第10章振動與波動匯總

1、大學物理習題集第 10 章 振動與波動基本要求1. 掌握簡諧振動的基本特征，能建立彈簧振子、單擺作諧振動的微分方程。2. 掌握振幅、周期、頻率、相位等概念的物理意義。3. 能根據(jù)初始條件寫出一維諧振動的運動學方程，并能理解其物理意義。4. 掌握描述諧振動的旋轉矢量法，并用以分析和討論有關的問題。5. 理解同方向、同頻率諧振動的合成規(guī)律以及合振幅最大和最小的條件。6. 理解機械波產生的條件。7. 掌握描述簡諧波的各物理量的物理意義及其相互關系。8. 了解波的能量傳播特征及能流、能流密度等概念。9. 理解惠更斯原理和波的疊加原理。掌握波的相干條件。能用相位差或波程差概念 來分析和確定相干波疊加后振

2、幅加強或減弱的條件。10. 理解駐波形成的條件，了解駐波和行波的區(qū)別，了解半波損失。二 . 內容提要1. 簡諧振動的動力學特征 作諧振動的物體所受到的力為線性回復力，即F kx取系統(tǒng)的平衡位置為坐標原點，則簡諧振動的動力學方程（即微分方程）為dt2. 簡諧振動的運動學特征 作諧振動的物體的位置坐標 x 與時間 t 成余弦（或正弦） 函數(shù)關系，即由它可導出物體的振動速度x Acos( t )v Asin( t )物體的振動加速度a 2 Acos( t )3. 振幅 A 作諧振動的物體的最大位置坐標的絕對值，振幅的大小由初始條件確定，4. 周期與頻率 作諧振動的物體完成一次全振動所需的時間 T 稱

3、為周期， 單位時間內 完成的振動次數(shù) 稱為頻率。周期與頻率互為倒數(shù)，即T或T5. 角頻率 （也稱圓頻率）作諧振動的物體在 2 秒內完成振動的次數(shù)，它與周期、 頻率的關系為 T 2大學物理習題集6. 相位和初相 諧振動方程中( t )項稱為相位，它決定著作諧振動的物體的狀 態(tài)。t=0 時的相位稱為初相，它由諧振動的初始條件決定，即tanv0x0應該注意，由此式算得的在 02 范圍內有兩個可能取值，須根據(jù)t=0 時刻的速度方向進行合理取舍。7. 旋轉矢量法 作逆時針勻速率轉動的矢量，其長度等于諧振動的振幅 A ，其角速度等于諧振動的角頻率 ，且 t=0 時，它與 x 軸的夾角為諧振動的初相， t=

4、t 時刻它與 x軸的夾角為諧振動的相位t 。旋轉矢量 A 的末端在 x 軸上的投影點的運動代表著質點的諧振動。8. 簡諧振動的能量 作諧振動的系統(tǒng)具有動能和勢能，其動能Ek 1mv2 1m 2A2si n2( t )k 22勢能E p 1 kx2 1kA2 c o 2s( t )p 2212機械能 E Ek E pkA2k p 29. 兩個具有同方向、同頻率的簡諧振動的合成 其結果仍為一同頻率的簡諧振動，合 振動的振幅A A12 A22 2A1 A2 cos( 2 1)初相tanA1 sin 1 A2 sin 2A1 cos 1 A2 cos 2A1 A2 ，合振動的初相為1 或 2 。1)當

5、兩個簡諧振動的相差2 1 2k (k 0, 1, 2, ) 時，合振動振幅最大，為2)當兩個簡諧振動的相差 2 1 (2k 1) (k 0, 1, 2, ) 時，合振動的振幅最小，為 A1 A2 ，合振動的初相與振幅大的相同。10. 機械波產生的條件 機械波的產生必須同時具備兩個條件：第一，要有作機械振動的物體 波源 ；第二，要有能夠傳播機械波的載體 彈性媒質 。11. 波長 在同一波線上振動狀態(tài)完全相同的兩相鄰質點間的距離(一個完整波的 長度)，它是波的空間周期性的反映。12. 周期與頻率 波前進一個波長的距離所需的時間，它反映了波的時間周期性。周大學物理習題集期的倒數(shù)稱為頻率，波源的振動頻

6、率也就是波的頻率。13. 波速 u 單位時間里振動狀態(tài)（或波形）在媒質中傳播的距離，它與波源的振動 速度是兩個不同的概念。波速 u、波長 、周期 T （頻率 ）之間的關系為uT14. 平面簡諧波的波動方程 如果平面波沿 x 軸正向傳播，則其波動方程為xy Acos （t ） 0 u0xA cos 2 （ t ） 0 txA cos 2 （ ） 0 T0 若波沿 x 軸的負向傳播，則其波動方程為xy Acos （t ） 0 u0xA cos 2 （ t ） 0 0txA cos 2 （ t x） 0T其中 0 為坐標原點的初相 。15. 波的能量 波動中的動能和勢能之和，其特點是同體積元中的動能

7、和勢能相等：（1）在平衡位置處，動能最大，勢能也最大；（ 2）在最大位移處，動能最小（為零） ，勢能也最?。榱悖?；（3）當媒質質元從最大位移處回到平衡位置的過程中：它從相鄰的一段媒質質元獲 得能量，其能量逐漸增加。（4） 當媒質質元從平衡位置運動到最大位移處的過程中：它把自己的能量傳給相鄰 的一段質元，其能量逐漸減小。16. 波的干涉 滿足相干條件（同頻率、同振動方向且相位差恒定）的兩列波的疊加， 其規(guī)律是：rr（ 1）若兩列波的相位差2 1 2 2 1 2k （k 0, 1, 2, ）則合成振動的振幅有極大值： A A1 A2 ，為干涉加強（相長干涉） 。rr（ 2）若兩列波的相位差 2

8、 1 2 2 1 （2k 1） （k 0, 1, 2, ） 合成振動的振幅有極小值： A A1 A2 ，為干涉減弱，當 A1=A2 時，相消干涉。17. 駐波 無波形和能量傳播的波稱為駐波，它由兩列同振幅的相干波在同一直線上 沿相反方向傳播時疊加而成，是波的干涉中的一個特例。其振幅隨 x 作周期變化，因而 為分段的獨立振動，有恒定的波腹和波節(jié)出現(xiàn)。大學物理習題集習題10-1 兩倔強系數(shù)分別為 k1和 k2的輕彈簧串聯(lián)在一起，下面接著質量為m 的物體，構成一個豎掛的彈簧諧振子，則該系統(tǒng)的振動周期為(A) T 2 m(k1 k2) (B)T 2 m2k1k2k1 k2(C)m(k1 k2)2m(C

9、) T 2 1 2 (D) T 2 k1k2k1 k210-2 一倔強系數(shù)為 k 的輕彈簧截成三份，取出其中的兩根，將它們并聯(lián)在一起，下 面掛一質量為 m 的物體，如圖所示。則振動系統(tǒng)的頻率為(C)(A)(B)1 3k2m10-4 已知兩個簡諧振動如圖所示。(A) 落后 (B) 超前22(C) 落后(D) 超前x1的位相比 x2 的位相T，當它由平衡位置向x 軸正方向運動時，從二分10-5 一質點作簡諧振動，周期為之一最大位移處到最大位移處這段路程所需要的時間為：A)T4B) 1T2C)D)T8大學物理習題集10-8 一彈簧振子和一個單擺 (只考慮小幅度擺動) ，在地面上的固有振動周期分別為T

10、1和 T2。將它們拿到月球上去，相應的周期分別為T1'和T2' ，則有：A) T1'> T1 且T2' > T2 (B) T1'< T1 且T2'< T2(C) T1'= T1 且T2' = T2(D) T1'= T1 且T2'> T210-13 一彈簧振子作簡諧振動，振幅為A，周期為 T，其運動方程用余弦函數(shù)表示，若 t = 0 時，( 1)振子在負的最大位移處，則初位相為；(2) 振子在平衡位置向正方向運動，則初位相為 ；A(3) 振子在位移為 處，且向負方向運動，則初位相為 。2

11、10-14 已知兩個簡諧振動的振動曲線如圖所示，x1 的位相比 x2 的位相超前10-18 一質點作簡諧振動，其振動曲線如圖所示。根據(jù)此圖，它的周期 T=用余弦函數(shù)描述時，初位相 =10-19 兩個同方向同頻率的簡諧振動，其振動表達式分別為：2 1 2x1 6 10 2 cos(5t) (SI) ，x2 2 10 2 sin( 5t) (SI)。它們的合振動的振幅2為 ；初位相為 。10-22 一簡諧振動的振動曲線如圖所示，求振 動方程。10-5Ot(s)x( cm)大學物理習題集10-25 一質點同時參與兩個同方向的簡諧振動，其振動方程分別為：x1 5 10 2 cos(4t 1 ) ， x

12、2 3 10 2 sin( 4t 1 ) (SI)36畫出兩振動的旋轉矢量圖，并求合振動的振動方程。2110-26 兩個同方 向的 簡諧 振動的 振動 方程分 別為 ： x1 4 10 2cos2 (t 1) ，8x2 3 10 2cos2 (t 1) (SI)求合振動方程。24210-32 一質點按如下規(guī)律沿 x 軸作簡諧振動 x 0.1cos(8 t ) (SI) ，求此振動的3 周期、振幅、初相、速度最大值和加速度最大值。10-33 如圖所示，一質量為 m 的滑塊，兩邊分別與倔強系數(shù)為k1和 k2 的輕彈簧聯(lián)接，兩彈簧的另外兩端分別固定在墻上，滑塊 m 可在光滑水平面上滑動， O 點為系

13、統(tǒng)平 衡位置，將滑塊 m 向左移動到 x0，自靜止釋放，并從釋放時開始計時，取坐標如圖示，則其振動方程為：A)B)C)D)x x0 cosk1mk2tmk1k2x x0 cos1 2 t 0m(k1 k2)x0O xk1 k21 2 t m k1 k2x x0 cosmx x0 cost ，合振動的振10-34 一彈簧振子，當把它水平放置時，它作諧振動。若把它豎直放置或放在光滑斜 面上，試判斷下面那種情況是正確的：A)豎直放置作諧振動，放在光滑斜面上不作諧振動。B) 豎直放置不作諧振動，放在光滑斜面上作諧振動。C) 兩種情況都作諧振動。D) 兩種情況都不作諧振動。x(cm)10-36 兩個同方

14、向的諧振動曲線如圖所示，合振動的振幅為 動方程為大學物理習題集10-37 有兩個相同的彈簧，其倔強系數(shù)均為k。把它們串聯(lián)起來，下面掛一個質量為 m 的重物， 此系統(tǒng)作簡諧振動的周期為 ，把它們并聯(lián)起來， 下面掛一個質量 為 m 的重物，此系統(tǒng)作簡諧振動的周期為 。10-41 已知一平面簡諧波的波動方程為y A cos（at bx） ，（a、 b 為正值），則A ）波的頻率為 a。C）波長為 。 bB）波的傳播速度為 b 。aD ）波的周期為 2 。a10-42 一沿 x 軸負方向傳播的平面簡諧波在t = 2s 時的波形曲線如圖所示， 則原點 O的振動方程為：1A ) y 0.50cos( t)

15、 ( SI)211B) y 0.50cos( t) ( SI)2211C) y 0.50cos( t) ( SI)2211D) y 0.50 cos( t) (SI) 4210-43 一平面簡諧波以速度 u 沿 x 軸正方向傳播，在 t t 時波形曲線如圖所示。則 坐標原點 O 的振動方程為：u(A) y acos (t t ) b2u(B) y a cos2(t t ) b2u( C) y acos (t t) b2(D) y acos u(t t ) b2大學物理習題集10-48 動方程為：一平面簡諧波沿 x 軸正向傳播， t = 0 時刻的波形如圖所示，則 P 處質點的振1A) y p

16、0 .10 cos( 4 t )3B）yp0.10 cos(4 t13 )1C) y p 0.10 cos(2 t )31D) y p 0.10 cos(2 t )6SI）（SI）SI）（SI）10-49 一平面簡諧波在彈性媒質中傳播，在某一瞬時，媒質中某質元正處于平衡位置，此時它的能量是：B）動能為零，勢能為零。（C）動能最大，勢能最大。（ D）動能最大，勢能為零。 10-50 一平面簡諧波在彈性媒質中傳播，從媒質質元在最大位移處回到平衡位置的 過程中：（A）它的勢能轉化為動能。（B）它的動能轉化為勢能。（C）它從相鄰的一段媒質質元獲得能量，其能量逐漸增加。（ D）它把自己的能量傳給相鄰的一

17、段質元，其能量逐漸減小。 10-52 如圖所示， S1與 S2 是兩相干波的波源，它們的振動方向均垂直于圖面，發(fā)出波長為 的簡諧波， P 點是兩列波相遇區(qū)域中的一點，已知S1P=2 ， S2P 2.2 ，兩列1波在 P點發(fā)生相消干涉， 若 S1的振動方程為 y1 Acos（2 t），則 S2的振動方程為：（A）1y2 Acos(2 t )2S1P（B）y2 Acos(2 t )（C）1y2 Acos(2 t )2S2（D）y2 A cos(2 t 0.1 ) 10-53在駐波中，兩個相鄰波節(jié)間各質點的振動：A）振幅相同，位相相同。（ B）振幅不同，位相相同。C）振幅相同，位相不同。（ D）振幅

18、不同，位相不同。 大學物理習題集x10-56 沿著相反方向傳播的兩列相干波， 其波動方程為： y1 Acos2 (vt) ，和xy2 Acos 2 (vt) 。疊加后形成的駐波中，波節(jié)的位置坐標為：A) xkB)x 1k2(2k 1) x4( C)(2k 1)( C) x2其中 k = 0、1、 2、310-57 一余弦橫波以速度指出圖中 A、B、C各質點在 t 時刻的運動方向。D)u沿x 軸正方向傳播， t 時刻波形曲線如圖所示。試分別10-58 一聲波在空氣中的波長是 0.25m ，波的傳播速度為 340 m/s，當它進入另一介 質時波長變成了 0.37m ，它在該介質中傳播的速度為 。1

19、0-59 已知波源的振動周期為4.00 10 2 s，波的傳播速度為300 m/s 波沿 x 軸正方向傳播，則位于 x1 10.0m和 x2 16.0m的兩個質點振動的位相差為10-61 圖為t T4 時一平面簡諧波的波形曲線，則其波動方程為10-62 在簡諧波的一條傳播路徑上，相距 0.2m 兩點的振動位相差為 。又知振動周2 期為 0.4s，則波長為，波速為 。10-68 一弦上的駐波表達式為 y 0.1cos( x) cos(90 t) ( SI)形成該駐波的兩個反向傳播的行波的波長為 ，頻率為 大學物理習題集10-74 一平面簡諧波沿 x 軸正向傳播， 其振幅為 A ，頻率為 ，波速為

20、 u設 t = t 時y刻的波形曲線如圖所示。求：(1) x = 0 處質點振動方程；(2) 該波的波動方程210-75 一橫波方程為 y A cos (ut x)，式中 A =0.01m ， 0.2m， u 25m/s，求 t = 0.1s 時在 x = 2m 處質點振動的位移、速度、加速度S2 的位相比 S1 的位相超前 1 ，4S1SPxy Acos2 ( t)，而另10-80 如圖所示，S1與 S2 為兩平面簡諧波相干波源， 波長8.00m ， r1 12.0m ， r2 14.0m ， S1 在 P點引起的振動振幅為 0.30 m，S2在 P點引起的振動振 幅為 0.20m，求 P

21、點的合振幅。10-84 一平面簡諧波沿 Ox 軸正方向傳播，波動方程為 平面簡 諧波沿 Ox 軸負方向傳播，波動方程為xy 2Acos2 ( t ) 。求：( 1) x處介質質點的合振動方程；42) x處介質質點的速度表達式。410-85 如圖所示，三個同頻率，振動方向相同(垂直紙面)的簡諧波，在傳播過程中在 O 點相遇；若三個簡諧波各自單獨在S1 、S2 和1S3 的 振 動 方 程 分 別 為 ： y1 Acos( t 1 ) ，1y2 Acos t和 y3 2A cos( t)且 S2 O = 4 ，32S1O = S3 O =5 ，( 為波長)。求：O 點的合振動方程。 (設傳播過程中

22、各波振幅不變) 。10大學物理習題集10-86 一平面簡諧波沿 x 軸正方向傳播 示。波長 =；振幅 A=；頻率 =；u=100m s ， t = 0 時刻的波形曲線如圖所10-89 一簡諧波沿 x 軸負方向傳播， 波的表達式為 y 0.02cos(2 t x) (SI)則 x 1m 處 P 點的振動方程為 。x10-90 如圖，一平面簡諧波沿 Ox 軸傳播， 波動方程 y A cos 2 ( t ) ，求：(1) P 處質點的振動方程：(2) 該質點的速度表達式與加速度表達式。10-95 一列平面簡諧波在媒質中以波速 動曲線如圖所示，畫出 x=25m 處質元的振動曲線畫出 t=3s 時的波形

23、曲線。u=5m/s 沿 x 軸正向傳播， 原點 O 處質元的振y(cm)10-97 一波沿繩子傳播，其波的表達式為 y 0.05cos(100 t 2 x) (SI)(1)求此波的振幅，波速，頻率和波長。(2)求繩子上各質點的最大振動速度和最大振動加速度。(3) 求 x1=0.2m 處和 x2=0.7m 處二質點振動的位相差10-98 一平面簡諧波沿 x 軸正向傳播， 動在 t=0 時刻的旋轉矢量圖是 A)B)t=0 時刻的波形圖如圖所示，則 P 處質點的振AyAy O OC)D)11大學物理習題集第 10 章自測題一、選擇題：3. 彈簧振子在光滑水平面上作簡諧振動時，彈性力在半個周期內所作的

24、功為：2 1 2 1 2（A） kA2 （B） kA2（C） kA （D） 0 245. 圖中所畫的是兩個簡諧振動的振動曲線，若這兩個簡諧振動可疊加，則合成的余弦振動的初相位為：3(A) (B) 21(C) (D) 02 6. 當質點以頻率作簡諧振動時，它的動能的變化頻率為（A）（B） 2 （C） 4 （D） 1 29.（本題 3分） 在波長為的駐波中，兩個相鄰波腹之間的距離為3（A）（B）（C）（D） 4 2 4二、填空題12.（本題 3 分）所示為一平面簡諧波在 t = 2s 時刻的波形圖，波的振 幅為 0.2m，周期為 4s。則圖中 P 處質點的振動方程 為。13.（本題 3 分）兩個彈

25、簧諧振子的周期都是 0.4s，設開始時第一個振子從平衡位置向負方向運動，經過 0.5s后，第二個振子才從正方向的端點開始運動,則這兩振動周相差為16.（本題 3 分）已知平面簡諧波的波動方程為 y A cos（Bt Cx） ，式中 A、B、C 為正常數(shù)，則此的波長是 ；波速是 的振動位相差是；在傳播方向上相距為 d 的兩點12大學物理習題集三、計算題20.（本題 5 分）質量為 2kg 的質點，按方程 x 0.2sin5t （ 6） （SI）沿著 x 軸振動。求：（ 1）t=0 時，作用于質點的力的大?。?（2）作用于質點的力的最大值和此時質點的位置。23.（本題 10 分）t=0 時刻的波形圖，求如圖所示 ，一平面簡諧波在（1） 該波的波動表達式