辛不等式恒成立問(wèn)題中的參數(shù)求解技巧

1、辛不等式恒成立問(wèn)題中的參數(shù)求解技巧 其方法大致有：用一元二次方程根的判別式，參數(shù)大于最大值或小于最小值，變更主元利用函數(shù)與方程的思想求解。本文通過(guò)實(shí)例，從不同角度用常規(guī)方法歸納。一、用一元二次方程根的判別式例1 對(duì)于xR，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。解：不妨設(shè)，其函數(shù)圖象是開口向上的拋物線，為了使，只需，即，解得。變形：若對(duì)于xR，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。此題需要對(duì)m的取值進(jìn)行討論，設(shè)。當(dāng)m=0時(shí)，3>0，顯然成立。當(dāng)m>0時(shí)，則<0。當(dāng)m<0時(shí)，顯然不等式不恒成立。由知。關(guān)鍵點(diǎn)撥：對(duì)于有關(guān)二次不等式（或<0）的問(wèn)題，可設(shè)函數(shù)，由a的符號(hào)確定其拋物

2、線的開口方向，再根據(jù)圖象與x軸的交點(diǎn)問(wèn)題，由判別式進(jìn)行解決。例2 已知函數(shù)，在時(shí)恒有，求實(shí)數(shù)k的取值范圍。解：令，則對(duì)一切恒成立，而是開口向上的拋物線。當(dāng)圖象與x軸無(wú)交點(diǎn)滿足<0，即，解得2<k<1。當(dāng)圖象與x軸有交點(diǎn)，且在時(shí)，只需由知關(guān)鍵點(diǎn)撥：為了使在恒成立，構(gòu)造一個(gè)新函數(shù)是解題的關(guān)鍵，再利用二次函數(shù)的圖象性質(zhì)進(jìn)行分類討論，使問(wèn)題得到圓滿解決。二、參數(shù)大于最大值或小于最小值如果能夠?qū)?shù)分離出來(lái)，建立起明確的參數(shù)和變量x的關(guān)系，則可以利用函數(shù)的單調(diào)性求解。恒成立，即大于時(shí)大于函數(shù)值域的上界。恒成立，即小于時(shí)小于函數(shù)值域的下界。例3 已知二次函數(shù)，如果x0，1時(shí)，求實(shí)數(shù)a的取

3、值范圍。解：x0，1時(shí)，即當(dāng)x=0時(shí)，aR當(dāng)x時(shí)，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為恒成，由恒成立，即求的最大值。設(shè)。因?yàn)闇p函數(shù)，所以當(dāng)x=1時(shí)，可得。由恒成立，即求的最小值。設(shè)。因?yàn)樵龊瘮?shù)，所以當(dāng)x=1時(shí)，可得a0。由知。關(guān)鍵點(diǎn)撥：在閉區(qū)間0，1上使分離出a，然后討論關(guān)于的二次函數(shù)在上的單調(diào)性。例4 若不等式在x1，2時(shí)恒成立，試求a的取值范圍。解：由題設(shè)知，得a>0，可知a+x>1，所以。原不等式變形為。，即。又，可得恒成立。設(shè)，在x1，2上為減函數(shù)，可得，知。綜上知。關(guān)鍵點(diǎn)撥：將參數(shù)a從不等式中分離出來(lái)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵。例5 是否存在常數(shù)c使得不等式，對(duì)任意正數(shù)x、y恒成立？試證明你的結(jié)論。解：首先

4、，欲使恒成立（x、y>0），進(jìn)行換元令。上述不等式變?yōu)?，即恒成立。尋求的最小值，由a>0，b>0，利用基本不等式可得。同理欲使恒成立，令，得上述不等式變?yōu)?，即。尋求的最大值，易得。綜上知存在使上述不等式恒成立關(guān)鍵點(diǎn)撥：本題是兩邊夾的問(wèn)題，利用基本不等式，右邊尋找最小值，左邊尋找最大值，可得c=三、變更主元在解含參不等式時(shí)，有時(shí)若能換一個(gè)角度，變參數(shù)為主元，可以得到意想不到的效果，使問(wèn)題能更迅速地得到解決。例6 若不等式，對(duì)滿足所有的x都成立，求x的取值范圍。解：原不等式可化為令是關(guān)于m的一次函數(shù)。由題意知解得x的取值范圍是關(guān)鍵點(diǎn)撥：利用函數(shù)思想，變換主元，通過(guò)直線方程的性質(zhì)求

5、解。例7 已知是定義在1，1上的奇函數(shù)且，若a、b1，1，a+b0，有。（1）判斷函數(shù)在1，1上是增函數(shù)還是減函數(shù)。（2）解不等式。（3）若對(duì)所有、a1，1恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。解：（1）設(shè)，則，可知，所以在1，1上是增函數(shù)。（2）由在1，1上是增函數(shù)知解得，故不等式的解集（3）因?yàn)樵?，1上是增函數(shù)，所以，即1是的最大值。依題意有，對(duì)a1，1恒成立，即恒成立。令，它的圖象是一條線段，那么。關(guān)鍵點(diǎn)撥：對(duì)于（1），抽象函數(shù)單調(diào)性的證明往往借助定義，利用拼湊條件，判斷差的符號(hào)。對(duì)于（2），后一步解不等式往往是上一步單調(diào)性的繼續(xù)，通過(guò)單調(diào)性、函數(shù)值的大小轉(zhuǎn)化到自變量的大小上來(lái)。對(duì)于（3），轉(zhuǎn)換

6、視角變更主元，把看作關(guān)于a的一次函數(shù)，即在a1，1上大于等于0，利用是一條直線這一圖象特征，數(shù)形結(jié)合得關(guān)于m的不等式組，從而求得m的范圍。專題研究之二（不等式中恒成立問(wèn)題的解法研究）在不等式的綜合題中，經(jīng)常會(huì)遇到當(dāng)一個(gè)結(jié)論對(duì)于某一個(gè)字母的某一個(gè)取值范圍內(nèi)所有值都成立的恒成立問(wèn)題。恒成立問(wèn)題的基本類型：類型1：設(shè)，（1）上恒成立；（2）上恒成立。類型2：設(shè)（1）當(dāng)時(shí)，上恒成立，上恒成立（2）當(dāng)時(shí)，上恒成立上恒成立類型3：。類型4： 恒成立問(wèn)題的解題的基本思路是：根據(jù)已知條件將恒成立問(wèn)題向基本類型轉(zhuǎn)化，正確選用函數(shù)法、最小值法、數(shù)形結(jié)合等解題方法求解。一、用一次函數(shù)的性質(zhì) 對(duì)于一次函數(shù)有：例1：若

7、不等式對(duì)滿足的所有都成立，求x的范圍。解析：我們可以用改變主元的辦法，將m視為主變?cè)?，即將元不等式化為：，；令，則時(shí)，恒成立，所以只需即，所以x的范圍是。二、利用一元二次函數(shù)的判別式 對(duì)于一元二次函數(shù)有：（1）上恒成立；（2）上恒成立例2：若不等式的解集是R，求m的范圍。解析：要想應(yīng)用上面的結(jié)論，就得保證是二次的，才有判別式，但二次項(xiàng)系數(shù)含有參數(shù)m，所以要討論m-1是否是0。（1）當(dāng)m-1=0時(shí)，元不等式化為2>0恒成立，滿足題意；（2）時(shí)，只需，所以，。三、利用函數(shù)的最值（或值域）（1）對(duì)任意x都成立；（2）對(duì)任意x都成立。簡(jiǎn)單計(jì)作：“大的大于最大的，小的小于最小的”。由此看出，本類問(wèn)

8、題實(shí)質(zhì)上是一類求函數(shù)的最值問(wèn)題。例3：在ABC中，已知恒成立，求實(shí)數(shù)m的范圍。解析：由，恒成立，即恒成立，例4：（1）求使不等式恒成立的實(shí)數(shù)a的范圍。解析：由于函，顯然函數(shù)有最大值，。如果把上題稍微改一點(diǎn)，那么答案又如何呢？請(qǐng)看下題：（2）求使不等式恒成立的實(shí)數(shù)a的范圍。解析：我們首先要認(rèn)真對(duì)比上面兩個(gè)例題的區(qū)別，主要在于自變量的取值范圍的變化，這樣使得的最大值取不到，即a取也滿足條件，所以。 所以，我們對(duì)這類題要注意看看函數(shù)能否取得最值，因?yàn)檫@直接關(guān)系到最后所求參數(shù)a的取值。利用這種方法時(shí)，一般要求把參數(shù)單獨(dú)放在一側(cè)，所以也叫分離參數(shù)法。四：數(shù)形結(jié)合法 對(duì)一些不能把數(shù)放在一側(cè)的，可以利用對(duì)應(yīng)

9、函數(shù)的圖象法求解。例5：已知，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。解析：由，在同一直角坐標(biāo)系中做出兩個(gè)函數(shù)的圖象，如果兩個(gè)函數(shù)分別在x=-1和x=1處相交，則由得到a分別等于2和0.5，并作出函數(shù)的圖象，所以，要想使函數(shù)在區(qū)間中恒成立，只須在區(qū)間對(duì)應(yīng)的圖象在在區(qū)間對(duì)應(yīng)圖象的上面即可。當(dāng)才能保證，而才可以，所以。 由此可以看出，對(duì)于參數(shù)不能單獨(dú)放在一側(cè)的，可以利用函數(shù)圖象來(lái)解。利用函數(shù)圖象解題時(shí)，思路是從邊界處（從相等處）開始形成的。例6：若當(dāng)P(m,n)為圓上任意一點(diǎn)時(shí)，不等式恒成立，則c的取值范圍是（ ）A、 B、 C、 D、解析：由，可以看作是點(diǎn)P(m,n)在直線的右側(cè)，而點(diǎn)P(m,n)在圓上，實(shí)質(zhì)相當(dāng)于

10、是在直線的右側(cè)并與它相離或相切。，故選D。 其實(shí)在習(xí)題中，我們也給出了一種解恒成立問(wèn)題的方法，即求出不等式的解集后再進(jìn)行處理。 以上介紹了常用的五種解決恒成立問(wèn)題。其實(shí)，對(duì)于恒成立問(wèn)題，有時(shí)關(guān)鍵是能否看得出來(lái)題就是關(guān)于恒成立問(wèn)題。下面，給出一些練習(xí)題，供同學(xué)們練習(xí)。練習(xí)題：1、對(duì)任意實(shí)數(shù)x，不等式恒成立的充要條件是_。2、設(shè)上有意義，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.。3、當(dāng)恒成立，則實(shí)數(shù)a的范圍是_。4、已知不等式： 對(duì)一切大于1的自然數(shù)n恒成立，求實(shí)數(shù)a的范圍。高考數(shù)學(xué)中解決含參數(shù)不等式的恒成立問(wèn)題的基本方法“含參數(shù)不等式的恒成立”的問(wèn)題，是近幾年高考的熱點(diǎn)，它往往以函數(shù)、數(shù)列、三角函數(shù)、解析幾何為載體

11、具有一定的綜合性，解決這類問(wèn)題，主要是運(yùn)用等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想：即一般的，若函數(shù)在定義域?yàn)镈，則當(dāng)xD時(shí)，有恒成立；恒成立.因而,含參數(shù)不等式的恒成立問(wèn)題常根據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)特征,恰當(dāng)?shù)貥?gòu)造函數(shù),等價(jià)轉(zhuǎn)化為含參數(shù)的函數(shù)的最值討論例一 已知函數(shù).求的反函數(shù);若不等式對(duì)于恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.分析：本題的第二問(wèn)將不等式轉(zhuǎn)化成為關(guān)于t的一次函數(shù)在恒成立的問(wèn)題. 那么，怎樣完成這個(gè)轉(zhuǎn)化呢？轉(zhuǎn)化之后又應(yīng)當(dāng)如何處理呢？【解析】 略解由題設(shè)有,即對(duì)于恒成立. 顯然,a-1令,由可知?jiǎng)t對(duì)于恒成立. 由于是關(guān)于t的一次函數(shù).（在的條件下表示一條線段，只要線段的兩個(gè)端點(diǎn)在x軸上方就可以保證恒成立）例二 定義在R

12、上的函數(shù)既是奇函數(shù)，又是減函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，有恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.tg(t)o·1圖1分析: 利用函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性去掉映射符號(hào)f，將“抽象函數(shù)”問(wèn)題轉(zhuǎn)化為常見的含參的二次函數(shù)在區(qū)間(0，1)上恒為正的問(wèn)題.而對(duì)于0在給定區(qū)間a，b上恒成立問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化成為在a，b上的最小值問(wèn)題，若中含有參數(shù)，則要求對(duì)參數(shù)進(jìn)行討論。【解析】由得到：t=m因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，tg(t)o·1圖2故有恒成立，又因?yàn)闉镽減函數(shù)，從而有對(duì)恒成立t=m設(shè)，則對(duì)于恒成立，在設(shè)函數(shù),對(duì)稱軸為.當(dāng)時(shí)，即，又tg(t)o·1圖3t=m(如圖1)當(dāng)，即時(shí),即,又,(如圖2)當(dāng)時(shí)，恒成立.(如圖3)故由

13、可知：.例三 定義在R上的單調(diào)函數(shù)f(x)滿足f(3)=log3且對(duì)任意x，yR都有f(x+y)=f(x)+f(y)(1)求證f(x)為奇函數(shù)；(2)若對(duì)任意xR恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍分析: 問(wèn)題(1)欲證f(x)為奇函數(shù)即要證對(duì)任意x都有f(-x)=-f(x)成立在式子f(x+y)=f(x)+f(y)中，令y=-x可得f(0)=f(x)+f(-x)于是又提出新的問(wèn)題，求f(0)的值令x=y=0可得f(0)=f(0)+f(0)即f(0)=0，f(x)是奇函數(shù)得到證明問(wèn)題(2)的上述解法是根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)f(x)是奇函數(shù)且在xR上是增函數(shù)，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)f(t)=t-(1+k)t+20對(duì)

14、于任意t0恒成立對(duì)二次函數(shù)f(t)進(jìn)行研究求解【解析】(1)證明：f(x+y)=f(x)+f(y)(x，yR)， 令x=y=0，代入式，得f(0+0)=f(0)+f(0)，即 f(0)=0令y=-x，代入式，得 f(x-x)=f(x)+f(-x)，又f(0)=0，則有0=f(x)+f(-x)即f(-x)=-f(x)對(duì)任意xR成立，所以f(x)是奇函數(shù)(2)解：f(3)=log30，即f(3)f(0)，又f(x)在R上是單調(diào)函數(shù)，所以f(x)在R上是增函數(shù)，又由(1)f(x)是奇函數(shù)，即對(duì)于任意恒成立.令t=30，問(wèn)題等價(jià)于對(duì)于任意恒成立.令,其對(duì)稱軸為直線當(dāng),即時(shí),恒成立,符合題意,故;當(dāng)時(shí),

15、對(duì)于任意,恒成立，解得綜上所述,當(dāng)時(shí),對(duì)于任意恒成立.本題還可以應(yīng)用分離系數(shù)法,這種解法更簡(jiǎn)捷.分離系數(shù),由得.由于,所以,故,即u的最小值為.要使對(duì)于不等式恒成立,只要說(shuō)明: 上述解法是將k分離出來(lái)，然后用平均值定理求解，簡(jiǎn)捷、新穎例四 已知向量=(，x+1)，= (1-x，t)。若函數(shù)在區(qū)間（-1，1）上是增函數(shù)，求t的取值范圍。（2005年湖北卷第17題）分析：利用導(dǎo)數(shù)將“函數(shù)在區(qū)間（-1，1）上是增函數(shù)”的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“在（-1，1）上恒成立”的問(wèn)題，即轉(zhuǎn)化成為“二次函數(shù)在區(qū)間（-1，1）上恒成立” ，利用分離系數(shù)法將t分離出來(lái)，通過(guò)討論最值來(lái)解出t的取值范圍?！窘馕觥恳蓝x。則，

16、83;ox·1·-1y·g(x)若在（-1，1）上是增函數(shù)，則在（-1，1）上可設(shè)恒成立。在（-1，1）上恒成立?？紤]函數(shù)，（如圖4）由于的圖象是對(duì)稱軸為，開口向上的拋物線，故要使在（-1，1）上恒成立，即。而當(dāng)時(shí)，在（-1，1）上滿足>0，即在（-1，1）上是增函數(shù)。故t的取值范圍是.數(shù)學(xué)思想方法是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的靈魂，同時(shí)它又離不開具體的數(shù)學(xué)知識(shí)在解決含參數(shù)不等式的恒成立的數(shù)學(xué)問(wèn)題中要進(jìn)行一系列等價(jià)轉(zhuǎn)化因此，更要重視轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想不等式恒成立問(wèn)題重點(diǎn)難點(diǎn)：四種常見基本方法：利用一元二次函數(shù)的圖像、分離參數(shù)、交換主元、圖象法課前練習(xí)1 若函數(shù)f(x)=kx+

17、1在-1,1恒大于0，則k的范圍是_.2 函數(shù)f(x)=的定義域?yàn)镽，則a的范圍是_3 不等式-3+2x+t0在 -1,1上恒成立，則t的范圍是_.歸納：1. ,則： 恒成立_；恒成立_. 2. 在R上恒成立的充分必要條件是：_； 在R上恒成立的充分必要條件是：_.3. 恒成立的充分必要條件是：_； 恒成立的充分必要條件是：_.例1. 不等式，(1)當(dāng)x）恒成立，求p的范圍.(2)x-2,2 恒成立，求p的范圍.(3)p-2,2 恒成立，求x的范圍.例2. 已知函數(shù)f(x)=,(xR), 設(shè)方程f(x)=的兩根分別為，是否存在mR，使對(duì)一切a,t-1,1恒成立？如存在，求出m范圍，否則說(shuō)明理由

18、。例3（1） 已知a>0且a，當(dāng)x(-1,1)時(shí) ， 恒成立，則a的范圍是_.（2）對(duì)一切的實(shí)數(shù)x，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。課后作業(yè)：1已知奇函數(shù)f(x)在 -1,1為增函數(shù)，f(-1)= -1,f(x),對(duì)任意實(shí)數(shù)a-1,1 都成立， 求t的取值范圍。2. 不等式對(duì)一切實(shí)數(shù) x恒成立，則k的范圍是_.4. 設(shè)函數(shù)f(x)=，對(duì)任意實(shí)數(shù)a,不等式f(x)10在,1恒成立，求b的取值范圍。5. 對(duì)一切實(shí)數(shù)x，不等式恒成立，求a取值范圍。 解“恒成立問(wèn)題”的基本策略一、恒成立問(wèn)題的基本類型 在數(shù)學(xué)問(wèn)題研究中經(jīng)常碰到在給定條件下某些結(jié)論恒成立的命題.函數(shù)在給定區(qū)間上某結(jié)論成立問(wèn)題,其表

19、現(xiàn)形式通常有:j在給定區(qū)間上某關(guān)系恒成立;k某函數(shù)的定義域?yàn)槿w實(shí)數(shù)R;l某不等式的解為一切實(shí)數(shù);m某表達(dá)式的值恒大于a等等恒成立問(wèn)題，涉及到一次函數(shù)、二次函數(shù)的性質(zhì)、圖象,滲透著換元、化歸、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程等思想方法，有利于考查學(xué)生的綜合解題能力，在培養(yǎng)思維的靈活性、創(chuàng)造性等方面起到了積極的作用。因此也成為歷年高考的一個(gè)熱點(diǎn)。恒成立問(wèn)題在解題過(guò)程中大致可分為以下幾種類型：一次函數(shù)型；二次函數(shù)型；變量分離型；根據(jù)函數(shù)的奇偶性、周期性等性質(zhì)；直接根據(jù)函數(shù)的圖象。二、恒成立問(wèn)題解決的基本策略（一）兩個(gè)基本思想解決“恒成立問(wèn)題”思路1、 思路2、如何在區(qū)間D上求函數(shù)f(x)的最大值或者最小值問(wèn)題

20、,我們可以通過(guò)習(xí)題的實(shí)際,采取合理有效的方法進(jìn)行求解,通?？梢钥紤]利用函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的圖像、二次函數(shù)的配方法、三角函數(shù)的有界性、均值定理、函數(shù)求導(dǎo)等等方法求函數(shù)f（x）的最值。這類問(wèn)題在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)涉及的知識(shí)比較廣泛，在處理上也有許多特殊性，也是近年來(lái)高考中頻頻出現(xiàn)的試題類型，希望同學(xué)們?cè)谌粘W(xué)習(xí)中注意積累。(二)、賦值型利用特殊值求解等式中的恒成立問(wèn)題，常常用賦值法求解，特別是對(duì)解決填空題、選擇題能很快求得.例1由等式x4+a1x3+a2x2+a3x+a4= (x+1)4+b1(x+1)3+ b2(x+1)2+b3(x+1)+b4 定義映射f：(a1,a2,a3,a4)b1+b2+b3+b

21、4,則f：(4,3,2,1) ( )A.10 B.7 C.-1 D.0略解：取x=0，則 a4=1+b1+b2+b3+b4,又 a4=1,所以b1+b2+b3+b4 =0 ，故選D例2如果函數(shù)y=f(x)=sin2x+acos2x的圖象關(guān)于直線x= 對(duì)稱，那么a= A.1 B.-1 C . D. -.略解：取x=0及x=，則f(0)=f(),即a=-1，故選B.此法體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中從一般到特殊的轉(zhuǎn)化思想.（三）分清基本類型，運(yùn)用相關(guān)基本知識(shí)，把握基本的解題策略1、一次函數(shù)型：若原題可化為一次函數(shù)型,則由數(shù)形結(jié)合思想利用一次函數(shù)知識(shí)求解,十分簡(jiǎn)捷給定一次函數(shù)y=f(x)=ax+b(a0),若y=f(

22、x)在m,n內(nèi)恒有f(x)>0，則根據(jù)函數(shù)的圖象（直線）可得上述結(jié)論等價(jià)于 同理，若在m,n內(nèi)恒有f(x)<0， 則有 例2對(duì)于滿足|a|2的所有實(shí)數(shù)a,求使不等式x2+ax+1>2a+x恒成立的x的取值范圍.分析：在不等式中出現(xiàn)了兩個(gè)字母：x及a,關(guān)鍵在于該把哪個(gè)字母看成是一個(gè)變量，另一個(gè)作為常數(shù).顯然可將a視作自變量，則上述問(wèn)題即可轉(zhuǎn)化為在-2，2內(nèi)關(guān)于a的一次函數(shù)大于0恒成立的問(wèn)題.解：原不等式轉(zhuǎn)化為(x-1)a+x2-2x+1>0在|a|2時(shí)恒成立,設(shè)f(a)= (x-1)a+x2-2x+1,則f(a)在-2,2上恒大于0，故有：即解得：x<-1或x>

23、;3. 即x(,1)(3,+)此類題本質(zhì)上是利用了一次函數(shù)在區(qū)間m,n上的圖象是一線段，故只需保證該線段兩端點(diǎn)均在x軸上方（或下方）即可.2、二次函數(shù)型涉及到二次函數(shù)的問(wèn)題是復(fù)習(xí)的重點(diǎn)，同學(xué)們要加強(qiáng)學(xué)習(xí)、歸納、總結(jié)，提煉出一些具體的方法，在今后的解題中自覺運(yùn)用。（1）若二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a0)大于0恒成立，則有（2）若是二次函數(shù)在指定區(qū)間上的恒成立問(wèn)題，可以利用韋達(dá)定理以及根的分布知識(shí)求解。例3 若函數(shù)的定義域?yàn)镽，求實(shí)數(shù) 的取值范圍.分析：該題就轉(zhuǎn)化為被開方數(shù)在R上恒成立問(wèn)題，并且注意對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)的討論.解：依題意，當(dāng)恒成立，所以，當(dāng)此時(shí)當(dāng)有綜上所述，f(x)的定義域?yàn)镽時(shí)，例4

24、.已知函數(shù)，在R上恒成立，求的取值范圍.分析：的函數(shù)圖像都在X軸及其上方，如右圖所示：略解：變式1：若時(shí)，恒成立，求的取值范圍.分析：要使時(shí)，恒成立，只需的最小值即可.解：，令在上的最小值為.當(dāng)，即時(shí)， 又 不存在.當(dāng)，即時(shí)， 又 當(dāng)，即時(shí)， 又 綜上所述，.變式2：若時(shí)，恒成立，求的取值范圍.解法一：分析：題目中要證明在上恒成立，若把2移到等號(hào)的左邊，則把原題轉(zhuǎn)化成左邊二次函數(shù)在區(qū)間時(shí)恒大于等于0的問(wèn)題.22略解：，即在上成立. 綜上所述，.解法二：（運(yùn)用根的分布） 當(dāng)，即時(shí)， 不存在.當(dāng)，即時(shí)，當(dāng)，即時(shí)， 綜上所述.此題屬于含參數(shù)二次函數(shù)，求最值時(shí)，軸變區(qū)間定的情形，對(duì)軸與區(qū)間的位置進(jìn)行分

25、類討論；還有與其相反的，軸動(dòng)區(qū)間定，方法一樣.對(duì)于二次函數(shù)在R上恒成立問(wèn)題往往采用判別式法（如例4、例5），而對(duì)于二次函數(shù)在某一區(qū)間上恒成立問(wèn)題往往轉(zhuǎn)化為求函數(shù)在此區(qū)間上的最值問(wèn)題3、變量分離型若在等式或不等式中出現(xiàn)兩個(gè)變量，其中一個(gè)變量的范圍已知，另一個(gè)變量的范圍為所求，且容易通過(guò)恒等變形將兩個(gè)變量分別置于等號(hào)或不等號(hào)的兩邊，則可將恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化成函數(shù)的最值問(wèn)題求解。運(yùn)用不等式的相關(guān)知識(shí)不難推出如下結(jié)論：若對(duì)于x取值范圍內(nèi)的任何一個(gè)數(shù)都有f(x)>g(a)恒成立，則g(a)<f(x)min;若對(duì)于x取值范圍內(nèi)的任何一個(gè)數(shù)，都有f(x)<g(a)恒成立，則g(a)>f(

26、x)max.(其中f(x)max和f(x)min分別為f(x)的最大值和最小值)例5.已知三個(gè)不等式，要使同時(shí)滿足的所有x的值滿足，求m的取值范圍.略解：由得2<x<3,要使同時(shí)滿足的所有x的值滿足,即不等式在上恒成立，即上恒成立，又所以 例6. 函數(shù)是奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，又，若 對(duì)所有的都成立，求的取值范圍 .解：據(jù)奇函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又對(duì)所有的都成立.因此，只需大于或等于的最大值1，即關(guān)于a的一次函數(shù)在-1，1上大于或等于0恒成立，即： 利用變量分離解決恒成立問(wèn)題，主要是要把它轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題4、根據(jù)函數(shù)的奇偶性、周期性等性質(zhì)若函數(shù)f(x)是奇(偶)函數(shù)，則對(duì)一切定義域

27、中的x ,f(-x)=-f(x)(f(-x)=f(x)恒成立；若函數(shù)y=f(x)的周期為T，則對(duì)一切定義域中的x,f(x)=f(x+T)恒成立。5、直接根據(jù)圖象判斷若把等式或不等式進(jìn)行合理的變形后，能非常容易地畫出等號(hào)或不等號(hào)兩邊函數(shù)的圖象，則可以通過(guò)畫圖直接判斷得出結(jié)果。尤其對(duì)于選擇題、填空題這種方法更顯方便、快捷。例7. 的取值范圍.分析：設(shè)y=|x+1|-|x-2|,即轉(zhuǎn)化為求函數(shù)y=|x+1|-|x-2|的最小值，畫出此函數(shù)的圖象即可求得a的取值范圍.解：令在直角坐標(biāo)系中畫出圖象如圖所示，由圖象可看出，要使只需.故實(shí)數(shù)本題中若將改為，同樣由圖象可得a>3;,構(gòu)造函數(shù)，畫出圖象，得

28、a<3.利用數(shù)形結(jié)合解決恒成立問(wèn)題，應(yīng)先構(gòu)造函數(shù)，作出符合已知條件的圖形，再考慮在給定區(qū)間上函數(shù)與函數(shù)圖象之間的關(guān)系，得出答案或列出條件，求出參數(shù)的范圍.三、在恒成立問(wèn)題中，主要是求參數(shù)的取值范圍問(wèn)題，是一種熱點(diǎn)題型，介紹一些基本的解題策略，在學(xué)習(xí)中學(xué)會(huì)把問(wèn)題分類、歸類，熟練基本方法。（一）換元引參，顯露問(wèn)題實(shí)質(zhì) 1、對(duì)于所有實(shí)數(shù)x，不等式恒成立，求a的取值范圍。解：因?yàn)榈闹惦S著參數(shù)a的變化而變化，若設(shè)，則上述問(wèn)題實(shí)質(zhì)是“當(dāng)t為何值時(shí)，不等式恒成立”。這是我們較為熟悉的二次函數(shù)問(wèn)題，它等價(jià)于求解關(guān)于t的不等式組：。 解得，即有，易得。2、設(shè)點(diǎn)P（x，y）是圓上任意一點(diǎn)，若不等式x+y+c

29、0恒成立，求實(shí)數(shù)c的取值范圍。（二）分離參數(shù)，化歸為求值域問(wèn)題 3、若對(duì)于任意角總有成立，求m的范圍。解：此式是可分離變量型，由原不等式得，又，則原不等式等價(jià)變形為恒成立。根據(jù)邊界原理知，必須小于的最小值，這樣問(wèn)題化歸為怎樣求的最小值。因?yàn)?即時(shí)，有最小值為0，故。（三）變更主元，簡(jiǎn)化解題過(guò)程 4、若對(duì)于，方程都有實(shí)根，求實(shí)根的范圍。 解：此題一般思路是先求出方程含參數(shù)m的根，再由m的范圍來(lái)確定根x的范圍，但這樣會(huì)遇到很多麻煩，若以m為主元，則， 由原方程知，得 又，即解之得或。5、當(dāng)時(shí)，若不等式恒成立，求的取值范圍。（四）圖象解題，形象直觀 6、設(shè)，若不等式恒成立，求a的取值范圍。解：若設(shè)，

30、則為上半圓。設(shè)，為過(guò)原點(diǎn)，a為斜率的直線。在同一坐標(biāo)系內(nèi) 作出函數(shù)圖象依題意，半圓恒在直線上方時(shí)，只有時(shí)成立，即a的取值范圍為。7、當(dāng)x(1,2)時(shí)，不等式(x-1)2<logax恒成立，求a的取值范圍。解：設(shè)y1=(x-1)2,y2=logax,則y1的圖象為右圖所示的拋物線要使對(duì)一切x (1,2),y1<y2恒成立，顯然a>1,并且必須也只需當(dāng)x=2時(shí)y2的函數(shù)值大于等于y1的函數(shù)值。故loga2>1, 1<a2.8、已知關(guān)于x的方程lg(x2+4x)-lg(2x-6a-4)=0有唯一解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。解：令y1=x2+4x=（x+2）2-4,y2=2x

31、-6a-4, y1的圖象為一個(gè)定拋物線 y2的圖象是k=2，而截距不定的直線，要使y1和y2在x軸上方有唯一交點(diǎn)，則直線必須位于l1和l2之間。（包括l1但不包括l2）當(dāng)直線為l1時(shí)，直線過(guò)點(diǎn)（-4，0），此時(shí)縱截距為-8-6a-4=0,a=;當(dāng)直線為l2時(shí)，直線過(guò)點(diǎn)（0，0），縱截距為-6a-4=0，a=a的范圍為分析：方程可轉(zhuǎn)化成lg(x2+4x)=lg(2x-6a-4),從而得x2+4x=2x-6a-4>0,注意到若將等號(hào)兩邊看成是二次函數(shù)y= x2+4x及一次函數(shù)y=2x-6a-4，則只需考慮這兩個(gè)函數(shù)的圖象在x軸上方恒有唯一交點(diǎn)即可。（五）合理聯(lián)想，運(yùn)用平幾性質(zhì) 9、不論k為何

32、實(shí)數(shù)，直線與曲線恒有交點(diǎn)，求a的范圍。解：，C（a，0），當(dāng)時(shí)，聯(lián)想到直線與圓的位置關(guān)系，則有點(diǎn)A（0，1）必在圓上或圓內(nèi)，即點(diǎn)A（0，1）到圓心距離不大于半徑，則有，得。分析：因?yàn)轭}設(shè)中有兩個(gè)參數(shù)，用解析幾何中有交點(diǎn)的理論將二方程聯(lián)立，用判別式來(lái)解題是比較困難的。若考慮到直線過(guò)定點(diǎn)A（0，1），曲線為圓。（六）分類討論，避免重復(fù)遺漏 10、當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求x的范圍。解：使用的條件，必須將m分離出來(lái)，此時(shí)應(yīng)對(duì)進(jìn)行討論。當(dāng)時(shí)，要使不等式恒成立，只要， 解得。當(dāng)時(shí)，要使不等式恒成立，只要，解得。當(dāng)時(shí)，要使恒成立，只有。 綜上得解法2：可設(shè)，用一次函數(shù)知識(shí)來(lái)解較為簡(jiǎn)單。11、當(dāng)時(shí)，不等式恒成立

33、，求實(shí)數(shù)的取值范圍。（七）構(gòu)造函數(shù)，體現(xiàn)函數(shù)思想 12、（1990年全國(guó)高考題）設(shè)，其中a為實(shí)數(shù)，n為任意給定的自然數(shù)，且，如果當(dāng)時(shí)有意義，求a的取值范圍。解：本題即為對(duì)于，有恒成立。這里有三種元素交織在一起，結(jié)構(gòu)復(fù)雜，難以下手，若考慮到求a的范圍，可先將a分離出來(lái)，得，對(duì)于恒成立。構(gòu)造函數(shù)，則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)在上的值域。由于函數(shù)在上是單調(diào)增函數(shù)，則在上為單調(diào)增函數(shù)。于是有的最大值為：，從而可得。四、同步跟蹤練習(xí) 1、對(duì)任意的實(shí)數(shù)，若不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍3、 知是定義在的單調(diào)減函數(shù)，且對(duì)一切實(shí)數(shù)x成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。4、 當(dāng)a、b滿足什么條件時(shí)，關(guān)于x的不等式對(duì)于一切實(shí)數(shù)x恒成

34、立？5、已知f(x)=,在x=1與x=-2時(shí)，都取得極值。（1）求a、b的值；（2）若x-3,2都有f(x)>恒成立，求實(shí)數(shù)c的取值范圍。解、（1）a=,b=-6.（2）由f(x)min=-+c>-得 或6、定義在定義域D內(nèi)的函數(shù)，則稱函數(shù)為“接近函數(shù)”，否則稱“非接近函數(shù)”.函數(shù),)是否為“接近函數(shù)”？如果是，請(qǐng)給出證明；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.解：因?yàn)?是“接近函數(shù)”7、對(duì)于函數(shù)，若存在實(shí)數(shù)，使成立，則稱為的不動(dòng)點(diǎn)。（1）當(dāng)a=2，b=2時(shí)，求的不動(dòng)點(diǎn)；（2）若對(duì)于任何實(shí)數(shù)b，函數(shù)恒有兩相異的不動(dòng)點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（3）在（2）的條件下，若的圖象上A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)是函數(shù)的

35、不動(dòng)點(diǎn)，且直線是線段AB的垂直平分線，求實(shí)數(shù)b的取值范圍。解 （1）當(dāng)a=2，b=2時(shí)， 設(shè)x為其不動(dòng)點(diǎn)，即則 的不動(dòng)點(diǎn)是1，2.（2）由得：. 由已知，此方程有相異二實(shí)根，恒成立，即 即對(duì)任意恒成立.（3）設(shè)，直線是線段AB的垂直平分線， 記AB的中點(diǎn)由（2）知 化簡(jiǎn)得：時(shí)，等號(hào)成立）.即含參數(shù)不等式恒成立問(wèn)題中參數(shù)范圍的確定1 分離參數(shù)法例 1：設(shè)，其中a是實(shí)數(shù)，n是任意給定的自然數(shù)且n2，若當(dāng) 時(shí)有意義, 求a的取值范圍。分析： 當(dāng)時(shí)，有意義，故有令，只要對(duì)在上的最大值，此不等式成立即可。故我們可以利用函數(shù)的最值分離出參數(shù)a。解： 由時(shí)，有意義得：，由指數(shù)函數(shù)單調(diào)性知上式右邊的函數(shù)的最大

36、值是故 a>一般地，利用最值分離參數(shù)法來(lái)確定不等式 , （ 為實(shí)參數(shù)）恒成立中參數(shù)取值范圍的基本步驟:（1） 將參數(shù)與變量分離，即化為的形式；（2） 求在D時(shí)的最大（或最小）值；（3） 解不等式 得的取值范圍。思想方法： 把不等式中恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問(wèn)題。適用題型：（1） 參數(shù)與變量能分離；（2） 函數(shù)的最值易求出。利用這種方法可以順利解決許多含參數(shù)不等式中的取值問(wèn)題，還可以用來(lái)證明一些不等式。例 2： 已知定義在R上函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，且在上是增函數(shù)，對(duì)于任意求實(shí)數(shù)m范圍，使 恒成立。解： f(x)在R上為奇函數(shù)，且在上是增函數(shù)， f(x)在上為增函數(shù) 又 即 2， 2 m&

37、gt; 令2 m>4 即4m<在上恒成立即求在上的最小值 2等號(hào)成立條件t=,即成立 4m<即m>4 m的取值范圍為（4，）例 3： 設(shè)0<a,若滿足不等式的 一切實(shí)數(shù)x，亦滿足不等式求正實(shí)數(shù)b的取值范圍。簡(jiǎn)析略解：此例看不出明顯的恒成立問(wèn)題，我們可以設(shè)法轉(zhuǎn)化: 設(shè)集合A， B= 由題設(shè)知AB，則： () 于是得不等式組： 又 ，最小值為； 最小值為； , 即 ：b的取值范圍是2 主參換位法某些含參不等式恒成立問(wèn)題，在分離參數(shù)會(huì)遇到討論的麻煩或者即使能容易分離出參數(shù)與變量，但函數(shù)的最值卻難以求出時(shí)，可考慮變換思維角度。即把變?cè)c參數(shù)換個(gè)位置，再結(jié)合其它知識(shí)，往往會(huì)

38、取得出奇制勝的效果。例4：若對(duì)于任意a，函數(shù)的值恒大于0，求x的取值范圍。分析：此題若把它看成x的二次函數(shù)，由于a, x都要變，則函數(shù)的最小值很難求出，思路受阻。若視a為主元，則給解題帶來(lái)轉(zhuǎn)機(jī)。解： 設(shè) ，把它看成關(guān)于a的直線，由題意知，直線恒在橫軸下方。 所以 解得： 或或例 5： 對(duì)于（0，3）上的一切實(shí)數(shù)x,不等式恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。分析： 一般的思路是求x的表達(dá)式，利用條件求m的取值范圍。但求x的表達(dá)式時(shí)，兩邊必須除以有關(guān)m的式子，涉及對(duì)m討論，顯得麻煩。解： 若設(shè)，把它看成是關(guān)于x的直線，由題意知直線恒在x的軸的下方。所以 解得： 3 構(gòu)建函數(shù)法當(dāng)參數(shù)難以分離而不等式是有關(guān)某

39、個(gè)變量的一次或二次函數(shù)時(shí)，可以通過(guò)構(gòu)建函數(shù)來(lái)解決。我們知道，函數(shù)概念是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)很重要的概念，其思想和方法已滲透到數(shù)學(xué)的各個(gè)分支。在某些數(shù)學(xué)問(wèn)題中，通過(guò)數(shù)式類比，構(gòu)造適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型，然后利用函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)結(jié)論解題，往往收到意想不到的效果。這里，我們主要介紹如何通過(guò)構(gòu)造一次函數(shù)，二次函數(shù)模型，并利用它們的性質(zhì)來(lái)確定參數(shù)的取值范圍。（1） 構(gòu)造一次函數(shù)例6： 若對(duì)一切，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍。解： 原不等式變形為，現(xiàn)在考慮p的一次函數(shù)： 在上恒成立 解得： 或 x的取值范圍為注： 本題對(duì)于一切不等式恒成立，因此應(yīng)視p為主元，視x為參數(shù)，把不等式左邊變成關(guān)于p的一次函數(shù)型。（2） 造二

40、次函數(shù)例7： 對(duì)于，恒成立，求實(shí)數(shù)m的范圍。解： 原不等式變形為： 即 令 ， 令 題意為>0在上恒成立。 或4×1×()<0或 >0解得 ： 或或 ，即 m的取值范圍為：4 數(shù)形結(jié)合法 某些含參不等式恒成立問(wèn)題，既不能分離參數(shù)求解，又不能轉(zhuǎn)化為某個(gè)變量的一次或二次函數(shù)時(shí)，則可采用數(shù)形結(jié)合法。因?yàn)楸嬲ㄎ镏髁x認(rèn)為：萬(wàn)物皆有形。所以從宏觀上講，抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題必存在著形象的直觀模型，這是因?yàn)閿?shù)學(xué)問(wèn)題本身就是客觀世界事物的抽象。我們?cè)诮忸}時(shí)，可以有意識(shí)地去認(rèn)識(shí)，挖掘和創(chuàng)造抽象的直觀形象，變抽象為直觀，充分運(yùn)用直感，由數(shù)思形，以形輔數(shù)。數(shù)形結(jié)合往往能迅速而簡(jiǎn)捷地找

41、到解題途徑。對(duì)于解含參不等式恒成立問(wèn)題，我們可以先把不等式（或經(jīng)過(guò)變形后的不等式）兩端的式子分別看成兩個(gè)函數(shù)，且畫出兩函數(shù)的圖象，然后通過(guò)觀察兩圖象（特別是交點(diǎn)時(shí)）的位置關(guān)系，從而列出關(guān)于含參數(shù)的不等式。例8、已知對(duì)于一切x，yR，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。解：要使原不等式恒成立，又xOy=，考慮到點(diǎn)M（x,），N（y,-）則點(diǎn)M在曲線C1：xy=9上，點(diǎn)N在曲線C2：x2+y2=2(y0)上。顯然|MN|min=，此時(shí)a.故滿足條件的a 的取值范圍為評(píng)析：對(duì)一些不等式兩邊的式子，函數(shù)模型較明顯、函數(shù)圖象較容易作出的，可以考慮作出函數(shù)圖象，用函數(shù)圖像的直觀性解決不等式或方程的恒成立的問(wèn)

42、題，也非常容易得到意想不到的效果。例9：若不等式在內(nèi)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。解： 由題意知 ： 在內(nèi)恒成立。在同一坐標(biāo)系內(nèi)分別作出 和 的圖象因?yàn)闀r(shí)，的圖象位于函數(shù)的圖象上方， 當(dāng) a> 1時(shí)，顯見不成立。故 0<a<1 由圖可知：的圖象必須過(guò)點(diǎn) 或在這個(gè)點(diǎn)的上方，則： 由 ， 知 ： a 的取值范圍為5. 觀察.試探.猜想.證明法當(dāng)前面的方法都難以解決問(wèn)題時(shí)，我們可以考慮從特殊到一般的思想，先考慮一些變量的特殊值，找出相應(yīng)的滿足題設(shè)的參數(shù)的取值，然后猜想出參數(shù)的取值范圍，并將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：在已知參數(shù)取值范圍的情況下，證明所給問(wèn)題恒成立。例10： 已知對(duì)一切實(shí)數(shù)，不等式恒成

43、立，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍。分析： 取，則由解得： a>又取0，時(shí)均得： 由此猜想： 由于當(dāng) 時(shí)，對(duì)一切 ， 恒成立故 為所求。數(shù)學(xué)的深?yuàn)W復(fù)雜性在于數(shù)學(xué)問(wèn)題的千變?nèi)f化，參數(shù)問(wèn)題形式多樣，方法靈活多變，技巧性較強(qiáng)。這就要求我們要以變應(yīng)變，在解題過(guò)程中，要根據(jù)具體的題設(shè)條件，認(rèn)真觀察題目中不等式的結(jié)構(gòu)特征，從不同的角度，不同的方向，加以分析探討，從而選擇適當(dāng)方法快速而準(zhǔn)確地解出。當(dāng)然除了以上的方法外，還有許多其它的方法，值得一提的是，各種方法之間并不是彼此孤立的。因此，系統(tǒng)地掌握參數(shù)問(wèn)題的解題方法，無(wú)疑會(huì)對(duì)學(xué)生今后學(xué)習(xí)及培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題等方面有很大的幫助。恒成立不等式中參數(shù)范圍的確定

44、下文試對(duì)此類問(wèn)題的求解策略與方法作一提煉總結(jié).一 解集比較法集合A上恒成立的不等式意即不等式的解集以A為子集.據(jù)此,求出不等式的解集并研究集合間的包含關(guān)系,進(jìn)而求出參數(shù)取值范圍的方法.此法較為原始,易使問(wèn)題陷入困境.例1 已知|x-5/2|a時(shí)，不等式|x2-5|4恒成立，求正數(shù)a的取值范圍.解 由|x-5/2|a,得5/2-ax<5/2+a；由|x2-5|4，得-3x-1或1x3.若令A(yù)=(5/2-a,5/2+a),B=(-3,-1)(1,3),則原恒成立問(wèn)題等價(jià)于或,解之得,正數(shù)a的取值范圍是(0,1/2.二 函數(shù)最值法不等式f(x)>a恒成立等價(jià)于f(x)min>a；不

45、等式f(x)a恒成立等價(jià)于f(x)maxa.據(jù)此,可將恒成立的不等式問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最大或最小值問(wèn)題,從而使問(wèn)題獲解的方法.例2 若不等式對(duì)滿足的一切m都成立，試求實(shí)數(shù)x的取值范圍.分析 若將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為集合-2,2是原關(guān)于m的不等式的解集的子集,則不可避免地要分類討論.若令,則可轉(zhuǎn)化為函數(shù)f(m)在區(qū)間-2,2上的最大值小于零,而f(m)是“線性函數(shù)”或“常數(shù)函數(shù)”，其最值在區(qū)間端點(diǎn)取得，故f（-2）0且f（2）0，解之得，x的取值范圍是.例3 若不等式x2-m(4xy- y2)+4m2y20對(duì)一切非負(fù)實(shí)數(shù)x、y恒成立，試求實(shí)數(shù)m的取值范圍.解 若y=0,則對(duì)任意實(shí)數(shù)m不等式都成立；若,則

46、原不等式可化為.設(shè),則且.問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)g(t)在區(qū)間上的最小值非負(fù).故有或.由此解得,m的取值范圍為.說(shuō)明 二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是中學(xué)數(shù)學(xué)中的重點(diǎn)內(nèi)容,利用二次函數(shù)在區(qū)間上的最值來(lái)研究恒成立問(wèn)題,可使原本復(fù)雜的問(wèn)題變得易于解決.三 分離參數(shù)法將參變?cè)c主變?cè)獜暮悴坏仁街斜舜朔蛛x,可更簡(jiǎn)捷地實(shí)施“函數(shù)最值法”.例4 若不等式對(duì)一切正數(shù)x、y恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解 分離參數(shù)得:.,從而,即a的取值范圍是.例5 定義在R上的奇函數(shù)f(x)是減函數(shù),是否存在這樣的實(shí)數(shù)m,使f(cos2+2msin)+f(-2m-2)>f(0)對(duì)所有的0, 均成立?若存在,則求出所有適合條件的實(shí)數(shù)m

47、;若不存在,試說(shuō)明理由.解 由題意知,原不等式等價(jià)于: cos2+2msin<2m+2,2m(1-sin)> cos2-2.若1-sin=0,則不論m為何值時(shí)不等式均成立；若1-sin0，則分離參數(shù)得：.令1-sin=t,則0<t,且,它在(0,1上為增函數(shù),故t=1時(shí),ymax=-1.由2m> ymax知,所有適合不等式的m的取值范圍是(-).說(shuō)明 在求解本例時(shí),若無(wú)分離參數(shù)的求簡(jiǎn)意識(shí),則必轉(zhuǎn)化為含參二次函數(shù)在區(qū)間上的最值問(wèn)題,不可避免地要進(jìn)行分類討論.此外,諸多恒成立的不等式問(wèn)題通過(guò)參數(shù)分離后?？赊D(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題,其最值的求解通常用基本不等式或函數(shù)的單調(diào)性來(lái)完成

48、.四 數(shù)形結(jié)合法將恒成立的不等式問(wèn)題,合理地轉(zhuǎn)化為一個(gè)函數(shù)的圖象恒位于另一個(gè)函數(shù)圖象的上（下）方，進(jìn)而利用圖形的直觀性而使問(wèn)題獲得巧解的方法.例6 若不等式3|x+a|-2x+6>0對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立,試求實(shí)數(shù)a的取值范圍.分析 嘗試前述三種方法均較為麻煩,而將原不等式變形為|x+a|>,并構(gòu)造函數(shù)f(x)= |x+a|,g(x)= ,在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出它們的圖象(圖略),借助于圖形直觀立知:-a<3,即a>-3,所求a的取值范圍是(-3,+).例7 若函數(shù)的定義域?yàn)镽，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.分析 f(x)的定義域?yàn)镽等價(jià)于在實(shí)數(shù)集R中恒成立,令t=|sinx|,則,且在

49、上恒成立.至此,有解法1 轉(zhuǎn)化為.此時(shí),若呆板地去求二次函數(shù)g(t)在區(qū)間0,1上的最小值,則必分類討論；而借助于二次函數(shù)圖形直觀分析思考后知:閉區(qū)間上開口向下的二次函數(shù)的最小值必在區(qū)間端點(diǎn)處取得,便有g(shù)(0)0且g(1)0,由此解得a值的范圍是0,1.解法2 轉(zhuǎn)化為,即在時(shí),函數(shù)的圖象恒在函數(shù)圖象的上方,觀察圖形(圖略)便知,.故a的取值范圍為0,1.綜上所述,求恒成立不等式中參數(shù)的取值范圍固然有四類彼此相聯(lián)的思維方法,但是面對(duì)具體問(wèn)題時(shí),只有在函數(shù)思想的指引下,樹立強(qiáng)烈的參數(shù)分離與數(shù)形結(jié)合的意識(shí),這些方法才能產(chǎn)生良好的效益.恒成立問(wèn)題的幾種常用題型一 利用分類討論思想例1 已知函數(shù)在區(qū)間-

50、1，3 上都不小于2求a的值。解：由函數(shù)的對(duì)稱軸為x=a所以必須考察a與-1，3的大小，顯然要進(jìn)行三種分類討論1當(dāng)a3時(shí)f(x)在-1，3上是減函數(shù)此時(shí)= f(3)=9-6a+4即a 結(jié)合a2，所以a2當(dāng)a 時(shí) f(x)在-1，3上是增函數(shù)，此時(shí)f(-1)=1+2a+4= f(-1)=1+2a+4結(jié)合a即a 3當(dāng)-1<a<3時(shí) = f(a)= 即a或a 所以綜上1，2，3滿足條件的a的范圍為：a或 a二 構(gòu)造函數(shù)，利用單調(diào)性例2對(duì)于滿足0a4的所有實(shí)數(shù)a求使不等式都成立的x的取值范圍解：不等式變形為設(shè)則其是關(guān)于a的一個(gè)一次函數(shù)：是單調(diào)函數(shù)結(jié)合題意有即得或三 利用分離參數(shù)例3 已知二

51、次函數(shù)對(duì)恒有，求的取值范圍。解： 對(duì)恒有即變形為 當(dāng)時(shí)對(duì)任意的都滿足只須考慮的情況 即要滿足題意只要保證比右邊的最大值大就行?，F(xiàn)求在上的最大值。令 （） 所以又是二次函數(shù)所以且四 利用不等式性質(zhì)例4若關(guān)于的不等式恒成立，試求a的范圍解：由題意知只須a比的最小值相同或比其最小值小即可，得由 所以 五 利用導(dǎo)數(shù)例5：已知 若當(dāng)時(shí)在0，1恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍解：在0，1 上恒成立即在0，1上恒成立即在0，1上的最大值小于或等于0令所以又所以即在0，1上單調(diào)遞減所以即 得 當(dāng)然，除了以上幾種常見的題型以外，解決三恒成立問(wèn)題的方法還有很多種，希望同學(xué)們注意對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的總結(jié)，從中可以提煉出很多巧妙的解

52、題辦法。例談數(shù)學(xué)高考中的恒成立問(wèn)題一、尋求恒成立的結(jié)論（一） 運(yùn)用函數(shù)的性質(zhì)尋求結(jié)論 運(yùn)用函數(shù)思想可將有些恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題，從而可以運(yùn)用函數(shù)性質(zhì)來(lái)解決。例1、(05北京春季卷理)8、若不等式對(duì)于任意正整數(shù)恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）A B C D分析：當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，得到，而（n為偶數(shù)）的最小值為，所以a<；而（n為奇數(shù)）的最大值不存在但趨近于-2，故。（二）直接觀察圖象的特征得到結(jié)論例2、（北京理13）對(duì)于函數(shù)f(x)定義域中任意的x1，x2（x1x2），有如下結(jié)論：f(x1x2)=f(x1)·f(x2)； f(x1·x2)=f(x1)+f(x2)；>0；.當(dāng)f(x)=lgx時(shí)，上述結(jié)論中正確結(jié)論的序號(hào)是 .分析：?jiǎn)栴}本身是關(guān)于函數(shù)f(x)=lgx性質(zhì)的恒成立問(wèn)題，其實(shí)是函數(shù)的單調(diào)性，則是函數(shù)圖象的凹凸性，若能根據(jù)圖象可直觀得到單調(diào)增從而能恒成立，而從圖象直接反映出是上凸的，故不成立。例3、（湖北理6）在這四個(gè)函數(shù)中，當(dāng)時(shí)，使