高考中立體幾何的解法探索畢業(yè)論文

1、存檔編號 贛 南 師 范 學 院 學 士 學 位 論 文 高考中立體幾何的解法探索 教學學院 數(shù)學與計算機科學學院 屆 別 2014屆 專 業(yè) 數(shù)學與應(yīng)用數(shù)學 學 號 100700079 姓 名 指導(dǎo)教師 完成日期 2014年5月4日 作者聲明本畢業(yè)論文（設(shè)計）是在導(dǎo)師的指導(dǎo)下由本人獨立撰寫完成的，沒有剽竊、抄襲、造假等違反道德、學術(shù)規(guī)范和其他侵權(quán)行為。對本論文（設(shè)計）的研究做出重要貢獻的個人和集體，均已在文中以明確方式標明。因本畢業(yè)論文（設(shè)計）引起的法律結(jié)果完全由本人承擔。畢業(yè)論文（設(shè)計）成果歸贛南師范學院所有。特此聲明。作者專業(yè)：數(shù)學與應(yīng)用數(shù)學作者學號：100700079作者簽名：（手寫有

2、效）年 月 日（手填時間）贛南師范學院2014屆本科生畢業(yè)論文（設(shè)計）高考中立體幾何的解法探索 The solution to the college entrance examination in solid geometry explore Lan Jinling目錄 內(nèi)容摘要 1關(guān) 鍵 詞 1Abstract 1Key words11 立體幾何在高考中的現(xiàn)狀32立體幾何在高考中的考點解析4 2.1空間幾何體的結(jié)構(gòu)及其三視圖和直觀圖問題4 2.2立體幾何求表面積和體積問題4 2.3立體幾何中點、線、面位置問題 51. 2.4立體幾何中空間角、距離求值問題62.5向量法在立體幾何中的應(yīng)用 8

3、3立體幾何考點解法探索10 3.1空間幾何體結(jié)構(gòu)解法探索10 3.2 立體幾何點線面位置判定方法11 3.3立體幾何空間角、空間距離的計算 12 3.4用向量法解立體幾何134.總結(jié) 15參考文獻 16摘 要立體幾何高中數(shù)學的重點內(nèi)容，是從中學到大學繼續(xù)深造學習的必備基礎(chǔ)知識.立體幾何在高考試卷中主要體現(xiàn)在點與線、點與面、線與線、線與面、面與面之間位置、距離、夾角問題的考查，并且一般都采用一題兩解的模式，既可以用綜合法解答，又可以用向量法解答.吳厚榮在文獻4中發(fā)現(xiàn)學生更傾向于選擇向量法，而且有部分同學認為向量法是萬能的，在遇到用綜合法比較好做而用向量法比較難做時往往無從下手.陳雪梅在文5中對位

4、置關(guān)系與角的度量的教學效果進行了調(diào)查研究認為向量的引入沒有加重學生的思維負擔.向量法相比綜合法可以減少一些復(fù)雜的思維和推理過程，提高解題效率，并易為學生接受，但有一些問題通過適當作圖運用綜合法可以減少像向量法中計算的繁瑣，面對不同的問題應(yīng)該選擇出合適的解法.本文就是對于不同類型的立體幾何問題歸類探索其解法，通過歷年高考中立體幾何實例找出其解法，探索其解法并歸納總結(jié). 關(guān)鍵詞： 高考；立體幾何；向量 AbstractSolid geometry, the important content of high school math is to learn from the university c

5、ontinue to further study the necessary basic knowledge study. Solid geometry in the college entrance examination examination paper mainly embodied in the point and line and point and plane, line and line, line and surface, position, distance, Angle between surface and surface problem of examination,

6、 and generally adopted the solution of a problem, can use synthetic method to solve, and can use the vector method to solve. Wu Hourong found in the literature 4 students tend to choose the vector method, and has a part of the students thought that vector method is universal, to meet with synthetic

7、method is better to do, but with the vector method is difficult to do often do not know how to start. When Chen Xuemei in paper 5 for the measurement of position and Angle of the teaching effect of the investigation and study feel that the introduction of the vector is no burden of aggravating the m

8、inds of students. Compared with the synthetic method can reduce some complex vector method of thinking and reasoning process, improve the efficiency of problem solving, and easy for students to accept, but there are some problems with proper drawing using synthetic method can reduce as vector method

9、 in the calculation of trival, face different issues should choose the appropriate solution. This paper is the problem for different types of solid geometry classification, explore the solution through the calendar year the university entrance exam in solid geometry instance to find out the solution

10、, and explore the method and generalizations. Key words :The university entrance exam;solid geometry;vector1.立體幾何的在高考中的現(xiàn)狀從近幾年高考試題來看，文理均以選擇題、填空題、解答題各一道，共23分.其考小題推陳出新，考查的重點在于基礎(chǔ)知識，以基本位置關(guān)系的判定與柱、錐、球的角、距離、體積計算為主.考大題全面考查，主要考查學生對基本知識，基本方法，基本技能的理解、掌握和應(yīng)用情況，以空間線面的位置關(guān)系和有關(guān)數(shù)量關(guān)系計算為主.考試說明中明確指出：能根據(jù)條件畫出正確的圖形，根據(jù)圖形想象出直

11、觀形象；能正確地分析出圖形中基本元素及相互關(guān)系；能對圖形進行分解、組合與變換；會運用圖形與圖表形象地揭示問題的本質(zhì).立體幾何以它的內(nèi)容決定了其試題在考查空間想象能力的作用，由于它的公理化體系的處理，又決定了立體幾何是考查演繹思維的最好素材，空間向量的引入更為解決立體幾何問題提供了新的方法.1.1考察形式與特點立體幾何是高考的必考內(nèi)容.從近幾年的高考可以看出，考察的形式與特點是：（1）以選擇題、填空題的形式考察基礎(chǔ)知識.如線面位置關(guān)系的判斷，空間角與距離的求解，體積的計算，與球有關(guān)的組合體問題，空間圖形中動點軌跡問題等.其中線面位置關(guān)系的判定又常會與命題、充要條件等有關(guān)知識融合在一起進行考察.（

12、2）以解答題的形式考察立體幾何的綜合問題，如空間平行與垂直關(guān)系的論證，空間角與距離的求解，探索性問題，展開與折疊問題，定值與最值問題等.立體幾何的解答題一般作為整套試卷的中檔題出現(xiàn)，有2到3問，各問之間在解答時具有一定的連貫性.（3）立體幾何試題中，考察線面的位置關(guān)系以及角與距離的求解和綜合性問題時，往往是以多面體（棱柱、棱錐等）為載體進行考察的，但也有考察球體為載體的可能.（4）立體幾何求解方法可以利用傳統(tǒng)的綜合法，也可以利用空間向量的方法，并且多數(shù)情況下利用向量方法求解會更容易一些.1.2命題熱點與趨勢（1）空間幾何體的結(jié)構(gòu)，三視圖，直觀圖的判斷.（2）立體幾何與球有關(guān)的組合體. （3）空

13、間幾何體點，線，面位置判定.（4）立體幾何空間角度、距離的計算.（5）圖形的展開與折疊問題.（6）幾何體表面積及體積的計算.2高考中立體幾何考點解析2.1空間幾何體的結(jié)構(gòu)及其三視圖和直觀圖三視圖是新課標新增的內(nèi)容，柱、錐、臺、球的定義及相關(guān)性質(zhì)，與面積體積相關(guān)的三視圖的還原是高考熱點.準確理解柱、錐、臺、球的定義，真正把握幾何體的結(jié)構(gòu)特征，把握三視圖和幾何體之間的關(guān)系及斜二測畫法的作圖規(guī)則要領(lǐng)，拓展空間思維能力.下面以三視圖的判斷為例：例1：(2012年湖南，第3題)某幾何體的正視圖和側(cè)視圖均如圖1所示，則不可能是該幾何體的俯視圖的是（D）. A B C D 解析：由正視圖和俯視圖判斷原幾何圖

14、形結(jié)論.A圖是兩個圓柱的組合體的俯視圖；B圖是一個四棱柱與一個圓柱的組合體俯視圖；C圖是一個底面為等腰三角形的三棱柱與一個四棱柱的組合體俯視圖.采用排除法故選D.2.2立體幾何求表面積和體積問題給定空間幾何體求表面積和體積或由三視圖得出幾何體的直觀圖求其表面積和體積是高考的熱點. 要解決此類問題要熟記空間幾何體的表面積和體積公式，由于表面積和體積往往與求高聯(lián)系密切，因此要熟練掌握常見幾何體(如棱柱、棱錐、棱臺)的高、側(cè)高的求法，加強空間想象能力與運算能力.下面以求體積問題為例：例2：（2013年高考新課標1（理），第8題）某幾何體的三視圖如圖2所示,則該幾何體的體積為（ A ）. 圖3圖2AB

15、CD解析：三視圖復(fù)原的幾何體是一個長方體與半個圓柱的組合體，如圖3，其中長方體長、寬、高分別是：4，2，2，半個圓柱的底面半徑為2，母線長為4所以長方體的體積=4×2×2=16，半個圓柱的體積=×22××4=8,所以這個幾何體的體積是16+82.3立體幾何空間點、線、面的位置問題空間點、線、面的位置關(guān)系有相交（主要是垂直）、平行、異面關(guān)系，理解空間直線、平面位置關(guān)系的定義是解題的基礎(chǔ)，平面的基本性質(zhì)即公理和定理是推理的主要依據(jù)，備考時應(yīng)熟練掌握平面的基本性質(zhì)及線線、線面、面面三種位置關(guān)系，尤其是異面直線的判定及線、面垂直的判定是重難點.下面以線

16、面平行、線面垂直的判定為例：例3：（2010年茂名?？?第18題）如圖4，在直角梯形ABCD中，B90°，DCAB，BCCDAB2，G為線段AB的中點，將ADG沿GD折起，使平面ADG平面BCDG，得到幾何體ABCDG.圖 4(1)若E，F(xiàn)分別為線段AC，AD的中點，求證：EF平面ABG；(2)求證：AG平面BCDG.解：(1)證明：依題意，折疊前后CD、BG位置關(guān)系不改變CDBG.E、F分別為線段AC、BD的中點在ACD中，EFCDEFBG，又EF平面ABG，BG平面ABGEF平面ABG.(2)證明：將ADG沿GD折起后，AG、GD位置關(guān)系不改變AGGD，又平面ADG平面BCDG，

17、平面ADG平面BCDGGD，AG平面AGDAG平面BCDG.2.4立體幾何空間角、距離求值問題空間角有異面直線所成角、線面所成角、二面角，距離有點點、點線、點面，線線、線面、面面距離，空間角和距的計算是歷年高考考查的重點，經(jīng)常出現(xiàn)在大題，應(yīng)對這類為題要熟練掌握線面平行和垂直的判定與性質(zhì)，在此基礎(chǔ)上要靈活掌握各種空間角和距離的求解過程.下面以空間角和距離分別為例：例4：(2008年天津，第19題)如圖5，在四棱錐中，底面是矩形已知（1）證明平面；（2）求異面直線與所成的角；（3）求二面角的大小. 圖5解：（1）證明：在中，由題設(shè)可得:于是.在矩形中，.又，所以平面（2）由題設(shè)，所以（或其補角）是

18、異面直線與所成的角.在中，由余弦定理得:由（1）知平面，平面，所以，因而，于是是直角三角形，故,所以異面直線與所成的角的大小為（3）解：如圖6，過點P做于H，過點H做于E，連結(jié)PE因為平面，平面,所以.又，因而平面,故HE為PE再平面ABCD內(nèi)的射影.由三垂線定理可知，從而是二面角的平面角。由題設(shè)可得:于是再中，所以二面角的大小為例5: （2013年高考上海卷（理），第19題）如圖6,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,AD=1,A1A=1,證明:直線BC1平行于平面DA1C,并求直線BC1到平面D1AC的距離.圖6圖7解：因為ABCD-A1B1C1D1為長方體,故, 故ABC1D

19、1為平行四邊形,故,顯然B不在平面D1AC上,于是直線BC1平行于平面DA1C; 直線BC1到平面D1AC的距離即為點B到平面D1AC的距離設(shè)為 ,三棱錐ABCD1的體積,以ABC為底面,可得, 而中,故, 所以,即直線BC1到平面D1AC的距離為. 2.5向量法在立體幾何中的應(yīng)用用向量方法證明有關(guān)直線和平面的位置關(guān)系，求線段長度、點到面的距離及求異面直線的夾角、斜線與平面所成的角、二面角等.用向量法解決立體幾何問題，使許多立體幾何中形的思維轉(zhuǎn)化為數(shù)的構(gòu)想，從而使現(xiàn)代思想中數(shù)形結(jié)合的思想更充實了形數(shù)結(jié)合的內(nèi)容，把許多空間抽象概念轉(zhuǎn)化為具體的代數(shù)運算，降低了許多立體幾何難題的艱辛度.備考時熟練掌

20、握空間向量的坐標運算、掌握利用向量證明平行、垂直及求距離、角的方法.下面以向量法解立體幾何為例：例6：(2008安徽，第18題)如圖7，在四棱錐中，底面四邊長為1的菱形，, , ,為的中點，為的中點.（1）證明：直線MN平行于平面OCD；（2）求異面直線AB與MD所成角的大??； （3）求點B到平面OCD的距離.解: 如圖作于點P,如圖,分別以AB,AP,AO所在直線為軸建立坐標系,（1）設(shè)平面OCD的法向量為,則即 取,解得.（2）設(shè)與所成的角為, , 與所成角的大小為.（3）設(shè)點B到平面OCD的距離為,則為在向量上的投影的絕對值, 由 , 得.所以點B到平面OCD的距離為.3.立體幾何考點的

21、解法探索3.1空間幾何體的結(jié)構(gòu)問題解法探索3.1.1各類幾何體的結(jié)構(gòu)(1)棱柱定義：有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的幾何體叫做棱柱. 兩個互相平行的平面叫做棱柱的底面，其余各面叫做棱柱的側(cè)面.兩個側(cè)面的公共邊叫做棱柱的側(cè)棱. 側(cè)面與底的公共頂點叫做棱柱的頂點，不在同一個面上的兩個頂點的連線叫做棱柱的對角線，兩個底面的距離叫做棱柱的高.性質(zhì)：棱柱的各個側(cè)面都是平行四邊形，所有的側(cè)棱都平行且相等；直棱柱的各個側(cè)面都是矩形；正棱柱的各個側(cè)面都是全等的矩形.棱柱的兩個底面與平行于底面的截面是對應(yīng)邊互相平行的全等多邊形.過棱柱不相鄰的兩條側(cè)棱

22、的截面都是平行四邊形.直棱柱的側(cè)棱長與高相等；直棱柱的側(cè)面及經(jīng)過不相鄰的兩條側(cè)棱的截面都是矩形.(2)棱錐定義：如果一個多面體的一個面是多邊形，其余各面是有一個公共頂點的三角形，那么這個多面體叫做棱錐.性質(zhì)：正棱臺的側(cè)棱相等，側(cè)面是全等的等腰梯形各.等腰梯形的高相等，它叫做正棱臺的斜高.正棱臺的兩底面以及平行于底面的截面是相似正多邊形.正棱臺的兩底面中心連線、相應(yīng)的邊心距和斜高組成一個直角梯形.兩底面中心連線、側(cè)棱和兩底面相應(yīng)的半徑也組成一個直角梯形.(3)圓柱、圓錐、球定義：以直角三角形的一條直角邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫做圓錐.該直角邊叫圓錐的軸 .以矩形的一

23、邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)360°形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫做圓柱.(4)幾何體表面積和體積的求法：柱體：=s×h （s是底面積，高是h）, S=ch(底面周長是c，高是h).錐體： v=1/3sh（s為錐體的底面積，h為錐體的高）,S=側(cè)面積+底面積.球：S= 4R2(R是球的半徑) ,V=(4/3)R3.(5)特殊求解方法：割補法：將幾何體分割成幾個柱體、椎體，分別求他們的表面積或體積，從而的出幾何體的表面積或體積.等積變換法：利用三棱錐的任何一個面可作為三棱錐的底面，利用等積性可求點到面的距離.3.1.2幾何體的三視圖：正視圖,側(cè)視圖，俯視圖.解決此類問題，一般思

24、路是由正視圖和俯視圖判斷原幾何圖形結(jié)論.在解題過程中，可以根據(jù)原幾何圖形中的點、線、面的位置關(guān)系及圖中一些線段的長度，從而解決其他有關(guān)的問題.3.2立體幾何點、線、面位置的判定方法3.2.1共點、共線、共面問題（1）點共線問題的證明方法：一般轉(zhuǎn)化為證明這些點是某兩個平面的公共點，如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么他們有且只有一條過該點的公共直線，依據(jù)公理3證明這些點都在這兩個平面的交線上.（2）線共點問題的證明方法：先證兩條直線交于一點，再證第三條直線經(jīng)過該點，將問題轉(zhuǎn)化為證明點在直線上.（3）點線共面問題的證明方法：納入平面法：先確定一個平面，在證明有關(guān)點、線在此平面內(nèi).輔助平面法：先證

25、有關(guān)點線確定平面a，再證其余點線確定平面b，最后證明平面a,b重合.3.2.2平行問題（1）線線平行的判定： 平行于同一直線的兩直線平行.如果一條直線和一個平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交，那這條直線和交線平行.如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行. 垂直于同一平面的兩直線平行.（2）線面平行的判定：定義法：證明直線與平面沒有公共點，通常要借助反證法來證明.判定定理法：如果平面外的一條直線和平面內(nèi)的一條直線平行，那么這直線和這個平面平行.兩個平面平行，其中一個平面內(nèi)的直線必平行于另一個平面.（3）面面平行的判定：定義法：兩個平面沒有交點.判定定理法：一個平面內(nèi)的兩

26、條相交直線分別平行于另一個平面;垂直于同一條直線的兩個平面平行.轉(zhuǎn)化為線線平行：平面a的兩條相交直線與平面b內(nèi)的兩條相交直線分別平行，則ab.利用平行平面的傳遞性：若ab,bc,則ac.3.2.3垂直問題（1）線線垂直的判定： 在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直.在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個平面的一條斜線垂直，那么它和這條斜線的射影垂直.若一直線垂直于一平面，這條直線垂直于平面內(nèi)所有直線.補充：一條直線和兩條平行直線中的一條垂直，也必垂直平行線中的另一條.（2）線面垂直的判定： 如果一直線和平面內(nèi)的兩相交直線垂直，這條直線就垂直于這個平面.如果兩條

27、平行線中的一條垂直于一個平面，那么另一條也垂直于這個面.一直線垂直于兩個平行平面中的一個平面，它也垂直于另一個平面.如果兩個平面垂直，那么在個平面內(nèi)垂直于交線的直線必垂直于另個平面.（3）面面垂直的判定：利用判定定理，在審題時要注意直觀判斷那條直線可能是垂線，充分利用等腰三角形的中線垂直于底邊，勾股定理等結(jié)論.用定義證明，只需判斷兩個平面所成二面角是直二面角.客觀題中也可應(yīng)用：兩個平行平面中一個垂直第三個平面，則另一個也直于第三個平面.3.3立體幾何空間角、空間距離的計算3.3.1立體幾何空間角的計算（1）異面直線所成角平移：選擇適當?shù)狞c，平移異面直線重點一條或兩條成為相交直線，這里的點通常選

28、擇特殊位置的點，如線段的中點或端點，也可以是異面直線中某一條直線的特殊點.證明所作的角是異面直線所成的角.在立體圖形中，尋找或作出含有此角的三角形并解之.因為異面直線所成角的取值范圍大于0°90°，所以所作的角為鈍角時，應(yīng)取它的補角作為異面直線所成角.（2）求線面角求直線與平面所成角的步驟：構(gòu)造作出斜線與射影所成的角;證明論證作出的角為所求的角;計算常用解三角形的方法求角;結(jié)論點明直線和平面所成的角的值.求線面直線的技巧：在上述步驟中，作角是關(guān)鍵，而確定斜線在平面內(nèi)的射影是作角的關(guān)鍵，幾何圖形的特征是找射影的依據(jù)，垂足一般都是一些特殊的點，比如中心、垂心、重心等.（3）求二

29、面角的方法:求二面角的大小關(guān)鍵是作出二面角的平面角. 二面角作法：定義法：在二面角的棱上找一特殊點，在兩個半平面內(nèi)分別作垂直于棱的線.垂直法：過棱上一點作棱的垂直平面，該平面與二面角的兩個半平面產(chǎn)生交線，這兩條交線所成的角即為二面角的平面角.垂線法：過二面角的一個面內(nèi)一點作另一個平面的垂線，過垂足作棱的垂線，利用線面垂直可找到二面角的平面角或補角.3.3.2立體幾何中空間距離的計算當直線與平面平行時，直線上的每一點到平面的距離都相等，都是線面距離.所以求線面距離關(guān)鍵是選準恰當?shù)狞c，轉(zhuǎn)化為點面距離.本例解析一是根據(jù)選出的點直接作出距離；解析二是等體積法求出點面距離.空間中距離的計算方法：(1)兩點之間的距離一般利用三角形求出或用兩點的坐標計算.(2)點到直線的距離一般用三垂線定理作出.(3)線線的距離一般轉(zhuǎn)化為點到直線的距離.(4)點到面的距離，一般用轉(zhuǎn)化法或等積法.(5)線面距離或面面距離通常轉(zhuǎn)化為點面距離，然后再進行轉(zhuǎn)化處理.3.4.用向量法解立體幾何問題3.4.1平行問題線線平行.線面平行.面面平行.3.4.2垂直問題線線垂直.線面垂直.面面垂直.3.4.3夾角問題（1）異面直線所成的角（范圍： ）, . (2）線面角（范圍：），. 圖