎng)為18cm,在杯離杯底4cm的點(diǎn)C處有一滴蜂蜜，此時(shí)一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿4cm與蜂蜜相對(duì)的點(diǎn) A處，那么螞蟻到達(dá)蜂蜜的最短距離為cm.例 2.如圖，四邊形 ABCD中，/ BAD= 120°,/ B=Z »90°，在 BC CD上分別找一點(diǎn)M汕使厶AMN周長(zhǎng)最小時(shí)，那么/ AMIZ ANM的度數(shù)為【 】A. 130°B . 120°C . 110° D . 100°例3點(diǎn)A、E均在由面積為1的一樣小矩形組成的網(wǎng)格的格

14、點(diǎn)上，建立平面直角坐標(biāo)系如下列圖.假設(shè)P是x軸上使得PA PB的值最大的點(diǎn)，Q是y軸上使得QA十 QB的值最小的點(diǎn)，那么 OP OQ =.例4.如圖，正方形ABCD中, AB=4, E是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P是對(duì)角線 AC上一動(dòng)點(diǎn)，_'那么PE+PB的最小值為.例5.如圖，MN為OO的直徑，A、B是O上的兩點(diǎn)，過 A作ACLMN于點(diǎn)C,過B作BDL MN于點(diǎn)D, P為DC上的任意一點(diǎn)，假設(shè) MN= 20, AC= 8, BD= 6,那 么PA+ PB的最小值是。例6.閱讀材料：例：說明代數(shù)式x2 1 (x 3)2 + 4的幾何意義，并求它的最小值.解： X21.(x3)24(x 0)212.

15、(x 3)222，如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，點(diǎn) P x, 0是x軸上一點(diǎn)，那么(x0)212可以看成點(diǎn)P與點(diǎn)A 0,1的距離， (x 3)222可以看成點(diǎn)P與點(diǎn)B 3, 2的距離，所以原代數(shù)式的值可以看成線段 PA與PB長(zhǎng)度之和，它的最小值就是 PA+ PB的最小 值.設(shè)點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為 A',那么PA=PA，因此，求 PA+ PB的最小值，只需求 PA + PB的最小值， 而點(diǎn)A'、B間的直線段距離最短，所以PA + PB的最小值為線段 A'B的長(zhǎng)度.為此，構(gòu)造直角三角形A CE,因?yàn)锳 C=3 CB=3所以A B=3，即原式的最小值為 3貶。根據(jù)以上閱讀材料，

16、解答以下問題:叨月3 2>r o卩X-1'|<AfCPx, 0與點(diǎn) A 1, 1、點(diǎn) B1代數(shù)式.(x 1)2 1 (x 2)2 9的值可以看成平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn) 的距離之和.填寫點(diǎn)B的坐標(biāo)2代數(shù)式.'x249 x212x37的最小值為.例7.在學(xué)習(xí)軸對(duì)稱的時(shí)候，教師讓同學(xué)們思考課本中的探究題。如圖1，要在燃?xì)夤艿繧上修建一個(gè)泵站，分別向 A B兩鎮(zhèn)供氣泵站修在管道的什么地方,可使所用的輸氣管線最短?你可以在I上找?guī)讉€(gè)點(diǎn)試一試，能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？你可以在I上找?guī)讉€(gè)點(diǎn)試一試，能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律?I看成一條直線圖2,聰明的小華通過獨(dú)立思考，很快得出了解決這個(gè)問題的正確方法他把

17、管道 問題就轉(zhuǎn)化為，要在直線 I上找一點(diǎn)P,使AP與BP的和最小.他的做法是這樣的: 作點(diǎn)B關(guān)于直線I的對(duì)稱點(diǎn)B'. 連接AB交直線I于點(diǎn)P,那么點(diǎn)P為所求.請(qǐng)你參考小華的做法解決以下問題如圖在厶 ABC中，點(diǎn)D、E分別是AB AC邊的中點(diǎn)，BC=6 BC邊上的高為4,請(qǐng)你在BC邊上確定一點(diǎn)卩，使厶PDE得周長(zhǎng)最小.y1. 丁|-1- 4 詩 111ihd1bjha卓I1h TTHii 11hl*11b Liy/kmA42:Di caa1111abh n0jt/km246 E1O121在圖中作出點(diǎn) P保存作圖痕跡，不寫作法2請(qǐng)直接寫出 PDE周長(zhǎng)的最小值：練習(xí)題：1. 如圖，點(diǎn)A(1

18、, 1)、B(3，2)，且P為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，那么 ABP的周長(zhǎng)的最小值為.2. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，有A(1 , 2) , B(3, 3)兩點(diǎn)，現(xiàn)另取一點(diǎn) C(a ,1)，當(dāng)a =時(shí)，AC+ BC的值最小.3. 去冬今春，市遭遇了 200年不遇的大旱，某鄉(xiāng)鎮(zhèn)為了解決抗旱問題，要在某河道 建一座水泵站，分別向河的同一側(cè)村A和村B送水。經(jīng)實(shí)地勘查后，工程人員設(shè)計(jì)圖紙時(shí)，以河道上的大橋 0為坐標(biāo)原點(diǎn)，以河道所在的直線為x軸建立直角坐標(biāo)系如圖。兩村的坐標(biāo)分別為 A2, 3，B 12, 7。(1)假設(shè)從節(jié)約經(jīng)費(fèi)考慮，水泵站建在距離大橋0多遠(yuǎn)的地方可使所用輸水管道最短?(2)水泵站建在距離大橋 0多

19、遠(yuǎn)的地方，可使它到村、村的距離相等?AADI?4. 如圖，正方形ABCD勺邊長(zhǎng)是4，/ DAC的平分線交DC于點(diǎn)E,假設(shè)點(diǎn)P、Q分別是和AE上的動(dòng)點(diǎn)，那么 DQ+PQ勺最小值【】A 、 2 B 、 4 C 、 2.2 D 、 4.25. 如圖，在矩形 ABCD中, AB= 6, BC= 8,點(diǎn)E是BC中點(diǎn)，點(diǎn)F是邊CD上的任意一點(diǎn)，當(dāng) AEF的周長(zhǎng)最小時(shí)，那么 DF的長(zhǎng)為【】A. 1B. 2C. 3D. 46. 如圖，在菱形 ABCD中，對(duì)角線 AC=6 BD=8點(diǎn)E、F分別是邊 AB BC的 中點(diǎn)，點(diǎn)P在AC上運(yùn)動(dòng)，在運(yùn)動(dòng)過程中，存在 PE+PF的最小值，那么這個(gè)最小值是【】A. 3B. 4

20、C. 5 D. 67. 如圖，在梯形 ABCD中, AB/ CD / BAD=90 , AB=6 對(duì)角線 AC平分 / BAD點(diǎn)E在AB上，且 AE=2 AEv AD點(diǎn)P是AC上的動(dòng)點(diǎn)，那么 PE+PB的最小值是.四、應(yīng)用二次函數(shù)求最值：典型例題: 例1.正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1cm, M N分別是BC. CD上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且始終保持 AML MN當(dāng)BM=cmfl寸，四 邊形ABCN的面積最大，最大面積為 ent例2.如圖，線段AB的長(zhǎng)為2, C為AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，分別以 AC BC為斜邊在AB的同側(cè)作兩個(gè)等腰直角三 角形 ACD和厶BCE那么DE長(zhǎng)的最小值是.例3.在矩形 ABCD中, AB=2

21、, AD=3,P是BC上的任意一點(diǎn)P與B、C不 重合，過點(diǎn)P作APLPE垂足為 P, PE交CD于點(diǎn)E.(1)連接AE當(dāng)厶APE與厶ADE全等時(shí)，求 BP的長(zhǎng)； 假設(shè)設(shè)BP為x, CE為y,試確定y與x的函數(shù)關(guān)系式。當(dāng) x取何值時(shí)，y的值最大？最大值是多少?假設(shè)PE/ BD試求出此時(shí) BP的長(zhǎng).例4.如圖，在平行四邊形 ABCD中 , AB=5 BC=10, F為AD的中點(diǎn)，CEL AB于E,設(shè)/ ABCa 60°Sv 90°.1當(dāng)a =60°時(shí)，求 CE的長(zhǎng)；k的值；假設(shè)不存2當(dāng) 60°VaV 90° 時(shí)，是否存在正整數(shù) k,使得/ EFD=

22、MAEF?假設(shè)存在，求出 在，請(qǐng)說明理由.連接CF,當(dāng)cE- cF取最大值時(shí)，求tan / DCF的值.例5.等邊 ABC的邊長(zhǎng)為2, P是BC邊上的任一點(diǎn)與 B C不重合，連接AP,以AP為邊向兩側(cè)作等邊 APD和等邊 APE分別與邊 AB AC交于點(diǎn)M N如圖1。1求證：AM=AN2設(shè) BP=x>假設(shè)，BM=3，求x的值;8 記四邊形ADPA ABC重疊局部的面積為 S, 求S與x之間的函數(shù)關(guān)系式以與 S的最小值； 連接DE分別與邊 AB AC交于點(diǎn)G H如圖 2，當(dāng)x取何值時(shí)，/ BAD=150?并判斷此時(shí)以DG GH HE這三條線段為邊構(gòu)成的三角形是什么特殊三角形，請(qǐng)說明理由。例

23、6.如圖，半徑為2的OO與直線I相切于點(diǎn)A,點(diǎn)P是直徑AB左側(cè)半圓上的動(dòng)點(diǎn)， 過點(diǎn)P作直線I的垂 線，垂足為 C, PC與OO交于點(diǎn)D,連接PA PB,設(shè)PC的長(zhǎng)為x 2< x< 4 .當(dāng)x=5時(shí)，求弦PA PB的長(zhǎng)度；2當(dāng)x為何值時(shí)，PD PC的值最大？最大值是多少？例7.如下列圖，現(xiàn)有一邊長(zhǎng)為 4的正方形紙片 ABCD點(diǎn)P為正方形AD邊上的一點(diǎn)不與點(diǎn) A、點(diǎn)D重合 將正方形紙片折疊，使點(diǎn) B落在P處，點(diǎn)C落在G處，PG交DC于H,折痕為EF,連接BP、BH1求證：/ APB=/ BPH2當(dāng)點(diǎn)P在邊AD上移動(dòng)時(shí)， PDH的周長(zhǎng)是否發(fā)生變化？并證明你的結(jié)論；3設(shè)AP為x,四邊形EF

24、GP的面積為S,求出S與x的函數(shù)關(guān)系式，試問S是否存在最小值？假設(shè)存在， 求出這個(gè)最小值；假設(shè)不存在，請(qǐng)說明理由.例8.如圖，正三角形 ABC的邊長(zhǎng)為3+ . 3 .1如圖，正方形EFPN勺頂點(diǎn)E、F在邊AB上，頂點(diǎn) N在邊AC上.在正三角形 ABC與其部，以 A為位似中心，作正方形EFPN的位似正方形E'F'P'N',且使正方形E'F'P'N'的面積最大不要求寫作法2求1中作出的正方形 E'F'P'N'的邊長(zhǎng);3如圖，在正三角形 ABC中放入正方形 DEMN和正方形EFPH使得D EF在邊AB上，

25、點(diǎn)P、N分別在邊CB CA上，求這兩個(gè)正方形面積和的最大值與最小值，并說明理由.I例 9.如圖，在 ABC 中，/ C=90 , BC=5米, AC=12米.M點(diǎn)在線段CA上，從C向A運(yùn)動(dòng)，速度為1米/秒；同時(shí)N點(diǎn)在線段AB上，從A向B運(yùn)動(dòng)，速度為2米/秒.運(yùn) 動(dòng)時(shí)間為t秒.1當(dāng)t為何值時(shí)，/ AMNMANM2當(dāng)t為何值時(shí)， AMN的面積最大？并求出這個(gè)最大值.例10.如圖，A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是8, 0、 0, 6，點(diǎn)P由點(diǎn)B出發(fā)沿BA方向向點(diǎn)A作勻速直線運(yùn)動(dòng),100v t v 10丨秒.解答如下問題:速度為每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度，點(diǎn) Q由A出發(fā)沿AOO為坐標(biāo)原點(diǎn)方向向點(diǎn) O作勻速直線運(yùn)動(dòng)，速度為

26、每秒 2個(gè)單位長(zhǎng)度，連接 PQ假設(shè)設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為1當(dāng)t為何值時(shí)，PQ/ BO2設(shè)厶AQP的面積為S, 求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出 S的最大值;假設(shè)我們規(guī)定：點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)分別為X1,yj,X2, y2，那么新坐標(biāo)X2- X1,y2-yd稱為"向量PQ'的坐標(biāo).當(dāng)S取最大值時(shí)，求“向量 PQ的坐標(biāo)./ /a田：" $c圖2例11.如圖， ABC中，AB=10cm AC=8cm BC=6cm如果點(diǎn)P由B出發(fā)沿BA方向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q由A出發(fā)沿AC方向向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，它們的速度均為2cm/s 連接PQ設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t單位：s0< t < 4.解答以下

27、問題：1當(dāng)t為何值時(shí)，PQ/ BC2設(shè)厶AQP面積為S單位：cm?，當(dāng)t為何值時(shí)，S取得最大值，并求出最大值.3是否存在某時(shí)刻t，使線段PQ恰好把 ABC的面積平分？假設(shè)存在，求出此時(shí)t的值；假設(shè)不存在,請(qǐng)說明理由.4如圖2，把 AQP沿AP翻折，得到四邊形AQPQ.那么是否存在某時(shí)刻 t，使四邊形AQPQ為菱形? 假設(shè)存在，求出此時(shí)菱形的面積；假設(shè)不存在，請(qǐng)說明理由.例12.如圖，矩形 ABCD勺兩邊長(zhǎng)AB=18cm AD=4cm點(diǎn)P、Q分別從A B同時(shí)出發(fā)，P在邊AB上沿AB方向以每秒2cm的速度勻速運(yùn)動(dòng)，Q在邊BC上沿BC方向以每秒1cm的速度勻速運(yùn)動(dòng).設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x秒,2 PBQ的面積

28、為ycm.1求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出 x的取值圍；2求厶PBQ的面積的最大值.例13.如圖，在 ABC中，AB=AC=5 BC=6且厶ABCA DEF將厶DEF與厶ABC重合在一起， ABC不動(dòng)， ABC不動(dòng)， DEF運(yùn)動(dòng)，并滿足：點(diǎn) E在邊BC上沿B到C的方向運(yùn)動(dòng)，且 DE始終經(jīng)過點(diǎn) A, EF與AC 交于M點(diǎn).1求證： ABEA ECM2探究：在厶DEF運(yùn)動(dòng)過程中，重疊局部能否構(gòu)成等腰三角形？假設(shè)能，求出BE的長(zhǎng)；假設(shè)不能，請(qǐng)說明理由；3當(dāng)線段AM最短時(shí)，求重疊局部的面積._ 2.0.45 元 /cm 和 0.06 元/cm2，當(dāng)O1的半徑為多少時(shí)，該玩具本錢最小?例14.在Rt P

29、OQ中，OP=OQ=4,M是PQ中點(diǎn)，把一三角尺的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)M處，以M為旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)三角尺，三角尺的兩直角邊與厶POQ的兩直角邊分別交于點(diǎn) A、B,(1) 求證：MA=MB(2) 連接AB探究：在旋轉(zhuǎn)三角尺的過程中， AOB的周長(zhǎng)是否存在最小值，假設(shè)存在，求出最小值，假 設(shè)不存在。請(qǐng)說明理由。例15.某玩具由一個(gè)圓形區(qū)域和一個(gè)扇形區(qū)域組成，如圖， 在o和扇形O2CD中，O與o2c、o2d 分別相切于 A B， CO2D 60，E、F事直線O1O2與oO,、扇形O2CD的兩個(gè)交點(diǎn)，EF=24cm設(shè)。O,的半徑為x cm，用含x的代數(shù)式表示扇形 O2CD的半徑;假設(shè)OO1和扇形O2CD兩個(gè)區(qū)

30、域的制作本錢分別為例16.如圖，在 ABC中，AB=AC / B=30°, BC=8, D在邊BC上，E在線段 DC上, DE=4 DEF是等邊三 角形，邊 DF交邊AB于點(diǎn)M邊EF交邊AC于點(diǎn)N.1求證： BMOA CNE2當(dāng)BD為何值時(shí)，以 M為圓心，以 MF為半徑的圓與 BC相切？3設(shè)BD=x五邊形ANED啲面積為y，求y與x之間的函數(shù)解析式要求寫出自變量x的取值圍；當(dāng)x為何值時(shí)，y有最大值？并求y的最大值.練習(xí)題：1. 在等腰 ABC中，AB=AC=5 BC=6.動(dòng)點(diǎn) M N分別在兩腰 AB AC上 C M不與A、B重合，N不與 A C重 合，且MN/ BC將厶AMN沿MN所

31、在的直線折疊，使點(diǎn) A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為P.1當(dāng)MN為何值時(shí)，點(diǎn) P恰好落在BC上?2當(dāng)MN=x MNP與等腰 ABC重疊局部的面積為 y,試寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式.當(dāng) x為何值時(shí)，y 的值最大，最大值是多少？2. 如圖，在直角梯形 ABCD中，/ D=Z BCD=90，/ B=60°, AB=6 AD=9點(diǎn)E是CD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(E不與 D重合)，過點(diǎn)E作EF/ AC,交 AD于點(diǎn)F(當(dāng)E運(yùn)動(dòng)到C時(shí)，EF與AC重合).把 DEF沿EF對(duì)折，點(diǎn) D的 對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn) G設(shè)DE=x GEF與梯形ABCD1疊局部的面積為 y。(1) 求CD的長(zhǎng)與/I的度數(shù)；(2) 假設(shè)點(diǎn)G恰好在BC上，求此時(shí)x的值；

32、(3) 求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式。 并求x為何值時(shí)，y的值最大？最大值是多少？3. 圖形既關(guān)于點(diǎn) 0中心對(duì)稱，又關(guān)于直線 AC, BD對(duì)稱，AC=10 BD=6點(diǎn)E, M是線段AB上的動(dòng)點(diǎn)不與端點(diǎn)重合，點(diǎn)0到EF，MN的距離分別為 h1，h2， OEA OG組成的圖形稱為蝶形。1求蝶形面積S的最大值；2當(dāng)以EH為直徑的圓與以 MQ為直徑的圓重合時(shí)，求 0與h2滿足的關(guān)系式，并求 h2的取值圍。4.如圖，在邊長(zhǎng)為 2的正方形ABCD中, P為AB的中點(diǎn)，Q為邊CD上一動(dòng)點(diǎn),設(shè)DQAPt 秒t > 0，正以EF為邊作正方形EFGH使它與 ABC在線段AB的同側(cè)，設(shè)E、F運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為=t 0&

33、lt; t < 2，線段PQ的垂直平分線分別交邊 AD BC于點(diǎn)M N,過Q作QEL AB于點(diǎn)E,過M作MFL BC于點(diǎn)F.1當(dāng) t 工1 時(shí)，求證： PEQA NFM2順次連接P、M Q N,設(shè)四邊形PMQN勺面積為S,求出S與自變量t之間的函數(shù)關(guān)系式，并求 S的最小值.5. 如圖，在 Rt ABC中，/ C= 90°, AC= 8, BC= 6,點(diǎn) P在 AB上,=2。點(diǎn)E、F同時(shí)從點(diǎn)P出發(fā)，分別沿PA PB以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)A、B勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)A后立即以原速度沿 AB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)停止，點(diǎn)E也隨之停止在點(diǎn)E、F運(yùn)動(dòng)過程中，方形EFGHW AB

34、C重疊局部面積為 S.CABE1當(dāng)t = 1時(shí)，正方形EFGH的邊長(zhǎng)是；當(dāng)t = 3時(shí)，正方形 EFGH的邊長(zhǎng)是；2當(dāng)0V t W2時(shí)，求S與t的函數(shù)關(guān)系式；3直接答出：在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中 ，當(dāng)t為何值時(shí)，S最大？最大面積是多少?6. 如圖圖1,圖2，四邊形 ABCD是邊長(zhǎng)為4的正方形，點(diǎn) E在線段BC上，/ AEF=90，且 EF交正方形外角平分線 CP于點(diǎn)F,交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn) N FNL BC1假設(shè)點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)如圖1，AE與EF相等嗎？2點(diǎn)E在BC間運(yùn)動(dòng)時(shí)如圖2，設(shè)BE=x,A ECF的面積為y.12 求y與x的函數(shù)關(guān)系式； 當(dāng)x取何值時(shí)，y有最大值，并求出這個(gè)最大值.五、應(yīng)用其它知識(shí)

35、求最值：典型例題：例1.如圖.在 ABC 中，/ B= 90°,/ A= 30°,AC= 4cm,將厶ABC繞頂點(diǎn)C順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)至 A'B'C的位置，且A、C B'三點(diǎn)在同一條直線上，那么點(diǎn)A所經(jīng)過的最短路線的長(zhǎng)為【A、4 3cmB、 8cm 8cm163cmD、8 cm3例2.如圖，線段OA交OO于點(diǎn)B,且OB=AB點(diǎn)P是OO的最大值是【A. 30°B . 45° C.60°D.90°例 3.如圖， ABC 中，/ C=90 ,AC=3, / B=30°么AP長(zhǎng)不可能是【】A、3.5B、4.2、5

36、.8上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，那么/OAP，點(diǎn)P是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，那5 例 4.如圖 1 和 2，在 ABC中，AB=13, BC=14, cos/ABC=?.13探究：如圖1, AHLBC于點(diǎn)H,那么AH= , AC= ABC的面積Smbc=;拓展：如圖2,點(diǎn)D在AC上可與點(diǎn)A，C重合，分別過點(diǎn)A、C作直線BD的垂線，垂足為E，F(xiàn)，設(shè)BD=x,AE=m CF=n當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)A重合時(shí)，我們認(rèn)為 Saabd=01用含x，m n的代數(shù)式表示 Saabd與 Sacbd；2求m+r與x的函數(shù)關(guān)系式，并求m+n的最大值和最小值；3對(duì)給定的一個(gè)x值，有時(shí)只能確定唯一的點(diǎn)D,指出這樣的x的取值圍.發(fā)現(xiàn)：請(qǐng)你確定一條直線，

37、使得A、B、C三點(diǎn)到這條直線的距離之和最小不必寫出過程，并寫出這個(gè)最小值.例5.如圖1至圖4中，兩平行線 AB CD間的距離均為6，點(diǎn)M為AB上一定點(diǎn).思考如圖1，圓心為0的半圓形紙片在 AB, CD之間包括 AB, CD，其直徑MN在AB上, MN=8點(diǎn)P為半 圓上一點(diǎn)，設(shè)/ MOP=.當(dāng)a =度時(shí)，點(diǎn)P到CD的距離最小，最小值為.探究一在圖1的根底上，以點(diǎn) M為旋轉(zhuǎn)中心，在 AB CD之間順時(shí)針旋轉(zhuǎn)該半圓形紙片，直到不能再轉(zhuǎn)動(dòng)為 止，如圖2,得到最大旋轉(zhuǎn)角/ BMO度，此時(shí)點(diǎn) N到CD的距離是.探究二AA將如圖1中的扇形紙片NOF按下面對(duì)a的要求剪掉，使扇形紙片MOP繞點(diǎn)M在AB CD之間

38、順時(shí)針旋轉(zhuǎn).1如圖3，當(dāng)a =60°時(shí)，求在旋轉(zhuǎn)過程中，點(diǎn) P到CD的最小距'離，并請(qǐng)指出旋轉(zhuǎn)角/ BMO的最大值；2如圖4，在扇形紙片 MOP旋轉(zhuǎn)過程中，要保證點(diǎn) P能落在直線CD上，請(qǐng)確定a的取值圍.參考數(shù)據(jù)：sin49 ° = 3 , cos41° = 3 , tan37 ° = 3 .444例6.在三角形紙片 ABC中，/ ABC=90 , AB=6, BC=8過點(diǎn)A作直線I平行于BC,折疊三角形紙片 ABC, 使直角頂點(diǎn)B落在直線I上的T處，折痕為MN當(dāng)點(diǎn)T在直線I上移動(dòng)時(shí)，折痕的端點(diǎn) MN也隨之移動(dòng).假 設(shè)限定端點(diǎn) M N分別在AB

39、BC邊上移動(dòng)，那么線段 AT長(zhǎng)度的最大值與最小值之和為 計(jì)算結(jié)果不取近似值.例7.如圖，在矩形 ABCD中，將矩形折疊，使 B落在邊AD含端點(diǎn)上，落點(diǎn)記為 E,這時(shí)折痕與邊 BC 或者邊CD含端點(diǎn)交于F,然后展開鋪平，那么以 B、E、F為頂點(diǎn)的三角形厶BEF稱為矩形ABCD的“折 痕三角形"1由“折痕三角形'的定義可知，矩形ABCD的任意一個(gè)“折痕厶BEF是一個(gè)三角形2如圖、在矩形 ABCD中, AB=2, BC=4,當(dāng)它的“折痕 BEF的頂點(diǎn) E位于AD的中點(diǎn)時(shí)，畫出這 個(gè)“折痕厶BEF，并求出點(diǎn) F的坐標(biāo)；3如圖，在矩形 ABCD中，AB=2 BC=4該矩形是否存在面積最大的“折痕 BEF