導(dǎo)數(shù)解答題之極值點(diǎn)偏移問題教師版

1、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)解答題之極值點(diǎn)偏移問題1 - X V1. (2013湖南又21)已知函數(shù) f(x)=2 ex1 X(I)求f (x)的單調(diào)區(qū)間；(n)證明：當(dāng) f (x1) = f (x2)(x1 0x2)時(shí)，x1 +x2 <0.2.(2010 天津理 21)已知函數(shù) f(x)=xe" (xW R).(I )求函數(shù)f (x)的單調(diào)區(qū)間和極值；(n)已知函數(shù)y = g(x)的圖象與函數(shù) y = f (x)的圖象關(guān)于直線 x = 1對(duì)稱，證明當(dāng)x>1時(shí),f(x) g(x)(田)如果 X1 0X2,且 f (X1) = f (x2),證明 X1 +x2 A2【解析】(I)解：f

2、9; (x)=(1-x)e'令f' (x)=0,解彳導(dǎo)x=1當(dāng)x變化時(shí)，f' (X) , f(x)的變化情況如下表X(-°0,1)1(1尸)f' (X)+0-f(x)極大值所以f(x)在(一00,1)內(nèi)是增函數(shù)，在(1,十比)內(nèi)是減函數(shù)1函數(shù)f(x)在X=1處取得極大值f(1)且f(1)= 一ex_2(n)證明：由題息可知g(x)=f(2-x), 得 g(x)=(2-x) e令 F(x)=f(x)-g(x), 即 F(x) =xe* +(x2)ex"于是 F '(x) =(x -1)(e2x，-1)e'2x-2x當(dāng) X>

3、1 時(shí)，2x-2>0,從而 e -1>0,又 e A0,所以 F' (x)>0,從而函數(shù) F (x)在1,+ 8)是增函數(shù)。又 F(1)= e-1 -e-1 =0,所以 x>1 時(shí)，有 F(x)>F(1)=0,即 f(x)>g(x).m)證明：(1)右(Xi 1)(X2 1) = 0，由(D 及 f(x 1 ) = f(x 2),則 Xi = X2 = 1.與Xi 手 X2矛盾。(2)若(x1 -1)(x2 -1) A 0,由(I)及 f(X1)=f(X 2),得X1 = X2.與X1 ¥ X2矛盾。根據(jù)(1) (2)得 由 一 1)(X2

4、 -1) < 0,不妨設(shè) X1 < 1,X2 > 1.由(n )可知，f(X 2) > g(X 2)，則 g(X 2) = f(2-X 2)，所以 f(X 2) > f(2-X 2),從而 f(X 1 ) >f(2-X 2) .因?yàn)閄2 >1 ,所以2 -X2 <1 ,又由(I )可知函數(shù)f(X)在區(qū)間(-8, 1)內(nèi) 事增函數(shù)，所以X1> 2x2，即X1十x2>2.一a 一3 .已知函數(shù)f (x )= In x十一 一2 .x(1 )討論f ( x )的單調(diào)性；(2)若函數(shù)y = f(x)的兩個(gè)零點(diǎn)為 , x2 x2 ),證明：x1

5、+x2A2a.試題分析：(1)首先求出函數(shù) f (X)的導(dǎo)函數(shù)，然后利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值，進(jìn)而 得出所求的結(jié)果；(2)首先由函數(shù) y= f(x)的兩個(gè)零點(diǎn)為x1,x2(x1 <x2 )并結(jié)合(1)可得0 <x1<a<x2,然后構(gòu)造函數(shù) g (x) = f (x) - f (2a- x),并利用其導(dǎo)函數(shù)求出其函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而 得出所證的結(jié)果一、一一一 . 一. 1 ax a.試您斛析：(I) f 7x) = -2=-( x> 0),所以當(dāng) a<0 時(shí)，fx)>0, f (x)在(0 , +8) X X X上單調(diào)遞增；當(dāng)a>0時(shí)，f(x)

6、在(0, a)上單調(diào)遞減，在(a, + 00 )上單調(diào)遞增.(n)若函數(shù) y = f(x)的兩個(gè)零點(diǎn)為 x1, x2 (x1<x2),由(I)可得 0<x1<a<x2.令 g (x) = f (x)一 f (2 a x),(0<x<a)則 g?x) = f Xx)+f?2a x) = (xa)£121< 0,所以 g (x)在(0 ,x (2 a x) ja)上單調(diào)遞減，g(x)>g(a) = 0,即 f (x) >f (2a x).令 x = x1<a,則 f (x1) >f (2a x1),所以 f(x2) =f

7、(x1)>f(2a-x1),由(I)可得 f(x)在(a, + 8 )上單調(diào)遞增，所以 X2>2a-x1,故 x1 + x2>2a.k4 . (2016福州五校下學(xué)期第一次聯(lián)考)已知函數(shù)f(x) = xlnx (kw R),其圖象與x軸x交于不同的兩點(diǎn)A(x1,0),B(x2,0),且 x1 < x2 .(1)求實(shí)數(shù)k的取值范圍;2(2)證明：x1 +x2 < 7 .e5.已知函數(shù)f x =xlna 2x - x -x+a(a = R)在其定乂域內(nèi)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn). 2(I)求a的取值范圍；2(n)設(shè)f (x)兩個(gè)極值點(diǎn)分別為xi,x2 ,證明：xi x2 Ae

8、 .解：(I)依題，函數(shù)f (x)的定義域?yàn)?0,),所以方程f(x)=0在(0,依)有兩個(gè)不同根.即，方程lnxax = 0在(0,y)有兩個(gè)不同根 1分令g(x)=lnx-ax,從而轉(zhuǎn)化為函數(shù) g(x)有兩個(gè)不同零點(diǎn)，1 c 1axC而 g(x)= ax = (xa0)x x若aE0,可見g'(x)>0在(0,&)上恒成立，所以g(x)在(0,收)單調(diào)增，此時(shí)g(x)不可能有兩個(gè)不同零點(diǎn). 3分11右 a >0,在 0 <x 父一時(shí)，g (x) A0 ,在 x A時(shí)，g (x) <0, aa一,、,1 . ,1所以g(x)在(0,-)上單倜增，在(一

9、，收)上單調(diào)減，aa1、 , 1 , 從而 g(x)極大=g(_)=ln 1 4 分a a又因?yàn)樵趚T 0時(shí)，g(x)T ,在在xt + 8時(shí)，g(x)T ，于是只須：1 1.g(x)極大 >0 ,即 ln 一 一1 >0 ,所以 0<a<一. 5 分ae1綜上所述，0ca< 6分e(n)由(I)可知 x1，x2分別是方程ln x ax = 0的兩個(gè)根,即 ln x1 =ax1 , ln x2 =ax2,xln 設(shè)x1 >x2 ,作差得,ln =a(x1 一x2),即x2 .xa =X *2原不等式x1、2 - e等價(jià)于7分2 xi - x2XiX2設(shè) g

10、t =1n t -23" g'。）">0,函數(shù)g (t )在(1,-Hc讓單調(diào)遞增，10分1nxiIn x2 . 2 仁 a x1x2 j 5 2 仁 In -x1X2令二=t,則t>1,此上一恪一X2工 mt 72：-1) 9分又2x2 x1x2t 1g（t）>g（1 ） = 0,即不等式1n t >2-U成立， 11分t 1、一一 “ ，、2故所證不等式XMAe成立.12分16.已知函數(shù) f(x)=lnx，g(x)=ax+b.x(1)若函數(shù)h(x) = f (x)g(x)在(0, 土均上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù) a的取值范圍；1(2)若直線g(x

11、)=ax+b是函數(shù)f(x)=lnx圖象的切線，求 a+b的最小值； x(3)當(dāng)b=0時(shí)，若f(x)與g(x)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn) A(x,y“，B(x2,y2),求證：x1 x2>2e2.【答案】(1) a <0 ; (2) 1； (3)證明見解析.【解析】試題分析：(1)借助函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)值是非負(fù)數(shù)建立不等式求解；(2)將參數(shù)a,b用切點(diǎn)的橫坐標(biāo)表示，再借助導(dǎo)數(shù)求最小值； (3)先分析轉(zhuǎn)化再構(gòu)造函數(shù)，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的有關(guān)知識(shí)進(jìn)行推證11試題解析：(1)- h(x) =f(x) g(x) =(m x) (ax+b) =ln x axb ,xx11h (x)二一 一2 -a. x x11 h

12、(x)在(0,收)上單調(diào)遞增，V(0,f , h (x)=一十=a20怛成立x x即 V（0,f , aw；+l恒成立 x x min1111c 11令 H （x） =2+=（+一） , x >0 , >0 , x2 x x 24x: x :>0時(shí)，H （x） >0 ,二 a <0.1(2) 設(shè)切點(diǎn)為(x0,y0),則a = xo1+，xo1.又 ax0+b=lnx0-, b =ln x0x02-1, xoa b = J xo1.十In x0 -1 , xo,11.令平(x)+lnx-1 ,則 1r(x)x x111 (x 2)(x-1) =3x x x x,當(dāng)1

13、r(x) >0時(shí)，x三(1,土與，所以中(x)在(1, 土碼上單調(diào)遞增;當(dāng)叭x)<0時(shí)，xw(0,1),所以中(x)在(0,1)上單調(diào)遞減.,當(dāng)x =1時(shí)，中(x)取得最小值，為 1 ,即a +b的最小值為1.1in x1 一一 = ax1(3) 證明：由題意得 Xx1in x2= ax2x2二 + 得：in(x1x2) -1-x2=a(x1 +x2)Xx2一得:,x2x1 -x2in =a(x2 -x)，即x1x1x2ln9x- +1- = a d x2 - x1x1 x2代入得:ln(x1x2)in里xx2,x1二(即 ln(x1x2)xx2x2 Xxx22(x x2)x1 x

14、2 , x2=in - ,1 、，、+)(x1 +x2),不妨令0 <x1均*2x2 一均 均xo,< x? , l 己 t A1 ,x1，、，、2令 F(t) =lnt組41),則 F，(t)=£。,t 1t(t 1)>F(1)=o,二 F(t)=lnt _2(t T)在 °,土叼 上單調(diào)遞增，則 F(t) =int 2(t 1)t 1t 1,2(t -1)Int-逐 2(x2 -2)ln(xx2)2(x1 x2)x1x2x1x1x1x2x2x2 - x1ln x22x1又 ln(x1x2)2(x1 x2)4 x1x2 41 ：in(x1x2): =2i

15、n . x1x2 .x1x2xG2xG24 2J. 2ln Jx*2 -,>2 ,即 In jx1x2 -=>1 , X1X2X1X2人2.一 .12 一令 G(x)=lnx_，則 x>0 時(shí)，G'(x)=+f>0, xx x_2 ,二G(x)=lnx在(0,六c)上單調(diào)遞增，x一21.2_ _ .又 ln ,2e = In 2 10.83 ：；12e 2eG( x1x2) =ln x1x2>1 >ln q'2e- .2e.xx22e1 2二一 x (1 -a)x-aln x 2考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)及在研究函數(shù)的單調(diào)性最值中的應(yīng)用.7 .(2017屆武

16、昌區(qū)元月調(diào)考理科數(shù)學(xué))已知函數(shù)f(x)(1)討論f (x)的單調(diào)性;(2)設(shè) a > 0,證明：當(dāng) 0 <x <a時(shí)，f (a +x) < f (a x)；x1 x2一(3)設(shè)x1，x2是f(x)的兩個(gè)零點(diǎn)，證明： f'( 2 )>0.a 28 .已知函數(shù)f(x)=xlnxx x+a(a=R)在其te 乂域內(nèi)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn). 2(1)求a的取值范圍；(2)記兩個(gè)極值點(diǎn)分別為 x1，x2,且x1 <x2.已知九>0 ,若不等式e1鬼<x1恒成立，求工的范圍.試題解析：(1)依題，函數(shù) f(x)的定義域?yàn)?0,十望)，所以方程f'

17、(x) = 0在(0,十比)有兩個(gè)不同根，即，方程lnx ax = 0在(0,十無)有兩個(gè)不同根.ln x轉(zhuǎn)化為，函數(shù) g(x)=與函數(shù)y = a的圖像在(0,十整)上有兩個(gè)不同交點(diǎn).x-1 -ln x又 g (x)=2，即 0 <x <e時(shí)，g (x) >0,x >e時(shí)，g (x) <0 , x1所以g(x)在(0,e)上單調(diào)增，在(e,+8)上單調(diào)減.從而g(x)最大=g(e)=， e又g(x)有且只有一個(gè)零點(diǎn)是1,且在xT0時(shí)，g (x) T 8 ,在xt+笛時(shí)，g(x)T 0 ,所以g(x)的草圖如下，In x1可見，要想函數(shù)g(x)= 與函數(shù)y = a的

18、圖像在(0,依)上有兩個(gè)不.同交點(diǎn)，只須0<a< xe(2)因?yàn)閑1狀< x，x等價(jià)于1十九<ln xi十九ln X2 .由(1 )可知x1,x2分別是方程In x - ax= 0的兩個(gè)木即 ln x1 = ax21n x2 = ax2,所以原式等價(jià)于1 +九< ax1 +九ax2 = a(x1 +九x2),因?yàn)榫?gt; 0,0 < x1 < x2,“1 1所以原式等價(jià)于a >x1' x2ln 一，.xi.x2又由 In x =ax"n x2 =ax?作差得，In 一 = a(x1 x2),即 a =.x2% -x2in工x1

19、所以原式等價(jià)于 一& > -,x1 一 x2X ' x2因?yàn)? <x1 <x2 ,原式恒成立，即 in衛(wèi) < (1 + )(x1 -x2)恒成立.x2x1 一 .，x2令 t=瓦，tW(0,1), X2則不等式int令 h(t) -int<(1 +"t 7)在t w (0,1)上恒成立. t ,(1)(t -1)一 ?(1)2 (t-1)(t- 2)2 -2(t )2 t(t )2當(dāng)兒2 >1 時(shí)，可見 t W (0,1)時(shí)，h'(t) >0，所以 h(t)在tw (0,1)上單調(diào)增，又 h(1)=0 , h(t) &

20、lt;0在tw (0,1)恒成立，符合題意.2.2-2當(dāng)九 <1 時(shí)，可見 t u (0,九)時(shí)，h (t) <0,tu (九，1)時(shí)，h(t)<0,22所以h(t)在t u(0，九)時(shí)單調(diào)增，在t九，1)時(shí)單調(diào)減，又h(1) = 0,所以h(t)在tW(0,1)上不能恒小于0,不符合題意，舍去.綜上所述，若不等式 e1母1 < x1恒成立，只須入2之1 ,又九a 0 ,所以九之1.29.已知函數(shù)f(x)=lnxx +ax, x1，x2是函數(shù)f(x)的兩個(gè)零點(diǎn)，且 Xicx2,(1)討論函數(shù)f (x )的單調(diào)性；(2)求a的取值范圍；(3)設(shè)f'(x注函數(shù)f(x

21、)的導(dǎo)函數(shù)，求證 f / x1 ； j<0試題分析：(1)討論單調(diào)性，先導(dǎo)數(shù) f '(x),然后解得方程 f '(x0) = 0在(0, +oc)上的解x0 ,通過f '(x)的正負(fù)確定f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)由(1)知x0是f(x)的極大值點(diǎn)，因此只要-2xo2 -1、 一f(xo) >0 ,就能保證f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，注意到 a=，因此可由f (xo) >0求得xo的xo取值范圍，再求得a范圍；(3)首先由f(x1) = f(x2) =0 ,用x1,x2表示出a ,再求得2 % f1n 上f /為 蟲 =2 _(x1 +x2)+ a并整理得 x1

22、 +x2xL ,此時(shí)會(huì)發(fā)現(xiàn)只要證,2x1 x2x2 - X2 x2 - x1x2x2-1n <0,此式證明可用換元法，設(shè) t =上>1,再利用函數(shù)的性質(zhì)證明.X %x1x11試題斛析：(1) f(x) = 2x+a = 2人2a , a 8令 f(x0)=0,則 2x0 axo1=O, % =>04當(dāng) xW(0,x0 )時(shí)，f'(x)>0, f(x )單調(diào)遞增;當(dāng)xW(xo,十無)時(shí)，f'(x)<0, f (x )單調(diào)遞減2xo2 -1xo(2)由于函數(shù)f(x)存在兩個(gè)零點(diǎn)，f(x max >o2 (1)可知 f (x max = f (址

23、±1n xo-xo +axo,且 a由于 g(%)= 1 %+2% -在 1 (0,+°0 )為增函數(shù)，且 g(1)= 0,，x0 > 12%2 -1Xo=2xoXo所以a的取值范圍是(1,+co22萬法一：函數(shù)f(x) = lnxx十a(chǎn)x有兩個(gè)零點(diǎn)，即萬程lnxx + ax = 0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，即2.x -ln xa =有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，x2,21,x - ln x . x -1 In x 設(shè) g(x)=,則 g(x)=2xx22p(x)=x 1+ln x, p(1 ) = 0,且 p(x ) = x 1+lnx 單倜遞增,j. xw(0,1)時(shí)，p(x ) = x2-

24、1+ln x <0 , g'(x)<0, g(x )單調(diào)遞減 xw(1,+=c)時(shí)，p(x ) = x21 + ln x >0 , g'(x)>0, g(x )單調(diào)遞增 (3)由于x1，x2是函數(shù)f (x )的兩個(gè)零點(diǎn)，且 X <x222一所以，1nxi -x1ax1 =0,ln x2 - x2ax2 =0,x2 ln -兩式相減得：ln x -(x22 -x12 )+ a(x2 x1 )= 0 , a = x + (x2 + x,) xx2 - Kf 、 21要證明f J x 一 t1t： 9at + P =1 -(1 -t)a > 1 =

25、-> Vt ,即(at + P) >t +x21<0 ,只需證2(x2 -x1)ln* <0,即只需證ln0A'x2x1 x2x,x1上 1x2x22t'114 t-'1設(shè)一2 =t >1,構(gòu)造函數(shù) h(t )=lnt-,h (t ) = - -2 =->0xt 1t t 1 t t 12 t -1h(t )在(1,+°0 評(píng)調(diào)遞增，, h(t )=lnt -S h=0t 1f 、2 -1 I ,、.lnx2>，xJ121。 x1% . 1. 2x1考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用. 2 10. (2014襄陽

26、市二月考試)已知函數(shù)f(x)=alnx-x .1 (1)當(dāng)a =2時(shí)，求函數(shù)y = f(x)在,2的最大值；2(2)令g(x) = f (x) +ax,若y =g(x)在區(qū)間(0, 3)上不是單調(diào)函數(shù)，求 a的取值范圍；(3)當(dāng)a=2時(shí)，函數(shù)h(x) = f (x) mx的圖象與 x軸交于兩點(diǎn) A(x1,0) , B(x2,0),且0 <x1 <x2,又h'(x)是h(x)的導(dǎo)函數(shù).若正常數(shù)滿足條件« +P =1尸<P ,證明：h'(axi + %) <0 .2 -2x22解：當(dāng) a = 2 時(shí)，(x) = 2x = x函數(shù)y = f (x)在

27、3, 1是增函數(shù)，在1, 2是減函數(shù)2所以 f(x)max =f(1)=2ln x 1 =-12. a(2)解：: g(x)=alnx-x +ax ,g'(x)=-2x+ax. g (x)因?yàn)樵趨^(qū)間(0, 3)上不是單調(diào)函數(shù)，g(x)=0在(0, 3)上有實(shí)數(shù)解，且無重根由 g'(x) =0 得：2x1 2axa = 0,有a = x22x=2(x 1119一)_4(0, ) , x6 (0, x 123)又當(dāng)a = 8時(shí)，g (x) =0有重根x = 2;a = 0 時(shí),g '(x) =0 有重根 x = 0八，一 ，一一 19綜上，a的取值范圍是(0,-).2(3)

28、解：當(dāng) a = 2 時(shí)，h(x)=2lnx2-x mx, h'(x)2二-2x - m xh (x) = f (x) mx的圖象與x軸交于兩點(diǎn)A(xi, 0),B(x2, 0)1-f (x)-mx = 0 有兩個(gè)實(shí)根 xi、x2,b1nx1 x12mx1=o 兩式相減得:2)2 ln x2 - x2 - mx2 =022、/、2(ln x- lnx2)-(x1-x2)= m(x1-x2)，m=%212 Tx1 -2)為-x2一一.2于是 h (二為 一，x2) =： 2(二、：x172:2(1nxi - 1n x2)2)(為x2)x1 - x22(ln x1 - ln x2)1-(2：

29、1)(x2 -X1)X1 -X210分 口 +P =1, ct w P , 2aw 1 二(2a 1)(x2 -xi) < 0要證：h'(axi +Px2)<0,只需證:2 2(ln x1 Tn x2)。二 X 1-',-X2% rx2只需證:為 一x2-x1-ln 土 x20(*)11分人x1令 t = (0 < t < 1), x2(*)化為1 -tln t : 012分一.1則 u (t)二 t1(：t -)21 -1 令 u(t) =ln t +宏，:L .13分.1111 c- - = u (t) =- -20t (二 t，)tQt -： ：)

30、.u (t)在(0, 1)上單調(diào)遞增，u< u=01 -1x1 - x2x1 ln t + <0 ,即ln <0、社1.工xl1X2x214分h (: K42)：011.已知函數(shù)f (x) = ln x-mx(m為常數(shù))3 2m >時(shí)，2(i)討論函數(shù) f (x)的單調(diào)區(qū)間;(x < x2)恰為，、 一，、2設(shè)g (x) = 2 f (x) + x的兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2 ,2 , , 一，,x1 x2 , 一，八h(x)=lnxcx bx 的零點(diǎn)，求 y=(x1x2)h'()的最小值211 - mx _ 一 一試題分析：(I)求斛 f(x)= m=(x a

31、 0),分m > 0, m =0, m <0三種情況分類xx討論求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(n)求出 g(x)和h(x)的導(dǎo)數(shù)，運(yùn)用韋達(dá)定理和函數(shù)的零點(diǎn)的定義，化簡整理，構(gòu)造新函數(shù)，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的的單調(diào)性，即可求解最小值.試題解析：(I) f (x) =- -m 1-mx , x >0 .x x當(dāng)m >0時(shí)，11由1 mx>0解得x父一，即當(dāng)0 cxM時(shí)，f (x) >0 , f (x )單調(diào)遞增；mm11由1 mx <0解得x >一，即當(dāng)x A一時(shí)，f (x) <0 , f (x )單調(diào)遞減.mm1一當(dāng)m = 0時(shí)，f (x) =:>

32、0 ,即f (x )在(0, +8)上單倜遞增；x當(dāng) m c0時(shí)，1 mx>0 ,故 f '(x) >0 ,即 f (x )在(0, +°°)上單調(diào)遞增.1.1當(dāng)m a0時(shí)，f (x )的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,一),單調(diào)遞減區(qū)間為( 一，+8)； mm當(dāng)m E0時(shí)，f (x )的單調(diào)遞增區(qū)間為(0, +8).2,、(口) g(x) =2f (x) +x2 =2ln x _2mx + x2 ,則 g'(x) = (x -mx-) ,2 g(x)的兩根 刈，x2即為方程x mx+1=0的兩根.3-222 =m 4A0, x1+x2=m, x1x2 =1

33、 .2又-x1, x2為 h(x) =ln x cx bx 的零點(diǎn),22,x1In ,X2、b=- c(x1 + x2),x1 -x2-In x1 -cx1 -bx1 = 0 , In x2 cx2 bx2 = 0 ,兩式相減得In 匕c(x1 -x2 J, x1 +x2 ) b(x1 x2 )= 0 ,得x2 .一 1而 h(x) = -2cx -b , x2 y= (x1 x2)c(x1 “2)-bx1x2In x12=(x1x2)L-c(x1 x2)In x2c(x1x2)x1 -x2二2(七一刈)=2 .XiX2X28 -1 x2二x2-In ',x2令 ± =t (

34、 0 <t <1 ) x2222x1 x2 2x1x2 二 m ,121或 t >2,0<t -2一 1,(0 ,一上是減函數(shù),2因?yàn)閤1x2 =1 ,兩邊同時(shí)除以 x1x2 ,得t +- + 2 = m , t. m _ 3_2 ,故 t - 1 _ 5,解得 2t 2t - 1及 G (t) = 2In t,t 12G(t)=_1) <0,則 y=G (t) t(t 1)1' G (t) min= G ( - ) = + In 2 , 23即y =(x1 x2)h ( x1 2 X2)的最小值為考點(diǎn)：函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的綜合應(yīng)用；函數(shù)的零點(diǎn)的應(yīng)用.12

35、.已知函數(shù) f (x )=xln xax2(a w R ).2(1)若x>0,恒有f (x) <x成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍;(2)若a = 0 ,求f (x)在區(qū)間t,t+2(t > 0)上的最小值;11(3)右函數(shù) g(x)= f (x)x有兩個(gè)極值點(diǎn) x1,x2,求證： +>2ae .In x1ln x22 x 2分In x -1 - / / 、2 - In x仁八記 H (x) =, H (x)=2一， 2分xxa In x -1 a . (1)由x>0,怛有f (x) wx成立，即ln x -x <1,< 一對(duì)任息x>0成立，1當(dāng) xW(

36、0,e2),H/(x) A0,H(x)單增；當(dāng) x w (e2,y),H/(x) < 0,H(x)單減；H (x)最大21值為 H (e ) = 2 , ea12所以一之z-, a之z- 5分2 e2e2 函數(shù)g (x)= f (x)x有兩個(gè)相異的極值點(diǎn) x1,x2,即g'(x )=ln x ax = 0有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根.當(dāng)aM0時(shí)，g'(x)單調(diào)遞增,g'(x)=0不可能有兩個(gè)不同的實(shí)根; 6分當(dāng) a A0時(shí)，設(shè) h(x )=ln x ax, h'(x 戶1ax ,x1當(dāng)Ocxc1時(shí)，h(x)>0, h(x )單調(diào)遞增； a1當(dāng)xa1時(shí)，h (x

37、)<0, h(x)單調(diào)遞減； a.1,八.一1一 h. |=lna1>0, 0<a< 一 , 8分ae不妨設(shè) x2 >x1 >0, g" )=g'(x2 ) = 0, Tn x2 -ax2 = 0,ln x1 1axi = 0,ln x2 fn x1 = a x2 rxi 、丁1.1口口、/ ln x2-ln Xxz+x Bn_ .x2x2 x21 ' x2x1先證+>2,即證<,即證ln = <二= 1ln xln x2x2x12x1x2x12x1x22 xx2>.xc11.11.令1 = >1 ,即

38、證 ln t < 一 . t - 設(shè)中(t )= ln t - - . t 一一 ， 9分x12 , t2 , tt - 1則中(t ) = -tA一 =2<0 ,函數(shù)中(t)在(1,收)單調(diào)遞減，：(t )<巴1)=0,2t 2t11c- 1./+>2,又 0<a<一, .ae<1,ln x1 In x2eIn x1In x22ae12分考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的幾何意義，導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性、最值，導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用.13 .已知函數(shù) f (x) =xln x, g(x) =x ex(1)記F(x)=f(x)_g(x),求證：函數(shù) F(x)在區(qū)間(1,土內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)；(2)用mn,ab表示a, b中的最小值，設(shè)函數(shù)h(x) = min f (x),g(x),若關(guān)于x的方程h(x)=c(其中c為常數(shù))在區(qū)間(1,土均有兩個(gè)不相等的實(shí)根 x1,x2(x1 <x2),記F(x)在(1,y)內(nèi)的零點(diǎn)為,試證明：22_14 .已知函數(shù) f (x) =a ln(x +1)+b(x-1)+ 2(a >0), g(x) = (x+a)，且 f(0) = g(0),(i)求曲線y = f(x)在點(diǎn)(0, f (0)處的切線方程; 設(shè)G(x) =g(x1)