高一秋季平面向量的線性運算初稿尖子班

1、第10講 平面向量 的線性運算滿分晉級 向量3級平面向量的數(shù)量積與坐標運算向量1級向量基本概念及運算向量2級平面向量的線性運算10.1共線向量知識點睛一、向量的概念與表示1向量的概念：數(shù)學(xué)中，把既有大小，又有方向的量叫做向量2向量的表示：幾何表示法：用有向線段表示向量，有向線段的方向表示向量的方向，線段的長度表示向量的長度字母表示法：，注意起點在前，終點在后；也可以用，來表示線段的長度也叫做有向線段的長度，記作3零向量：長度等于零的向量，叫做零向量記作：；零向量的方向是任意的單位向量：長度等于個單位的向量，叫做單位向量4相等向量：同向且等長的有向線段表示同一向量，或相等向量5向量共線或平行：方

2、向相同或相反的向量叫做平行向量向量平行于向量，記作任一組平行的向量都可以移動到同一直線上，因此平行向量也叫做共線向量規(guī)定：零向量與任意向量平行<教師備案> 因為我們研究的向量都是自由向量，也就是不考慮起點位置的向量，所以用有向線段表示向量時，可以任意選取有向線段的起點同時，因為任何一組平行向量都可以移動到同一直線上，因此平行向量與共線向量是等價的，在同一直線上的向量也是平行向量，要避免將向量的平行、共線與平面幾何中的直線、線段的平行和共線相混淆可以通過下面的正誤判斷進一步說明向量的概念與表示：練習(xí)1：判斷下列各命題是否正確 零向量沒有方向； 若，則； 單位向量都相等； 向量就是有向

3、線段； 兩相等向量若共起點，則終點也相同； 若，則； 若，則； 當且時； 若四邊形是平行四邊形，則，正確的命題有_【解析】 正確的命題有：分析：不正確，零向量方向任意；不正確，說明模相等，但方向可能不同；不正確，單位向量的模為，方向很多不正確，向量只與方向及模的大小有關(guān)，而與起點位置無關(guān)，但有向線段不僅與方向、長度有關(guān)，也與起點的位置有關(guān)，只是我們通常用有向線段表示一個向量；正確；正確，向量相等有傳遞性；不正確，因若，則不共線的向量也有，；不正確，當，且方向相反時，由得到；不正確應(yīng)該是，二、向量的運算1向量的加法： 三角形法則：，和的和（或和向量） 平行四邊形法則：，不共線，以，為鄰邊作平行四

4、邊形，則 多邊形法則：已知個向量，依次把這個向量首尾相連，以第一個向量的始點為始點，第個向量的終點為終點的向量叫做這個向量的和向量 向量的運算性質(zhì)：向量加法的交換律：；向量加法的結(jié)合律：關(guān)于：2向量的減法： 相反向量：與向量方向相反且等長的向量叫做的相反向量，記作 差向量：如果把兩個向量的始點放在一起，則這兩個向量的差是以減向量的終點為始點，被減向量的終點為終點的向量<教師備案> 通過向量的加法與減法運算可以插入任何字母，如字母可以通過直接插入向量中，這在向量相關(guān)的證明與關(guān)系的推導(dǎo)中常常用到在向量問題中，以上結(jié)論類似于“換底公式”，可以將所有向量換成以同一個起點出發(fā)的向量，這個起點

5、通過根據(jù)題目要證明的結(jié)論選定，從而找到變形的方向（為了方便起見，我們在此講中稱此做法為“向量的換底公式”）向量有一講預(yù)習(xí)講義：向量基本概念與運算，其中本講的基礎(chǔ)知識與一些簡單的例題，如果班上學(xué)生進度較慢，老師可以結(jié)合預(yù)習(xí)講義多講些簡單題3數(shù)乘向量：時，與方向相同；時，與方向相反；時，；且；4向量共線的條件 平行向量基本定理：向量與共線，當且僅當有唯一一個實數(shù)，使 單位向量：的單位向量記作，是指與方向相同，長度為的向量，<教師備案>向量共線的兩種常見形式： 如果，則；反之，如果，且，則一定存在唯一的一個實數(shù)，使； 平面向量共線當且僅當存在不全為零的實數(shù)，使得由此知，若不共線，且，則一

6、定有同樣的，若不共線，且，則一定有例：若向量不共線，且，則一定有講完這塊就可以讓學(xué)生練例1了經(jīng)典精講<教師備案> 例1是對平行向量基本定理的應(yīng)用，用這個定理可以推導(dǎo)出平面向量基本定理，是向量關(guān)系的基礎(chǔ)我們講的向量是自由向量，起點可以自由移動，但一旦起點選定，終點就也確定了，所以有共同點（起點或終點）的共線向量可以推導(dǎo)出起點或終點是否共線的關(guān)系，這也是“向量的換底公式”的基本想法，通過這種變形可以判斷三點是否共線如：已知非零向量、，滿足，求證：、三點共線解析：選定為起點，應(yīng)用“向量的換底公式”：于是故、三點共線【例1】 已知向量不共線，且，則_，_已知向量，且，則、四點中，一定共線的

7、三點是_設(shè)，是兩個不共線的向量，若，且、 三點共線，則實數(shù)的值等于 由題意知與共線，又有公共點，、三點共線由于、三點共線，故，又，故由，可解得<教師備案> 向量可以用有向線段表示，向量可以表示平面幾何圖形中的一些關(guān)系，向量的運算也有明確的幾何意義，例2是我們熟悉的幾何圖形中的一些向量關(guān)系【例2】 設(shè)為平行四邊形的對稱中心，則等于（ ）ABCD已知正六邊形，在下列表達式：；中，與相等的有（ ）A1個 B2個 C3個 D4個【解析】 B；取的中點，連接，如圖，則第題： 第題： D；故答案為D10.2平面向量的分解技巧知識點睛平面向量基本定理：如果和是一平面內(nèi)的兩個不平行的向量，那么對該

8、平面內(nèi)的任一向量，存在唯一的一對實數(shù)，使基底：我們把不共線向量，叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底，記作叫做向量關(guān)于基底的分解式<教師備案> 平面向量基本定理可以將很多向量統(tǒng)一起來，相當于將所有的向量化到統(tǒng)一的形式，這樣就可以找到各個向量的之間的關(guān)系或進行各種運算在很多問題中，我們都是先選定一組基底，將所有向量寫成關(guān)于基底的分解式，就可以進行運算及判斷關(guān)系了例3是平面向量中經(jīng)常遇到的一個結(jié)論，鋪墊是它的特殊情形，利用例3的結(jié)論可以很快得到很多三點共線的結(jié)論，在后面有相應(yīng)的應(yīng)用利用例3，也可以很快判斷出共線三點的長度的比例關(guān)系經(jīng)典精講【鋪墊】如圖，已知，用表示，則等于（）ABCD【

9、解析】 B方法一：本題結(jié)論可以推廣為，當時，方法二：過點分別作的平行向量，交于點，交于點，如圖，由平面向量基本定理得：，又，同理，【例3】 已知、為平面內(nèi)四點， 若、三點在一條直線上，求證：存在一對實數(shù)、，使，且 若存在一對實數(shù)、，使，且，求證：、三點在一條直線上 若，求證：【解析】 由、三點共線知，存在常數(shù)，使得由要證明的結(jié)論知，選定為起點，即從而，令，則，由平面向量的分解定理知，唯一 由要證明的結(jié)論知，可選定為起點進行變形，由，得，于是有，、三點共線 可選定為起點，由已知得，整理即得【點評】 本題充分展示了“向量的換底公式”對于整理方向的指導(dǎo)性對于我們目前研究的自由向量來說，有以下三點要注

10、意：向量的起點是可以自由選擇的；在研究具體問題時，我們通常選擇統(tǒng)一的起點；起點的選擇與研究的具體問題有關(guān)（通常會選確定的點作為起點或者選擇信息量最多的點作為起點）本題的三小問的證明并不困難，但本題的結(jié)論是很強大的，靈活運用本題的結(jié)論可以快速解決很多向量問題下面就這個結(jié)論進行一些說明供老師選用，對于班上學(xué)生程度較好的，可以進行選擇講解：結(jié)論一：若有，則由知點在直線上結(jié)論二：在線段上（不包括端點）而，即符號不同時，點不在線段上，且可以根據(jù)的正負判斷出點在射線還是在射線上結(jié)論三：是有明確的意義的，事實上，當時，點在直線 上；當時，點在邊的中位線所在的直線上；當時，在射線上取一點，使得，過點作的平行線

11、，所有滿足條件的點就在此平行線上，如下圖也即的值決定了點在與平行的哪條直線上，越大，直線與點的距離越大思考：當時，點的位置在哪？在過點與平行的直線上；當，點的位置在哪？在直線關(guān)于點的對稱直線上當時，點所在的直線在直線的與點不同的一側(cè)要進一步確定點的位置，還需要與的比值，即下面的結(jié)論四事實上，這個結(jié)論與直線的方程很類似，當是互相垂直的單位向量時，就相當于點在基底下的坐標，故此時就對應(yīng)直線；同樣的，為常數(shù)就表示與此直線平行的直線當只是不共線的任意向量時，也是類似的同樣的，類比坐標，我們知道時，表示的點在第一象限，即由射線圍成的一個區(qū)域內(nèi)而當時，對應(yīng)的是另一個象限，即由射線與的反向延長線對應(yīng)的區(qū)域內(nèi)

12、這有助于我們對這個結(jié)論的理解與應(yīng)用結(jié)論四：的比值決定了點在上的位置，當時，點在線段上當時，點恰為線段的中點事實上，由例3知，這對于時，也同樣成立再比如，在中，若于點，如圖，則，故，為某常數(shù)再由結(jié)論三知，因為三點共線，故，從而，即利用這個比值，可以快速得到華山論劍的結(jié)論用這個結(jié)論可以快速解決一些問題，如下面的例題：如圖，在中，點是的中點，過點的直線分別交直線，于不同的兩點，若，則的值為_點為邊的中點，法一：；三點不共線，且三點共線，存在，故，整理得法二：（用到了例3的結(jié)論），三點在一條直線上，即得<教師備案> 由平面向量基本定理知，平面內(nèi)任何兩個不共線的向量都可以作為基底，其它任何向

13、量都可以由基底線性表示出來，且表示方法唯一，已經(jīng)給出相關(guān)點的位置關(guān)系，如何通過這些幾何關(guān)系確定一個向量對于這組基底的分解式系數(shù)，是下面的鋪墊與例4要說的【鋪墊】中，交于，邊上的中線交于，設(shè)，用、表示向量、由，得又是的中線，得又【例4】 在平行四邊形中，與交于點，是線段的中點，的延長線與交于點若，則（ ）ABCD如圖，兩塊斜邊長相等的直角三角板拼在一起，若，則_，_（2019北京理）向量，在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，若，則 第題 第題 第題【解析】 B法一：由為的中點可知，設(shè)，解得：，法二：由于，則，（例3的結(jié)論）將，代入即可以下同解法一作交延長線于，設(shè)，由，解得，故，記方向水平向右與豎直向上

14、的單位向量為，并取之為基底，由得，又不共線，故，解得，故學(xué)完坐標運算后，本題直接通過坐標也可以得到比值，但其實坐標就是取一組單位正交基底后得到的，本質(zhì)完全相同<教師備案> 給出平面上一些向量的關(guān)系，如何確定相關(guān)的點的位置，是例5的內(nèi)容其中備選的題是要通過向量關(guān)系確定交點的位置，難度較大，可供目標班選講【例5】 已知為所在平面內(nèi)一點，當成立時，點位于（ ）A的邊上 B的邊上C的內(nèi)部 D的外部設(shè)是內(nèi)部一點，且，則與的面積之比為 已知是平面上不共線的三點，是三角形的重心，動點滿足，則點一定為三角形的（）A邊中線的中點B邊中線的三等分點（非重心）C重心D邊的中點【解析】 D；要確定點的位置

15、，需要將條件中的式子化成以的某頂點為起點的向量關(guān)系式，比如取為起點，有，從而有由知，點在的外部；點評：要是利用例3后面的結(jié)論，由知，系數(shù)和為，故點必在過點與平行的直線上選定為起點，已知的式子可以整理為，于是，如圖，取的中點，則，故，即為的中點，點評：利用例3后面的結(jié)論，由知，點在邊的中線上；由知點在與邊平行的的中位線上，即為邊中線的中點 B；由選項知，本題應(yīng)該選擇為起點，于是得：，從而，即，取邊的中點，則，從而，即點為三角形中邊上的中線的一個三等分點，且點不是重心點評：由，知點在邊的中線上；由知，是中線上靠近的一個三等分點，且不是重心10.3三角形的三顆心知識點睛已知，角所對的邊長分別為， 三

16、角形的外心：外接圓的圓心，三邊中垂線的交點，滿足； 三角形的內(nèi)心：內(nèi)切圓的圓心，三個內(nèi)角平分線的交點，滿足；（證明：法一：若，則由得：，即在的角平分線上，同理在與的角平分線上，故是內(nèi)心法二：因為分別為方向上的單位向量，所以向量平分，設(shè)，從而，解得，于是，化簡得：（由角平分線定理+向量的定比分點公式可以較快得到的值） 三角形的重心：三邊中線的交點，重心分中線比為，滿足（其實，點為三角形的重心；若點是所在平面內(nèi)任一點，則點 是的重心）<教師備案> 一般我們只研究三角形的四心（重心、垂心、內(nèi)心、外心），其中垂心滿足的向量關(guān)系與向量的數(shù)量積相關(guān)，所以這里暫時不講，對于三角形的垂心，即三邊高

17、的交點，滿足經(jīng)典精講【鋪墊】當非零向量滿足條件_時，向量平分向量和的夾角由向量加法的平行四邊形法則知，向量是向量和所構(gòu)成的平行四邊形的對角線，要對角線平分平行四邊形的一個角此平行四邊形為菱形，即【例6】 是平面內(nèi)一定點，是平面上不共線的三個點，動點滿足，則的軌跡一定通過的（ ）A外心B內(nèi)心 C重心 D垂心已知點是的重心，那么_若為的外心，且，則的內(nèi)角等于_【解析】 B設(shè)為上的單位向量，為上的單位向量，則的方向為的角平分線的方向，又，的方向與方向相同，而，點在上移動，點的軌跡一定通過的內(nèi)心設(shè)為為中點，以求角，故選為起點整理，得，于是由向量加法的平行四邊形法則知，四邊形為平行四邊形又因為為外心，故

18、，從而四邊形為菱形，且【備選】已知點是的重心，過作直線與兩邊分別交于兩點，且設(shè)，則_法一：是的重心，即，（也可通過重心分中線的比為得到）三點共線，存在，使得于是，從而法二：特殊值法，考慮特殊情形，即此時有，故設(shè)為內(nèi)一點，證明：存在正實數(shù)，使得，且【解析】 法一：如圖所示，延長交于點，設(shè)，則有為正實數(shù)，又，即（*）而，所以把（*）兩端同時乘以，則得令，則可知為正實數(shù)，且滿足又，于是：，于是；，故，得證法二：（利用例3后面的結(jié)論直接得到）延長交于點，記，又，故又，故，從而根據(jù)題目的證明結(jié)論，需要將上式整理成以為起點的向量得，從而，將系數(shù)取成即得證【點評】特別地，如果，則能得到為重心實戰(zhàn)演練【演練1】下列命題中正確的有_ 向量與是兩平行向量； 向量與是共線向量，則，四點必在同一直線上； 與共線，與共線，則與也共線； 平行向量的方向一定相同【解析】 正確；根據(jù)平行向量的定義； 錯誤；向量與起點無關(guān)，故共線向量只能說明直線與平行或重合； 錯誤；可以為零向量，此時與不一定共線；若非零，則可得出與共線； 錯誤；平行向量的方向可以相同或相反【演練2】設(shè)兩個非零向量與不共線， 若，求證：、三點共線； 試確定實數(shù)，使和共線、共線又它們有公