12、一種改進(jìn)的選擇相空間重構(gòu)參數(shù)的方法

1、244振動(dòng)工程學(xué)扌艮第14卷振動(dòng)工程學(xué)報(bào)Journal of V ibralbn Enxinccrin#胡曉棠胡鶯慶陳敏(國防科技大學(xué)機(jī)電工程與自動(dòng)化學(xué)院 長(zhǎng)沙.410073)闡述了時(shí)間延遲對(duì)相空間重構(gòu)的影響研究了平均位移法選擇時(shí)間延遲的原理并通過分析相空間擴(kuò)展 的幾何意義對(duì)平均位移法進(jìn)行了改進(jìn);利用典翌數(shù)據(jù)對(duì)兩種方法進(jìn)行測(cè)試結(jié)果表明改進(jìn)后的方法不僅具有更 明確的物理意義.而且可以更好地逸擇時(shí)間延遲。© 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved, 244振動(dòng)工程學(xué)

2、扌艮第14卷© 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved, 244振動(dòng)工程學(xué)扌艮第14卷國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（編號(hào):59775025）收稿日期:2000-01-21;修改稿收到日期:2000-08-08:相空間:重構(gòu):時(shí)間延遲:平均位移:交叉位移:TH 17: TH 113:0 322在很多情兄下對(duì)于復(fù)雜系統(tǒng)的監(jiān)測(cè)往往是觀 測(cè)某一個(gè)時(shí)間變量。這是因?yàn)樵趯?shí)際工作中有一些 信號(hào)往往很難直接觀測(cè),在某些情況下甚至不知道 系統(tǒng)的獨(dú)立變量有幾個(gè)也不知道哪些變量是系統(tǒng) 變

3、量。應(yīng)用動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)方法可以發(fā)現(xiàn)，因?yàn)橄到y(tǒng)各變 量之間的關(guān)聯(lián)作用，時(shí)間序列包含著非常豐富的倍 息它蘊(yùn)含著參與動(dòng)態(tài)變化的全部變量的痕跡O正因 為這樣可以利用相空間重構(gòu)來重現(xiàn)系統(tǒng)侑息進(jìn)而 對(duì)系統(tǒng)的狀態(tài)變化進(jìn)行分析處理。1所謂相空間重構(gòu)即通過一維的時(shí)間序列反向 構(gòu)造出原系統(tǒng)的村空間結(jié)椒它的基本思想是:系統(tǒng) 中的任一分量的演化都是由與之相互作用著的其他 分量所決定的.因而這些相關(guān)分量的信息就隱含在 任一分量的發(fā)展過程中。不失一般性令X (/) (/= 0, 12、N )表示所研究的時(shí)間序列，可得到加維延 遲矢量X (/) = (.V (/),x (/ 7),/(一 On -1)T(I) 其中 加稱為嵌入

4、維數(shù)T稱為時(shí)間延遲p假設(shè)原動(dòng) 力系統(tǒng)維教為d, Takens業(yè)已證明在數(shù)據(jù)無窮多且 不受嗪聲污染的理想情況下，如果加、2d+ 1,則重 構(gòu)的相空間可以將動(dòng)力系統(tǒng)的許多特性保存下來。 對(duì)于時(shí)間延遲嵌入理論沒有作出具體的要求. 也沒有提出具體選擇方法但嵌入理論是針對(duì)無噪 聲觀測(cè)信號(hào)的且要求數(shù)據(jù)無窮大。在實(shí)際應(yīng)用中. 該條件是不可能滿足的實(shí)際的觀測(cè)信號(hào)不僅含專 噪聲而且數(shù)據(jù)量和精度都是有限的。在這種情況 下.為了便重構(gòu)的相空間能夠重現(xiàn)原系統(tǒng)的特性需 要滿足一個(gè)條件即狀態(tài)矢量X的每個(gè)分量必須 能夠提供有關(guān)系統(tǒng)的新信息。從式(1)可以看出. x 3的各個(gè)分量的差別是由時(shí)間延遲決定的，因此 時(shí)間延遲的選擇

5、影響著重構(gòu)相空間所包含的倍息 量。如果時(shí)間延遲丁太小，相空間矢量X的相鄰 延遲坐標(biāo)元素間差別太小即冗余度較大，重構(gòu)相空 間的樣點(diǎn)所包含的關(guān)于原吸引子的信息偏小表現(xiàn) 在相空間形態(tài)上，即信號(hào)軌跡向相空間主對(duì)角線壓 縮:如果T太大相空間內(nèi)延遲坐標(biāo)元素間的相互信 息丟失即白元素不和關(guān)，信號(hào)軌跡可能出現(xiàn)折疊現(xiàn) 象。2現(xiàn)有的選擇時(shí)間延遲的方法有許多如填充因 子法、奇異值分量法以、平均位移法等，近幾年 來,不少學(xué)者又對(duì)這些方法作了一些新的算法z叫 其中平均位移法(A verage D isp lacem entAV - D)厲相家間重構(gòu)幾何法.因其較小的計(jì)算量.現(xiàn)在 受到了多人的重Wo本文對(duì)這種方法也進(jìn)行了

6、校 深入的研究鑒于該方法的具體算法缺乏嚴(yán)謹(jǐn)性的 特點(diǎn)本文提出了一種改進(jìn)算法。利用典型數(shù)據(jù)對(duì)改 進(jìn)的方法進(jìn)行檢驗(yàn)，結(jié)果說明本文的改進(jìn)算法不僅 具有更明確的物理意義.而且精度也有所提高。2 1平均位移法用延遲矢量的平均位移來表征相空 間的擴(kuò)展程度這也正是該算法得名的由來。具體定 義如下s”,(F =十刀戸e (2) 當(dāng)加=2時(shí)，S”(F =扌刀|.JTxt 當(dāng)時(shí)間延遲從0逐漸增加時(shí)重構(gòu)相軌跡逐漸 從主對(duì)角線擴(kuò)展而平均位移則相應(yīng)的增加。平均位 移法認(rèn)為，當(dāng)S/7)的變化曲線的斜率第一次V a 4 時(shí).此時(shí)的時(shí)間延遲是最合適的。利用各種數(shù)據(jù)的檢驗(yàn)表明平均位移法能夠較 好地選擇時(shí)間延遲。但從文獻(xiàn)3也可以

7、看出，對(duì) 于相空間擴(kuò)展程度的表征方法平均位移法沒有作 具體的解釋.特別是最佳時(shí)間延遲的確定準(zhǔn)則(當(dāng)曲 線斜率v Q 4時(shí))只是根據(jù)經(jīng)驗(yàn)得出來的一個(gè)經(jīng)驗(yàn) 值不僅沒有嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明，甚至沒有定性的說 明.顯然這對(duì)于理論研究來說,應(yīng)該說是不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)摹?鑒于上述問題，本文從相空間擴(kuò)展的物理意義出發(fā). 對(duì)平均位移法作了部分改進(jìn)，并由此得到了更直觀 地確定時(shí)間延遲的方法。2 2從偽相圖上來看相軌跡擴(kuò)展可以用其偏離相 空間對(duì)角線的距離來衡量。不妨先看看二維相空間 的情況o在二維空間中定義主、輔助對(duì)角線分別為y= x和y = - x；設(shè)點(diǎn)(xo. yo)為相軌跡上的一點(diǎn).則該點(diǎn)到對(duì)角線與輔對(duì)角線的距離分別為lv

8、°- xoS 2= j 打 | v o+ xo |對(duì)所有的點(diǎn)則有ATNSS=疋爲(wèi)（刀 I"z|+ 刀 r¥ A . |）為了便于闡述，不防稱ss為交叉位移(AcrossD isplacenientAC D )o圖1(a)、(b)分別是周期信號(hào)和Lorenz倍號(hào)的 交叉位移圖(Across. D ),由圖可見侑號(hào)的交叉位 移具有明顯的波動(dòng)規(guī)律.對(duì)于周期信號(hào).在信號(hào)的一 個(gè)周期內(nèi)，其交叉位移具有兩個(gè)極大值和極小值.它 們分別對(duì)應(yīng)著信號(hào)的1/1周期、1/2周期、3/4周期 和整周期：對(duì)于Lorenz信號(hào).從圖1(b)可以看出. 它也具有類似的對(duì)應(yīng)關(guān)系因此可以認(rèn)為交叉位移

9、 能更好地反應(yīng)信號(hào)相軌跡演化的規(guī)律O正因?yàn)檫@樣, 根據(jù)交叉位移來選擇時(shí)間延遲更具有說服力而且 相對(duì)簡(jiǎn)單.即尋找極大值點(diǎn)或極小值點(diǎn)。通過對(duì)多組 數(shù)據(jù)的測(cè)試.發(fā)現(xiàn)各種信號(hào)交叉位移的第二個(gè)極小 值最明顯，因此,可以利用第二個(gè)極小值來確定時(shí)間 延遲即選擇該點(diǎn)對(duì)應(yīng)的時(shí)間延遲的lA即可。顯然. 這比平均位移法選取斜率小于Q 4的點(diǎn)具有更明確 的物理意義.同時(shí)也增強(qiáng)了嚴(yán)謹(jǐn)造成這種差別的 原瓦可以從式(3)及式(5)來分析。比較上述兩式，可 以認(rèn)為平均位移法研究的是各點(diǎn)到主對(duì)角線的距離. 而交叉位移則同時(shí)考慮了主對(duì)角線和輔助對(duì)角線顯 然.對(duì)于二維空間的擴(kuò)展來說后者更合適。根據(jù)二維空間進(jìn)行推廣,多維空間的交叉位

10、移 可以定義為N mXi | + St x»- zt+ x i |)(6)圖I周期信號(hào)和Lorenz信號(hào)的交叉位移上文推導(dǎo)了改進(jìn)平均位移法的過程下文將利 用擬周期信號(hào)U'昆沌信號(hào)來檢驗(yàn)改進(jìn)后的方法的實(shí) 際數(shù)據(jù)處理能力。擬周期信號(hào)x = sin/ + sin t + sin 777其中/= 0, 0 02s,90so信號(hào)的平均位稅交叉 位移與時(shí)間延遲的關(guān)系如圖2(a)、(b)所示從圖上 可以看出兩種方法得到的結(jié)果分別為0 98s和070s.圖3是利用兩個(gè)時(shí)間延遲得到的二維重構(gòu)相空 間很明顯圖3(a)出現(xiàn)了更多的重疊成分即圖3 (b)能更好地反映系統(tǒng)特征這說明利用改進(jìn)后的 方法選

11、擇的時(shí)間延遲更合適。2 空1.5 § 13 於2.5(2.80t15488)* 0.5X 2/°(0.511.51 5()1234(a)時(shí)間延遲/s(b)時(shí)間延遲/s!2.2論0.8» 2、 /E 0.6g 1.8/fp 0.43 1.6/(0.58J.72I0)Br 0.2A/0 1.41/°00!0.20.3 (h)0.20.40.60.8(c)時(shí)何延遲(d)時(shí)間延遲/“圖2擬間期佰號(hào)和混沌值號(hào)的平均位移及交叉位移與時(shí)間延遲的關(guān)系(b)4/)(a)圖3擬周期信號(hào)的二維重構(gòu)相空間混沌信號(hào)(以Lorenz倍號(hào)為例)Lorenz信號(hào)由下列三個(gè)微分方稈描述才

12、二 X), = (r- Z)X -卄簫=xy - bz取參數(shù) * 10. b= 8/3, r= 28；初值 x 0= 0 1. y o =Q l,zo= Q 1;采樣間隔Q 01s,取x序列的3500 個(gè)點(diǎn)。倍號(hào)的平均位秩 交叉位移與時(shí)間延遲的關(guān)系 如圖2(c)、(d)所示分析該圖得到時(shí)間延遲分別為 Q 22s、0 19s,可見二者是基本吻合的，但本文的方 法相對(duì)來說更為簡(jiǎn)便。從以上數(shù)據(jù)檢驗(yàn)的結(jié)果來看，改進(jìn)的平均位移 法可以更簡(jiǎn)便地確定更合適的時(shí)間延遲。4本文說明了時(shí)間延遲對(duì)于相空間重構(gòu)的影響: 研究了平均位移法選擇時(shí)間延遲的原理并通過分 析相空間擴(kuò)展的幾何意義對(duì)平均位移法進(jìn)行了改 進(jìn):利用擬

13、周期信號(hào)和混沌信號(hào)對(duì)兩種方法進(jìn)行測(cè) 試o結(jié)果表明對(duì)于時(shí)間延遲的選擇，本文提出的改 進(jìn)方法不僅具有更明確的物理意義和更高的嚴(yán)謹(jǐn) 性而且選擇的時(shí)間延遲更有利于相空間的展開。1 Buzug T Pfister G Op tin al delay tine and embedding dmentbn for dehytine coo rd inate s by analysis of the gbbal static and focal dynam ical behavbr of strange attractors Phy. Rev A 45, 1992: 707370842 Kanbcr G, F

14、ow ler A C A oorrelatbn functbn for choosing tme delays in phase portrait reconstnictbns Phy. Lett A 179, 1993: 72803 Rosensteiii M T, Collins J J. Luca C Reconstruction cxpansbn as a geometry-based framework for choosing proper delay trne Physica D73, 1994: 82894 W idinan G et al A fast general pur

15、pose algorithm for the computation of auto-and ciuss*correlatbn integrals fmm singal channal data Physica D 121, 1998: 6574Kerin Judd A listir M ees Em bedding as a modeling problem Physica D 120. 1998: 273286© 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved, 2

16、44振動(dòng)工程學(xué)扌艮第14卷© 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved, 244振動(dòng)工程學(xué)扌艮第14卷An hi proved M ethod for Chooshg Parameters in Phase Space ReconstructionH ii X iaotang H u N iaoqing Clien M in(College ofM echatiunics Engineering and A utoniatbn,N atbnalU niversit

17、y of Defense Technobgy Changsha, 410073)Abstract In the paper, the influence of tine delay in phase space reconstructbn is analysed and the method of average displacement to choose proper tine delay is exain ined By analyzing the geometrical concept of phase space expansbn. some mprovements are made in the method The original method and the inproved method are both tested w ith several representative data The results show that, the hi proved method presented in the paper not only has clearer physicalmeaning, but also can be used