計(jì)算機(jī)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課后習(xí)題解答一

1、習(xí)題1.1 單項(xiàng)選擇題（1） 函數(shù) 的定義域是（D）A. B. C. D. （2） 函數(shù) 的定義域是（A）A. B. C. D. （3）.下列各組函數(shù)中表示同一個(gè)函數(shù)的是（A）.A. 與 B. 與 C. 與 D. 與 （4）.下列函數(shù)中值域?yàn)榈氖牵―）.A. ； B. ； C. ； D. . （5）.下列函數(shù)中在區(qū)間上是增函數(shù)的是（D）.A. ； B. ； C. ； D. . （6）.下列函數(shù)是偶函數(shù)的為（C）.A. ； B. ； C. ； D. . （7）.函數(shù)的最小正周期是（C）.A. ； B. ； C. ； D. . （8）.下列函數(shù)在定義域中既是奇函數(shù)又是單調(diào)增函數(shù)的是（D）.A. ；

2、 B. ； C. ； D. . （9）.函數(shù)的反函數(shù)是（C）.A. ； B. ； C. ； D. . 2.求下列函數(shù)的定義域和值域.（1） ； （2） ；（3） ； （4） ；（5） ；解：（1）定義域?yàn)?；值域?yàn)椋?（2）定義域?yàn)?；值域?yàn)椋?（3）定義域?yàn)?；值域?yàn)椋?（4）定義域?yàn)?；值域?yàn)椋?（5）定義域?yàn)?；值域?yàn)?3.下列各題中的函數(shù)和是否相同？為什么？（1），；解：定義域?yàn)椋x域?yàn)?，故和不相?（2），；解：定義域?yàn)?，而定義域?yàn)?，故和不相?（3），；解：，定義域均為，且對(duì)應(yīng)法則相同，故和相同.（4），；解：，定義域均為，且對(duì)應(yīng)法則相同，故和相同.4.求下列函數(shù)的定義域（1） ； （2

3、） ；（3） ； （4） ；解：（1）的定義域?yàn)椋?（2）的定義域?yàn)椋?（3）的定義域?yàn)椋?（4）的定義域?yàn)?.干燥空氣上升時(shí)體積膨脹變冷，若地面溫度是，高處的溫度是.（1）假定溫度（單位：）是高度（單位：）的線性函數(shù)，試寫(xiě)出這個(gè)函數(shù)；（2）畫(huà)出此函數(shù)的草圖；（3）求處在高度為處的溫度.解：（1）假設(shè)由題意知 即 所以 （2）草圖略（3）高度為處的溫度為6.試確定下列函數(shù)在指定區(qū)間上是有界函數(shù)還是無(wú)界函數(shù)？（1）；解：因?yàn)楫?dāng)時(shí)，故，因此為有界函數(shù).（2）；解： 為單調(diào)增加函數(shù)，故當(dāng)時(shí)，即 因此為有界函數(shù).（3）；解：因?yàn)闆](méi)有上界，故為無(wú)界函數(shù).（4）解：因?yàn)闉閱握{(diào)增加函數(shù)，故當(dāng)時(shí)，即 因此為有

4、界函數(shù).7.試判斷下列函數(shù)的奇偶性（1）； （2）；（3）； （4）.解：（1）為非奇非偶函數(shù)；（2）為奇函數(shù)；（3）為偶函數(shù)；（4）為偶函數(shù).8.下列函數(shù)中哪些是周期函數(shù)？對(duì)于周期函數(shù)指出它的周期（最小正周期）.（1）； （2）；（3）解：（1）為周期函數(shù)，且周期為； （2）非周期函數(shù)（可用反證法證明）； （3），故為周期函數(shù)，且周期為.9.已知函數(shù)分別由下表給出： 1 2 3 1 3 1 1 2 3 3 2 1（1）求的值；（2）求滿(mǎn)足的的值.解：（1）；（2）因?yàn)椋?而 ；.故滿(mǎn)足的的只能是10.求 、和，并求其定義域.（1），；解：；（2），.解：；11.求、和，并求其定義域.（1），

5、；（2），.解：（1）=，定義域是；=，定義域是；=，定義域是.（2）=，定義域是；=，定義域是；，定義域是.12.把下列函數(shù)分解成的形式（1） ； （2）；（3）； （4）解：（1）； （2）； （3）； （4）13.求下列函數(shù)的反函數(shù)（1）； （2）；（3）； （4）解：（1）由解得，互換和得 此即所求之反函數(shù). （2）由解得，互換和得 此即所求之反函數(shù). （3）由解得，即，互換和得，此即所求之反函數(shù). （4）當(dāng)時(shí)，由解得； 當(dāng)時(shí)，由解得； 故 互換和得 此即所求之反函數(shù).14.下列函數(shù)是由哪些基本初等函數(shù)復(fù)合而成？（1）； （2）；（3）.解：（1）； （2）；（3）.15.設(shè) 求.解：

6、（1）當(dāng)時(shí)， ； 當(dāng)時(shí)，.故 （2）當(dāng)時(shí)， ； 當(dāng)時(shí)，.故 習(xí)題1.2 單項(xiàng)選擇題1.寫(xiě)出下列數(shù)列的通項(xiàng)并在數(shù)軸上通過(guò)觀察判斷下列數(shù)列是否收斂？若收斂，極限是多少？（1）解：，無(wú)極限.（2）解：,無(wú)極限.（3）解：收斂，且極限為0.2.單項(xiàng)選擇題（1）則（D）A. ； B. ；C. D. 不存在.（2）下列數(shù)列中收斂的是（B）A. ； B. ；C. ； D. （3）在處有定義是存在的（D）A. 充分條件但非必要條件； B.必要條件但非充分條件；C. 充分必要條件 ； D.既不是充分條件也不是必要條件.（4）是存在的（C）A. 充分條件但非必要條件； B.必要條件但非充分條件；C. 充分必要條件

7、； D.既不是充分條件也不是必要條件.3.填空題（1） ； （2） ；（3） ； （4） . 4.判定極限的存在性.解：因?yàn)?； ，所以不存在.5.設(shè)求（1）；（2）；（3）.解：（1）；，因?yàn)?，所?（2）.（3）6.設(shè)函數(shù)求（1）；（2）；（3）；（4）.解：（1）； （2）； （3）； （4）7.設(shè)試畫(huà)出的圖形并求單側(cè)極限和.解：圖略. ；習(xí)題1.3 1.是非判斷題（1）零是無(wú)窮?。ǎ唬?）是無(wú)窮?。?#215;）；（3）在同一自變量的變化過(guò)程中，兩個(gè)無(wú)窮小之和仍為無(wú)窮?。ǎ?；（4）在同一自變量的變化過(guò)程中，兩個(gè)無(wú)窮小之積仍為無(wú)窮?。ǎ?；（5）無(wú)界變量必為無(wú)窮大量（×）.2.

8、單項(xiàng)選擇題（1）若是無(wú)窮小，下面說(shuō)法錯(cuò)誤的是（C）A. 是無(wú)窮小 ； B. 是無(wú)窮小 ；C. 是無(wú)窮小 ； D. 是無(wú)窮小 .（2）下面命題中正確的是（D ）A. 無(wú)窮大是一個(gè)非常大的數(shù) ； B. 有限個(gè)無(wú)窮大的和仍為無(wú)窮大 ；C. 無(wú)界變量必為無(wú)窮大； D.無(wú)窮大是無(wú)界變量.（3）下列變量在給定的變化過(guò)程中是無(wú)窮大量的一組是（ ）（4）當(dāng)時(shí)，下列變量中是無(wú)窮大量的是（C）A. ； B. ；C. ； D. .3.當(dāng)時(shí)，下列變量中哪些是無(wú)窮小量？解：是無(wú)窮小量.4.試證當(dāng)試，與是同階無(wú)窮小.解：因?yàn)?，故?dāng)試，與是同階無(wú)窮小.習(xí)題1.4 1.是非判斷題（1）（×）；解：（2）是無(wú)窮小（&

9、#215;）；解：（無(wú)窮小乘以有界量仍為無(wú)窮?。?（3）（×）；解：（無(wú)窮小乘以有界量仍為無(wú)窮?。?（4）（×）；解：（5）（×）解：2.單項(xiàng)選擇題（1）下列極限中，極限值不為0的是（D）A. ； B. ；C. ； D. （2）若，則（C）A. ； B. ；C. ； D. 以上等式都不成立.（3）的值是（A）A. ； B. ； C. ； D. 其它值.解：（4）（B）A. ； B. ； C. ； D. 解：（5）（A）A. ； B. ； C. ； D. 不存在解：（6）下列函數(shù)中，當(dāng)時(shí)，與無(wú)窮小量相比是高階無(wú)窮小的是（ ）A. ； B. ； C. ； D. 解：因

10、為，故當(dāng)時(shí)，與相比是高階無(wú)窮小.（7）當(dāng)時(shí)，下列變量中與等價(jià)的無(wú)窮小量是（C ）A. ； B. ； C. ； D. 解：因?yàn)?，故?dāng)時(shí)，與是等價(jià)無(wú)窮小.（8）當(dāng)時(shí)，下列變量中不是無(wú)窮小量的應(yīng)該是（C ）A. ； B. ； C. ； D. 解：因?yàn)椋十?dāng)時(shí)，不是無(wú)窮小量.3.計(jì)算下列極限： （1） ；解： .（2） ；解；（3）；解：（4）；解：（5）；解：（6）；解：（7）；解： （8）.解：4.計(jì)算下列極限： （1） ；解：（2）；解：（3）；解：（4）；解：因?yàn)?且 ，所以（5）；解：（6）；解：（7）；解：（8）.解：5.已知 ，求常數(shù)和解：因?yàn)?，?即 將代入得 由解得 代入得 6.已知

11、 ，求求常數(shù)和解：由于故 由立得 代入，則有補(bǔ)充練習(xí)題：1.計(jì)算下列極限（1）；（2）；（3）. 解：（1）；（2）；（3）；2.求下列極限：（1）；（2）；（3）；（4）解：（1）；（2）；（3）；（4）習(xí)題1.51.是非判斷題（1）、在連續(xù)，在也連續(xù).（）；（2）在連續(xù).（）；（3）在其定義域內(nèi)一點(diǎn)處連續(xù)的充要條件是在處既左連續(xù)又右連續(xù)（）；（4）在有定義，且存在，則在處連續(xù)（×）；（5）在其定義域內(nèi)一點(diǎn)處連續(xù)，則.（）；（6）在處無(wú)定義，則在處不連續(xù)（）；（7）在內(nèi)連續(xù)，則在內(nèi)一定有最大值和最小值.（×）；（8）在上連續(xù)且單調(diào)，則在內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn). （）；（9）在

12、上連續(xù)，則在上有界.（×）；（10）因?yàn)?，所以在?nèi)必有零點(diǎn)（×）.2.單項(xiàng)選擇題（1）在處有定義是在處連續(xù)的（A）A. 必要條件而非充分條件； B.充分條件而非必要條件；C. 充分必要條件 ； D.無(wú)關(guān)條件.（2）是在處連續(xù)的（C）A. 必要條件而非充分條件； B.充分條件而非必要條件；C. 充分必要條件 ； D.無(wú)關(guān)條件.（3）是的（A）A. 可去間斷點(diǎn)； B. 跳躍間斷點(diǎn)；C. 可振蕩間斷點(diǎn)； ； D. 無(wú)窮間斷點(diǎn)；（4）函數(shù)在上有最大值和最小值是在上連續(xù)的（A）A. 必要條件而非充分條件； B.充分條件而非必要條件；C. 充分必要條件 ； D.既非充分條件又非必要條件

13、.（5）在上連續(xù)，且，則應(yīng)判斷在內(nèi)零點(diǎn)個(gè)數(shù)不小于（D）A. 3； B.4； C. 5 ； D. 6.（6）下列命題錯(cuò)誤的是（C）A. 在上連續(xù)，則存在，使；B.在上連續(xù)，則存在常數(shù)，使得對(duì)任意，都有；C. 在內(nèi)連續(xù)，則在內(nèi)定沒(méi)有最大值；D. 在內(nèi)連續(xù)，則在內(nèi)可能既沒(méi)有最大值也沒(méi)有最小值.3，求下列函數(shù)的間斷點(diǎn)，并指出間斷點(diǎn)的類(lèi)型：（1） ； （2） ；（3） ； （4） ；（5） 解：（1）在點(diǎn)處無(wú)定義，從而是其間斷點(diǎn).又因?yàn)?，所以，是第二?lèi)無(wú)窮型間斷點(diǎn).（2）在點(diǎn)及處無(wú)定義，從而點(diǎn)及均為其間斷點(diǎn).因?yàn)椋适堑谝活?lèi)的可去間斷點(diǎn)；又因?yàn)?，故是第二?lèi)無(wú)窮型間斷點(diǎn).（3）在點(diǎn)處無(wú)定義，從而是其間斷點(diǎn)

14、.又因?yàn)?，所以，是第二?lèi)無(wú)窮型間斷點(diǎn).（4）；.因?yàn)椋怨适堑谝活?lèi)的跳躍間斷點(diǎn).（5）；.因?yàn)椋怨适堑谝活?lèi)的跳躍間斷點(diǎn).4.研究下列函數(shù)的連續(xù)性，并畫(huà)出圖象.（1） （2） 解：（1）因?yàn)楫?dāng)時(shí)，是初等函數(shù)，且是其定義區(qū)間，故由基本結(jié)論知，在上連續(xù)；同理，在上也連續(xù).又；，且.故，所以在處連續(xù).綜上分析知，在上連續(xù).（2）因?yàn)槭浅醯群瘮?shù)，且是其定義區(qū)間，故由基本結(jié)論知，當(dāng)時(shí)，在上連續(xù)；同理，在及上也連續(xù).又；，因?yàn)椋适堑谝活?lèi)的跳躍間斷點(diǎn).又；，因?yàn)?，故在處連續(xù).5.求下列函數(shù)的連續(xù)區(qū)間，并求出指定的極限：（1），求（2），求（3）求（4），求解：（1）當(dāng)，即或時(shí)，無(wú)定義，故函數(shù)的定義域?yàn)?/p>

15、.由于是初等函數(shù)，因此由基本結(jié)論：一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都連續(xù)，知的連續(xù)區(qū)間為或或.因?yàn)?，故在處連續(xù)，所以有 （2）因?yàn)槭浅醯群瘮?shù)，且是其定義區(qū)間，故由基本結(jié)論知，當(dāng)時(shí)，在上連續(xù)；同理，在上也連續(xù).又；，因?yàn)椋适堑谝活?lèi)的跳躍間斷點(diǎn).綜上分析，的連續(xù)區(qū)間為或.因?yàn)椋试谔庍B續(xù)，所以有 （3）當(dāng)，即或時(shí)，無(wú)定義，故函數(shù)的定義域?yàn)?由于是初等函數(shù)，因此由基本結(jié)論：一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都連續(xù)，知的連續(xù)區(qū)間為或或.因?yàn)?，故在處連續(xù)，所以有 （4）的定義域是，故的連續(xù)區(qū)間為.因?yàn)椋试谔庍B續(xù)，所以有 6.設(shè)函數(shù)應(yīng)當(dāng)怎樣選擇常數(shù)，使成為內(nèi)的連續(xù)函數(shù)？解：當(dāng)時(shí)，為初等函數(shù)，則當(dāng)時(shí)，為連續(xù)函數(shù)；當(dāng)時(shí)

16、，為初等函數(shù)，則當(dāng)時(shí)，為連續(xù)函數(shù).要使得成為內(nèi)的連續(xù)函數(shù)，只須在處也連續(xù).因；故只有當(dāng)，即時(shí)，在處也連續(xù).7.證明方程至少有一個(gè)根介于1和2之間.證明：設(shè)，在上連續(xù)，又 ，故由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的零點(diǎn)定理知，至少存在一點(diǎn)，使從而方程至少有一個(gè)根介于1和2之間.習(xí)題1.61某顧客向銀行存入本金元，年后他在銀行的存款額是本金及利息之和.設(shè)銀行規(guī)定年利率為，根據(jù)下述不同的結(jié)算方式計(jì)算顧客年后的最終存款額.（1）每年結(jié)算一次；（2）每月結(jié)算一次，月利率為；（3）每年結(jié)算次，每個(gè)結(jié)算周期的利率為；（4）當(dāng)趨于無(wú)窮大時(shí)，結(jié)算周期為無(wú)窮小，這意味著銀行連續(xù)不斷的結(jié)算、付利息，這種存款方法稱(chēng)為連續(xù)復(fù)利.試計(jì)算在

17、該情況下顧客年后的最終存款額.解：（1）；（2）；（3）；（4）（1）設(shè)年后顧客在銀行的最終存款額為（元），則 2.空氣通過(guò)盛有吸收劑的圓柱形器皿，已知它吸收的量與的濃度及吸收厚度成正比.今有含量為的空氣通過(guò)厚度為10的吸收層后，其的含量為.問(wèn)：（1）若通過(guò)的吸收層的厚度為，出口處空氣中的含量是多少？（2）若要使出口處空氣中的含量,其吸收層的厚度應(yīng)該為多少？解：將吸收層分成n層逐層考慮，然后考慮時(shí)出口處含量的極限，得到出口處含量與吸收層厚度之間的函數(shù)關(guān)系.第一層吸收量：，剩余量：；第二層吸收量：，剩余量：；第n層吸收量：，剩余量：；時(shí)得到出口處含量.由已知，時(shí)，所以（1）時(shí)，；（2）時(shí)，（1）

18、設(shè)當(dāng)空氣中的濃度為，吸收層的厚度為時(shí)，對(duì)應(yīng)吸收的量為根據(jù)題意，可設(shè) 由題意，可得 由可得 故 若吸收層的厚度為，即，則由式解得，所以出口處空氣中的含量為 （2）若出口處空氣中的含量,則吸收的的量為復(fù)習(xí)題一1.選擇題：（1）函數(shù)的定義域是（B）A. B. C. D. （2）.已知下列四組函數(shù)：與； 與；與； 與.其中表示同一函數(shù)的（C）A. B. C. D. （3）.設(shè)定義在上的函數(shù)，則是（A）A. 奇函數(shù)又是增函數(shù) B. 偶函數(shù)又是增函數(shù) C. 奇函數(shù)又是減函數(shù) D. 增函數(shù)又是減函數(shù) （4）.已知，則的值是（A）A. B. C. D. 解：當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)，（5）若函數(shù)的反函數(shù)圖像過(guò)

19、點(diǎn)，則函數(shù)的圖像必過(guò)點(diǎn)（C）A. B. C. D. （6）下列極限中，值為1的是（C）A. B. C. D. （7）（A）A. B. C. D. 不存在解：；，所以（8）下列函數(shù)中， 在上連續(xù)的是（B）A. ； B. ； C. ； D. 不存在解：注意到2.試證，時(shí)，是的高階無(wú)窮小.證明：因?yàn)?，所以時(shí)，是的同階無(wú)窮小.原題有誤.3.設(shè)函數(shù)請(qǐng)分別討論及時(shí)的極限是否存在.解：（一）； ；因?yàn)?，所以不存? （二）； ；因?yàn)?，所?.計(jì)算下列極限：（1）； （2）； （3）. （4）； （5）； （6）.解：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）.5.已知 ，求常數(shù)和解：因?yàn)?，?即 將代入

20、得 由解得 6.設(shè)函數(shù)問(wèn)為何值時(shí)，在內(nèi)連續(xù).解：當(dāng)時(shí)，為初等函數(shù)，故當(dāng)時(shí)，為連續(xù)函數(shù)；當(dāng)時(shí)，為初等函數(shù)，故當(dāng)時(shí)，為連續(xù)函數(shù).要使得成為內(nèi)的連續(xù)函數(shù)，只須在處也連續(xù).因 ； 故只有當(dāng)，即時(shí)，亦即時(shí)，在處也連續(xù)，從而在內(nèi)連續(xù).7.已知，求函數(shù)的連續(xù)區(qū)間，并求解： 是初等函數(shù)，其定義域?yàn)?因是的定義區(qū)間，故由基本結(jié)論知，當(dāng)時(shí)，在上連續(xù)；同理，在及上也連續(xù).綜上的連續(xù)區(qū)間是、及.因?yàn)?，故在處連續(xù)，所以有 8.若函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，證明：至少存在一點(diǎn)，使得.證明：設(shè)，則在上連續(xù)，又 ，故由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的零點(diǎn)定理知，至少存在一點(diǎn)，使，即.習(xí)題2.11.是非判斷題（1）.（×）；（2）若在處不

21、連續(xù)，則必不存在.（）；（3）若在處不可導(dǎo)，則在處必不連續(xù)（×）；（4）若曲線在處存在切線，則必存在（×）；（5）函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)就是該曲線在該點(diǎn)處的切線的斜率.（）；2.單項(xiàng)選擇題：（1）當(dāng)自變量的由改變到時(shí)，的改變量（C）A. B. C. D. （2）.函數(shù)在處連續(xù)是在處可導(dǎo)的（A）A. 必要但非充分條件 B. 充分但非必要條件 C. 充分必要條件 D. 既非充分又非必要條件（3）.若函數(shù)在處可導(dǎo)，則在處（A）A. 可導(dǎo) B. 不可導(dǎo)C. 連續(xù)但未必可導(dǎo) D. 不連續(xù)解：因?yàn)椋汕髮?dǎo)法則知在處也可導(dǎo).3.用定義求在處的導(dǎo)數(shù)，并求在相應(yīng)點(diǎn)處曲線的切線方程.解： 曲線在處

22、的切線為4.設(shè)，存在，求解：5.討論下列函數(shù)在處的連續(xù)性與可導(dǎo)性. 解：（一）連續(xù)性因?yàn)?，故函?shù)在處的連續(xù).（二）因?yàn)椋屎瘮?shù)在處可導(dǎo)，且.6.假設(shè)下列各題中的在的某鄰域內(nèi)都存在，按照導(dǎo)數(shù)的定義觀察，表示什么？（1），則；解：.（2），其中，且存在，則；（3），則；解：.（4），則.解：.7.由導(dǎo)數(shù)的定義，求的導(dǎo)函數(shù).解： （等價(jià)替換）8.設(shè)一質(zhì)點(diǎn)作變速直線運(yùn)動(dòng)，它的運(yùn)動(dòng)方程是，求其瞬時(shí)速度解：習(xí)題2.21.是非判斷題（1）若、在處可導(dǎo)，則在處可導(dǎo).（）；（2）若、在處均不可導(dǎo)，則在亦不可導(dǎo).（×）；（3）設(shè)，則（×）；（4）若、可導(dǎo)，且，則必有（×）；（5）初等

23、函數(shù)在其定義域內(nèi)是可導(dǎo)的（×）；（6）設(shè)，則（×）.2.單項(xiàng)選擇題：（1）曲線上切線平行于軸的點(diǎn)是（C）A. B. C. D. 解：令，解得，故選C.（2）設(shè)，且存在，則（D）A. B. C. D. 解： .此題有誤，沒(méi)有正確選項(xiàng).（3）設(shè)，則（ ）A. B. C. D. 解： .此題有誤，沒(méi)有正確選項(xiàng).（4）設(shè)，則（D）A. B. C. D. 解：因?yàn)?，所以?）.已知是大于零的常數(shù)，則應(yīng)是（A）A. B. C. D. 解：；（6）已知，且，則（ ）A. B. C. D. 解：上式兩邊關(guān)于求導(dǎo)得 所以 所以.3.求導(dǎo)數(shù)： （1），求解：，（2），求和解：； ，；4.求下列

24、函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）；（7）； （8）；（9）； （10）；（11）； （12）.解：（1）；（2）；（3） ；（4）；（5）；（6），；（7），；（8）；（9）；（10）；（11）；（12）5.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：（1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）；（7）； （8）； （9）；（10）； （11）； （12）解：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）（9） ；（10） （11） （12）.6.求下列函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)：（1）； （2）；（3）； （4）解：（1） ； .（2） ； （3）；.（4）；.7.求下列

25、函數(shù)的階導(dǎo)數(shù)的一般表達(dá)式：（1）； （2）； （3）解：（1）；歸納可得： .（2） 歸納可得： （3） 歸納可得 補(bǔ)充練習(xí)題：1.求下列方程所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：（1）；（2）；（3）解：（1）方程兩邊同時(shí)對(duì)求導(dǎo)，得：，故（2）方程兩邊同時(shí)對(duì)求導(dǎo)，得： ，故（3）方程兩邊同時(shí)對(duì)求導(dǎo)，得： ，故2.用對(duì)數(shù)求導(dǎo)法求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：（1）；（2）解：（1）兩邊取對(duì)數(shù)，得 上式兩邊同時(shí)關(guān)于求導(dǎo) ，得 所以 （2）兩邊取對(duì)數(shù)，得 上式兩邊同時(shí)關(guān)于求導(dǎo) ，得 所以 3.求下列參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：（1）；（2）；（3）其中解：（1）因?yàn)?所以 （2）；因?yàn)?所以 （3）其中因?yàn)?所以 習(xí)題2.31

26、設(shè)質(zhì)點(diǎn)的位移函數(shù)，其中和的單位分別為是和，問(wèn)何時(shí)質(zhì)點(diǎn)達(dá)到？解：，令，即 ，解得（舍去），或.2 一架高的梯子斜靠在墻上，令為梯子與墻的夾角，為梯子下端到墻的距離.如果梯子的底部滑離墻壁，求在時(shí)關(guān)于的變化率.解：由題意知 故 ，所以，在時(shí)關(guān)于的變化率為3 設(shè)一金屬棒在左端（單位：）與距左端之間這部分的質(zhì)量為（單位：），求、時(shí)金屬棒的線密度.解：記金屬棒在左端與距左端之間這部分的質(zhì)量為，則 故當(dāng)、時(shí)金屬棒的線密度分別為、12、18.4 設(shè)一容器內(nèi)盛有的水經(jīng)底部流出，流完，由托里切利定律，經(jīng)時(shí)間（單位：）后容器里所剩的水的體積為，求、時(shí)水的流出速率.解：，則當(dāng)?shù)扔?、時(shí)水的流出速率分別為 ；5 用繩子

27、將一重的物體沿水平方向拉動(dòng).若繩子與水平面的夾角為，則拉力的大小為 （其中是摩擦系數(shù)）.（1） 求關(guān)于的變化率；（2） 什么情況下這種變化率等于零？解：（1） .（2）令，解得6.設(shè)通過(guò)導(dǎo)線橫截面的電量，其中電量單位為，時(shí)間單位為.求，時(shí)的電流.解：時(shí)刻的電流強(qiáng)度. ； 習(xí)題2.41.設(shè)，計(jì)算在處分別取時(shí)的，及.解：；.1.當(dāng)時(shí) ；.2.當(dāng)時(shí) ；.3.當(dāng)時(shí) ；.4.當(dāng)時(shí) ；.2.求下列函數(shù)的微分：（1）；（2）；（3）；（4）；解：（1），. （2），. （3）， .（4）， 3.將適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)填入下列括號(hào)內(nèi)，使等式.(1) ; (2) ;(3) ; (4) ;4.求下列函數(shù)在指定點(diǎn)處的線性逼近

28、：（1） ，；（2） ，；（3） ，解：注意所謂的函數(shù)在指定點(diǎn)處的線性逼近，其實(shí)就是要求用公式 來(lái)表示.（1），即 ；（2） ， ，即 （3） ， ，即5.用微分求下列各數(shù)的近似值：（1）；（2）；（3）；（4）解：（1）利用近似計(jì)算公式：，有（2）利用近似計(jì)算公式：，有（3）取 ，利用公式 有 （4）利用近似計(jì)算公式：，有 6.某工廠生產(chǎn)一種扇形板，要求半徑為，中心角為.在檢驗(yàn)產(chǎn)品時(shí)，一般用量弦長(zhǎng)的辦法來(lái)間接測(cè)量圓心角.如果測(cè)量弦長(zhǎng)時(shí)誤差不超過(guò).問(wèn)由此引起的中心角的測(cè)量誤差不超過(guò)多少？解：由題意知 ，即我們把測(cè)量時(shí)所產(chǎn)生的誤差當(dāng)作自變量的增量，那么利用公式來(lái)計(jì)算時(shí)所產(chǎn)生的誤差就是函數(shù)對(duì)應(yīng)的增

29、量.即 由于的測(cè)量誤差，所以 其中 復(fù)習(xí)題二1.填空題：（1）已知，則解：（2）若，則解：，故（3）若二階可導(dǎo)，則解：； .（4）曲線在點(diǎn)處的切線方程是解：所以曲線在點(diǎn)處的切線方程是 ，即（5）若，則解： ；所以 （7）若，則解：，所以（8）函數(shù)有任意階導(dǎo)數(shù)，且 ，則解： 兩邊關(guān)于求導(dǎo)得 將代入，得 兩邊關(guān)于求導(dǎo)得 （代入），歸納可得 .（9）若，則解： 2.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分：（1）；（2）； （3）；（4）； （5）； （6）解: （1），.（2）；所以，.（3）；（4）；（5）（6）；4一氣球從距離觀察員500處離地勻速鉛直上升，其速率為米/分，當(dāng)此氣球上升到500米上空時(shí)，觀察員的

30、傾角增加率為多少？解：設(shè)在時(shí)刻氣球的高度為，觀察員的傾角為，則根題意： 兩邊關(guān)于求導(dǎo)得 當(dāng)時(shí)，又，將上述數(shù)據(jù)代入，得 于是算得 5 在一新陳代謝實(shí)驗(yàn)中葡萄糖的質(zhì)量變化規(guī)律是：，其中的單位是.求時(shí)葡萄糖的變化率.解：，當(dāng)時(shí)葡萄糖的變化率為.6 已知血管的半徑為，長(zhǎng)為，血管兩端的壓強(qiáng)差為，血的粘滯系數(shù)為.用層流律求距血管中心軸為處血管流速和速度梯度.解：設(shè)距離血管中心軸處血流速度為，則由層流律知 則 所以距血管中心軸為處血管流速為 距血管中心軸為處速度梯度為7 設(shè)黃沙通過(guò)傳送帶以的速度倒向指定的地方，形成了直徑與高度相同的圓錐形沙堆.求沙堆高度為時(shí)的堆高的增加率.解：設(shè)在時(shí)刻高為的圓錐形沙堆的體積

31、為，則 兩邊關(guān)于求導(dǎo)得 即 將，代入，得 8 注水入深8米，上頂直徑為8米的正圓錐形容器中，其速率為，當(dāng)水深為5米時(shí)，其表面上升的速率為多少？解：設(shè)時(shí)刻正圓錐形容器中水深為，水面半徑為，水的容積為，則 又由題意知 ，即 故 兩邊關(guān)于求導(dǎo)得 即 將，代入，得 習(xí)題3.11求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）.解：（1） （一）；（二）；（三）令,無(wú)不可導(dǎo)點(diǎn).；（四）列表判斷： 極大 極小 （2）（一）；（二）；（三）令,得（舍），在不可導(dǎo)（舍）.；（四）列表判斷： 極小 （3）（一）；（二）；（三）令,得，無(wú)不可導(dǎo)點(diǎn).；（四）列表判斷： 極小

32、極大 （4）（一）；（二）；（三）令,無(wú)不可導(dǎo)點(diǎn).；（四）列表判斷： 極小 極大 （5）（一）；（二）；（三）令,得，在不可導(dǎo)（舍）.；（四）列表判斷： 極小 （6）； 解：（2）（一）;（二）;（三）令.在處不可導(dǎo)（舍）.（四）列表判斷： 0 極大 （7）因?yàn)椋缘膯握{(diào)增加區(qū)間為，無(wú)單調(diào)減少區(qū)間.無(wú)極值.（8）（一）;（二）; （三）令.在處不可導(dǎo).（四）列表判斷： 不存在 0 0 極小 極大 極小 2.利用二階導(dǎo)數(shù)求下列函數(shù)的極值：（1）；（2）解：（1）（一）;（二）;（三）令在處不可導(dǎo)（舍）（四）.因?yàn)?，所以為極小值.（2）（一）;（二）;（三）令（四）.因?yàn)椋詾闃O小值.習(xí)題3.

33、21確定下列函數(shù)的凹向區(qū)間與拐點(diǎn)： （1）； （2）；（3）； （4）.解：（1）（一）；（二），；（三）令.無(wú)二階不可導(dǎo)點(diǎn).（四）列表判斷： 0 拐點(diǎn) （2）（一）；（二），；（三）令無(wú)解.在無(wú)處二階不可導(dǎo).（四）列表判斷： 不存在 間斷點(diǎn) （3）（一）；（二）； .（三）令，得，.無(wú)二2階不可導(dǎo)點(diǎn).（四）列表判斷： 拐點(diǎn) 拐點(diǎn) （4）（一）；（二）； ；（三）令，得，.無(wú)二階不可導(dǎo)點(diǎn).（四）列表判斷： 拐點(diǎn) 拐點(diǎn) 2設(shè)，顯然，但不是的拐點(diǎn).試證明之.證明：因?yàn)楫?dāng)及時(shí)，均有，故曲線在的左右兩邊均為凹的，所以根據(jù)拐點(diǎn)的定義知，不是曲線的拐點(diǎn).3確定曲線的值，使是函數(shù)曲線的拐點(diǎn).解：；由題意知應(yīng)有 ，即解之得習(xí)題3.31 某學(xué)生在暑假期間制作并銷(xiāo)售項(xiàng)鏈，他以10元一根出售，每天可售出20根.當(dāng)他把價(jià)格每提高1元時(shí)，他每天就少出售2根.（1） 求價(jià)格函數(shù)（即價(jià)格與銷(xiāo)售數(shù)量的函數(shù)關(guān)系，假定它們是線性的）；（2） 如果制作一根項(xiàng)鏈的成本是6元，他以什么價(jià)格出售才能獲得最大利潤(rùn)？解：（1）設(shè)項(xiàng)鏈價(jià)格為（元）時(shí)，可銷(xiāo)售（根），根據(jù)題意可設(shè) 又時(shí)，代入 ，解得，故 （3） 設(shè)項(xiàng)鏈價(jià)格為（元）時(shí)，銷(xiāo)售項(xiàng)鏈所得的利潤(rùn)為，則 令 ，