對數(shù)平均不等式在極值點偏移中應(yīng)用

1、對數(shù)平均不等式的典型應(yīng)用極值點偏移問題的母題 對數(shù)、指數(shù)平均不等式與高考中的一類熱點,即極值點的偏移(類對稱或淮對稱)問題具有深該的內(nèi)在聯(lián)系,利用對數(shù)與指數(shù)平均不等式可建立極值點的偏移母題如下.母題結(jié)構(gòu):()(對數(shù)模型)設(shè)P(x1,y1)、Q(x2,y2)是函數(shù)f(x)=mlnx+ax2+bx+c(m0)圖像上的任意兩點,則當m>0時,()<kPQ;當m<0時,()>kPQ;()(指數(shù)模型)設(shè)P(x1,y1)、Q(x2,y2)是函數(shù)f(x)=mex+ax2+bx+c(m0)圖像上的任意兩點,則當m>0時,()<kPQ;當m<0時,()>kPQ.母

2、題解析:()由f(x)=mlnx+ax2+bx+c(x)=+2ax+b()=+a(x1+x2)+b;又由kPQ=m+a(x1+x2)+bkPQ-()=m(-),由對數(shù)平均不等式:>>當m>0時,()<kPQ;當m<0時,()>kPQ;()由f(x)=mex+ax2+bx+c(x)=mex+2ax+b()=me+a(x1+x2)+b;又由kPQ=m+a(x1+x2)+bkPQ-()=m(-e),由指數(shù)平均不等式:>e>e當m>0時,()<kPQ;當m<0時,()>kPQ. 1.對數(shù)模型 子題類型:(2011年遼寧高考試題)已

3、知函數(shù)f(x)=lnx-ax2+(2-a)x.()討論f(x)的單調(diào)性;()設(shè)a>0,證明:當0<x<時,f(+x)>f(-x);()若函數(shù)y=f(x)的圖像與x軸交于A,B兩點,線段AB中點的橫坐標為x0,證明:(x0)<0.解析:()f(x)的定義域為(0,+),由f(x)=lnx-ax2+(2-a)x(x)=-(ax-1);當a0時,(x)>0f(x)在(0,+)上遞增;當a>0時,f(x)在(0,)上遞增,在(,+)遞減;()令g(x)=f(+x)-f(-x)=ln(1+ax)-ln(1-ax)-2ax,則(x)=+-2a=>0g(x)在

4、0,)上遞增g(x)>g(0)=0f(+x)>f(-x);()設(shè)A(x1,0),B(x2,0),則kAB=0,由()<kAB=0(x0)<0.點評:若連續(xù)函數(shù)f(x)在區(qū)間(x1,x2)內(nèi)有唯一的極值點x0,且f(x1)=f(x2),研究與x0的大小或判斷()的符號,統(tǒng)稱為極值點的偏移問題;母題結(jié)論具有解決極值點偏移問題的根本性. 2.指數(shù)模型 子題類型:(2010年天津高考試題)已知函數(shù)f(x)=xe-x(xR).()求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值;()已知函數(shù)y=g(x)的圖象與函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱,證明:當x>1時,f(x)>g(x

5、);()如果x1x2,且f(x1)=f(x2),證明:x1+x2>2.解析:()由f(x)=xe-x(x)=e-x-xe-x=(1-x)e-x,列表如下,由表知f(x)在(-,1)內(nèi)是增函數(shù),在(1,+)內(nèi)是減函數(shù),函數(shù)f(x)在x=1處取得極大值f(1),且f(1)=e-1;()由函數(shù)y=g(x)的圖象與函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱g(x)=f(2-x)= (2-x)ex-2;當x>1時,令F(x)=f(x)-g(x)=xe-x+(x-2)ex-2,則(x)=(x-1)(e2x-2-1)e-1>0函數(shù)F(x)在1,+)是增函數(shù)F(x)>F(1)=0f(x)

6、>g(x);()設(shè)P(x1,y0),Q(x2,y0),由x1x2,且f(x1)=f(x2),則x1,x2>0;令g(x)=lnf(x)=lnx-x,則()<kPQ=0-1<0x1+x2>2.點評:指數(shù)與對數(shù)函數(shù)模型不僅具有相似的結(jié)論,實質(zhì)上,由函數(shù)y=ex與y=lnx的對稱性知,母題中,指數(shù)與對數(shù)函數(shù)模型的結(jié)論是等價的;把指數(shù)函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為對數(shù)函數(shù)問題是解決指數(shù)函數(shù)問題的常用方法. 3.切線背景 子題類型:(2005年湖南高考試題)已知函數(shù)f(x)=lnx,g(x)=ax2+bx,a0.()若b=2,且h(x)=f(x)-g(x)存在單調(diào)遞減區(qū)間,求a的取值范圍;

7、()設(shè)函數(shù)f(x)的圖象C1與函數(shù)g(x)圖象C2交于點P、Q,過線段PQ的中點作x軸的垂線分別交C1,C2于點M、N,證明:C1在點M處的切線與C2在點N處的切線不平行.解析:()當b=2時,h(x)=f(x)-g(x)=lnx-ax2-2x(x)=-ax-2=-(ax2+2x-1)(x>0);所以,h(x)存在單調(diào)遞減區(qū)間(x)0在(0,+)內(nèi)有解集區(qū)間T(x)=ax2+2x-10在(0,+)內(nèi)有解集區(qū)間a>0,或a<0,且4+4a>0a的取值范圍是(-1,0)(0,+);()設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),A(x1,0),B(x2,0),由h(x)=f(x)

8、-g(x)=lnx-ax2+bx(x)=(x)-(x)()=()-()<kAB=0()<()C1在點M處的切線斜率=()<C2在點N處的切線斜率=()C1在點M處的切線與C2在點N處的切線不平行.點評:對數(shù)、指數(shù)平均不等式及其引伸的母題結(jié)論具有廣泛的應(yīng)用,尤其在解決雙切線問題中,具有十分有力的深刻應(yīng)用;掌握對數(shù)、指數(shù)平均不等式及其引伸的母題結(jié)論的證明是十分必要的. 4.子題系列:1.(2016年安徽蚌埠二模試題)設(shè)函數(shù)f(x)=x2+3x+3-aex(a為非零常數(shù)).()求g(x)=的單調(diào)區(qū)間;()若存在b,cR,且bc,使f(b)=f(c),試判斷a()的符號.2.(201

9、4年江蘇南通二模試題)設(shè)函數(shù)f(x)=ex-ax+a(aR),其圖像與x軸交于A(x1,0),B(x2,0)兩點,且x1x2.()求a的取值范圍;()證明:()<0(x)為函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)).3.(2013年湖南高考試題)已知函數(shù)f(x)=ex.()求f(x)的單調(diào)區(qū)間;()證明:當f(x1)=f(x2)(x1x2)時,x1+x2<0.4.(2014年廣東韶關(guān)二模試題)已知函數(shù)f(x)=ln(x+)-ax,其中,aR且a0.()討論f(x)的單調(diào)性;()若不等式f(x)<ax恒成立,求實數(shù)a的取值范圍;()若方程f(x)=0存在兩個異號實根x1,x2,求證:x1+x2&g

10、t;0.5.(2011年湖南高考試題)設(shè)函數(shù)f(x)=x-alnx(aR),()討論f(x)的單調(diào)性;()若f(x)有兩個極值點x1和x2,記過點A(x1,f(x1),B(x2,f(x2),的直線的斜率為k,問:是否存在a,使得k=2-a?若存在,求出a的值;若不存在,請說明理由.6.(2015年廣東廣州二模試題)已知函數(shù)f(x)=alnx-,g(x)=ex(其中e為自然對數(shù)的底數(shù)).()若函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)是增函數(shù),求實數(shù)a的取值范圍;()當b>0時,函數(shù)g(x)的圖象C上有兩點P(b,eb),Q(-b,e-b),過點P,Q作圖象C的切線分別記為l1,l2,設(shè)l1與l2的交

11、點為M(x0,y0),證明:x0>0. 5.子題詳解:1.解:()由g(x)=(x2+3x+3)e-x-a(x)=-x(x+1)e-xg(x)在(-,-1)和(0,+)上遞減,在(-1,0)上遞增;()令P(b,f(b),Q(c,f(c),則kPQ=0;當-a>0,即a<0時,()<kPQ=0a()>0;當-a<0,即a>0時,()>kPQ=0a()>0.綜上,a()>0.2.解:()由(x)=ex-a;當a0時,(x)>0f(x)在(-,+)上單調(diào)遞增f(x)至多有一個零點,不合題意;當a>0時,f(x)在(-,lna)

12、上單調(diào)遞減,在(lna,+)上單調(diào)遞增,由f(x)有兩個零點fmin(x)=f(lna)=2a-alna<0a>e2lna>2;又f(1)=e>0,f(a-1lna)=elna-lna+a>a-1lna+1-(a-1)+a=a-1lna+2>0f(x)有兩個零點x1,x2,且1<x1<x2.故a的取值范圍是(e2,+);()由()<kPQ=0,且(x)=ex-a在(-,+)上單調(diào)遞增;又由1<x1<x2<()<()<0.3.解:()由f(x)=ex(x)=-exf(x)在(-,0)上單調(diào)遞增,在(0,+)上單調(diào)

13、遞減;()不妨設(shè)x1<x2,由()知x1<0,x2>0;由f(x1)=f(x2)e=e>00<x2<1,ln(1-x1)-ln(1+x12)+x1=ln(1-x2)-ln(1+x22)+x2(x1+x2)+=1;根據(jù)對數(shù)平均不等式,有>,>(x1+x2)+<1(x1+x2)+-1<0(x1+x2)+<0(x1+x2)+<0;由x1<0,0<x2<1x1+x2<2>0+>0x1+x2<0.4.解:()由f(x)的定義域為(-,+),(x)=-;當a<0時,(x)>0f(x

14、)在(-,+)上單調(diào)遞增;當a>0時,在區(qū)間(-,0)上,(x)>0,在區(qū)間(0,+)上,(x)<0f(x)在(-,0)上單調(diào)遞增,在(0,+)上單調(diào)遞減;()由f(x)<ax2ax-ln(x+)>0,令x=e-得:2a(e-)-1>02ea-3>0a>0;令g(x)=2ax-ln(x+),則(x)=(x+)g(x)在(-,-)上單調(diào)遞減,在(-,+)上單調(diào)遞增gmin(x)=g(-)=-1-ln(2a);由gmin(x)>0a>a的取值范圍是(,+);()由()知a>0,且-<x1<0<x2,由f(x1)=f

15、(x2)=0ln(x1+)-ax1=ln(x2+)-ax2=0x1+=e,x2+=ex2-x1=e-e=;又x1+x2+=e+e,根據(jù)指數(shù)平均不等式,有=e+e>2=x1+x2+>x1+x2>0.5.解:()f(x)的定義域為(0,+),(x)=(x2-ax+1);當a2時,(x)0f(x)在(0,+)上單調(diào)遞增;當a>2時,由(x)=0x1=,x2=f(x)在(0,x1)和(x2,+)上單調(diào)遞增,在(x1,x2)上單調(diào)遞減;()由()知,a<2,且x1x2=1;由k=1+-a;若存在a,使得k=2-a,則=1,即=;但由加細基本不等式知;>.故不存在a,使得k=2