專題一：用導(dǎo)數(shù)求切線方程的四種類

1、用導(dǎo)數(shù)求切線方程的四種類型求曲線的切線方程是導(dǎo)數(shù)的重要應(yīng)用之一， 用導(dǎo)數(shù)求切線方程的 關(guān)鍵在于求出切點(diǎn)P(Xo, y。)與斜率，其求法為：設(shè)P(x。，y。)是曲線y f(x) 上的一點(diǎn)，那么以P的切點(diǎn)的切線方程為：y yo f (xo)(x xo).假設(shè)曲線 y f(x)在點(diǎn)P(xo, f(xo)的切線平行于y軸(即導(dǎo)數(shù)不存在)時(shí)，由切線 定義知，切線方程為 x x。下面例析四種常見(jiàn)的類型與解法類型一：切點(diǎn)，求曲線的切線方程 此類題較為簡(jiǎn)單，只須求出曲線的導(dǎo)數(shù) f (x) ，并代入點(diǎn)斜式方程 即可例 1曲線 yx33x21在點(diǎn)(1， 1)處的切線方程為( )A.y 3x 4B.y3x2 C.

2、y 4x3 D. y4x 51解：由f (x) 3x2 6x那么在點(diǎn)(1, 1)處斜率k f (1)3，故所求的切線方程為y ( 1)3(x 1)，即y 3x 2，因而選B.練習(xí)：1. 設(shè)f (xo) = 0,那么曲線y= f (x)在點(diǎn)(xo,f(x。)處的切線()A.不存在B.與x軸平行或重合c.與x軸垂直D.與x軸斜交答案 B2.1Il|O4 X函數(shù)y=f(x)的圖像如右圖所示，那么f(xa)與f (xb)的大 小關(guān)系是()A. f (XA)f(XB)B. f (XA)vf(XB)C. f (Xa) = f (Xb)D. 不能確定答案 B2. 曲線y =-2x2 + 1在點(diǎn)(0,1)處的

3、切線的斜率是()A. 4B. 0C. 4D.不存在答案 B10. 曲線y = 2x3上一點(diǎn)A(1,2)，貝S A處的切線斜率等于( )A. 2B. 42C. 6+ 6 Ax + 2 ( Ax)D. 6答案 Dn 14 .函數(shù)y = sin 2x的圖像在 石，4處的切線的斜率是()A五B.普C.2D._32答案 D分析 將函數(shù)y=sin 2x看作是由函數(shù)y=u2, u = sin x復(fù)合而成的.解析 丁 y= 2sin xcosx,nn ny | x = 2si ncos =6 6172 .曲線y = 3X3 2在點(diǎn)一1，- 3處切線的傾斜角為A. 30B. 45C. 135D. 60答案 B6

4、. y= x3的切線傾斜角的圍為.n答案0 , R解析 k= y= 3x 0.8.設(shè)點(diǎn)P是曲線y= x3 3x + 上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)P處切線傾斜角為a，那么角a的取值圍是兀5 一 6兀一 2Bn5n2C. 0,U - n,nD. 0, U n,n2623答案 D解析 由 y = 3x 3,易知 y 一.3，即卩 tan a?一3.a 專或2na 0,所以x= 3.3.曲線y = f (x)在點(diǎn)P(xo, f(xo)處的切線方程為2x + y +1 = 0,那么()A. f (X。)= 0B. f(x)v0C. f (X0)OD. f(X0)不能確定答案 B5.如果曲線y = f (x)在點(diǎn)(X

5、。，f(x。)處的切線方程為x + 2y- 3= 0, 那么()A. f (Xo)OB. f(Xo) 3,當(dāng)且僅當(dāng)x= 1時(shí)取等號(hào)，當(dāng)x = 1,時(shí)y= 14.二切線方程為 y+ 14= 3(x + 1)，即 3x y 11 = 0.19.設(shè)直線y=* + b是曲線y= In x(x0)的一條切線，那么實(shí)數(shù)b 的值為.答案In2 14. 設(shè)曲線y= ax2在點(diǎn)(1 , a)處的切線與直線2x y 6= 0平行，那么a等于()1A. 1B.21C - 2D. 1答案 A14. 設(shè)曲線y=eax在點(diǎn)(0,1)處的切線與直線x+2y+1 = 0垂直， 那么 a=.答案2解析由題意得 y= aex,

6、y|x=o=aex = 2, a=2.10.函數(shù)f(x) = asinax(a F)的圖像過(guò)點(diǎn)P(2 n, 0)，并且在點(diǎn)P處 的切線斜率為4,那么f (x)的最小正周期為()A. 2 nB.nD.C.答案 B解析 f (x) = a2cosax,二 f (2 n ) = a2cos2 n a.又 asin2 n a= 0,二 2 n a= k n, k 乙2f (2 n ) = a cosk n= 4， a= 2.二 T=2nra6.曲線y = In(2 x 1)上的點(diǎn)到直線2x y + 3= 0的最短距離是( )A. ,5C. 3 5答案 AB. 2 5D. 02 一解析 y= 2x 1

7、= 2,二 x= 1.切點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)由點(diǎn)到直線的距離公式，得d=|2 X 1 0+引22 + 125.19.曲線y= x(x + 1)(2 x)有兩條平行于y=x的切線，那么兩切|1 +線之間的距離為.答案17： 2解析 y = x(x + 1)(2 x) =- x3+x2+ 2x,yy = 3x2 + 2x + 2,令-3X2+ 2x + 2= 1,得亠 1x1 = 1 或 x2= 3.114兩個(gè)切點(diǎn)分別為(1,2)和(一3， 27).5切線方程為x y+ 1 = 0和x y 27= 0.16)227類型三：過(guò)曲線上一點(diǎn)，求切線方程過(guò)曲線上一點(diǎn)的切線，該點(diǎn)未必是切點(diǎn)，故應(yīng)先設(shè)切點(diǎn)，再求

8、切點(diǎn)，即用待定切點(diǎn)法.6.以下說(shuō)確的是()A. 曲線的切線和曲線有交點(diǎn)，這點(diǎn)一定是切點(diǎn)B. 過(guò)曲線上一點(diǎn)作曲線的切線，這點(diǎn)一定是切點(diǎn)C. 假設(shè)f (Xo)不存在，那么曲線y= f (x)在點(diǎn)(xo, f(xo)處無(wú)切線D. 假設(shè)曲線y= f (x)在點(diǎn)(xo, f(xo)處有切線，那么f(xo)不一定存在答案 D例3求過(guò)曲線y x3 2x上的點(diǎn)(1,1)的切線方程.3解：設(shè)想P(xo, yo)為切.占那么切線的斜率為y |xXo3x02 .切線方程為yyo(3xo22)(xXo) . y (Xo3 2Xo)(3xo22)(xXo).又知切線過(guò)點(diǎn)(11),把它代入上述方程，得321(Xo2xo)

9、(3X02)(1溝).解得Xo 1，或Xo12故所求切線方程為y (12)(3 2)(x 1)，或 y181 242 x 1,2 ，即 x y 20，或 5x 4y 10 .評(píng)注：可以發(fā)現(xiàn)直線5x 4y 1 0并不以(1 1)為切點(diǎn)，實(shí)際上是經(jīng) 過(guò)了點(diǎn)(1 1)且以-，7為切點(diǎn)的直線.這說(shuō)明過(guò)曲線上一點(diǎn)的切線，2 8該點(diǎn)未必是切點(diǎn)，解決此類問(wèn)題可用待定切點(diǎn)法.練習(xí)： 類型四：過(guò)曲線外一點(diǎn)，求切線方程此類題可先設(shè)切點(diǎn)，再求切點(diǎn)，即用待定切點(diǎn)法來(lái)求解.例4求過(guò)點(diǎn)(2,0)且與曲線y 1相切的直線方程.x4解：設(shè)P(Xo, y0)為切點(diǎn)，那么切線的斜率為ylxxo丄.Xo 二切線方程為 y yo(x

10、 Xo)，即 y L(x Xo).Xoxoxo又切線過(guò)點(diǎn)(2,0)，把它代入上述方程，得 丄 匕(2 xo).xoxo解得 xo 1, yo 丄 1,即 x y 2 o .Xo評(píng)注：點(diǎn)(2,0)實(shí)際上是曲線外的一點(diǎn)，但在解答過(guò)程中卻無(wú)需判斷它確實(shí)切位置，充分反映出待定切點(diǎn)法的高效性例5函數(shù)y x3 3x，過(guò)點(diǎn)A(0,16)作曲線y f(x)的切線，求此 切線方程5 解：曲線方程為 y x3 3x ，點(diǎn) A(0，16) 不在曲線上設(shè) 切 點(diǎn) 為 M(x0， y0) ， 那么 點(diǎn) M 的 坐 標(biāo) 滿 足 y0 x03 3x0 因 2f (x0) 3(x02 1) ，故切線的方程為 y y0 3(x

11、02 1)(x x0) 點(diǎn) A(0，16) 在切線上，那么有 16 (x03 3x0) 3(x02 1)(0 x0 ) 化簡(jiǎn)得 x03 8 ，解得 x0 2 所以，切點(diǎn)為 M( 2， 2) ，切線方程為 9x y 16 0評(píng)注：此類題的解題思路是，先判斷點(diǎn) A是否在曲線上，假設(shè)點(diǎn)A 在曲線上，化為類型一或類型三；假設(shè)點(diǎn) A不在曲線上，應(yīng)先設(shè)出切點(diǎn) 并求出切點(diǎn)練習(xí)：17.曲線方程為y= x2,求過(guò)A(3,5)點(diǎn)且與曲線相切的直線 方程解析 解法一 設(shè)過(guò)A(3,5)與曲線y=x2相切的直線方程為y 5= k(x 3)，即 y= kx+ 5 3k.y = kx+ 53k由2y= x2,得 x kx+

12、 3k 5= 0. = k2 4(3k 5) = 0,整理得(k 2)( k 10) = 0. k = 2 或 k= 10.所求的直線方程為2xy1=0,10xy25=0.解法二 設(shè)切點(diǎn)P的坐標(biāo)為(xO, yO),2由 y= X ,得 y = 2x.y |x = x0 = 2x0.5- yO 由 kPA 2x0,即=2x0.3 xO又y0 = 2x0,代入上式整理，得 x0= 1或x0= 5.318.曲線S： y = 3x x與點(diǎn)P(2,2)，那么過(guò)點(diǎn)P可向S引切線，其切線條數(shù)為()A. 0B. 1C. 2D. 3答案 D解析 顯然P不在S上，設(shè)切點(diǎn)為(x0, y0),由 y= 3 3x2,得

13、 y|x = x0 = 33x20.切線方程為 y (3x0x30) = (3 3x20)( x x0).T P(2,2)在切線上， 2 (3x0 x30) = (3 3x20)(2 x0),即 x30 3x20+ 2=0. (x0 1)( x20 2x02) = 0.由 x0 1 = 0,得 x0= 1.由 x20 2x02= 0,得 x0= 1士 一 3.T有三個(gè)切點(diǎn)，由P向S作切線可以作3條.綜合練習(xí)：10. f(x) = x2 + 2xf (1)，那么 f (0)等于()A. 0B. 4D. 2C. 2答案 B解析 f (x) = 2x+ 2f (1),令 x= 1,得 f (1) =

14、 2 + 2f (1)，二 f (1) =- 2.f (0) = 2f (1) =- 4.12.設(shè)函數(shù) f(x) = g(x) + x2，曲線 y= g(x)在點(diǎn)(1 , g(1)處的切線方程為y= 2x+1,貝卩曲線y= f(x)在點(diǎn)(1 , f(1)處的切線的斜 率為()1A. 4B.-t41C. 2D. -答案 A解析 依題意得 f (x) = g(x) + 2x, f (1) = g (1) + 2 = 4, 選A.15. (1)求過(guò)曲線y = ex上點(diǎn)P(1 , e)且與曲線在該點(diǎn)處的切線垂 直的直線方程；1(2)曲線y= 5X5上一點(diǎn)M處的切線與直線y =-x+ 3垂直，求此 切線

15、方程.解析(1) 丁 y= ex,曲線在點(diǎn)P(1 , e)處的切線斜率是y|x= 1 = e.1二過(guò)點(diǎn)P且與切線垂直的直線的斜率為k=-.e、 1所求直線方程為y-e=- e(x- 1),2即 x+ ey e 1 = 0.v切線與y = x+3垂直，二切線斜率為1. 又 y= x4,令 x4= 1,二 x = 1.二切線方程為 5x 5y 4= 0 或 5x 5y + 4= 0.4. y= ax2 +1的圖像與直線y=x相切，那么a=(1A.8141C2D. 1答案 B解析由 y= ax2 +1,y = x有唯一解，即 x= ax2+ 1, ax2 x +1 = 0 有唯一解，1 = 1 4a

16、=0,. a=：.4P處的切線與15.點(diǎn)P在曲線y = f (x) = x2 + 1上，且曲線在點(diǎn)曲線y= 2x2 1相切，求點(diǎn)P的坐標(biāo).解析設(shè) Rxo, y。)，那么 y = x2 + 1.f (xo) = lim xFx + Ax + 1 xX2 + 1=2x0.所以過(guò)點(diǎn)P的切線方程為y y0= 2x0( xX。),2即 y= 2xox + 1 Xo.而此直線與曲線y= 2x2 1相切，所以切線與曲線y= 2x2 1只有一個(gè)公共點(diǎn).由 y=2xox +1 x0, y= 2x2 1,得2 22x + 2xox + 2 xo= 0.22即= 4xo 8(2 Xo) = 0.解得 xo=| 3,

17、 yo= 7.所以點(diǎn)p的坐標(biāo)為(彳3彳,3)或(-務(wù)彳 3)-17.假設(shè)直線y= kx與曲線y= x3 3x2 + 2x相切，求k的值. 解析 設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(xo, yo) , y|x=xo= 3x2 6x。+ 2= k.假設(shè) Xo= o,那么 k = 2.假設(shè) xoMo,由 yo= kxo,得 k=L 3xo yo-6xo + 2=Xo即3x：32xo 3xo + 2xo s、/冃36xo + 2=.解之，得 Xo=.xo2-k = 3揺)2 6x | + 2= 綜上，k = 2 或 k= j.416. 函數(shù)f(x) = 2x3 + ax與g(x) = bx2 + c的圖像都過(guò)點(diǎn) P(2,o

18、)，且在點(diǎn)P處有公共切線，求f(x)、g(x)的表達(dá)式.解析/ f(x) = 2x3 + ax的圖像過(guò)點(diǎn)P(2,o),a= 8. /. f (x) = 2x3 8x. /. f (x) = 6x2 8.對(duì)于g(x) = bx2 + c的圖像過(guò)點(diǎn)P(2,o)，那么4b+ c = o.又 g(x) = 2bx,. g (2) = 4b= f (2) = 16.b=4.c= 16.g( x) = 4x2 16.綜上可知，f (x) = 2x3 8x, g(x) = 4x2 16.21 .直線11為曲線y = x + x 2在點(diǎn)(1,0)處的切線，12為 該曲線的另一條切線，且11丄12.(1) 求直

19、線11,12的方程；(2) 求由直線I 1, I 2和x軸所圍成的三角形的面積.分析(1)求曲線在某點(diǎn)處的切線方程的步驟：先求曲線在這點(diǎn) 處的導(dǎo)數(shù)，這點(diǎn)對(duì)應(yīng)的導(dǎo)數(shù)值即為過(guò)此點(diǎn)切線的斜率，再用點(diǎn)斜式寫1出直線方程；(2)求面積用S=羅 h即可完成.解析 (1)因?yàn)閥= 2x +1,那么直線丨1的斜率k1 = 2X 1+ 1= 3, 那么直線I 1的方程為y= 3x 3,設(shè)直線I 2過(guò)曲線y=x2+ x 2上的點(diǎn)B(x0,y0)，因?yàn)镮 1丄I 2。那么I 2的方程為f X。2x。11,所以xo32091 22所以直線I 2的方程為y = 石.(2)解方程組y = 3x 31 22y= 3x7,x

20、= 652.所以直線I1和I2的交點(diǎn)坐標(biāo)為(6, 2) , I 1, I2與x軸交點(diǎn)22125的坐標(biāo)分別為(1,0) ,(,0).所以所求三角形的面積s= 23xi512512.17. 求證：雙曲線 C1: x2 y2= 5與橢圓C2: 4x2 + 9y2= 72在第 一象限交點(diǎn)處的切線互相垂直.證明 聯(lián)立兩曲線的方程，求得它們?cè)诘谝幌笙藿稽c(diǎn)為(3,2) .C1在第一象限的局部對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為 廠X2 5,于是有:1y=(x25)2=x2 52 X2 5xX2 5,k1 = y，|x = 3=-C2在第一象限的局部對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為89x2 8-A2x3 18 x2k2= y2|x = 3= 3.t k1 k2= 1，兩切線互相垂直.?重點(diǎn)班選做題18. 曲線y = e2xcos3x在(0,1)處的切線與I的距離為5,求I 的方程.解析由題意知y = (e2x) cos3 x + e2x(cos3 x)=2e