高中數(shù)學 第一章 導數(shù)及其應用 1.7 定積分的簡單應用 1.7.2 定積分在物理中的應用課件 新人教A版選修2-2

1、1.7.2 定積分在物理中的應用類型一類型一 求變速直線運動的路程求變速直線運動的路程【典例典例1 1】(1)(1)物體物體A A的運動速度的運動速度v v與時間與時間t t之間的關系為之間的關系為v=2t-1(vv=2t-1(v的單位是的單位是m/sm/s，t t的單位是的單位是s)s)，物體，物體B B的運動速的運動速度度v v與時間與時間t t之間的關系為之間的關系為v=1+8tv=1+8t，兩個物體在相距為，兩個物體在相距為405 m405 m的同一直線上同時相向運動，則它們相遇時，的同一直線上同時相向運動，則它們相遇時，A A物體的運動路程為物體的運動路程為_._.(2)(2017(

2、2)(2017漳州高二檢測漳州高二檢測) )有一動點有一動點P P沿沿x x軸運動，在時軸運動，在時間間t t時的速度為時的速度為v(t)=8t-2tv(t)=8t-2t2 2( (速度的正方向與速度的正方向與x x軸正方軸正方向一致向一致).).求：點求：點P P從原點出發(fā)，當從原點出發(fā)，當t=6t=6時，點時，點P P離開原點離開原點的路程和位移的路程和位移. .【解題指南解題指南】(1)(1)本題是一個相遇問題，兩個物體運動本題是一個相遇問題，兩個物體運動的總路程是知道的，我們只需要對時間的總路程是知道的，我們只需要對時間t t進行積分，相進行積分，相加列方程求解出時間，即可求出加列方程

3、求解出時間，即可求出A A物體的運動路程物體的運動路程. .【解析解析】(1)(1)依題意依題意 (2t-1)dt+ (1+8t)dt=405(2t-1)dt+ (1+8t)dt=405，即即(t(t2 2-t) +(t+4t-t) +(t+4t2 2) =5t) =5t2 2=405=405，解得解得t=9t=9，所以所以A A物體的運動路程為物體的運動路程為(t(t2 2-t) =72(m).-t) =72(m).答案答案: :72 m72 mt0t0t0|t0|90|(2)(2)由由v(t)=8t-2tv(t)=8t-2t2 200，得，得0t40t4，即當即當0t40t4時，時，P P

4、點向點向x x軸正方向運動，軸正方向運動，當當t4t4時，時，P P點向點向x x軸負方向運動軸負方向運動. .故故t=6t=6時，點時，點P P離開原點的路程為離開原點的路程為當當t=6t=6時，點時，點P P的位移為的位移為462210423423604s8t 2t dt8t 2t dt22128(4tt )(4tt ).333622360028t 2t dt(4tt )0.3【延伸探究延伸探究】1.1.在本例在本例(2)(2)題設條件不變的情況下，求題設條件不變的情況下，求P P從原點出發(fā)，從原點出發(fā)，經(jīng)過時間經(jīng)過時間t t后又返回原點時的后又返回原點時的t t值值. .【解析解析】依題

5、意依題意 (8t-2t (8t-2t2 2)dt=0)dt=0，即即4t4t2 2- t- t3 3=0=0，解得解得t=0t=0或或t=6t=6，t=0t=0對應于對應于P P點剛開始從原點出發(fā)的情況，點剛開始從原點出發(fā)的情況，t=6t=6是所求的是所求的值值. .t0232.2.若將本例若將本例(2)(2)中條件中條件“v(t)=8t-2tv(t)=8t-2t2 2”改為改為“v(t)=4-v(t)=4-t t2 2”其他條件不變其他條件不變，結果如何？，結果如何？【解析解析】由由v(t)=4-tv(t)=4-t2 20,0,得得0t2,0t2,當當0t20t2時，時，P P點向點向x x

6、軸正方向運動軸正方向運動, ,當當t2t2時時, ,點點P P向向x x軸負方向運動軸負方向運動, ,當當t=6t=6時時, ,點點P P離開原點的路程為離開原點的路程為 當當t=6t=6時時, ,點點P P的位移為的位移為 262202323602s4 t dt4 t dt11176(4tt )(4tt )333，62360014 t dt(4tt )48.3【方法總結方法總結】變速直線運動的路程或位移的求法步驟變速直線運動的路程或位移的求法步驟(1)(1)確定所求時間段上的速度函數(shù)確定所求時間段上的速度函數(shù). .(2)(2)解不等式解不等式v(t)0, v(t)0, v(t)0確定積分區(qū)間

7、確定積分區(qū)間. .(3)(3)確定所求的是路程還是位移確定所求的是路程還是位移. .(4)(4)用定積分表示相應的路程或位移用定積分表示相應的路程或位移. .(5)(5)通過定積分的運算得出結論通過定積分的運算得出結論. .【補償訓練補償訓練】一輛做變速直線運動的汽車開始以速度一輛做變速直線運動的汽車開始以速度v=tv=t2 2-4t+3(m/s)-4t+3(m/s)運動，求：運動，求：(1)(1)在在t=4 st=4 s時的位置時的位置. .(2)(2)在在t=4 st=4 s時運動的路程時運動的路程. .【解析解析】(1)(1)在在t=4 st=4 s時該點的位移為時該點的位移為 即在即在

8、t=4 st=4 s時該點距出發(fā)點時該點距出發(fā)點 m.m. 423240014t4t 3 dtt2t3tm .33()|43(2)(2)因為因為v(t)=tv(t)=t2 2-4t+3=(t-1)(t-3),-4t+3=(t-1)(t-3),所以在區(qū)間所以在區(qū)間0,10,1及及3,43,4上，上，v(t)0v(t)0，在區(qū)間，在區(qū)間1,31,3上，上，v(t)0,v(t)0,所以在所以在t=4 st=4 s時的路程為時的路程為 134222013134222013st4t 3 dt |t4t 3 dt|t4t 3 dtt4t 3 dtt4t 3 dtt4t 3 dt4 m .類型二類型二 求變

9、力做功求變力做功【典例典例2 2】(1)(1)在底面積為在底面積為S S的圓柱形容器中盛有一定量的圓柱形容器中盛有一定量的氣體，在等溫條件下，由于氣體的膨脹，把容器中的氣體，在等溫條件下，由于氣體的膨脹，把容器中的一個活塞的一個活塞( (面積為面積為S)S)從點從點a a處推到點處推到點b b處，計算在移動處，計算在移動過程中，氣體壓力所做的功過程中，氣體壓力所做的功. .(2)(2)一物體以速度一物體以速度v(t)=2tv(t)=2t2 2(m/s)(m/s)做直線運動做直線運動, ,媒質的阻媒質的阻力力F(N)F(N)與速度與速度v(m/s)v(m/s)的關系為的關系為F=0.7vF=0.

10、7v2 2, ,試求在時刻試求在時刻t=0(s)t=0(s)到到t=2(s)t=2(s)這段時間內阻力做的功這段時間內阻力做的功. .【解題指南解題指南】(1)(1)力力F F對物體所做的功對物體所做的功W=FW=Fs s，求出變，求出變力表達式，再進行計算力表達式，再進行計算. .(2)(2)先計算媒質的阻力，再利用積分的物理意義求出在先計算媒質的阻力，再利用積分的物理意義求出在時刻時刻t=0(s)t=0(s)到到t=2(s)t=2(s)這段時間內阻力做的功這段時間內阻力做的功. .【解析解析】(1)(1)由物理學知識易得，壓強由物理學知識易得，壓強p p與體積與體積V V的乘積的乘積是常數(shù)

11、是常數(shù)k k，即，即pV=k.pV=k.因為因為V=xS(xV=xS(x指活塞與底的距離指活塞與底的距離) )，所以所以所以作用在活塞上的力所以作用在活塞上的力所以所做的功所以所做的功kkp. VxSkkF pSS.xSx bbaakbWdx k ln x|kln J .xa(2)(2)媒質的阻力為媒質的阻力為F=0.7vF=0.7v2 2=2.8t=2.8t4 4，取一小段時間取一小段時間t,t+tt,t+t，這一小段時間內阻力做的功為這一小段時間內阻力做的功為W=FvtW=Fvt，所以在時刻所以在時刻t=0(s)t=0(s)到到t=2(s)t=2(s)這段時間內阻力做的功為這段時間內阻力做

12、的功為 22600WFvdt5.6t dt 102.4 J答答: :在時刻在時刻t=0(s)t=0(s)到到t=2(s)t=2(s)這段時間內阻力做的功為這段時間內阻力做的功為102.4 J.102.4 J.【方法總結方法總結】求變力做功的方法求變力做功的方法(1)(1)求變力做功，要根據(jù)物理學的實際意義，求出變力求變力做功，要根據(jù)物理學的實際意義，求出變力F F的表達式的表達式. .(2)(2)由功的物理意義知，物體在變力由功的物理意義知，物體在變力F(x)F(x)的作用下，沿的作用下，沿力力F(x)F(x)的方向做直線運動，使物體從的方向做直線運動，使物體從x=ax=a移動到移動到x=b(

13、ab).x=b(a0k0當當x=0 x=0時，時，t=0t=0；當；當x=ax=a時，時，t=tt=t1 1= = 又又dx=vdtdx=vdt，故阻力所做的功為，故阻力所做的功為 12a( )b，1111ttt22zu000t2 323301Wkv vdtkv dtk2bt dt 444 kb tkb t k a b(J).333【補償訓練補償訓練】在原點在原點O O有一個帶電量為有一個帶電量為+q+q的電荷，它所的電荷，它所產(chǎn)生的電場對周圍的電荷有作用力，現(xiàn)有一個單位正產(chǎn)生的電場對周圍的電荷有作用力，現(xiàn)有一個單位正電荷從距電荷從距O O點點a a處沿著射線方向移至距處沿著射線方向移至距O O點為點為b(ab(ab)b)的的位置，求電場力做的功位置，求電場力做的功. .【解析解析】取電荷移動的射線方向為取電荷移動的射線方向為x x軸的正方向，那么軸的正方向，那么電場力為電場力為F=kF=k (k (k為常數(shù)為常數(shù)) )這是一個變力，在這是一個變力，在x, x, x+xx+x上，顯然，上，顯然，W= W= x,x,所以所以2qx2kqx bba2akq11 1Wdx kqkqJ .xabx()|()【課堂小結課堂小結】1.1.知識總結知識總結2.2.方法總結方法總結(1)(1)做變速直線運動的物體