高中數(shù)學(xué)全套知識(shí)點(diǎn)

1、集合一 定義集合是高中數(shù)學(xué)中最原始的不定義的概念，只給出描述性的說(shuō)明。某些確定的且不同的對(duì)象集在一起就成為集合。組成集合的對(duì)象叫做元素。二 集合的抽象表示形式用大寫(xiě)字母A，B，C表示集合；用小寫(xiě)字母a，b，c表示元素。三 元素與集合的關(guān)系有屬于，不屬于關(guān)系兩種。元素a屬于集合A，記作；元素a不屬于集合A，記作。四 幾種集合的命名有限集：含有有限個(gè)元素的集合；無(wú)限集：含有無(wú)限個(gè)元素的集合；空 集：不包含任何元素的集合叫做空集，用表示；自然數(shù)集：N；正整數(shù)集：N*或N+；整數(shù)集：Z；有理數(shù)集：Q；實(shí)數(shù)集：R。五 集合的表示方法(一) 列舉法：把元素一一列舉在大括號(hào)內(nèi)的表示方法，例如：a,b,c。注

2、意：凡是以列舉法形式出現(xiàn)的集合，往往考察元素的互異性。(二) 描述法：有以下兩種描述方式1代號(hào)描述：【例】方程的所有解組成的集合，可表示為x|x2-3x+2=0。x是集合中元素的代號(hào)，豎線也可以寫(xiě)成冒號(hào)或者分號(hào)，豎線后面的式子的作用是描述集合中的元素符合的條件。2文字描述：將說(shuō)明元素性質(zhì)的一句話寫(xiě)在大括號(hào)內(nèi)?！纠看笥?小于5的整數(shù)；描述法表示的集合一旦出現(xiàn)，首先需要分析元素的意義，也就說(shuō)要判斷元素到底是什么。(三) 韋恩圖法：用圖形表示集合定義了兩個(gè)集合之間的所有關(guān)系。1子集：如果屬于A的所有元素都屬于B，那么A就叫做B的子集，記作：，如圖1-1所示。 圖1-1子集有兩種極限情況：(1)當(dāng)A

3、成為空集時(shí)，A仍為B的子集； (2)當(dāng)A和B相等時(shí)，A仍為B的子集。真子集：如果所有屬于A的元素都屬于B，而且中至少有一個(gè)元素不屬于A，那么A叫做B的真子集，記作或。真子集也是子集，和子集的區(qū)別之處在于。對(duì)于同一個(gè)集合，其真子集的個(gè)數(shù)比子集少一個(gè)。(1)求子集或真子集的個(gè)數(shù)，由n各元素組成的集合，有2n個(gè)子集，有2n -1個(gè)真子集；(2)空集的考查：凡是提到一個(gè)集合是另一個(gè)集合的子集，作為子集的集合首先可以是空集，的等價(jià)形式主要有：。2交集：由兩個(gè)集合的公共元素組成的集合，叫做這兩個(gè)集合的交集，記作，讀作A交B，如圖1-2所示。 圖1-2 圖1-3 圖1-43并集：由兩個(gè)集合所有元素組成的集合

4、，叫做這兩個(gè)集合的并集，記作，讀作A并B，如圖1-3所示。4補(bǔ)集：由所有不屬于的元素組成的集合，叫做在全集中的補(bǔ)集，記作，讀作A補(bǔ)，如圖1-4所示。德摩根公式 ：.(四) 區(qū)間表示法：數(shù)軸上的一段數(shù)組成的集合可以用區(qū)間表示，區(qū)間分為開(kāi)區(qū)間和閉區(qū)間，開(kāi)區(qū)間用小括號(hào)表示，是大于或小于的意思；閉區(qū)間用中括號(hào)表示，是大于等于或小于等于的意思；【例】(2，3)，2,3，(2,3，2，3第二章 函數(shù)一 映射與函數(shù)的基本概念(一) 映 射A集合中的每個(gè)元素按照某種對(duì)應(yīng)法則在B集合中都能找到唯一的元素和它對(duì)應(yīng)，這種對(duì)應(yīng)關(guān)系叫做從A集合到B集合的映射。A中的元素叫做原象，B中的相應(yīng)元素叫做象。在A到B的映射中，

5、從A中元素到B中元素的對(duì)應(yīng)，可以多對(duì)一，不可以一對(duì)多。 圖2-1是映射 圖2-2是一一映射 圖2-3不是映射()求映射(或一一映射)的個(gè)數(shù)，m個(gè)元素的集合到n個(gè)元素的集合的映射的個(gè)數(shù)是nm。()判斷是映射或不是映射：可以多對(duì)一，不可以一對(duì)多。(二) 函數(shù)的概念定義域到值域的映射叫做函數(shù)。如圖2-4。高中階段，函數(shù)用f(x)來(lái)表示：即x按照對(duì)應(yīng)法則f對(duì)應(yīng)的函數(shù)值為f(x)函數(shù)有解析式和圖像兩種具體的表示形式。偶爾也用表格表示函數(shù)。函數(shù)三要素：定義域A：x取值范圍組成的集合。值域B：y取值范圍組成的集合。對(duì)應(yīng)法則f：y與x的對(duì)應(yīng)關(guān)系。有解析式和圖像和映射三種表示形式 函數(shù)與普通映射的區(qū)別在于：(1

6、)兩個(gè)集合必須是數(shù)集； (2)不能有剩余的象，即每個(gè)函數(shù)值y都能找到相應(yīng)的自變量x與其對(duì)應(yīng)。 圖2-4 二 定義域題型 (一) 具體函數(shù)：即有明確解析式的函數(shù)，定義域的考查有兩種形式直接考查：主要考解不等式。利用：在中；在中，；在中，；在中，；在中， ；在 與中且，列不等式求解。(二)抽象函數(shù)：只要對(duì)應(yīng)法則相同，括號(hào)里整體的取值范圍就完全相同。三 值域題型(一) 常規(guī)函數(shù)求值域：畫(huà)圖像，定區(qū)間，截段。常規(guī)函數(shù)有：一次函數(shù)，二次函數(shù)，反比例函數(shù)，指數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)，三角函數(shù)，對(duì)號(hào)函數(shù)。(二) 非常規(guī)函數(shù)求值域：想法設(shè)法變形成常規(guī)函數(shù)求值域。解題步驟：(1)換元變形；(2)求變形完的常規(guī)函數(shù)的自變量取值

7、范圍；(3)畫(huà)圖像，定區(qū)間，截段。(三) 分式函數(shù)求值域 ：四種題型(1) ：則且。(2)：利用反表示法求值域。先反表示，再利用x的范圍解不等式求y的范圍。(3)： ，則且。(4)求的值域，當(dāng)時(shí)，用判別式法求值域。， 值域(四) 不可變形的雜函數(shù)求值域： 利用函數(shù)的單調(diào)性畫(huà)出函數(shù)趨勢(shì)圖像，定區(qū)間，截段。判斷單調(diào)性的方法：選擇填空題首選復(fù)合函數(shù)法，其次求導(dǎo)數(shù)；大題首選求導(dǎo)數(shù)，其次用定義。詳情見(jiàn)單調(diào)性部分知識(shí)講解。(五) 原函數(shù)反函數(shù)對(duì)應(yīng)求值域：原函數(shù)的定義域等于反函數(shù)值域，原函數(shù)值域等于反函數(shù)定義域。(六) 已知值域求系數(shù)：利用求值域的前五種方法寫(xiě)求值域的過(guò)程，將求出的以字母形式表示的值域與已知

8、值域?qū)φ涨笞帜溉≈祷蚍秶Ｋ?函數(shù)運(yùn)算法則（一） 指數(shù)運(yùn)算法則 運(yùn)用指數(shù)運(yùn)算法則，一般從右往左變形。（二） 對(duì)數(shù)運(yùn)算法則同底公式： 運(yùn)用對(duì)數(shù)運(yùn)算法則，同底的情況，一般從右往左變形。不同底公式： 運(yùn)用對(duì)數(shù)運(yùn)算法則，不同底的情況，先變成同底。五 函數(shù)解析式(一) 換元法：如f(2x + 3)=x2 + 3x + 5，求f(3-7x)，(設(shè)2x + 3=3-7t)。(二) 構(gòu)造法：如，求f(x)。(三) 待定系數(shù)法：通過(guò)圖像求出y=Asin(x +) + C中系數(shù)(四) 遞推：需利用奇偶性、對(duì)稱性、周期性的定義式或運(yùn)算式遞推。(五) 求原函數(shù)的反函數(shù)：先反表示，再x、y互換。六 常規(guī)函數(shù)的圖像常規(guī)函

9、數(shù)圖像主要有： 指數(shù)函數(shù)：逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)， 對(duì)數(shù)函數(shù)：逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，底數(shù)越來(lái)越大 底數(shù)越來(lái)越小冪函數(shù)：逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，指數(shù)越來(lái)越大。其他象限圖象看函數(shù)奇偶性確定。七 函數(shù)的單調(diào)性(一) 定義：在給定區(qū)間范圍內(nèi)，如果x越大y越大，那么原函數(shù)為增函數(shù)；如果x越大y越小，那么原函數(shù)為減函數(shù)。(二) 單調(diào)性題型：1.求單調(diào)性區(qū)間：先找到最基本函數(shù)單元的單調(diào)區(qū)間，用復(fù)合函數(shù)法判斷函數(shù)在這個(gè)區(qū)間的單調(diào)性，從而確定單調(diào)區(qū)間。復(fù)合函數(shù)法： ：當(dāng)0 x 1時(shí)，x，x2，- x2，2.判斷單調(diào)性 (1).求導(dǎo)函數(shù)：為增函數(shù)，為減函數(shù)(2).利用定義：設(shè)x1x 0時(shí)，有.或.無(wú)理不等式：(1) .(2).(3)(三)指數(shù)不等

10、式 對(duì)數(shù)不等式不等號(hào)兩邊同時(shí)取指數(shù)或同時(shí)取對(duì)數(shù)，變成相同的形式后，再換元成有理不等式求解。(1)當(dāng)時(shí),; .(2)當(dāng)時(shí),;三 線性規(guī)劃線性規(guī)劃，出題現(xiàn)象如下： 設(shè)變量滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)的最大值為（ )A.4 B.11 C.12 D.14解題步驟：（1）把不等式組中的一次式看成直線，在平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)直線，標(biāo)明直線序號(hào)（2）依據(jù)以下結(jié)論確定平面區(qū)域：是點(diǎn)在直線上方（包括直線） 是點(diǎn)在直線下方（包括直線）；是點(diǎn)在直線上方（不包括直線）是點(diǎn)在直線下方（不包括直線）（3）確定目標(biāo)函數(shù)函數(shù)值的幾何意義 （4）若目標(biāo)函數(shù)值z(mì)表示截距，在已知區(qū)域內(nèi)平移目標(biāo)函數(shù)直線，找出使截距取最大值和最小值的端點(diǎn)，求

11、出端點(diǎn)坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)，得出z的最值。若目標(biāo)函數(shù)z表示距離或者距離的平方，精確作圖，在圖像中直接觀察距離的最大值與最小值相當(dāng)于是點(diǎn)與點(diǎn)的距離還是點(diǎn)與直線的距離，用距離公式直接求最值。若目標(biāo)函數(shù)z表示斜率，精確畫(huà)圖，利用求斜率取值范圍結(jié)論，求最值。導(dǎo)數(shù)一 導(dǎo)數(shù)的概念（一）導(dǎo)數(shù)的定義1.導(dǎo)數(shù)的原始定義：設(shè)函數(shù)在處附近有定義，如果時(shí)，與的比(也叫函數(shù)的平均變化率)有極限即無(wú)限趨近于某個(gè)常數(shù)，我們把這個(gè)極限值叫做函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)，記作，即2導(dǎo)函數(shù)的定義：如果函數(shù)在開(kāi)區(qū)間內(nèi)的每點(diǎn)處都有導(dǎo)數(shù)，此時(shí)對(duì)于每一個(gè)，都對(duì)應(yīng)著一個(gè)確定的導(dǎo)數(shù)，從而構(gòu)成了一個(gè)新的函數(shù), 稱這個(gè)函數(shù)為函數(shù)在開(kāi)區(qū)間內(nèi)的導(dǎo)函數(shù)，簡(jiǎn)稱導(dǎo)數(shù)。 （

12、二）導(dǎo)數(shù)的實(shí)際意義：1.導(dǎo)數(shù)的幾何意義：是曲線上點(diǎn)()處的切線的斜率因此，如果在點(diǎn)可導(dǎo)，則曲線在點(diǎn)()處的切線方程為2.導(dǎo)數(shù)的物理意義：導(dǎo)數(shù)是物體變速直線運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度，也叫做瞬時(shí)變化率。（三）概念部分題型：1.利用定義求函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 主要有三個(gè)步驟：(1)求函數(shù)的改變量(2)求平均變化率(3)取極限，得導(dǎo)數(shù) 2.利用導(dǎo)數(shù)的實(shí)際意義解題主要有兩種：求切線方程和瞬時(shí)速度，考試重點(diǎn)為求切線方程。二 導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算（一）常見(jiàn)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)1 2 3 4 56 7 8（二）導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算 1和差：2積： 3商： （三）復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：1運(yùn)算法則復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則為：2復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)的方法和步驟：求復(fù)合函數(shù)的

13、導(dǎo)數(shù)一定要抓住“中間變量”這一關(guān)鍵環(huán)節(jié)，然后應(yīng)用法則，由外向里一層層求導(dǎo)，注意不要漏層。 求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的方法步驟：(1)分清復(fù)合函數(shù)的復(fù)合關(guān)系，選好中間變量(2)運(yùn)用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，注意分清每次是哪個(gè)變量對(duì)哪個(gè)變量求導(dǎo)數(shù)(3)根據(jù)基本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則求出各函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，并把中間變量換成自變量的函數(shù) 三 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用（一）利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性及求解單調(diào)區(qū)間。1.導(dǎo)數(shù)和函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系： (1)若(x)0在(a，b)上恒成立，則f(x)在(a，b)上是增函數(shù)，(x)0的解集與定義域的交集的對(duì)應(yīng)區(qū)間為增區(qū)間；(2)若(x)0在(a，b)上恒成立，則f(x)在(a，b

14、)上是減函數(shù)，(x)0，則f(x)在對(duì)應(yīng)區(qū)間上是增函數(shù)，對(duì)應(yīng)區(qū)間為增區(qū)間；(x)0時(shí),和s總是趨向于一個(gè)定值,則該定值便稱為函數(shù)在上的定積分,記為，即 其中, 稱為函數(shù)在區(qū)間的積分和.2、定積分的幾何意義定積分在幾何上,當(dāng)時(shí),表示由曲線、直線、直線與軸所圍成的曲邊梯形的面積；當(dāng)時(shí)，表示由曲線、直線、直線與軸所圍成的曲邊梯形的面積的負(fù)值；一般情況下，表示介于曲線、兩條直線、與軸之間的個(gè)部分面積的代數(shù)和（二）微積分基本定理1、基本定理若函數(shù)在上連續(xù)，且存在原函數(shù)，即，則在上可積，且 這稱為牛頓一萊布尼茨公式，它也常寫(xiě)成 二、常用的不定積分公式： 1. 2. ()3. 4. (，)5. 6. 7.

15、8. 9. 10.12.13.14.本節(jié)主要考察利用積分的公式熟練的計(jì)算。復(fù)數(shù)一 復(fù)數(shù)的概念1.虛數(shù)單位：(1)它的平方等于-1，即；(2)實(shí)數(shù)可以與它進(jìn)行四則運(yùn)算，進(jìn)行四則運(yùn)算時(shí)，原有加、乘運(yùn)算律仍然成立2. 與1的關(guān)系: 就是1的一個(gè)平方根，即方程x2=1的一個(gè)根，方程x2=1的另一個(gè)根是3. 的周期性：4n+1=i, 4n+2=-1, 4n+3=-i, 4n=14. 復(fù)數(shù)的定義：形如的數(shù)叫復(fù)數(shù)，叫復(fù)數(shù)的實(shí)部，叫復(fù)數(shù)的虛部全體復(fù)數(shù)所成的集合叫做復(fù)數(shù)集，用字母C表示*5. 復(fù)數(shù)的代數(shù)形式: 復(fù)數(shù)通常用字母z表示，即，把復(fù)數(shù)表示成a+bi的形式，叫做復(fù)數(shù)的代數(shù)形式6.復(fù)數(shù)與實(shí)數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)及

16、0的關(guān)系：對(duì)于復(fù)數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)b=0時(shí)，復(fù)數(shù)a+bi(a、bR)是實(shí)數(shù)a；當(dāng)b0時(shí)，復(fù)數(shù)z=a+bi叫做虛數(shù)；當(dāng)a=0且b0時(shí)，z=bi叫做純虛數(shù)；當(dāng)且僅當(dāng)a=b=0時(shí)，z就是實(shí)數(shù)07. 復(fù)數(shù)集與其它數(shù)集之間的關(guān)系：NZQRC二 復(fù)數(shù)與復(fù)平面1. 兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的定義：如果兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部分別相等，那么我們就說(shuō)這兩個(gè)復(fù)數(shù)相等即：如果a，b，c，dR，那么a+bi=c+dia=c，b=d一般地，兩個(gè)復(fù)數(shù)只能說(shuō)相等或不相等，而不能比較大小如果兩個(gè)復(fù)數(shù)都是實(shí)數(shù)，就可以比較大小也只有當(dāng)兩個(gè)復(fù)數(shù)全是實(shí)數(shù)時(shí)才能比較大小2.復(fù)平面、實(shí)軸、虛軸：點(diǎn)Z的橫坐標(biāo)是a，縱坐標(biāo)是b，復(fù)數(shù)z=a+bi(a、bR)可用點(diǎn)

17、Z(a，b)表示，這個(gè)建立了直角坐標(biāo)系來(lái)表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面，也叫高斯平面，x軸叫做實(shí)軸，y軸叫做虛軸。實(shí)軸上的點(diǎn)都表示實(shí)數(shù) 對(duì)于虛軸上的點(diǎn)原點(diǎn)對(duì)應(yīng)的有序?qū)崝?shù)對(duì)為(0，0)， 它所確定的復(fù)數(shù)是z=0+0i=0表示是實(shí)數(shù)故除了原點(diǎn)外，虛軸上的點(diǎn)都表示純虛數(shù)復(fù)數(shù)集C和復(fù)平面內(nèi)所有的點(diǎn)所成的集合是一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，即復(fù)數(shù)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)這是因?yàn)?，每一個(gè)復(fù)數(shù)有復(fù)平面內(nèi)惟一的一個(gè)點(diǎn)和它對(duì)應(yīng)；反過(guò)來(lái)，復(fù)平面內(nèi)的每一個(gè)點(diǎn)，有惟一的一個(gè)復(fù)數(shù)和它對(duì)應(yīng)這就是復(fù)數(shù)的一種幾何意義也就是復(fù)數(shù)的另一種表示方法，即幾何表示方法三 復(fù)數(shù)的運(yùn)算1復(fù)數(shù)z1與z2的和的定義：z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d

18、)i2. 復(fù)數(shù)z1與z2的差的定義：z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i3. 復(fù)數(shù)的加法運(yùn)算滿足交換律: z1+z2=z2+z14. 復(fù)數(shù)的加法運(yùn)算滿足結(jié)合律: (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)5乘法運(yùn)算規(guī)則：設(shè)z1=a+bi，z2=c+di(a、b、c、dR)是任意兩個(gè)復(fù)數(shù)，那么它們的積(a+bi)(c+di)=(acbd)+(bc+ad)i其實(shí)就是把兩個(gè)復(fù)數(shù)相乘，類似兩個(gè)多項(xiàng)式相乘，在所得的結(jié)果中把i2換成1，并且把實(shí)部與虛部分別合并兩個(gè)復(fù)數(shù)的積仍然是一個(gè)復(fù)數(shù)6. 乘法運(yùn)算律：(1)z1(z2z3)=(z1z2)z3 ；(2)z1(z2+z3)=z1z

19、2+z1z3；(3)z1(z2+z3)=z1z2+z1z37. 除法運(yùn)算規(guī)則：8.共軛復(fù)數(shù)：當(dāng)兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部相等，虛部互為相反數(shù)時(shí)，這兩個(gè)復(fù)數(shù)叫做互為共軛復(fù)數(shù)虛部不等于0的兩個(gè)共軛復(fù)數(shù)也叫做共軛虛數(shù)復(fù)數(shù)z=a+bi和=abi(a、bR)互為共軛復(fù)數(shù)四 復(fù)數(shù)的幾何意義1. 復(fù)數(shù)加法的幾何意義：如果復(fù)數(shù)z1，z2分別對(duì)應(yīng)于向量、，那么，以O(shè)P1、OP2為兩邊作平行四邊形OP1SP2，對(duì)角線OS表示的向量就是z1+z2的和所對(duì)應(yīng)的向量 2. 復(fù)數(shù)減法的幾何意義：兩個(gè)復(fù)數(shù)的差zz1與連接這兩個(gè)向量終點(diǎn)并指向被減數(shù)的向量對(duì)應(yīng)3復(fù)數(shù)的模：第六章 概率一 事件（一）、在一定條件下，事先就能斷定發(fā)生或不發(fā)生某

20、種結(jié)果，這種現(xiàn)象叫做確定性現(xiàn)象（二）、在一定條件下，某種現(xiàn)象可能發(fā)生，也可能不發(fā)生，事先不能斷定出現(xiàn)哪種結(jié)果，這種現(xiàn)象叫做隨機(jī)現(xiàn)象（三）、必然會(huì)發(fā)生的事件叫做必然事件；肯定不會(huì)發(fā)生的事件叫做不可能事件；在一定條件下，可能發(fā)生，也可能不發(fā)生的事件，叫做隨機(jī)事件二 概率在相同條件下，隨著試驗(yàn)次數(shù)的增多，隨機(jī)事件發(fā)生的頻率會(huì)在某個(gè)常數(shù)附近擺動(dòng)并趨于穩(wěn)定，我們可以用這個(gè)常數(shù)來(lái)刻畫(huà)該隨機(jī)事件發(fā)生的可能性大小，而將頻率作為其近似值。1.概率： 一般地，如果隨機(jī)事件在次試驗(yàn)中發(fā)生了次，當(dāng)試驗(yàn)的次數(shù)很大時(shí)，我們可以將發(fā)生的頻率作為事件發(fā)生的概率的近似值，即2概率的性質(zhì)： 隨機(jī)事件的概率為，必然事件和不可能事件

21、看作隨機(jī)事件的兩個(gè)特例，分別用和表示，必然事件的概率為，不可能事件的概率為，即，;3.（1）頻率的穩(wěn)定性 即大量重復(fù)試驗(yàn)時(shí)，任何結(jié)果（事件）出現(xiàn)的頻率盡管是隨機(jī)的，卻“穩(wěn)定”在某一個(gè)常數(shù)附近，試驗(yàn)的次數(shù)越多，頻率與這個(gè)常數(shù)的偏差大的可能性越小，這一常數(shù)就成為該事件的概率;（2）“頻率”和“概率”這兩個(gè)概念的區(qū)別是：頻率具有隨機(jī)性，它反映的是某一隨機(jī)事件出現(xiàn)的頻繁程度，它反映的是隨機(jī)事件出現(xiàn)的可能性；概率是一個(gè)客觀常數(shù)，它反映了隨機(jī)事件的屬性.1.隨機(jī)事件的概率：我們已經(jīng)學(xué)習(xí)用概率表示一個(gè)事件在一次試驗(yàn)或觀測(cè)中發(fā)生的可能性的大小，它是在之間的一個(gè)數(shù)，將這個(gè)事件記為，用表示事件發(fā)生的概率.三 古典

22、概型1、基本事件： 一次試驗(yàn)連同其中可能出現(xiàn)的每一個(gè)結(jié)果稱為一個(gè)基本事件2、等可能基本事件：若在一次試驗(yàn)中，每個(gè)基本事件發(fā)生的可能性都相同，則稱這些基本事件為等可能基本事件。3、如果一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)滿足：（1）試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個(gè)；（2）每個(gè)基本事件的發(fā)生都是等可能的； 那么，我們稱這個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)的概率模型為古典概型4、古典概型的概率：如果一次試驗(yàn)的等可能事件有個(gè)，那么，每個(gè)等可能基本事件發(fā)生的概率都是；如果某個(gè)事件包含了其中個(gè)等可能基本事件，那么事件發(fā)生的概率為5、古典概型解題步驟：閱讀題目，搜集信息；判斷是否是等可能事件，并用字母表示事件；求出基本事件總數(shù)和事件所包含的結(jié)果數(shù)；

23、用公式求出概率并下結(jié)論.四 幾何概型幾何概型的概念：對(duì)于一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，我們將每個(gè)基本事件理解為從某個(gè)特定的幾何區(qū)域內(nèi)隨機(jī)地取一點(diǎn)，該區(qū)域中每一點(diǎn)被取到的機(jī)會(huì)都一樣；而一個(gè)隨機(jī)事件的發(fā)生則理解為恰好取到上述區(qū)域內(nèi)的某個(gè)指定區(qū)域中的點(diǎn)這里的區(qū)域可以是線段，平面圖形，立體圖形等用這種方法處理隨機(jī)試驗(yàn)，稱為幾何概型幾何概型的基本特點(diǎn)：（）試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果(基本事件)有無(wú)限多個(gè)；（）每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等幾何概型的概率：一般地，在幾何區(qū)域中隨機(jī)地取一點(diǎn)，記事件該點(diǎn)落在其內(nèi)部一個(gè)區(qū)域內(nèi)為事件，則事件發(fā)生的概率說(shuō)明：（）的測(cè)度不為；（）其中測(cè)度的意義依確定，當(dāng)分別是線段，平面圖形，立體圖形時(shí)，

24、相應(yīng)的測(cè)度分別是長(zhǎng)度，面積和體積（）區(qū)域?yàn)殚_(kāi)區(qū)域；（）區(qū)域內(nèi)隨機(jī)取點(diǎn)是指：該點(diǎn)落在區(qū)域內(nèi)任何一處都是等可能的，落在任何部分的可能性大小只與該部分的測(cè)度成正比而與其形狀位置無(wú)關(guān)第十八章 計(jì)數(shù)原理(理科)一 分類、分步原理（一）分類原理：.分類原理題型比較雜亂，須累積現(xiàn)象。幾種常見(jiàn)的現(xiàn)象有：1開(kāi)關(guān)現(xiàn)象:要根據(jù)開(kāi)啟或閉合開(kāi)關(guān)的個(gè)數(shù)分類2數(shù)圖形個(gè)數(shù):根據(jù)圖形是由幾個(gè)單一圖形組合而成進(jìn)行分類求情況數(shù)3球賽得分：根據(jù)勝或負(fù)場(chǎng)次進(jìn)行分類（二）分步原理：.兩種典型現(xiàn)象：1涂顏色(1)平面圖涂顏色:先涂接觸區(qū)域最多的一塊(2)立體圖涂顏色：先涂具有同一頂點(diǎn)的幾個(gè)平面，其他平面每步涂法分類列舉2映射按步驟用A集合

25、的每一個(gè)元素到B集合里選一個(gè)元素，可以重復(fù)選。 二 排列組合（一）常規(guī)題型求情況數(shù)1.直接法：先排(選)特殊元素，再排(選)一般元素。捆綁法，插空法。2.間接法：先算總情況數(shù)，再排除不符合條件的情況數(shù)。（二）七種?？挤浅Ｒ?guī)現(xiàn)象1小數(shù)量事件需要分類列舉：凡不可使用公式且估計(jì)情況數(shù)較少，要分類一一列舉(例1，例2)2相同元素的排列：用組合數(shù)公式選出位置把相同元素放進(jìn)去，不用排順序(例3例4)3有序元素的排列: 用組合數(shù)公式選出位置把有序元素放進(jìn)去，不用排順序(例5例6)4剩余元素分配：有互不相同的剩余元素需要分配時(shí)，用隔板法。(例7例8)5邁步與網(wǎng)格現(xiàn)象: (例9例10)要看一共走幾步，把特殊的幾

26、步選出來(lái)，有幾種選法就有幾種情況6立體幾何與解析幾何現(xiàn)象：多數(shù)用排除法求情況數(shù)(例11)7平均分組現(xiàn)象: (例12例13)先用分步原理選出每一組的元素，再除以因?yàn)槠骄纸M算重復(fù)的倍數(shù)，平均分n組，就除以，有幾套平均分組就除幾個(gè)（三）排列數(shù)，組合數(shù)公式運(yùn)算的考察1.排列數(shù)公式 =.(，N*，且)注:規(guī)定.2. 排列恒等式 (1);(2);(3); (4);(5).(6) .3. 組合數(shù)公式 =(N*，且).4. 組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì)(1)= ;(2) +=.注:規(guī)定.5. 組合恒等式(1);(2);(3); (4)=;(5).(6).(7).(8).(9).(10).6. 排列數(shù)與組合數(shù)的關(guān)系 .三

27、 二項(xiàng)式定理（一） 公式1二項(xiàng)式定理：.展開(kāi)式具有以下特點(diǎn)： 項(xiàng)數(shù)：共有項(xiàng)； 系數(shù)：依次為組合數(shù) 每一項(xiàng)的次數(shù)是一樣的，即為次，展開(kāi)式依的降冪排列，的升冪排列展開(kāi).2二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng).展開(kāi)式中的第項(xiàng)為：解三角形一 正弦定理（一）知識(shí)與工具：正弦定理：在ABC中，。在這個(gè)式子當(dāng)中，已知兩邊和一角或已知兩角和一邊，可以求出其它所有的邊和角。注明：正弦定理的作用是進(jìn)行三角形中的邊角互化，在變形中，注意三角形中其他條件的應(yīng)用：(1)三內(nèi)角和為180 (2)兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊(3)面積公式：S=absinC=2R2sinAsinBsinC (4)三角函數(shù)的恒等變形。sin(A+B)=

28、sinC，cos(A+B)=-cosC ，sin=cos，cos=sin（二）題型 使用正弦定理解三角形共有三種題型題型1 利用正弦定理公式原型解三角形題型2 利用正弦定理公式的變形(邊角互化)解三角形：關(guān)于邊或角的齊次式可以直接邊角互化。例如：題型3 三角形解的個(gè)數(shù)的討論方法一：畫(huà)圖看方法二：通過(guò)正弦定理解三角形，利用三角形內(nèi)角和與三邊的不等關(guān)系檢驗(yàn)解出的結(jié)果是否符合實(shí)際意義，從而確定解的個(gè)數(shù)。二 余弦定理（一）知識(shí)與工具：a2=b2+c22bccosA cosA=b2=a2+c22accosB cosB=c2=a2+b22abcosC cosC=注明：余弦定理的作用是進(jìn)行三角形中的邊角互化

29、，當(dāng)題中含有二次項(xiàng)時(shí)，常使用余弦定理。在變形中，注意三角形中其他條件的應(yīng)用：(1)三內(nèi)角和為180；(2)兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊。(3)面積公式：S=absinC=2R2sinAsinBsinC(4)三角函數(shù)的恒等變形。（二）題型使用余弦定理解三角形共有三種現(xiàn)象的題型題型1 利用余弦定理公式的原型解三角形題型2 利用余弦定理公式的變形(邊角互換)解三角形：凡在同一式子中既有角又有邊的題，要將所有角轉(zhuǎn)化成邊或所有邊轉(zhuǎn)化成角，在轉(zhuǎn)化過(guò)程中需要構(gòu)造公式形式。題型3 判斷三角形的形狀該：結(jié)論：根據(jù)余弦定理，當(dāng)a2+b2c2、b2+c2a2、c2+a2b2中有一個(gè)關(guān)系式成立時(shí)，該三角形為

30、鈍角三角形，而當(dāng)a2+b2c2、b2+c2a2，c2+a2b2中有一種關(guān)系式成立時(shí)，并不能得出該三角形為銳角三角形的結(jié)論。判斷三角形形狀的方法：(1)將已知式所有的邊和角轉(zhuǎn)化為邊邊關(guān)系，通過(guò)因式分解、配方等得出邊的相應(yīng)關(guān)系，從而判斷三角形的形狀。(2)將已知式所有的邊和角轉(zhuǎn)化為內(nèi)角三角函數(shù)間的關(guān)系，通過(guò)三角恒等變形，得出內(nèi)角的關(guān)系，從而判斷出三角形的形狀，這時(shí)要注意使用A+B+C=這個(gè)結(jié)論。在兩種解法的等式變形中，一般兩邊不要約去公因式，應(yīng)移項(xiàng)提取出公因式，以免漏解。正余弦定理在實(shí)際中的應(yīng)用求距離兩點(diǎn)間不可通又不可視兩點(diǎn)間可視但不可達(dá)兩點(diǎn)都不可達(dá)求高度底部可達(dá)底部不可達(dá)題型1 計(jì)算高度 題型2

31、 計(jì)算距離 題型3 計(jì)算角度 題型4 測(cè)量方案的設(shè)計(jì)實(shí)際應(yīng)用題型的本質(zhì)就是解三角形，無(wú)論是什么樣的現(xiàn)象，都要首先畫(huà)出三角形的模型，再通過(guò)正弦定理和余弦定理進(jìn)行求解。（三）其他常見(jiàn)結(jié)論1三角形內(nèi)切圓的半徑：，特別地，2三角學(xué)中的射影定理：在ABC 中，3兩內(nèi)角與其正弦值：在ABC 中，第十七章 空間向量（理科）一 空間向量的線性運(yùn)算知識(shí)點(diǎn)1. 空間向量的概念：在空間，我們把具有大小和方向的量叫做向量。注：(1)向量一般用有向線段表示同向等長(zhǎng)的有向線段表示同一或相等的向量。(2)空間的兩個(gè)向量可用同一平面內(nèi)的兩條有向線段來(lái)表示。2. 空間向量的運(yùn)算定義：與平面向量運(yùn)算一樣，空間向量的加法、減法與數(shù)

32、乘運(yùn)算如下(如下圖)。 ;運(yùn)算律：加法交換律：加法結(jié)合律：數(shù)乘分配律：二 空間向量的基本定理知識(shí)點(diǎn)1. 共線向量(1)如果表示空間向量的有向線段所在的直線平行或重合，那么這些向量也叫做共線向量或平行向量，平行于，記作。當(dāng)我們說(shuō)向量、共線(或/)時(shí)，表示、的有向線段所在的直線可能是同一直線，也可能是平行直線。(2)共線向量定理：空間任意兩個(gè)向量、()，/存在實(shí)數(shù)，使。深化：(1)對(duì)于空間中的任意兩個(gè)向量來(lái)說(shuō)都是共面的，但三個(gè)向量不一定共面(2)當(dāng)p、a、b都是非零向量時(shí)，共面向量定理實(shí)際上也是p、a、b所在的三條直線共面的充要條件，但用于判定時(shí)，還需證明其中一條直線上有一點(diǎn)在另外兩直線確定的平面

33、內(nèi)2. 共面向量(1)定義：一般地，能平移到同一平面內(nèi)的向量叫做共面向量。說(shuō)明：空間任意的兩向量都是共面的。(2)共面向量定理：如果兩個(gè)向量不共線，與向量共面的條件是存在實(shí)數(shù)使。3. 空間向量基本定理：如果三個(gè)向量不共面，那么對(duì)空間任一向量，存在一個(gè)唯一的有序?qū)崝?shù)組，使。若三向量不共面，我們把叫做空間的一個(gè)基底，叫做基向量，空間任意三個(gè)不共面的向量都可以構(gòu)成空間的一個(gè)基底。推論：設(shè)是不共面的四點(diǎn)，則對(duì)空間任一點(diǎn)，都存在唯一的三個(gè)有序?qū)崝?shù)，使。深化：(1)如果三個(gè)向量a、b、c不共面，那么所有空間向量所組成的集合就是p|pxaybzc，x、y、zR這個(gè)集合可看作是由向量a、b、c生成的，所以我們

34、把a(bǔ)，b，c叫做空間的一個(gè)基底，a、b、c都叫做基向量由上述定理可知，空間任意三個(gè)不共面的向量都可構(gòu)成空間的一個(gè)基底(2)推論中，若xyz，則根據(jù)共面向量定理得：P、A、B、C四點(diǎn)共面故可看成平面ABC的一個(gè)向量參數(shù)方程，其中x, y，z為參數(shù).三 向量的數(shù)量積(一)平面向量(二) 空間向量(1)空間向量的夾角及其表示：已知兩非零向量，在空間任取一點(diǎn)，作，則叫做向量與的夾角，記作；且規(guī)定，顯然有；若，則稱與互相垂直，記作：。(2)向量的模：設(shè)，則有向線段的長(zhǎng)度叫做向量的長(zhǎng)度或模，記作：。(3)向量的數(shù)量積：已知向量，則叫做的數(shù)量積，記作，即。(4)空間向量數(shù)量積的性質(zhì)：；。(5)空間向量數(shù)量積

35、運(yùn)算律：；(交換律)；(分配律)。四 空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算1.空間直角坐標(biāo)系：(1)若空間的一個(gè)基底的三個(gè)基向量互相垂直，且長(zhǎng)為，這個(gè)基底叫單位正交基底，用表示；(2)在空間選定一點(diǎn)和一個(gè)單位正交基底，以點(diǎn)為原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)檎较蚪⑷龡l數(shù)軸：軸、軸、軸，它們都叫坐標(biāo)軸我們稱建立了一個(gè)空間直角坐標(biāo)系，點(diǎn)叫原點(diǎn)，向量 都叫坐標(biāo)向量通過(guò)每?jī)蓚€(gè)坐標(biāo)軸的平面叫坐標(biāo)平面，分別稱為平面，平面，平面；(3)作空間直角坐標(biāo)系時(shí)，一般使(或)，；(4)在空間直角坐標(biāo)系中，讓右手拇指指向軸的正方向，食指指向軸的正方向，如果中指指向軸的正方向，稱這個(gè)坐標(biāo)系為右手直角坐標(biāo)系規(guī)定立幾中建立的坐標(biāo)系為右手直角坐標(biāo)系

36、2空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)：如圖給定空間直角坐標(biāo)系和向量，設(shè)為坐標(biāo)向量，則存在唯一的有序?qū)崝?shù)組，使，有序?qū)崝?shù)組叫作向量在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記作在空間直角坐標(biāo)系中，對(duì)空間任一點(diǎn)，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組，使，有序?qū)崝?shù)組叫作向量在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記作，叫橫坐標(biāo)，叫縱坐標(biāo)，叫豎坐標(biāo)如上圖3空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算律：(1)如右圖：若，則， ，(2)若，則一個(gè)向量在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)等于表示這個(gè)向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去起點(diǎn)的坐標(biāo)如右圖。立體幾何一 平行關(guān)系（一） 線線平行(圖3-1) 1如果兩條線都平行于第三條線，那么這兩條線 相互平行.2如果一條線平行于另一個(gè)平面，那么這條線就 平行于過(guò)

37、這條線的平面與已知平面的交線. 圖3-13如果兩個(gè)平面平行，那么另一個(gè)平面與這兩個(gè)平面的交線互相平行.4如果兩條直線都和另一個(gè)平面垂直，那 么這兩條直線平行.5在同一平面內(nèi)，如果兩條直線垂直于同一條直線，那么這兩條直線平行.（二） 線面平行(圖3-2)1如果平面外一條直線平行于平面內(nèi)的一條直線，那么直線與平面平行. 圖3-22如果兩個(gè)平面平行，一個(gè)平面內(nèi)的任何一條直 線平行于另一個(gè)平面 3如果平面與平面外一條直線同時(shí)垂直于另一條直線，那么線面平行4如果平面與平面外一條直線同時(shí)垂直于另一個(gè)平面，那么線面平行（三） 面面平行(圖3-3)1.如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線平行于另一個(gè)平面，那么面面平行

38、 2.如果兩個(gè)平面都平行于第三個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行。 3.如果兩個(gè)平面同時(shí)垂直于同一條直線，那么這兩個(gè)平面平行 圖3-3 二 垂直關(guān)系大部分都是通過(guò)垂直證垂直；不能證明的時(shí)候，平移到另一個(gè)位置證垂直。 （一） 線線垂直 如果一條直線垂直于一個(gè)平面，那么這條直線垂直于這個(gè)平面內(nèi)的任何一條直線。 （二） 線面垂直1如果一條直線垂直于平面內(nèi)兩條相交的直線，那么這條直線就垂直于兩條相交直線所在的平面2如果兩個(gè)平面垂直，在其中一個(gè)平面內(nèi)，垂直于公共棱的直線垂直于另一個(gè)平面（三） 面面垂直 (如圖3-4)1過(guò)一個(gè)平面垂線的平面垂直于已知平面 2二面角為直角的兩個(gè)平面垂直 （四） 不能直接證垂直的情況

39、 1把已知線或面平移到容易證明垂直的位置2找和已知線或面平行的線或面證垂直 圖3-4三 距離問(wèn)題1能做出垂線段的直接求距離，垂足一定是特殊點(diǎn)(頂點(diǎn)，中點(diǎn)，內(nèi)心，外心)或在特殊直線(棱或?qū)蔷€)上2不能做出垂線段的，轉(zhuǎn)移后求距離：點(diǎn)到面 線到面 面到面3等體積性：，找到三個(gè)量就可以求出另一個(gè)量。四 多面體概念辨析與邊長(zhǎng)、面積、體積（一） 題型分類總描述概念辨析：主要考查的是四棱柱，平行六面體，直平行六面體，長(zhǎng)方體，正四棱柱，正方體系列概念的對(duì)比，或正四面體，正四棱錐系列。邊長(zhǎng)：將邊長(zhǎng)放于三角形中解三角形。正弦定理，余弦定理，勾股定理。面積：找底和高體積：一般底面積好求，高看成是距離用上文“求距離

40、”的方法求。（二）棱柱1概念棱柱的概念：有兩個(gè)面互相平行，其余每相鄰兩個(gè)面的交線互相平行，這樣的多面體叫棱柱。兩個(gè)互相平行的面叫棱柱的底面(簡(jiǎn)稱底)；其余各面叫棱柱的側(cè)面；兩側(cè)面的公共邊叫棱柱的側(cè)棱；兩底面所在平面的公垂線段叫棱柱的高(公垂線段長(zhǎng)也簡(jiǎn)稱高)2棱柱的分類：(1)總體分類：a.棱柱：棱柱的底面可以是三角形、四邊形、五邊形這樣的棱柱分別叫三棱柱、四棱柱、五棱柱b.直棱柱：側(cè)棱不垂直于底面的棱柱叫斜棱柱；側(cè)棱垂直于底面的棱柱叫直棱柱。c.正棱柱：底面是正多邊形的直棱柱叫正棱柱。例： 正四棱柱(2)四棱柱分類：a.普通四棱柱：上下底面是四邊形的棱柱。如圖3-5 b.平行六面體：底面是平行四邊形的四棱柱是平行六面體。如圖3-6c.直平行六面體：側(cè)棱與底面垂直的平行六面體叫直平行六面體。如圖3-7 d.長(zhǎng)方體：底面是矩形的直平行六面體是長(zhǎng)方體。如圖3-8e.正四棱柱：底面是正方形的直四棱柱f.正方體：棱長(zhǎng)都相等的長(zhǎng)方體叫正方體。如圖3-9 圖3-5