[高考數學]最后沖刺平面向量與三角函數教師

1、.最后沖刺平面向量與三角函數1平面向量例1（1）已知，是平面內兩個互相垂直的單位向量，若向量滿足,則的最大值是 （2）如圖，在ABC中，設，AP的中點為Q，BQ的中點為R，CR的中點為P，若，則 ， AOBP例1（3）（3）如圖，在中，點P是線段OB及線段AB延長線所圍成的陰影區(qū)域（含邊界）的任意一點，且，則在直角坐標平面內，實數對所示的區(qū)域在直線的下側部分的面積是 例1（2）（1）解析：展開則的最大值是；或者利用數形結合,考慮向量運算的幾何意義 （2）解析：在圖中用通過三角形法則將向量設，或表示出來后待定系數可以求得，（3）解析：根據提供的區(qū)域找出滿足的關系 再求出相應區(qū)域三角形的面積例2在

2、中,滿足,是中點（1）若,求向量與向量的夾角的余弦值；（2）若是線段上任意一點，且，求的最小值;（3）若點是上一點，且,求的最小值解析：（1）；（2）設則，可以求得當時取得最小值；（3）設則于是當且僅當時，2三角函數化簡求值例3(1) 若，則( )A（0，） B（，） C（，） D（，）解析：,故選C（2）已知，則的值是 解析：，3三角函數的圖象和性質例4(1)函數的一個單調增區(qū)間是（ ）ABCD解析：,利用復合函數單調性:同增異減的原則結合二次函數與余弦函數的單調性特征逐個進行檢驗,選A（2）設函數為（ ）A周期函數，最小正周期為B周期函數，最小正周期為C周期函數，數小正周期為D非周期函數解

3、析: ,故其周期為(3)函數的圖象為，圖象關于直線對稱；函數在區(qū)間內是增函數；由的圖象向右平移個單位長度可以得到圖象以上三個論斷中，正確論斷的個數是（ ）A0B1C2D3解析: 時，故正確，錯誤，由的圖象向右平移得到：，錯誤，選B例5(1)要得到函數的圖象，只需將函數的圖象（ ）A向右平移個單位B向右平移個單位 C向左平移個單位D向左平移個單位解析: ,由左加右減的原則,故選A（2）函數為奇函數，該函數的部分圖像如右圖所表示，、分別為最高點與最低點，并且兩點間的距離為，則該函數的一條對稱軸為（ C ）A B C D例6已知函數，其圖像過點（1）求的值；(2) 將函數的圖像上各點的橫坐標縮短到原

4、來的，縱坐標不變，得到函數的圖像，求函數在上的最大值和最小值解析：（1）因為 又 函數圖像過點 即 又 （2） 由（）知 ，將函數的圖像上各點的橫坐標縮短到原來的，縱坐標不變，得到函數的圖像，可知因為 所以 因此 故 所以 在上的最大值和最小值分別為和鞏固練習一：1記,那么A B - C D -解析：,故選B 2已知、是非零向量且滿足， ，則與的夾角是（ ）A B C D 解析：由條件可以得到與的關系，然后利用夾角公式選D3函數的單調遞增區(qū)間是（）ABCD解析：,由時函數單調遞增，將答案逐個進行檢驗，選D4設>0,函數y=sin(x+)+2的圖像向右平移個單位后與原圖像重合，則的最小值是

5、（ ）（A） (B) (C) (D)3 解析：將y=sin(x+)+2的圖像向右平移個單位后為=2k, 即又 ， k1故， 所以選C5若，則2x與3sinx的大小關系：( )A2x>3sinx B2x<3sinx C2x=3sinx D與x的取值有關解析:由,時, 最小, ,選D6已知A、B、C三點共線，O是這條直線外的一點，滿足m 若，則的值為 解析：可以將用向量表示，求得7在中，點P是AB上一點，且Q是BC中點，AQ與CP交點為M，又，則的值為 解析：由可知,然后可以通過幾何或向量法得到的值為8已知<<<,則= 解析：由，得又，由得：,所以9對于以下命題存在，

6、使存在區(qū)間使為減函數，且的一條對稱軸為直線既有最大值、最小值，又是偶函數的最小正周期為以上命題正確的有 （填 上所有正確命題的序號）10已知函數的圖象的一部分如下圖所示 (1)求函數的解析式;(2)當時,求函數的最大值與最小值及相應的的值解析:(1)由圖像知,得由對應點得當時,; (2)=,當,即時,的最大值為;當,即時,的最小值11已知函數（）求函數的周期和最大值；（）已知，求的值解析：（）周期為， 最大值為6 （）由，得 ， 即 ， 12 如圖，函數的圖象與軸交于點，且在該點處切線的斜率為（1）求和的值；（2）已知點，點是該函數圖象上一點，點是的中點，當，時，求的值解析:（1）將，代入函數

7、得，因為，所以又因為，所以，因此（2）因為點，是的中點，所以點的坐標為又因為點在的圖象上，所以因為，所以，從而得或即或13已知：，（）() 求關于的表達式，并求的最小正周期；() 若時，的最小值為5，求的值解析：() 2分 的最小正周期是() ，當即時，函數取得最小值是 ， 5解三角形相關問題例7（1）在ABC中，內角A,B,C的對邊分別是a,b,c，若，則A=（A） （B） （C） （D）解：由正弦定理得所以cosA=，所以A=300（2）滿足條件的三角形的面積的最大值 解析：設BC，則AC ，根據面積公式得=，根據余弦定理得，代入上式得=由三角形三邊關系有解得，故當時取最大值例8設的內角A

8、、B、C所對的邊分別為，且（1）求角的大??；（2）若，求的周長的取值范圍解析：（1）方法一：在中，有由正弦定理得：又 ，即，又為的內角， 方法二：由得即： （2）由正弦定理得： 于是故的周長的取值范圍為5三角函數的綜合應用例9（1）設直角三角形的兩條直角邊的長分別為，b，斜邊長為c，斜邊上的高為h，則有，其中正確結論的序號是 ；進一步類比得到的一般結論是 （2）函數的最大值是 解析：（1）在直角三角形中，故所以有，故填 （2）令, ,由開口向上的局部二次函數的最大值在端點處知例10如圖，A，B是單位圓O上的動點，且A,B分別在第一、二象限C是圓與x軸正半軸的交點，為正三角形若點A的坐標為，記x

9、OABy（1）若點A的坐標為，求的值；（2）求的取值范圍解析：（1）20（2）例11在中，的對邊的邊長分別為且成等比數列(1) 求角B的取值范圍;(2) 若關于B的不等式恒成立，求的取值范圍解析：（1） 當且僅當時， 故（2 ） 故原不等式恒成立，即得的取值范圍為 例12已知函數（1）求函數的最大值及當函數取得最大值時的集合；（2）在中，分別為內角所對應的邊，且對定義域中任意的都有，若，求的最大值解析：（1）當，函數的最大值為3，此時，所以當函數取得最大值時的集合為（2）對定義域中任意的都有，則，所以，所以所以最大值為鞏固練習二：1某班設計了一個八邊形的班徽（如圖），它由腰長為1，頂角為的四個

10、等腰三角形，及其底邊構成的正方形所組成，該八邊形的面積為（A）；（B）（C） （D）解析：2設，對于函數，下列結論正確的( ) A有最大值而無最小值 B有最小值而無最大值 C有最大值且有最小值 D既無最大值又無最小值解析： 單調遞減, , 選B3已知k4，則函數的最小值是( )A 1 B 1 C 2k1 D2k1解析：為關于的二次函數，對稱軸，關于的二次函數處于二次函數的單調遞減區(qū)間，,選A4已知集合=1,2,3， =1,2,3,4，5，定義函數若點A(1,(1)、B(2,)、C(3,)，ABC的外接圓圓心為，且,則滿足條件的函數有( B ) A15個 B20個 C 25個 D 30個5對于命

11、題：如果是線段上一點，則；將它類比到平面 的情形是：若是內一點，有；將它類比到空間的情形應該是：若是四面體內一點，則有 6銳角三角形ABC的三邊a,b,c和面積S滿足條件，若角C既不是三角形ABC的最大角也不是三角形ABC的最小角，則實數k的取值范圍是 解析：由條件可知,通過求導可得7如題（15）圖，圖中的實線是由三段圓弧連接而成的一條封閉曲線，各段弧所在的圓經過同一點（點不在上）且半徑相等 設第段弧所對的圓心角為，則_ 解析：又 ，8根據三角恒等變換，可得如下等式： 依此規(guī)律，猜測，其中 -30 解析：所以9在中，已知內角，邊設內角，周長為（1）求函數的解析式和定義域；（2）求的最大值解析：

12、（1）的內角和，由得應用正弦定理，知因為，所以，（2）因為，所以，當，即時，取得最大值10如圖, 單位圓（半徑為1的圓）的圓心為坐標原點，單位圓與軸的正半軸交與點,與鈍角的終邊交于點,設(1) 用表示;(2) 如果,求點的坐標；角終邊(3) 求的最小值 解析：(1)如圖 （2）由，又,得 由鈍角，知 （3）【法一】， 又，,的最小值為【法二】為鈍角，, ， ,的最小值為 11已知向量是否存在實數，是若存在，則求出x的值；若不存在，則證明之解析： 12已知（1）當時，求函數的最小正周期；（2）當時，求的值解析：（1），又，該函數的最小正周期是（2）是銳角 ，即 是銳角 ，即cos213已知ABC的外接圓半徑為1，角A，B，C的對邊分別為a，b，c向量滿足 (1)求sinAsinB的取值范圍； (2)若，且實數x滿足，試確定x的取值范圍解析：(1)因為mn ，即ab4cosAcosB 因為ABC的外