第一輪復(fù)習(xí)自己整理絕對(duì)經(jīng)典2016立體幾何理科第一輪

1、立體幾何題型總結(jié)（2015版理科）重要定理：直線與平面垂直的判定定理：如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這兩條直線垂直于這個(gè)平面.直線和平面平行性質(zhì)定理：如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個(gè)平面相交，那么這條直線和交線平行.平面平行判定定理：如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行.兩個(gè)平面垂直性質(zhì)判定：如果一個(gè)平面與一條直線垂直，那么經(jīng)過這條直線的平面垂直于這個(gè)平面. 兩個(gè)平面垂直性質(zhì)定理：如果兩個(gè)平面垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直線也垂直于另一個(gè)平面.推論：如果兩個(gè)相交平面都垂直于第三平面，則它們交線垂直于第三平面.證明：

2、如圖，找O作OA、OB分別垂直于，因?yàn)閯t.一：夾角問題 異面直線所成的角、直線與平面所成的角、二面角的取值范圍依次. 直線的傾斜角、到的角、與的夾角的取值范圍依次是異面直線所成角：范圍：（1）平移法：在異面直線中的一條直線中選擇一特殊點(diǎn)，作另一條的平行線構(gòu)成三角形；解三角形求出角。(常用到余弦定理)（2）補(bǔ)形法：把空間圖形補(bǔ)成熟悉的或完整的幾何體，如正方體、平行六面體、長(zhǎng)方體等，其目的在于容易發(fā)現(xiàn)兩條異面直線間的關(guān)系； (3)向量法。轉(zhuǎn)化為向量的夾角 (計(jì)算結(jié)果可能是其補(bǔ)角)直線與平面所成的角 斜線和平面所成的是一個(gè)直角三角形的銳角，它的三條邊分別是平面的垂線段、斜線段及斜線段在平面上的射影。

3、通常通過斜線上某個(gè)特殊點(diǎn)作出平面的垂線段，垂足和斜足的連線，是產(chǎn)生線面角的關(guān)鍵；向量法：設(shè)直線的方向向量為，平面的法向量為，與所成的角為，與的夾角為，則有的求法二面角的平面角，（1）定義法：在棱l上取一點(diǎn)P，兩個(gè)半平面內(nèi)分別作l的垂線（射線）m、n，則射線m和n的夾角為二面角l的平面角。（2）三垂線法：（三垂線定理法：A作或證AB于B，作BO棱于O，連AO，則AO棱l，AOB為所求。）向量法：設(shè)，是二面角的兩個(gè)面，的法向量，則向量，的夾角（或其補(bǔ)角）就是二面角的平面角的大小若二面角的平面角為，則二、空間距離問題兩異面直線間的距離方法一：轉(zhuǎn)化為線面距離。如圖，m和n為兩條異面直線，且，則異面直m

4、和n之間的距離可轉(zhuǎn)化為直線m與平面之間的距離。方法二：高考要求是給出公垂線，所以一般先利用垂直作出公垂線，然后再進(jìn)行計(jì)算,直接計(jì)算公垂線段的長(zhǎng)度。點(diǎn)到直線的距離：一般用三垂線定理作出垂線再求解；向量法：點(diǎn)到直線距離：在直線上找一點(diǎn)，過定點(diǎn)且垂直于直線的向量為，則定點(diǎn)到直線的距離為點(diǎn)到平面的距離方法一：幾何法。步驟1：過點(diǎn)P作PO于O，線段PO即為所求。步驟2：計(jì)算線段PO的長(zhǎng)度。(直接解三角形；等體積法和等面積法；換點(diǎn)法)等體積法步驟：在平面內(nèi)選取適當(dāng)三點(diǎn)，和已知點(diǎn)構(gòu)成三棱錐；求出此三棱錐的體積V和所取三點(diǎn)構(gòu)成三角形的面積S；由V=S·h，求出h即為所求.這種方法的優(yōu)點(diǎn)是不必作出垂線

5、即可求點(diǎn)面距離.方法二：坐標(biāo)法。線面距、面面距均可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距三、平行與垂直問題證明直線與平面的平行：（1）轉(zhuǎn)化為線線平行；（2）轉(zhuǎn)化為面面平行.證明平面與平面平行：（1）轉(zhuǎn)化為線面平行；（2）轉(zhuǎn)化為線面垂直.證明線線垂直：（1）轉(zhuǎn)化為相交垂直；（2）轉(zhuǎn)化為線面垂直；（3）轉(zhuǎn)化為線與另一線的射影垂直；方法（2）：用線面垂直實(shí)現(xiàn)。 方法（3）：三垂線定理及其逆定理。證明線面垂直：（1）轉(zhuǎn)化為該直線與平面內(nèi)相交二直線垂直；（2）轉(zhuǎn)化為該直線與平面的一條垂線平行；（3）轉(zhuǎn)化為該直線垂直于另一個(gè)平行平面；（4）轉(zhuǎn)化為該直線與兩個(gè)垂直平面的交線垂直.方法（1）：用線線垂直實(shí)現(xiàn)。 方法二：用面面垂直實(shí)現(xiàn)。

6、 面面垂直： 方法一：用線面垂直實(shí)現(xiàn)。方法二：計(jì)算所成二面角為直角。題型一：空間幾何體的結(jié)構(gòu)、三視圖、旋轉(zhuǎn)體、斜二測(cè)法了解柱、錐、臺(tái)、球體及其簡(jiǎn)單組合體的結(jié)構(gòu)特征，并能運(yùn)用這些特征描述現(xiàn)實(shí)生活中的簡(jiǎn)單物體的結(jié)構(gòu)。能畫出簡(jiǎn)單空間幾何體的三視圖，能識(shí)別上述三視圖所表示的立體模型，會(huì)用斜二測(cè)畫法畫出它們的直觀圖。能用平行投影與中心投影兩種方法畫出簡(jiǎn)單空間幾何體的三視圖與直觀圖。了解空間幾何體的不同表示形式。會(huì)畫某建筑物的視圖與直觀圖。例1.將正三棱柱截去三個(gè)角（如圖1所示分別是三邊的中點(diǎn)）得到幾何體如圖2，則該幾何體按圖2所示方向的側(cè)視圖（或稱左視圖）為（ ）EFDIAHGBCEFDABC側(cè)視圖1圖

7、2BEABEBBECBED俯視圖例2.由大小相同的正方體木塊堆成的幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體中正方體木塊的個(gè)數(shù)是 正視圖 左視圖例3.已知一個(gè)正四面體，其三視圖均為邊長(zhǎng)為2的正方形，則這個(gè)正四面體的外接球的體積為 例10：如圖是一個(gè)幾何體的三視圖，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，可得該幾何體的表面積為( )ABC D 主視圖 左視圖 俯視圖例5：四棱錐的頂點(diǎn)P在底面ABCD中的投影恰好是A，其三視圖如圖，則四棱錐的表面積為( ) A. B. C. D. 例6：三棱柱ABCA1B1C1的體積為V，P、Q分別為AA1、CC1上的點(diǎn)，且滿足AP=C1Q，則四棱錐BAPQC的體積是_例7：如圖，斜三棱柱ABC中

8、，底面是邊長(zhǎng)為a的正三角形，側(cè)棱長(zhǎng)為 b，側(cè)棱AA與底面相鄰兩邊AB、AC都成450角，求此三棱柱的側(cè)面積和體積例8：如圖是一個(gè)幾何體的三視圖，根據(jù)圖中的數(shù)據(jù)（單位：cm），可知幾何體的體積是_ 22主視圖22側(cè)視圖211俯視圖真題：【2015高考新課標(biāo)1，理6】九章算術(shù)是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問題:“今有委米依垣內(nèi)角，下周八尺，高五尺。問:積及為米幾何?”其意思為:“在屋內(nèi)墻角處堆放米(如圖，米堆為一個(gè)圓錐的四分之一)，米堆為一個(gè)圓錐的四分之一)，米堆底部的弧長(zhǎng)為8尺，米堆的高為5尺，問米堆的體積和堆放的米各為多少?”已知1斛米的體積約為1.62立方尺，圓周率約為3，估算

9、出堆放斛的米約有（ ） (A)14斛 (B)22斛 (C)36斛 (D)66斛【2015高考新課標(biāo)2，理6】一個(gè)正方體被一個(gè)平面截去一部分后，剩余部分的三視圖如右圖，則截去部分體積與剩余部分體積的比值為( )A B C D【2015高考浙江，7】如圖，斜線段與平面所成的角為，為斜足，平面上的動(dòng)點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡是（ ）A直線 B拋物線 C橢圓 D雙曲線的一支【2015高考新課標(biāo)1，理11】圓柱被一個(gè)平面截去一部分后與半球（半徑為）組成一個(gè)幾何體，該幾何體的三視圖中的正視圖和俯視圖如圖所示，若該幾何體的表面積為，則( ) （A） （B） （C） （D）【2015高考北京，理5】某三棱錐的三視圖如

10、圖所示，則該三棱錐的表面積是（ ）A B C D5【2015高考重慶，理5】某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（ ）A、 B、 C、 D、【2015高考湖南，文10】某工作的三視圖如圖3所示，現(xiàn)將該工作通過切削，加工成一個(gè)體積盡可能大的正方體新工件，并使新工件的一個(gè)面落在原工作的一個(gè)面內(nèi)，則原工件材料的利用率為（材料利用率=新工件的體積/原工件的體積）（ ）A、 B、 C、 D、 【2015高考天津，理10】一個(gè)幾何體的三視圖如右上圖所示（單位：），則該幾何體的體積為 . 【2015高考四川，文14】在三棱住ABCA1B1C1中，BAC90°，其正視圖和側(cè)視圖都是邊長(zhǎng)為1的

11、正方形，俯視圖是直角邊長(zhǎng)為1的等腰直角三角形，設(shè)點(diǎn)M，N，P分別是AB，BC，B1C1的中點(diǎn)，則三棱錐PA1MN的體積是_.斜二測(cè)法：例9：一個(gè)水平放置的平面圖形的斜二測(cè)直觀圖是一個(gè)底角為，腰和上底邊均為1的等腰梯形，則這個(gè)平面圖形的面積是（ ） A B C D 例10：對(duì)于一個(gè)底邊在軸上的三角形，采用斜二測(cè)畫法作出其直觀圖，其直觀圖面積是原三角形面積的（ ）A 倍 B倍 C倍 D倍例11：如圖，已知四邊形ABCD的直觀圖是直角梯形A1B1C1D1，且A1B1B1C12A1D12，則四邊形ABCD的面積為( )A3 B3 C6 D6例12：用斜二測(cè)畫法畫一個(gè)水平放置的平面圖形為如下圖的一個(gè)正方

12、形，則原來圖形的形狀是（）旋轉(zhuǎn)體：例13：下列幾何體是旋轉(zhuǎn)體的是（ ） A B C D例14：如圖，在四邊形中，求四邊形繞AD旋轉(zhuǎn)一周所成幾何體的表面積及體積.真題：【2015高考山東，理7】在梯形中，將梯形繞所在的直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體的體積為（ ）（A） （B） （C） （D） 題型二：定義考察類題型 例15：已知直線、,平面，則下列命題中假命題是( )A若，,則 B若，,則C若，,則 D若，,則例16：給定下列四個(gè)命題：若一條直線與一個(gè)平面平行，那么過這條直線的平面與這個(gè)面相較，則這線平行于交線若一條直線與一個(gè)平面垂直，那么這條直線垂直于這個(gè)平面內(nèi)的任一直線若兩個(gè)平面平行

13、，那么分別在這兩個(gè)平面內(nèi)的兩條直線平行若兩個(gè)平面垂直，那么分別在這兩個(gè)平面內(nèi)的兩直線垂直其中，為真命題的是( ) A和 B和 C和 D和例17：已知是兩條不同直線，是三個(gè)不同平面，下列命題中正確的是（ ）A若，m,則mBC D例18：已知是兩條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面，有下列命題： 若，則； 若，則； 若，則； 若，則；其中真命題的個(gè)數(shù)是（ ）A1個(gè) B2個(gè) C3個(gè) D4個(gè)例19：如圖，四棱錐SABCD的底面為正方形，SD底面ABCD，則下列結(jié)論中不正確的是（ ）A、ACSB B、AB平面SCDC、SA與平面SBD所成的角等于SC與平面SBD所成的角D、AB與SC所成的角等于DC與SA所成

14、的角例20：已知為不同的平面，A、B、M、N為不同的點(diǎn)，為直線，下列推理錯(cuò)誤的是（）A. B.C. D.且A、B、M不共線重合 真題：【2015高考福建，理7】若 是兩條不同的直線， 垂直于平面 ，則“ ”是“ 的 （ ） A充分而不必要條件 B必要而不充分條件 C充分必要條件 D既不充分也不必要條件【2015高考廣東，文6】若直線和是異面直線，在平面內(nèi)，在平面內(nèi)，是平面與平面的交線，則下列命題正確的是（ ）A至少與，中的一條相交 B與，都相交C至多與，中的一條相交 D與，都不相交【2015高考北京，理4】設(shè)，是兩個(gè)不同的平面，是直線且“”是“”的（ ）A充分而不必要條件B必要而不充分條件 C

15、充分必要條件D既不充分也不必要條件【2015高考安徽，理5】已知，是兩條不同直線，是兩個(gè)不同平面，則下列命題正確的是（ ） （A）若，垂直于同一平面，則與平行 （B）若，平行于同一平面，則與平行 （C）若，不平行，則在內(nèi)不存在與平行的直線（D）若，不平行，則與不可能垂直于同一平面題型三：直線與平面、平面與平面平行的判定與性質(zhì)證明平行的方法：線線平行：相似，全等；平行線判斷定理（內(nèi)錯(cuò)角相等，同旁內(nèi)角互補(bǔ)等），（高中階段一般不考，只作為轉(zhuǎn)化的一個(gè)橋梁）。線面平行：（1）根據(jù)定理證明（）；（2）通過面面平行的性質(zhì)定理（）FABCPDE面面平行：（1）平面中分別有兩條相交線與平面的兩條相交線平行 （2

16、）平面的法向量與平面的法向量平行例21：如圖，在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為的正方形，側(cè)面，且，若、分別為、的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求證：平面 平面.例22：如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別是C1C，B1C1的中點(diǎn)，求證：MN平面A1BD.BCAA1B1C1DE例23：如圖，直棱柱中，D，E分別是AB，的中點(diǎn)，=AC=CB=AB。（）證明：/（）求A到面的距離例24：如圖所示，在四棱錐O-ABCD中，底面ABCD四邊長(zhǎng)為1的菱形，ABC=, OA底面ABCD,OA=2,M為OA的中點(diǎn)，N為BC的中點(diǎn)（）證明：直線MN平面OCD；（）求異面直線AB與MD所成角的大?。?/p>

17、 （）求點(diǎn)B到平面OCD的距離。例25：如圖，已知矩形和矩形所在平面互相垂直，點(diǎn)，分別在對(duì)角線，上，且，求證：平面例26：如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，M、N、P分別是C1C、B1C1、C1D1的中點(diǎn)，求證：平面MNP平面A1BD.例27：已知四棱錐P-ABCD中, 底面ABCD為平行四邊形. 點(diǎn)M、N、Q分別在PA、BD、PD上, 且PM：MA=BN：ND=PQ：QD. 求證：平面MNQ平面PBC. NMPDCQBA題型四：線與面、面與面的垂直的證明方法三垂線定理：如果在平面內(nèi)的一條直線與平面的一條斜線在這個(gè)平面內(nèi)的射影垂直，則它也和這條直線垂直。三垂線逆定理：如果：如果在平面內(nèi)

18、的一條直線與平面的一條斜線垂直，則它也和這條直線在這個(gè)平面內(nèi)的射影垂直。例28：直三棱柱ABC-A1B1C1中，E是A1C的中點(diǎn)，且交AC于D， DEA1CBAC1B1（I）證明：平面；（II）證明：平面例29：如圖所示，已知四棱錐的底面是菱形；平面,，點(diǎn)為的中點(diǎn)（）求證：平面；（）求證面FGEDCABA1B1D1C1··例30：如圖，在棱長(zhǎng)為的正方體中，分別是 的中點(diǎn)。（1）求證：平面平面；（2）求證：平面ABCC1B1A1D例31：如圖，在三棱柱中，側(cè)面，均為正方形，,點(diǎn)是棱的中點(diǎn).（）求證：平面；（）求證：平面；例32：如圖所示，四棱錐PABCD中，ABAD，CDAD

19、，PA底面ABCD，PA=AD=CD=2AB=2，M為PC的中點(diǎn)。(1)求證：BM平面PAD； (2)在側(cè)面PAD內(nèi)找一點(diǎn)N，使MN平面PBD；(3)求直線PC與平面PBD所成角的正弦。例33：在如圖所示的幾何體中，四邊形是正方形，,分別為、的中點(diǎn)，且 （）求證：平面; （）求三棱錐例34：如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AC=BC，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)。（1）求證：（2）求證：平面平面例35：如圖所示，已知矩形ABCD中，AB=10，BC=6，將矩形沿對(duì)角線BD把ABD折起，使A移到點(diǎn)，且在平面BCD上的射影O恰好在CD上（）求證：；（）求證：平面平面；（）求三棱錐的體積 題型五：空間中的

20、夾角知識(shí)點(diǎn)：夾角的分類：線線夾角、線面夾角、面面夾角三者在計(jì)算或證明時(shí)的轉(zhuǎn)換關(guān)系：面面 線面 線線計(jì)算三種夾角的方法：勾股定理、向量、坐標(biāo)等，對(duì)于夾角問題我們一般分為三個(gè)步驟：找角，證明所找的角，計(jì)算所找角的大?。ㄇ杏洸豢烧页鰜碇蟛蛔C明就開始計(jì)算）異面直線的夾角問題：例36：在四棱錐PABCD中，底面ABCD是一直角梯形，與底面成30°（1）若為垂足，求證：；（2）在（1）的條件下，求異面直線AE與CD所成角的正切值；例37：如圖，已知P是平行四邊形ABCD所在平面外一點(diǎn)，M、N分別是AB、PC的中點(diǎn)（1）求證：MN/平面PAD；（2）若，求異面直線PA與MN所成的角的大小例38：

21、如圖，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，且MD=NB=1，E為BC的中點(diǎn)，求異面直線NE與AM所成角的余弦值例39：如圖，在正方體中，、分別是、的中點(diǎn)，則異面直線與所成的角的大小是_。例40：已知正四面體中，各邊長(zhǎng)均為，如圖所示，分別為的中點(diǎn)，連接，求異面直線所成角的余弦值。例41：已知S是正三角形ABC所在平面外的一點(diǎn)，如圖SASBSC，且ASBBSCCSA，M、N分別是AB和SC的中點(diǎn)求異面直線SM與BN所成的角的余弦值BMANCS例42：已知三棱柱的側(cè)棱與底面邊長(zhǎng)都相等，在底面上的射影為的中點(diǎn)，則異面直線與所成的角的余弦值為（ ）（A） （B） （C） (D) 例43：如圖,在正方體中，

22、分別是的中點(diǎn)。（1）若為的中點(diǎn)，證明：平面平面 （2）求異面直線與所成的角例44：如圖，四面體ABCD中，ABBC，ABBD，BCCD，且ABBC6，BD8，E是AD中點(diǎn)，求BE與CD所成角的余弦值。【2015高考四川，理14】如圖，四邊形ABCD和ADPQ均為正方形，它們所在的平面互相垂直，動(dòng)點(diǎn)M在線段PQ上，E、F分別為AB、BC的中點(diǎn)。設(shè)異面直線EM與AF所成的角為，則的最大值為 . 【2015高考浙江，理13】如圖，三棱錐中，點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，則異面直線，所成的角的余弦值是 【2015高考新課標(biāo)1，理18】如圖，四邊形ABCD為菱形，ABC=120°，E，F(xiàn)是平面ABCD同一側(cè)

23、的兩點(diǎn)，BE平面ABCD，DF平面ABCD，BE=2DF，AEEC.（）證明：平面AEC平面AFC；（）求直線AE與直線CF所成角的余弦值.線面夾角：例45：如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，PA底面ABCD，AC=2，PA=AD=2，E是PC上的一點(diǎn)， 設(shè)二面角A-PB-C為90°，求PD與平面PBC所成角的大小。 例46：如圖，直三棱柱中，,D、E分別是，的中點(diǎn),平面.（1）證明：AB=AC（2）設(shè)二面角A-BD-C為，求與平面BCD所成的角的大小 真題：【2015高考浙江，文18】如圖，在三棱錐中，在底面ABC的射影為BC的中點(diǎn)，D為的中點(diǎn).（1）證明：； （2）

24、求直線和平面所成的角的正弦值.【2014高考，文18】如圖，四棱錐中，底面為菱形，底面，是上的一點(diǎn)，。（）證明：平面；（）設(shè)二面角為，求與平面所成角的大小?！?015高考全國2，理18】如圖，長(zhǎng)方體中,，點(diǎn)，分別在，上，過點(diǎn)，的平面與此長(zhǎng)方體的面相交，交線圍成一個(gè)正方形（）在圖中畫出這個(gè)正方形（不必說出畫法和理由）；（）求直線與平面所成角的正弦值題型六：距離問題：點(diǎn)線距離（定義法、等體積法、向量法、空間坐標(biāo)法）；線面距離；面面距離。例47：已知正四棱柱的地面邊長(zhǎng)為1，則棱場(chǎng)為2，點(diǎn)E為的中點(diǎn)，求點(diǎn)到平面BDE的距離。例48：已知正四棱柱中 ，為的中點(diǎn)，則直線與平面的距離為（ ） A. B. C

25、. D.例49：在中,AB=15，若所在平面外一點(diǎn)P到A、B、C的距離都是14，則P到的距離是（ ） A.13 B.11 C.9 D.7例50：如圖，在四棱錐中，底面四邊長(zhǎng)為1的菱形，, , ,為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)（）證明：直線；（）求異面直線AB與MD所成角的大??； （）求點(diǎn)B到平面OCD的距離。例51：為平面，AB=5,A,B在棱l上的射影分別為A，B，AA3，BB2.若二面角的大小為，求，點(diǎn)B到平面的距離為_ 例52：P為矩形ABCD所在平面外一點(diǎn)，且PA平面ABCD，P到B，C，D三點(diǎn)的距離分別是，則P到A點(diǎn)的距離是（ ） A.1 B.2 C. D.4例53：如圖，在四棱錐中，底面四邊長(zhǎng)

26、為1的菱形，, , ,為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)（）證明：直線；（）求異面直線AB與MD所成角的大?。唬ǎ┣簏c(diǎn)B到平面OCD的距離例54：如圖,直四棱柱ABCD A1B1C1D1中,AB/CD,ADAB,AB=2,AD=錯(cuò)誤！未找到引用源。,AA1=3,E為CD上一點(diǎn),DE=1,EC=3(1)證明:BE平面BB1C1C;(2)求點(diǎn)B1 到平面EA1C1 的距離例55：如圖，已知多面體ABCDEFG中，AB、AC、AD兩兩互相垂直，平面ABC平面DEFG，平面BEF平面ADGC，AB=AD=DG=2，AC=EF=1。（1）試判斷CF是否與平面ABED平行？并說明理由；（2）求多面體ABCDEFG的體積。

27、例56：如圖，四面體ABCD中，O、E分別是BD、BC的中點(diǎn)，（I）求證：平面BCD；（II）求點(diǎn)E到平面ACD的距離。例57：如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，ABDC，BCD=900。(1) 求證：PCBC；(2) 求點(diǎn)A到平面PBC的距離。題型七：求體積問題例58：如圖，為多面體，平面與平面垂直，點(diǎn)在線段上，OAB，OAC，ODE，ODF都是正三角形。（）證明直線；（）求棱錐的體積.例59：如圖，三棱柱ABCA1B1C1中，側(cè)棱垂直底面，ACB=90°，AC=BC=AA1，D是棱AA1的中點(diǎn)()證明：平面BDC1平面BDC（）平面B

28、DC1分此棱柱為兩部分，求這兩部分體積的比.CBADC1A1真題：【2015高考北京，文18】（本小題滿分14分）如圖，在三棱錐中，平面平面，為等邊三角形，且，分別為，的中點(diǎn)（I）求證：平面；（II）求證：平面平面；（III）求三棱錐的體積【2015高考新課標(biāo)1，文18】（本小題滿分12分）如圖四邊形ABCD為菱形，G為AC與BD交點(diǎn)，（I）證明：平面平面；（II）若， 三棱錐的體積為，求該三棱錐的側(cè)面積.【2015高考重慶，文20】如題（20）圖，三棱錐P-ABC中，平面PAC平面ABC，ABC=，點(diǎn)D、E在線段AC上，且AD=DE=EC=2，PD=PC=4，點(diǎn)F在線段AB上，且EF/BC.

29、()證明：AB平面PFE. ()若四棱錐P-DFBC的體積為7，求線段BC的長(zhǎng).題型八：翻折與展開問題及探索問題PEDFBCA例60：如圖所示，等腰的底邊，高，點(diǎn)是線段上異于點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在邊上，且，現(xiàn)沿將折起到的位置，使，記，表示四棱錐的體積（1）求的表達(dá)式；（2）當(dāng)為何值時(shí)，取得最大值？（3）當(dāng)取得最大值時(shí)，求異面直線與所成角的余弦值例62：正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，分別取邊BC、CD的中點(diǎn)E、F，連接AE、EF、AF.以AE、EF、FA為折痕，折疊這個(gè)正方形，使點(diǎn)B、C、D重合于一點(diǎn)P，得到一個(gè)四面體，如圖(2)所示(1)求證：APEF；(2)求證：平面APE平面APF.例63：如圖4,在

30、邊長(zhǎng)為1的等邊三角形中,分別是邊上的點(diǎn),是的中點(diǎn),與交于點(diǎn),將沿折起,得到如圖5所示的三棱錐,其中.(1) 證明:/平面; (2) 證明:平面;(3) 當(dāng)時(shí),求三棱錐的體積. 圖甲圖乙例68：如圖甲，在直角梯形中，是的中點(diǎn). 現(xiàn) 沿把平面折起，使得（如圖乙所示），、分別為、邊的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求證：平面平面；（3）試探究在上是否存在一點(diǎn)，使得平面,并說明理由. 真題：【2015高考陜西，理18】（本小題滿分12分）如圖，在直角梯形中，是的中點(diǎn)，是與的交點(diǎn)將沿折起到的位置，如圖（I） 證明：平面；（II） 若平面平面，求平面與平面夾角的余弦值【2014高考，文19】如圖所示：邊長(zhǎng)為

31、2的正方形ABFC和高為2的直角梯形ADEF所在的平面互相垂直且DE=，ED/AF且DAF=90°。（1） 求BD和面BEF所成的角的余弦；（2）線段EF上是否存在點(diǎn)P使過P、A、C三點(diǎn)的平面和直線DB垂直，若存在，求EP與PF的比值；若不存在，說明理由?！?015高考安徽，文19】如圖，三棱錐P-ABC中，PA平面ABC，.（）求三棱錐P-ABC的體積；（）證明：在線段PC上存在點(diǎn)M，使得ACBM，并求的值.【2015高考福建，文20】如圖，是圓的直徑，點(diǎn)是圓上異于的點(diǎn)，垂直于圓所在的平面，且（）若為線段的中點(diǎn)，求證平面；（）求三棱錐體積的最大值；（）若，點(diǎn)在線段上，求的最小值【2

32、015江蘇高考，22】如圖，在四棱錐中，已知平面，且四邊形為直角梯 形，, （1）求平面與平面所成二面角的余弦值； （2）點(diǎn)Q是線段BP上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)直線CQ與DP所成角最小時(shí)，求線段BQ的長(zhǎng)PABCDQ【2015高考湖北，理19】九章算術(shù)中，將底面為長(zhǎng)方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬，將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑如圖，在陽馬中，側(cè)棱底面，且，過棱的中點(diǎn)，作交于點(diǎn)，連接 （）證明：試判斷四面體是否為鱉臑，若是，寫出其每個(gè)面的直角（只需寫出結(jié)論）；若不是，說明理由； （）若面與面所成二面角的大小為，求的值【2015高考湖南，理19】如圖，已知四棱臺(tái)上、下底面分別是邊長(zhǎng)為3和

33、6的正方形，且底面，點(diǎn)，分別在棱，BC上.（1）若P是的中點(diǎn)，證明：；（2）若平面，二面角的余弦值為，求四面體的體積.BROArORrAd經(jīng)度緯線緯度經(jīng)線O地軸P題型九：球類問題專項(xiàng)練習(xí)(1) 球的截面(圓)的性質(zhì):球心O與圓心的連線O與圓面垂直球心與圓面的距離(2)球面上兩點(diǎn)A,B的球面距離定義:經(jīng)過A,B兩點(diǎn)的大圓的劣弧長(zhǎng)求法:利用大圓O與小圓的公共弦AB,注意劣弧AB所對(duì)的圓心角是角AOB而不是角AB(3)經(jīng)度與緯度緯度:某點(diǎn)P的緯度就是指經(jīng)過這點(diǎn)的球半徑與經(jīng)過這點(diǎn)的緯度圈所在的平面的夾角經(jīng)度:某點(diǎn)P的經(jīng)度就是指經(jīng)過這點(diǎn)的經(jīng)線與地軸確定的半平面與0°經(jīng)線與地軸確定的半平面所在的

34、二面角的大小.(4)球內(nèi)接長(zhǎng)方體的性質(zhì): 長(zhǎng)方體的中心就是球心, 長(zhǎng)方體的對(duì)角線長(zhǎng)就是球的直徑(5)正四面體的內(nèi)切球與外接球的性質(zhì):它們是同心球,球心在正四體的高線上,內(nèi)切球與外接球的半徑的和等于正四面體的高,求解時(shí)可利用等體積法.(6)球體積,球的表面積,弧長(zhǎng)公式一：棱錐的內(nèi)切、外接球問題例69：正四面體的外接球和內(nèi)切球的半徑是多少？ 例70：設(shè)棱錐的底面是正方形，且，如果的面積為1，試求能夠放入這個(gè)棱錐的最大球的半徑.例71：一個(gè)長(zhǎng)方體的各頂點(diǎn)均在同一球面上，且一個(gè)頂點(diǎn)上的三條棱長(zhǎng)分別為1,2,3，則此球的表面積為_例72：已知各頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上的正四棱柱高為4，體積為16，則這個(gè)球的表

35、面積為（ ）A. B. C. D. 例73：一個(gè)六棱柱的底面是正六邊形，其側(cè)棱垂直于底面，已知該六棱柱的頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，且該六棱柱的體積為，底面周長(zhǎng)為3，則這個(gè)球的體積為_例74：正四棱錐的底面邊長(zhǎng)和各側(cè)棱長(zhǎng)都為，點(diǎn)都在同一球面上，則此球的體積為_.例75：表面積為 的正八面體的各個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，則此球的體積為 A B C D二：球類的截面問題例76：球面上有三點(diǎn)、組成這個(gè)球的一個(gè)截面的內(nèi)接三角形三個(gè)頂點(diǎn)，其中，、，球心到這個(gè)截面的距離為球半徑的一半，求球的表面積例77：過球表面上一點(diǎn)引三條長(zhǎng)度相等的弦、，且兩兩夾角都為，若球半徑為，求弦的長(zhǎng)度例78：已知球的面上四點(diǎn)A、B、C、

36、D，則球的體積等于_.例79：已知點(diǎn)A、B、C、D在同一個(gè)球面上，若，則球的體積是_.例80：球面上有3個(gè)點(diǎn)，其中任意兩點(diǎn)的球面距離都等于大圓周長(zhǎng)的，經(jīng)過3個(gè)點(diǎn)的小圓的周長(zhǎng)為，求這個(gè)球的半徑例81：一個(gè)正三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在半徑為1的球面上，其中底面的三個(gè)頂點(diǎn)在該球的一個(gè)大圓上，則該正三棱錐的體積是（ ）A B C D 例82：直三棱柱的各頂點(diǎn)都在同一球面上，若,，則此球的表面積等于 例83：正三棱柱內(nèi)接于半徑為的球，若兩點(diǎn)的球面距離為，則正三棱柱的體積為 【2012高考新課標(biāo)文8】平面截球O的球面所得圓的半徑為1，球心O到平面的距離為，則此球的體積為 ( )（A） （B）4 （C）4 （D）

37、6例84：【2015高考新課標(biāo)2，理9】已知A,B是球O的球面上兩點(diǎn)，AOB=90,C為該球面上的動(dòng)點(diǎn)，若三棱錐O-ABC體積的最大值為36，則球O的表面積為( )A36 B.64 C.144 D.256 三：球面距離例85： 過球面上兩點(diǎn)作球的大圓，可能的個(gè)數(shù)是（）A有且只有一個(gè) B一個(gè)或無窮多個(gè) C無數(shù)個(gè) D以上均不正確例86：已知、是半徑為的球的球面上兩點(diǎn)，它們的球面距離為，求過、的平面中，與球心的最大距離是多少？例87：在球心同側(cè)有相距的兩個(gè)平行截面，它們的面積分別為和求球的表面積例88：如圖球O的半徑為2，圓是一小圓，A、B是圓上兩點(diǎn)，若A，B兩點(diǎn)間的球面距離為，則= 例89：在半徑為3的球面上有三點(diǎn)，球心到平面的距離是，則兩點(diǎn)的球面距離是（ ）A. B. C. D. 四：其它問題例90：在矩形中，沿將矩形折成一個(gè)直二面角，則四面體的外接球的體積為（ ）A. B. C. D.例91：一個(gè)倒圓錐形容器，它的軸截面是正三角形，在容器內(nèi)注入水，并放入一個(gè)半徑為的鐵球，這時(shí)水面