平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示

1、2.3 平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示第 1 課時(shí)教學(xué)目標(biāo)一、知識(shí)與技能1通過(guò)探究活動(dòng)，理解平面向量基本定理2掌握平面里的任何一個(gè)向量都可以用兩個(gè)不共線的向量來(lái)表示，理解這是應(yīng)用向量 解決實(shí)際問(wèn)題的重要思想方法 能夠在具體問(wèn)題中適當(dāng)?shù)剡x取基底， 使其他向量都能夠用基 底來(lái)表達(dá)3了解向量的夾角與垂直的概念，并能應(yīng)用于平面向量的正交分解中，會(huì)把向量的正 交分解用于坐標(biāo)表示，會(huì)用坐標(biāo)表示向量二、過(guò)程與方法1首先通過(guò)“思考”，讓學(xué)生思考對(duì)于平面內(nèi)給定的任意兩個(gè)向量進(jìn)行加減的線性運(yùn) 算時(shí)所表示的新向量有什么特點(diǎn)，反過(guò)來(lái)，對(duì)平面內(nèi)的任意向量是否都可以用形如辰計(jì)的向量表示2 通過(guò)教師提出問(wèn)題， 多讓學(xué)生自己動(dòng)

2、手作圖來(lái)發(fā)現(xiàn)規(guī)律， 通過(guò)解題來(lái)總結(jié)方法，引 導(dǎo)學(xué)生理解“化歸”思想對(duì)解題的幫助， 也要讓學(xué)生善于用“數(shù)形結(jié)合”的思想來(lái)解決這部 分的題3如果條件允許，借助多媒體進(jìn)行教學(xué)會(huì)有意想不到的效果整節(jié)課的教學(xué)主線應(yīng)以 學(xué)生練習(xí)為主，教師給予引導(dǎo)和提示充分讓學(xué)生經(jīng)歷分析、探究并解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程， 這也是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)， 領(lǐng)悟思想方法的最好載體 學(xué)生經(jīng)歷的這種實(shí)踐活動(dòng)越多， 解決實(shí)際問(wèn)題 的方法就越恰當(dāng)而簡(jiǎn)捷三、情感、態(tài)度與價(jià)值觀1在探究過(guò)程中，讓學(xué)生自己動(dòng)手作圖來(lái)發(fā)現(xiàn)規(guī)律，通過(guò)解題來(lái)總結(jié)方法，培養(yǎng)學(xué)生 對(duì)“化歸”、“數(shù)形結(jié)合”等數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用2在讓學(xué)生經(jīng)歷分析、探究并解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中，培養(yǎng)學(xué)生堅(jiān)忍不拔的意

3、志，實(shí) 事求是的科學(xué)學(xué)習(xí)態(tài)度和勇于創(chuàng)新的精神 .教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn) 教學(xué)重點(diǎn)：平面向量基本定理、向量的夾角與垂直的定義、 平面向量的正交分解、平面向 量的坐標(biāo)表示教學(xué)難點(diǎn)：平面向量基本定理的理解與應(yīng)用教學(xué)關(guān)鍵：平面向量基本定理的理解 .教學(xué)突破方法： 通過(guò)問(wèn)題設(shè)置， 讓學(xué)生充分練習(xí)， 發(fā)現(xiàn)規(guī)律方法， 體現(xiàn)學(xué)生的主體地位 教法與學(xué)法導(dǎo)航教學(xué)方法：?jiǎn)l(fā)誘導(dǎo) . 學(xué)習(xí)方法：在老師問(wèn)題的引導(dǎo)下，學(xué)生要充分作圖，與小組成員合作探究，發(fā)現(xiàn)規(guī)律 教學(xué)準(zhǔn)備 .教師準(zhǔn)備：多媒體、尺規(guī) .學(xué)生準(zhǔn)備：練習(xí)本、尺規(guī) . 教學(xué)過(guò)程一、創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新課在物理學(xué)中我們知道， 力是一個(gè)向量， 力的合成就是向量的加法運(yùn)算 而且力

4、是可以分解的，任何一個(gè)大小不為零的力， 都可以分解成兩個(gè)不同方向的分力之和.將這種力的分解拓展到向量中來(lái)，會(huì)產(chǎn)生什么樣的結(jié)論呢？二、主題探究，合作交流提出問(wèn)題 給定平面內(nèi)任意兩個(gè)不共線的非零向量&、勺，請(qǐng)你作出向量3ei+2e2、ei- 2e2.平面內(nèi)的任一向量是否都可以用形如入ei+沁 的向量表示呢？ 如上左圖，設(shè)e1、e2是同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，a是這一平面內(nèi)的任一向量，我們通過(guò)作圖研究 a與e2之間的關(guān)系.師生互動(dòng)：如上右圖，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)0,作0A=ei, OB =e2, OC =a.過(guò)點(diǎn)C作平行于直線 0B的直線，與直線 0A交于點(diǎn)M;過(guò)點(diǎn)C作平行于直線 0A的直線，

5、與直線0B交于點(diǎn)N.由向量的線性運(yùn)算性質(zhì)可知,存在實(shí)數(shù) 乃、d使得0M =入ei, ON = he2.由于0C = 0M ON ,所以a=治+ he.也就是說(shuō)，任一向量a都可以表示成 入亀+加2的形 式.由上述過(guò)程可以發(fā)現(xiàn)，平面內(nèi)任一向量都可以由這個(gè)平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量ei、e2表示出來(lái)當(dāng)ei、e2確定后，任意一個(gè)向量都可以由這兩個(gè)向量量化，這為我們研究問(wèn)題帶 來(lái)極大的方便.由此可得：平面向量基本定理：如果e1> e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量a,有且只有一對(duì)實(shí)數(shù) 入、h,使a = he什he2.定理說(shuō)明：(1) 我們把不共線的向量 e1> e2叫

6、做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底；(2) 基底不唯一，關(guān)鍵是不共線 ；(3) 由定理可將任一向量 a在給出基底ei、e2的條件下進(jìn)行分解；(4) 基底給定時(shí)，分解形式唯一.提出問(wèn)題： 平面內(nèi)的任意兩個(gè)向量之間存在夾角嗎？若存在，向量的夾角與直線的夾角一樣嗎？ 對(duì)平面內(nèi)的任意一個(gè)向量能否用兩個(gè)互相垂直的向量來(lái)表示？師生互動(dòng)：引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合向量的定義和性質(zhì)，思考平面內(nèi)的任意兩個(gè)向量之間的關(guān)系是什么樣的，結(jié)合圖形來(lái)總結(jié)規(guī)律.教師通過(guò)提問(wèn)來(lái)了解學(xué)生總結(jié)的情況，對(duì)回答正確的學(xué)生進(jìn)行表?yè)P(yáng)，對(duì)回答不全面的學(xué)生給予提示和鼓勵(lì).然后教師給出總結(jié)性的結(jié)論：不共線向量存在夾角，關(guān)于向量的夾角，我們規(guī)定：已知兩個(gè)非零

7、向量 a和b (如圖)，作OA=a, OB = b,則/ AOB=0 (0°<0< )叫做8#向量a與b的夾角.顯然，當(dāng)0 =0時(shí)，a與b同向；當(dāng)0 =180時(shí)，a與b反向.因此，兩非零向量的夾角在區(qū)間0 ° 180°內(nèi).如果a與b的夾角是90°我們說(shuō)a與b垂直，記作a丄b.由平面向量的基本定理，對(duì)平面上的任意向量a,均可以分解為不共線的兩個(gè)向量ai和ba2, 使 a=入ai+ ?2a2.在不共線的兩個(gè)向量中，垂直是一種重要的情形.把一個(gè)向量分解為兩個(gè)互相垂直的向量， 叫做把向量正交分解.如上，重力G沿互相垂直的兩個(gè)方向分解就是正交分解，正交

8、分解是向量分解中常見(jiàn)的一種情形.在平面上，如果選取互相垂直的向量作為基底時(shí)，會(huì)為我們研究問(wèn)題帶來(lái)方便.提出問(wèn)題 我們知道，在平面直角坐標(biāo)系中，每一個(gè)點(diǎn)都可用一對(duì)有序?qū)崝?shù) (即它的坐標(biāo))表示.對(duì)直角坐標(biāo)平面內(nèi)的每一個(gè)向量，如何表示呢？ 在平面直角坐標(biāo)系中，一個(gè)向量和坐標(biāo)是否是對(duì)應(yīng)的？師生互動(dòng)：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量i、j作為基底.對(duì)于平面內(nèi)的一個(gè)向量a,由平面向量基本定理可知，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)X、y,使得a=xi+yj 這樣，平面內(nèi)的任一向量 a都可由x、y唯一確定，我們把有序數(shù)對(duì)(x, y)叫做向量a的 坐標(biāo)，記作a = (x, y)其中x叫做a在x

9、軸上的坐標(biāo)，y叫做a在y軸上的坐標(biāo)，式叫做向量的坐標(biāo)表示. 顯 然，i= (1, 0), j = (0, 1), 0= (0, 0).教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生特別注意以下幾點(diǎn)：(1) 向量a與有序?qū)崝?shù)對(duì)(x, y) 一對(duì)應(yīng).(2) 向量a的坐標(biāo)與表示該向量的有向線段的起點(diǎn)、終點(diǎn)的具體位置沒(méi)有關(guān)系，只與 其相對(duì)位置有關(guān)系.如圖所示，A1 B是表示a的有向線段，A1、B1的坐標(biāo)分別為(X1, y1)、(X2, y2),則向量 a 的坐標(biāo)為 x=x2-x1, y=y2-y1, 即卩 a 的坐標(biāo)為(X2-X1, y2-y1).(3) 為簡(jiǎn)化處理問(wèn)題的過(guò)程，把坐標(biāo)原點(diǎn)作為表示向量a的有向線段的起點(diǎn)，這時(shí)向量a的坐

10、標(biāo)就由表示向量 a的有向線段的終點(diǎn)唯一確定了，即點(diǎn)A的坐標(biāo)就是向量a的坐標(biāo)，流程表示如下：fl :ri對(duì)a的坐標(biāo)為(-八$)三、拓展創(chuàng)新，應(yīng)用提高例1已知向量&、62 (如右圖)，求作向量-2. 5e計(jì)3 e2.作法：(1)如圖，任取一點(diǎn) O,作 OA=-2.5e1, OB =3e2.(2)作 OACB .故OC就是求作的向量.例2如下圖，分別用基底 i、j表示向量a、b、c、d,并求出它們的坐標(biāo)._4_3j l 2 3 4 A鍵是把a(bǔ)a用向量本例軸對(duì)活動(dòng)：本例要求用基底 i、j表示a、b、c、d,其關(guān) 把a(bǔ)、b、c、d表示為基底i、j的線性組合.一種方法是 正交分解，看a在x軸、y軸

11、上的分向量的大小.把向量i、j表示出來(lái)，進(jìn)而得到向量a的坐標(biāo).另一種方法是把 a移到坐標(biāo)原點(diǎn)，則向量 a終點(diǎn)的坐標(biāo)就是向量 a的坐 標(biāo).同樣的方法，可以得到向量b、c、d的坐標(biāo).另外，還可以通過(guò)四個(gè)向量之間位置的幾何關(guān)系：a與b關(guān)于y稱，a與c關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)中心對(duì)稱， a與d關(guān)于x軸對(duì)稱 等.由一個(gè)向量的坐標(biāo)推導(dǎo)出其他三個(gè)向量的坐標(biāo).解：由圖可知，a= AAi + AA2 =2 i+3 j,二 a= (2, 3).同理，b=-2i +3j = (-2, 3);c=-2i-3j = (-2, -3); d=2 i-3j = (2, -3).點(diǎn)評(píng)：本例還可以得到啟示，要充分運(yùn)用圖形之間的幾何關(guān)系，求

12、向量的坐標(biāo).四、小結(jié)1. 先由學(xué)生回顧本節(jié)學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識(shí)：平面向量的基本定理，向量的夾角與垂直的定 義，平面向量的正交分解，平面向量的坐標(biāo)表示.2. 教師與學(xué)生一起總結(jié)本節(jié)學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)方法，如待定系數(shù)法、定義法、歸納與類比、 數(shù)形結(jié)合.五、課堂作業(yè)1.如圖所示，已知 AP=- AB , AQ = - AB，用OA、OB表示 OP，則OP等 33于( )1 h 4 -1 4 A. - OA+OBb. OA+OB33331 4 1 4 C.OA- OB D. OA- OB33332. 已知e1, 02是兩非零向量，且|e1|=m, 大值為()|e2|=n,若 c= Xie什 2202 (入，入 R)

13、,則 |c|的最A(yù) . Xm+ XnB. Xn + XmC. |X|m+|X|nD . |X|n+| X|m.1I則G G2等于3. 已知 G1、G2 分別為 AA1B1C1 與AA2B2C2 的重心，且 A A = e1, B B2 =e2,1 / 、1 / 、A .(e什e2+e3)B .(e1+e?+e3)232C.(e1 + e2+ e3)D .1 、(ei+e2+e3)33)4 . O是平面上一定點(diǎn)，A、B、C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足 AB ACOP=OA+入（+）,入 0, +，則P的軌跡一定通過(guò) ABC的（）|AB| |AC|A .外心B .內(nèi)心C.重心D .垂心5.

14、已知向量a、b且AB= a+2b, BC =-5a+6b, CD = 7a-2b,則一定共線的三點(diǎn)是 （）A. A、B、DB . A、B、CC. C、B、DD . A、C、D6. 如右圖，平面內(nèi)有三個(gè)向量 0A、OB、OC ,其中與0A與0B的夾角為120 °0A與 OC 的夾角為 30° 且|OA|=|OB |=1, |OC |=2 . 3，若OC =入OA+（1OB （入讓R），則A+卩的值為.參考答案：1. B 2. C 3. B 4. B 5. A6. 6第2課時(shí)教學(xué)目標(biāo)一、知識(shí)與技能1. 理解平面向量的坐標(biāo)的概念；2. 掌握平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算；3. 會(huì)根據(jù)向量的坐

15、標(biāo)，判斷向量是否共線.二、過(guò)程與方法教師在引導(dǎo)學(xué)生探究時(shí)，始終抓住向量具有幾何與代數(shù)的雙重屬性這一特征和向量具有數(shù)與 形緊密結(jié)合的特點(diǎn).讓學(xué)生在了解向量知識(shí)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)上，進(jìn)一步熟悉向量的坐標(biāo)表示以及運(yùn)算法則、運(yùn)算律，能熟練向量代數(shù)化的重要作用和實(shí)際生活中的應(yīng)用，并加強(qiáng)數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，提高分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.三、情感、態(tài)度與價(jià)值觀在解決問(wèn)題過(guò)程中使學(xué)生形成見(jiàn)數(shù)思形、以形助數(shù)的思維習(xí)慣，以加深理解知識(shí)要點(diǎn)，增強(qiáng)應(yīng)用意識(shí).教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算.教學(xué)難點(diǎn)：對(duì)平面向量共線的坐標(biāo)表示的理解.教學(xué)關(guān)鍵：平面向量坐標(biāo)運(yùn)算的探究教學(xué)突破方法：結(jié)合向量坐標(biāo)表示的定義及運(yùn)算律，引導(dǎo)學(xué)生探

16、究發(fā)現(xiàn)，最終得到結(jié)論.教法與學(xué)法導(dǎo)航教學(xué)方法：?jiǎn)栴}式教學(xué)，啟發(fā)誘導(dǎo)學(xué)習(xí)方法：在熟悉向量的坐標(biāo)表示以及運(yùn)算法則、運(yùn)算律的基礎(chǔ)上，在老師的引導(dǎo)下， 通過(guò)與同學(xué)合作探究，得到結(jié)論.教學(xué)準(zhǔn)備教師準(zhǔn)備：多媒體、尺規(guī).學(xué)生準(zhǔn)備：練習(xí)本、尺規(guī).教學(xué)過(guò)程一、創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新課前一節(jié)課我們學(xué)習(xí)了向量的坐標(biāo)表示，引入向量的坐標(biāo)表示后， 可使向量運(yùn)算完全代數(shù)化，將數(shù)與形緊密結(jié)合起來(lái)，這就可以使很多幾何問(wèn)題的解答轉(zhuǎn)化為學(xué)生熟知的數(shù)量運(yùn)算.引進(jìn)向量的坐標(biāo)表示后，向量的線性運(yùn)算可以通過(guò)坐標(biāo)運(yùn)算來(lái)實(shí)現(xiàn)，那么向量的平行、垂直， 是否也能通過(guò)坐標(biāo)來(lái)研究呢？二、主題探究，合作交流提出問(wèn)題： 我們研究了平面向量的坐標(biāo)表示，現(xiàn)在已知

17、a= (xi, yi), b= (X2, y2),你能得出a+ b,a- b,掃的坐標(biāo)表示嗎？ 如圖，已知 A (Xi, yi), B (X2, y2),怎樣表示 AB的坐標(biāo)？你能在圖中標(biāo)出坐標(biāo)為(X2- Xi, y2-yi)的P點(diǎn)嗎？標(biāo)出點(diǎn)P后，你能總結(jié)出什么結(jié)論？師生互動(dòng)：教師讓學(xué)生通過(guò)向量的坐標(biāo)表示來(lái)進(jìn)行兩個(gè)向量的加、減運(yùn)算，教師可以讓學(xué)生到黑板去板書步驟可得：a+ b= (xii+yij) + (X2i+y2j) = (x什X2) i+ (y什y2)j,即a + b= (Xi+X2, yi+y2)同理a- b= (Xi-X2, yi-y2).又?a = X (Xii+yij)=刈+ y

18、ij X = ( Xci, ?yi) 教師和學(xué)生一起總結(jié)，把上述結(jié)論用文字?jǐn)⑹龇謩e為：兩個(gè)向量和(差)的坐標(biāo)分別等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的和(差)；實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于用這個(gè)實(shí)數(shù)乘原來(lái)向量的相應(yīng)坐標(biāo).教師再引導(dǎo)學(xué)生找出點(diǎn)與向量的關(guān)系：將向量AB平移，使得點(diǎn)A與坐標(biāo)原點(diǎn)0重合，則平移后的B點(diǎn)位置就是P點(diǎn)向量AB的坐標(biāo) 與以原點(diǎn)為始點(diǎn)，點(diǎn) P為終點(diǎn)的向量坐標(biāo)是相同的，這樣就建立了向量的坐標(biāo)與點(diǎn)的坐標(biāo) 之間的聯(lián)系.學(xué)生通過(guò)平移也可以發(fā)現(xiàn)：向量 AB的模與向量0P的模是相等的.由此，我們可以得出平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式：|AB|=|OP|= .(Xi -X2)2 (yi - y2)2 教師對(duì)總結(jié)完全的

19、同學(xué)進(jìn)行表?yè)P(yáng)，并鼓勵(lì)學(xué)生，只要善于開(kāi)動(dòng)腦筋，勇于創(chuàng)新，展開(kāi) 思維的翅膀，就一定能獲得意想不到的收獲.討論結(jié)果：能. AB = OB- 0A= (X2, y2)- (xi, yi) = (X2-Xi, y2-yi) 結(jié)論：一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去始點(diǎn)的坐標(biāo). 提出問(wèn)題如何用坐標(biāo)表示兩個(gè)共線向量？若a= (xi, yi), b= (X2, y»,那么 里=里是向量a、b共線的什么條件？x1x2師生互動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生類比直線平行的特點(diǎn)來(lái)推導(dǎo)向量共線時(shí)的關(guān)系.此處教師要對(duì)探究困難的學(xué)生給以必要的點(diǎn)撥：設(shè)a= (xi, yi), b= (X2, y2),其中bm

20、我們知道，a、b共線，當(dāng)且僅當(dāng)存在實(shí)數(shù) 人使a =血.如果用坐標(biāo)表示，可寫為(x1, y1)=入(x2, y2),fnX<| = /.x2,即消去入后得Xiy2-X2yi=0 .yi =細(xì)2.這就是說(shuō)，當(dāng)且僅當(dāng) Xiy2- X2yi=0時(shí)向量a、b (bM0共線.我們知道 xiy2- X2yi=0與Xiy2=X2yi疋等價(jià)的，但這與 ：Xiy2是不等價(jià)的.因?yàn)楫?dāng)Xi = X2=0X2時(shí)，Xiy2-X2yi=0成立，但 里二 江均無(wú)意義.因此 吐二 生是向量a、b共線的充分不必 xix2xix2要條件.由此也看出向量的應(yīng)用更具一般性，更簡(jiǎn)捷、實(shí)用，讓學(xué)生仔細(xì)體會(huì)這點(diǎn).討論結(jié)果： xiy2-

21、 x2yi=0時(shí)，向量a、b ( b老)共線. 充分不必要條件.提出問(wèn)題：a與非零向量b為共線向量的充要條件是有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)入使得a=b，那么這個(gè)充要條件如何用坐標(biāo)來(lái)表示呢？師生互動(dòng)：教師引導(dǎo)推證：設(shè)a= (xi, yi), b= (x2, y2),其中ba,Xi =入X2 ,由 a = ?b, (xi, yi)=入(X2, y?)=、 消去 入 得 Xiy2-X2yi=0.y =®2.討論結(jié)果：a / b ( b0)的充要條件是Xiy2-X2yi=0.教師應(yīng)向?qū)W生特別提醒感悟：i.消去入時(shí)不能兩式相除，/ yi、y2有可能為o,而b曲， X2、y2中至少有一個(gè)不為 0.2.充要條

22、件不能寫成（. xi、X2有可能為o）.XiX23. 從而向量共線的充要條件有兩種形式：a / b( b-0 -仁2農(nóng)力.三、拓展創(chuàng)新，應(yīng)用提高例 1 已知 a= (2, i), b= (-3, 4),求 a+ b , a- b , 3a+4b 的坐標(biāo).活動(dòng)：本例是向量代數(shù)運(yùn)算的簡(jiǎn)單應(yīng)用，讓學(xué)生根據(jù)向量的線性運(yùn)算進(jìn)行向量的和、差及數(shù)乘的坐標(biāo)運(yùn)算，再根據(jù)向量的線性運(yùn)算律和向量的坐標(biāo)概念得出結(jié)論.若已知表示向量的有向線段的始點(diǎn)和終點(diǎn)坐標(biāo)， 那么終點(diǎn)的坐標(biāo)減去始點(diǎn)的坐標(biāo)就是此向量的坐標(biāo)，從而使得向量的坐標(biāo)與點(diǎn)的坐標(biāo)可以相互轉(zhuǎn)化.可由學(xué)生自己完成.解：a+ b= (2, 1) + (-3 , 4) =

23、 (-1, 5); a- b= (2, 1) - (-3 , 4) = (5 , -3);3a+4b=3 (2, 1) +4 (-3 , 4) = (6 , 3) + (-12 , 16) = (-6 , 19).點(diǎn)評(píng)：本例是平面向量坐標(biāo)運(yùn)算的常規(guī)題，目的是熟悉平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算公式.例2如圖.已知口ABCD的三個(gè)頂點(diǎn) A、B、C的坐標(biāo)分別是(-2 , 1)、(-1, 3)、( 3, 4),試求頂點(diǎn)D的坐標(biāo).活動(dòng)：本例的目的仍然是讓學(xué)生熟悉平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算.這里給出了兩種解法：解法一利用“兩個(gè)向量相等，貝陀們的坐標(biāo)相等”， 解題過(guò)程中應(yīng)用了方程思想； 解法二利用向量加法的平行四邊形法則求得向

24、量OD的坐標(biāo)，進(jìn)而得到點(diǎn)D的坐標(biāo)解題過(guò)程中，關(guān)鍵是充分利用圖形中各線段的位置關(guān)系(主要是平行關(guān)系) 示為已知點(diǎn)的坐標(biāo).解：方法一：如上圖，設(shè)頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(，數(shù)形結(jié)合地思考，將頂點(diǎn) D的坐標(biāo)表X, y).AB= (-1- (-2), 3-1) = (1, 2), DC=(3- x, 4- y).由 AB = DC ,得(1, 2) = (3-x, 4-y).1 =3x,2 = 4 X.頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2, 2).方法二：如上圖，由向量加法的平行四邊形法則，可知BD = BA AD = BA BC=(-2- (-1), 1-3) + (3- (-1), 4-3) = (3, -1),而 OD =

25、 OB + BD= (-1, 3) + (3, -1) = (2, 2),頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2, 2).點(diǎn)評(píng)：本例的目的仍然是讓學(xué)生熟悉平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算.例 3 已知 a= (4, 2), b= (6, y),且 a/ b,求 y.解：a / b,.°. 4y-20=O . y=3.例4 已知A (-1 , -1), B (1 , 3) , C ( 2 , 5)，試判斷A、B、C三點(diǎn)之間的位置關(guān)系. 活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生利用向量的共線來(lái)判斷.首先要探究三個(gè)點(diǎn)組合成兩個(gè)向量，兩個(gè)向量共線的充要條件來(lái)判斷這兩個(gè)向量是否共線從而來(lái)判斷這三點(diǎn)是否共線. 學(xué)生進(jìn)一步理解并熟練地運(yùn)用向量共線的坐標(biāo)

26、形式來(lái)判斷向量之間的關(guān)系. 圖象領(lǐng)悟先猜后證的思維方式.解：在平面直角坐標(biāo)系中作出A、B、C三點(diǎn)，觀察圖形，我們猜想 A、B、C三點(diǎn)共線.下面給出證明.然后根據(jù)教師引導(dǎo)讓學(xué)生通過(guò)觀察/廣1 AB= (1- (-1), 3- (-1) = (2, 4),AC = (2- (-1), 5- (-1) = ( 3, 6),又 20-3 >4=0, AB / Ac，且直線AB、直線AC有公共點(diǎn)A, A、B、C三點(diǎn)共線.點(diǎn)評(píng)：本例的解答給出了判斷三點(diǎn)共線的一種常用方法，其實(shí)質(zhì)是從同一點(diǎn)出發(fā)的兩個(gè)向量共線，則這兩個(gè)向量的三個(gè)頂點(diǎn)共線.這是從平面幾何中判斷三點(diǎn)共線的方法移植過(guò)來(lái)的.例5設(shè)點(diǎn)P是線段P1

27、P2上的一點(diǎn)，P1、P2的坐標(biāo)分別是(X1, yj、(X2, y2).(1) 當(dāng)點(diǎn)P是線段P1P2的中點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn) P的坐標(biāo)；(2) 當(dāng)點(diǎn)P是線段P1P2的一個(gè)三等分點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn) P的坐標(biāo).P P活動(dòng)：教師充分讓學(xué)生思考，并提出這一結(jié)論可以推廣嗎？即當(dāng)=入時(shí)，點(diǎn)P的坐PB標(biāo)是什么？師生共同討論，一起探究，可按照求中點(diǎn)坐標(biāo)的解題思路類比推廣，有學(xué)生可能提出如下推理方法：由 P P =入PR，知(x-X1, y-yj = (X2-X, y2- y),X _ % = h(x2 - x)% +hx2X =j1 +九| % +®2這就是線段的定比分點(diǎn)公式，教師要給予充分肯定， 鼓勵(lì)學(xué)生的這種積極探索，這是學(xué) 習(xí)數(shù)學(xué)的重要品質(zhì)時(shí)間允許的話，可以探索 點(diǎn)位置的影響，也可鼓勵(lì)學(xué)生課后探索.解：(1 )如圖，由向量的線性運(yùn)算可知OP= 1( OP 1+0P2)= ( ' X2所以點(diǎn)P的坐標(biāo)是X1 +X2 y1 +y2 )2 ， 2 *2 2(2)如圖(1 )、(2),當(dāng)點(diǎn)P是線段P1P2的一個(gè)三等分點(diǎn)時(shí)，有兩種情況，即Plf=1 或空=2.PF22 PF2P p i如果_= _，如圖(1),那么PP221 一1一一2 1-OP = OR+RP = OR + PiF2=0R +-( OP2 - OR ) = OR + -OP23 33