概率論學(xué)習(xí)手冊

1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計學(xué)習(xí)手冊·內(nèi)容提要·疑難分析·例題解析中國計量學(xué)院概率課程組 編目 錄第一章 隨機事件及其概率2第二章 隨機變量及其分布15第三章 多維隨機變量及其分布29第四章 隨機變量的數(shù)字特征41第五章 大數(shù)定律和中心極限定理50第六章 數(shù)理統(tǒng)計的基本概念55第七章 參數(shù)估計61第八章 假設(shè)檢驗68第九章 方差分析和回歸分析73第一章 隨機事件及其概率內(nèi) 容 提 要1、隨機試驗、樣本空間與隨機事件 （1）隨機試驗：具有以下三個特點的試驗稱為隨機試驗，記為E.1） 試驗可在相同的條件下重復(fù)進行；2） 每次試驗的結(jié)果具有多種可能性，但試驗之前可確知試驗的所有可能

2、結(jié)果；3） 每次試驗前不能確定哪一個結(jié)果會出現(xiàn).（2）樣本空間：隨機試驗E的所有可能結(jié)果組成的集合稱為E的樣本空間，記為；試驗的每一個可能結(jié)果，即中的元素，稱為樣本點，記為e.（3）隨機事件：在一次試驗中可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)的事件稱為隨機事件，簡稱事件，常用A、B、C等大寫字母表示；可表述為樣本空間中樣本點的某個集合，分為復(fù)合事件和簡單事件，還有必然事件（記為）和不可能事件（記為）.2、事件的關(guān)系與運算（1）包含關(guān)系與相等：“事件A發(fā)生必導(dǎo)致B發(fā)生”，記為或；且.（2）和事件（并）：“事件A與B至少有一個發(fā)生”，記為.（3）積事件（交）：“ 事件A與B同時發(fā)生”，記為或.（4）差事件、對立事件

3、(余事件)：“事件A發(fā)生而B不發(fā)生”，記為AB稱為A與B的差事件；稱為的對立事件；易知：.（5）互不相容性：；互為對立事件且.（6）事件的運算法則：1) 交換律：， ；2) 結(jié)合律：，；3) 分配律：，；4) 對偶(De Morgan)律：，可推廣.3、頻率與概率（1）頻率的定義：事件在次重復(fù)試驗中出現(xiàn)次，則比值稱為事件在次重復(fù)試驗中出現(xiàn)的頻率，記為，即.（2）統(tǒng)計概率：當(dāng)時，頻率.當(dāng)很大時，稱為事件的統(tǒng)計概率.（3）古典概率：若試驗的基本事件數(shù)為有限個，且每個事件發(fā)生的可能性相等，則試驗對應(yīng)古典概型（等可能概型），事件發(fā)生的概率為：.（4）幾何概率：若試驗基本事件數(shù)無限，隨機點落在某區(qū)域g的

4、概率與區(qū)域g的測度(長度、面積、體積等)成正比，而與其位置及形狀無關(guān)，則試驗對應(yīng)幾何概型，“在區(qū)域中隨機地取一點落在區(qū)域g中”這一事件發(fā)生的概率為：.（5）概率的公理化定義：設(shè)()為可測空間，在事件域上定義一個實值函數(shù)，滿足：1) 非負性：，對任意；2) 規(guī)范性：；3) 可列可加性：若有一列 ，使得，則稱為域上的概率測度，簡稱“概率”4、概率的基本性質(zhì)（1）不可能事件概率零：0.（2）有限可加性：設(shè)是n個兩兩互不相容的事件，即，（），則有.（3）單調(diào)不減性：若事件BA，則P(B)P(A)，且P(BA)P(B)P(A).（4）互補性：P()1P(A)，且P(A)1.（5）加法公式：對任意兩事件，

5、有；此性質(zhì)可推廣到任意n個事件的情形.（6）可分性：對任意兩事件，有.5、條件概率與乘法公式（1）條件概率：設(shè)是中的兩個事件，即，則稱為事件A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的條件概率（2）乘法公式：設(shè)，則 稱為事件A、B的概率乘法公式.6、全概率公式與貝葉斯(Bayes)公式（1）全概率公式：設(shè)是的一個劃分，且，則對任何事件，有，稱為全概率公式.（2）貝葉斯(Bayes)公式：設(shè)是的一個劃分，且，則對任何事件，有，稱為貝葉斯公式或逆概率公式.7、事件的獨立性 （1）兩事件的獨立：設(shè)為一概率空間，事件，且，若，則稱事件A與B相互獨立；等價于：. （2）多個事件的獨立：設(shè)是n個事件，如果對任意的，任意的，

6、具有等式，稱n個事件相互獨立8、貝努里(Bernoulli)概型（1）只有兩個可能結(jié)果的試驗稱為貝努里試驗，常記為也叫做“成功失敗”試驗,“成功”的概率常用表示，其中“成功”.（2）把重復(fù)獨立地進行n次，所得的試驗稱為n重貝努里試驗，記為（3）把重復(fù)獨立地進行可列多次，所得的試驗稱為可列重貝努里試驗，記為以上三種貝努里試驗統(tǒng)稱為貝努里概型（4）中成功次的概率是：其中.疑 難 分 析1、必然事件與不可能事件 必然事件是在一定條件下必然發(fā)生的事件，不可能事件指的是在一定條件下必然不發(fā)生的事件.它們都不具有隨機性，是確定性的現(xiàn)象，但為研究的方便，把它們看作特殊的隨機事件.2、互逆事件與互斥事件如果兩

7、個事件與必有一個事件發(fā)生，且至多有一個事件發(fā)生，則、為互逆事件；如果兩個事件與不能同時發(fā)生，則、為互斥事件.因而，互逆必定互斥，互斥未必互逆.區(qū)別兩者的關(guān)鍵是：當(dāng)樣本空間只有兩個事件時，兩事件才可能互逆，而互斥適用與多個事件的情形.作為互斥事件在一次試驗中兩者可以都不發(fā)生，而互逆事件必發(fā)生一個且只發(fā)生一個.3、兩事件獨立與兩事件互斥ABABAB兩事件、獨立，則與中任一個事件的發(fā)生與另一個事件的發(fā)生無關(guān)，這時；而兩事件互斥，則其中任一個事件的發(fā)生必然導(dǎo)致另一個事件不發(fā)生，這兩事件的發(fā)生是有影響的，這時.可以用圖形作一直觀解釋.在圖1.1左邊的正方形中， 圖1.1，表示樣本空間中兩事件的獨立關(guān)系，

8、而在右邊的正方形中，表示樣本空間中兩事件的互斥關(guān)系.4、條件概率與積事件概率是在樣本空間內(nèi)，事件的概率，而是在試驗增加了新條件發(fā)生后的縮減的樣本空間中計算事件的概率.雖然、都發(fā)生，但兩者是不同的，一般說來，當(dāng)、同時發(fā)生時，常用，而在有包含關(guān)系或明確的主從關(guān)系時，用.如袋中有9個白球1個紅球，作不放回抽樣，每次任取一球，取2次，求：（1）第二次才取到白球的概率；（2）第一次取到的是白球的條件下，第二次取到白球的概率.問題（1）求的就是一個積事件概率的問題，而問題（2）求的就是一個條件概率的問題.5、全概率公式與貝葉斯(Bayes)公式當(dāng)所求的事件概率為許多因素引發(fā)的某種結(jié)果，而該結(jié)果又不能簡單地

9、看作這諸多事件之和時，可考慮用全概率公式，在對樣本空間進行劃分時，一定要注意它必須滿足的兩個條件.貝葉斯公式用于試驗結(jié)果已知，追查是何種原因（情況、條件）下引發(fā)的概率.例 題 解 析【例1】寫出下列隨機試驗的樣本空間及下列事件包含的樣本點：（1）擲一棵骰子，出現(xiàn)奇數(shù)點.（2）投擲一枚均勻硬幣兩次：1）第一次出現(xiàn)正面；2）兩次出現(xiàn)同一面；3）至少有一次出現(xiàn)正面.（3）在1，2，3，4四個數(shù)中可重復(fù)地抽取兩個數(shù)，其中一個數(shù)是另一個數(shù)的兩倍.（4）將a,b兩只球隨機地放到3個盒子中去，第一個盒子中至少有一個球.分析：可對照集合的概念來理解樣本空間和樣本點：樣本空間可指全集，樣本點是元素，事件則是包含

10、在全集中的子集.解:(1) 擲一棵骰子，有六種可能結(jié)果，如果用“1”表示“出現(xiàn)1點”這個樣本點，其余類似.則樣本空間為：=1，2，3，4，5，6，出現(xiàn)奇數(shù)點的事件為：1，3，5.（2）投擲一枚均勻硬幣兩次，其結(jié)果有四種可能，若用（正，反）表示“第一次出現(xiàn)正面，第二次出現(xiàn)反面”這一樣本點，其余類似.則樣本空間為：=（正,正）,（正,反）,（反,正）,（反,反），用分別表示上述事件1）、2）、3），則事件=（正,正）,（正,反）；事件=（正,正），（反,反）；事件=（正,正）,（正,反）,（反,正）.（3）在1，2，3，4四個數(shù)中可重復(fù)地抽取兩個數(shù)，共有種可能，若用表示“第一次取數(shù)，第二次取數(shù)”這

11、一樣本點，則樣本空間為：=；其中一個數(shù)是另一個數(shù)的兩倍的事件為：（1,2）,（2,1）,（2,4）,（4,2）.(4)三個盒子分別記為甲、乙、丙，將a,b兩只球隨機地放到3個盒子中去共有九種結(jié)果.若用（甲、乙）表示“a球放入甲盒，b球放入乙盒”這一樣本點，其余類似.則樣本空間為：=（甲，甲），（甲，乙），（甲，丙），（乙，乙），（乙，甲），（乙，丙），（丙，甲），（丙，乙），（丙，丙）；第一個盒子中至少有一個球的事件為：（甲，甲），（甲，乙），（甲，丙），（乙，甲），（丙，甲）.【例2】設(shè)為三個事件，用的運算關(guān)系表示下列各事件：（1）僅發(fā)生； （2）與都發(fā)生，而不發(fā)生；（3）所有三個事件都不發(fā)

12、生；（4）至少有一個事件發(fā)生；（5）至多有兩個事件發(fā)生； （6）至少有兩個事件發(fā)生；（7）恰有兩個事件發(fā)生； （8）恰有一個事件發(fā)生.分析：利用事件的運算關(guān)系及性質(zhì)來描述事件.解：（1）；（2）；（3）或；（4）或；（5）或；（6）或；（7）；（8）.【例3】把個不同的球隨機地放入個盒子中，求下列事件的概率：（1）某指定的個盒子中各有一個球；（2）任意個盒子中各有一個球；（3）指定的某個盒子中恰有個球.分析：這是古典概率的一個典型問題，許多古典概率的計算問題都可歸結(jié)為這一類型.每個球都有種放法，個球共有種不同的放法.“某指定的個盒子中各有一個球”相當(dāng)于個球在個盒子中的全排列；與（1）相比，（2

13、）相當(dāng)于先在個盒子中選個盒子，再放球；（3）相當(dāng)于先從個球中取個放入某指定的盒中，再把剩下的個球放入個盒中.解：樣本空間中所含的樣本點數(shù)為.（1）該事件所含的樣本點數(shù)是，故：；（2）在個盒子中選個盒子有種選法，故所求事件的概率為：；（3）從個球中取個有種選法，剩下的個球中的每一個球都有種放法，故所求事件的概率為：.【例4】隨機地向由所圍成的正方形內(nèi)擲一點，點落在該正方形內(nèi)任何區(qū)域的概率與區(qū)域面積成正比，求原點和該點的連線與軸正向的夾角小于的概率.xy10圖1.2分析：這是一個幾何概率問題，通?？山柚鷰缀紊系亩攘浚ㄩL度、面積、體積或容積等）來合理地規(guī)定其概率.解：用表示該正方形的面積，表示圖1.

14、2陰影部分 面積，則所求的概率為：.【例5】設(shè)事件與互不相容，且，求下列事件的概率：.分析：按概率的性質(zhì)進行計算.解：與互不相容，所以，；由于與互不相容，這時，從而；由于，從而.【例6】某住宅樓共有三個孩子，已知其中至少有一個是女孩，求至少有一個是男孩的概率（假設(shè)一個小孩為男或為女是等可能的）.分析：在已知“至少有一個是女孩”的條件下求“至少有一個是男孩”的概率，所以是條件概率問題.根據(jù)公式，必須求出.解：設(shè)=至少有一個女孩，=至少有一個男孩，則=三個全是男孩，=三個全是女孩，于是，事件為“至少有一個女孩且至少有一個男孩”，因為，且，所以=，從而，在已知至少有一個為女孩的條件下，求至少有一個是

15、男孩的概率為：.【例7】某電子設(shè)備制造廠所用的晶體管是由三家元件制造廠提供的.根據(jù)以往的記錄有以下的數(shù)據(jù)(表1-1).表1-1元件制造廠次品率提供晶體管的份額10.020.1520.010.8030.030.05設(shè)這三家工廠的產(chǎn)品在倉庫中均勻混合的，且無區(qū)別的標(biāo)志.（1）在倉庫中隨機地取一只晶體管，求它是次品的概率.（2）在倉庫中隨機地取一只晶體管，若已知取到的是次品，為分析此次品出自何廠，需求出此次品由三家工廠生產(chǎn)的概率分別是多少.試求這些概率.分析：事件“取出的一只晶體管是次品”可分解為下列三個事件的和：“這只次品是一廠提供的”、“這只次品是二廠提供的”、“這只次品是三廠提供的”，這三個事

16、件互不相容，可用全概率公式進行計算.一般地，當(dāng)直接計算某一事件的概率比較困難，而比較容易計算，且時，可考慮用全概率公式計算.（2）為條件概率，可用貝葉斯公式進行計算.解：設(shè)表示“取到的是一只次品”，表示“所取到的產(chǎn)品是由第家工廠提供的”.易知，是樣本空間的一個劃分，且有=.（1）由全概率公式：.（2）由貝葉斯公式：.以上結(jié)果表明，這只次品來自第二家工廠的可能性最大.【例8】一名工人照看三臺機床，已知在1小時內(nèi)三臺機床各自不需要工人照看的概率為.求1小時內(nèi)三臺機床至多有一臺需要照看的概率.分析：每臺機床是否需要照看是相互獨立的，這樣，可根據(jù)事件的獨立性性質(zhì)及加法公式進行計算.解：各臺機床需要照看

17、的事件是相互獨立的，而三臺機床至多有一臺需要照看的事件可寫成：，則由加法公式與獨立性性質(zhì)得：=0.902.【例9】某車間有10臺同類型的設(shè)備，每臺設(shè)備的電動機功率為10千瓦.已知每臺設(shè)備每小時實際開動12分鐘，它們的使用是相互獨立的.因某種原因，這天供電部門只能給車間提供50千瓦的電力.問該天這10臺設(shè)備能正常運作的概率是多少？分析：由題意知，所要求的概率就是求“該天同時開動的設(shè)備不超過5臺”這一事件的概率.因為每臺設(shè)備的使用是相互獨立的，且在某一時刻，設(shè)備只有開動與不開動兩種情況，所以本題可視為10重貝努里試驗，可用二項概率公式進行求解.解：設(shè)表示事件“設(shè)備開動”，表示“同時開動的設(shè)備數(shù)”，

18、則由二項概率公式得：，同時開動不超過5臺的概率：；故該天這10臺設(shè)備能正常運作的概率為0.994.第二章 隨機變量及其分布內(nèi) 容 提 要1、隨機變量設(shè)是隨機試驗的樣本空間，如果對于試驗的每一個可能結(jié)果，都有唯一的實數(shù)與之對應(yīng)，則稱為定義在上的隨機變量，簡記為.隨機變量通常用大寫字母等表示.2、分布函數(shù)及其性質(zhì)設(shè)為隨機變量，為任意實數(shù)，函數(shù) 稱為隨機變量的分布函數(shù).分布函數(shù)完整地描述了隨機變量取值的統(tǒng)計規(guī)律性，具有以下性質(zhì)：（1）；（2）如果，則；（3）為右連續(xù)，即；（4）；（5）.3、離散型隨機變量及其概率分布如果隨機變量只能取有限個或可列個可能值，則稱為離散型隨機變量.如果的一切可能值為，并

19、且取的概率為，則稱為離散型隨機變量的概率函數(shù)（概率分布或分布律）.列成表格形式，也稱為分布列(表2-1)：表2-1 其中.常見的離散型隨機變量的分布有：（1）0-1分布，記為，概率函數(shù)；（2）二項分布，記為，概率函數(shù)；（3）泊松分布，記為，概率函數(shù)；泊松定理 設(shè)是一常數(shù)，是任意正整數(shù)，設(shè)，則對于任一固定的非負整數(shù)，有.當(dāng)很大且很小時，二項分布可以用泊松分布近似代替，即，其中.（4）超幾何分布，記為，概率函數(shù)，其中為正整數(shù)，且.當(dāng)很大，且較小時，有.（5）幾何分布，記為，概率函數(shù).4、連續(xù)型隨機變量及其概率分布如果對于隨機變量的分布函數(shù)，存在非負函數(shù)，使對于任一實數(shù)，有，則稱為連續(xù)型隨機變量.函

20、數(shù)稱為的概率密度函數(shù).概率密度函數(shù)具有以下性質(zhì)：（1）； （2）；（3）； （4）；（5）如果在處連續(xù)，則.常見的連續(xù)型隨機變量的分布有：（1）均勻分布，記為，概率密度為.相應(yīng)的分布函數(shù)為；（2）指數(shù)分布，記為，概率密度為.相應(yīng)的分布函數(shù)為；（3）正態(tài)分布，記為，概率密度為，相應(yīng)的分布函數(shù)為；當(dāng)時，即時，稱服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.這時分別用和表示的密度函數(shù)和分布函數(shù)，即.具有性質(zhì)：.一般正態(tài)分布的分布函數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)有關(guān)系：.5、隨機變量函數(shù)的分布（1）離散型隨機變量函數(shù)的分布設(shè)為離散型隨機變量，其分布列為(表2-2)：表2-2 則任為離散型隨機變量，其分布列為(表2-3)：表2-3 有

21、相同值時，要合并為一項，對應(yīng)的概率相加.（2）連續(xù)型隨機變量函數(shù)的分布設(shè)為離散型隨機變量，概率密度為，則的概率密度有兩種方法可求.1）定理法：若在的取值區(qū)間內(nèi)有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且單調(diào)時，是連續(xù)型隨機變量，其概率密度為.其中是的反函數(shù).2）分布函數(shù)法：先求的分布函數(shù)，然后求.疑 難 分 析1、隨機變量與普通函數(shù)隨機變量是定義在隨機試驗的樣本空間上，對試驗的每一個可能結(jié)果，都有唯一的實數(shù)與之對應(yīng).從定義可知：普通函數(shù)的取值是按一定法則給定的，而隨機變量的取值是由統(tǒng)計規(guī)律性給出的，具有隨機性；又普通函數(shù)的定義域是一個區(qū)間，而隨機變量的定義域是樣本空間.2、分布函數(shù)的連續(xù)性定義左連續(xù)或右連續(xù)只是一種習(xí)慣.有

22、的書籍定義分布函數(shù)左連續(xù)，但大多數(shù)書籍定義分布函數(shù)為右連續(xù). 左連續(xù)與右連續(xù)的區(qū)別在于計算時，點的概率是否計算在內(nèi).對于連續(xù)型隨機變量，由于，故定義左連續(xù)或右連續(xù)沒有什么區(qū)別；對于離散型隨機變量，由于，則定義左連續(xù)或右連續(xù)時值就不相同，這時，就要注意對定義左連續(xù)還是右連續(xù).例 題 解 析【例1】分析下列函數(shù)是否是分布函數(shù).若是分布函數(shù)，判斷是哪類隨機變量的分布函數(shù).（1）（2）（3）分析：可根據(jù)分布函數(shù)的定義及性質(zhì)進行判斷.解：（1）在上單調(diào)不減且右連續(xù).同時， .故是隨機變量的分布函數(shù).有的圖形可知是階梯形曲線，故是離散型隨機變量的分布函數(shù)；（2）由于在上單調(diào)下降，故不是隨機變量的分布函數(shù).

23、但只要將中的改為，就滿足單調(diào)不減右連續(xù)，且，這時就是隨機變量的分布函數(shù).由可求得顯然，是連續(xù)型隨機變量的分布函數(shù)；（3）在上單調(diào)不減且右連續(xù)，且，是隨機變量的分布函數(shù).但在和處不可導(dǎo)，故不存在密度函數(shù)，使得.同時，的圖形也不是階梯形曲線，因而既非連續(xù)型也非離散型隨機變量的分布函數(shù).【例2】盒中裝有大小相等的球10個，編號分別為0、1、2、9.從中任取1個，觀察號碼是“小于5”、“等于5”、“大于5”的情況.試定義一個隨機變量，求其分布律和分布函數(shù).分析：“任取1球的號碼”是隨機變量，它隨著試驗的不同結(jié)果而取不同的值.根據(jù)號碼是“小于5”、“等于5”、“大于5”的三種情況，可定義該隨機變量的取值

24、.進一步，可由隨機變量的分布律與分布函數(shù)的定義，求出其分布律與分布函數(shù).解:分別用表示試驗的三種結(jié)果“小于5”、“等于5”、“大于5”，這時試驗的樣本空間為，定義隨機變量為：，取每個值的概率為：，；故的分布律為(表2-4)： 表2-4 0 1 2 當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；由此求得分布函數(shù)為：.【例3】設(shè)1小時內(nèi)進入某圖書館的讀者人數(shù)服從泊松分布.已知1小時內(nèi)無人進入圖書館的概率為0.01.求1小時內(nèi)至少有2個讀者進入圖書館的概率.分析：1小時內(nèi)進入圖書館的人數(shù)是一個隨機變量，且.這樣，表示在1小時內(nèi)無人進入圖書館，表示在1小時內(nèi)至少有2人進入圖書館.通過求參數(shù)，進一步，求.解：設(shè)為在1

25、小時內(nèi)進入圖書館的人數(shù)，則，這時：已知，故.所求概率為：.【例4】設(shè)隨機變量的密度函數(shù)為，試求：（1）常數(shù)；（2）；（3）的分布函數(shù).分析：由密度函數(shù)的性質(zhì)可求得常數(shù)；對密度函數(shù)在上積分，即得；根據(jù)連續(xù)型隨機變量分布函數(shù)的定義可求的分布函數(shù).解：（1）由得：； （2）； （3）當(dāng)時，是不可能事件，所以；當(dāng)時，；當(dāng)時，；所以，的分布函數(shù)為： .【例5】設(shè)顧客在某銀行窗口等待服務(wù)的時間（以分計）服從指數(shù)分布，其概率密度為，某顧客在窗口等待服務(wù)，若超過10分鐘，他就離開.他一個月要到銀行5次，以表示一個月內(nèi)他未等到服務(wù)而離開窗口的次數(shù)，寫出的分布律，并求.分析：顯然，為隨機變量，取值為0、1、2、3

26、、4、5，且.由及分布律的定義，可求得的分布律，進而求.解：的取值為0、1、2、3、4、5，.由題意得：，故的分布律為：，即(表2-5):表2-50 1 2 3 5 所以，.【例6】某單位招聘2500人，按考試成績從高分到低分依次錄用，共有10000人報名，假設(shè)報名者的成績，已知90分以上有359人，60分以下有1151人，問被錄用者中最低分為多少？分析：已知成績，但不知的值，所以，本題的關(guān)鍵是求，再進一步根據(jù)正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)化方法進行求解.解：根據(jù)題意：，故，而，反查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表，得： （1）同樣，而，通過反查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表，得： （2）由（1）、（2）兩式解得：，所以；已知錄用率為，設(shè)被錄用

27、者中最低分為，則，而，反查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表，得：，解得：故：被錄用者中最低分為79分.【例7】設(shè)的分布律為(表2-6):表2-61 2 3 4 5 6 求的分布律.分析：是離散型隨機變量，也是離散型隨機變量.當(dāng)取不同值時，將那些取相等的值分別合并，并把相應(yīng)的概率相加.從而得到的分布律.解：與的對應(yīng)關(guān)系如下表2-7：表2-71 2 3 4 5 60 -1 0 1 0 -1 由上表可知，的取值只有-1，0，1三種可能，由于，所以，的分布律為(表2-8)： 表2-8-1 0 1 【例8】設(shè)隨機變量服從正態(tài)分布，求隨機變量函數(shù)的概率密度. 分析：由于函數(shù)在上單調(diào)增加，且可導(dǎo)，故可按公式法求的概率密度.

28、解：由知，所以的取值區(qū)間為.當(dāng)時，；當(dāng)時，有反函數(shù)，從而，由此得隨機變量的概率密度為：.【例9】已知，求的概率密度. 分析：根據(jù)分布函數(shù)的定義，先求的分布函數(shù)，然后對其求導(dǎo)，即可得到的概率密度.解：若，則是不可能事件，因而，若，則有，從而，的概率密度為：.第三章 多維隨機變量及其分布內(nèi) 容 提 要1、二維隨機變量及其聯(lián)合分布函數(shù)設(shè)，為隨機變量，則稱它們的有序數(shù)組（）為二維隨機變量.設(shè)（）為二維隨機變量，對于任意實數(shù)、，稱二元函數(shù)為（）的聯(lián)合分布函數(shù).聯(lián)合分布函數(shù)具有以下基本性質(zhì)：（1）是變量或的非減函數(shù)；（2）且；（3）關(guān)于右連續(xù)，關(guān)于也右連續(xù)；（4）對任意點，若，則.上式表示隨機點落在區(qū)域內(nèi)

29、的概率為：.2、二維離散型隨機變量及其聯(lián)合分布律如果二維隨機變量所有可能取值是有限對或可列對，則稱為二維離散型隨機變量.設(shè)為二維離散型隨機變量,它的所有可能取值為將或表3.1稱為的聯(lián)合分布律.表3.1 聯(lián)合分布律具有下列性質(zhì)：（1）；（2）.3、二維連續(xù)型隨機變量及其概率密度函數(shù)如果存在一個非負函數(shù),使得二維隨機變量的分布函數(shù)對任意實數(shù)有 ，則稱是二維連續(xù)型隨機變量，稱為的聯(lián)合密度函數(shù)（或概率密度函數(shù)）.聯(lián)合密度函數(shù)具有下列性質(zhì)：（1）對一切實數(shù)，有；（2）；（3）在任意平面域上，取值的概率；（4）如果在處連續(xù)，則.4、二維隨機變量的邊緣分布設(shè)為二維隨機變量，則稱，分別為關(guān)于和關(guān)于的邊緣分布函

30、數(shù). 當(dāng)為離散型隨機變量，則稱分別為關(guān)于和關(guān)于的邊緣分布律.當(dāng)為連續(xù)型隨機變量，則稱分別為關(guān)于和關(guān)于的邊緣密度函數(shù).5、二維隨機變量的條件分布（1）離散型隨機變量的條件分布設(shè)為二維離散型隨機變量，其聯(lián)合分布律和邊緣分布律分別為，則當(dāng)固定，且時，稱為條件下隨機變量的條件分布律.同理，有（2）連續(xù)型隨機變量的條件分布設(shè)為二維連續(xù)型隨機變量，其聯(lián)合密度函數(shù)和邊緣密度函數(shù)分別為：.則當(dāng)時，在和的連續(xù)點處，在條件下，的條件概率密度函數(shù)為：.同理，有.6、隨機變量的獨立性設(shè)及分別是的聯(lián)合分布函數(shù)及邊緣分布函數(shù).如果對任何實數(shù)有則稱隨機變量與相互獨立.設(shè)為二維離散型隨機變量，與相互獨立的充要條件是.設(shè)為二維

31、連續(xù)型隨機變量，與相互獨立的充要條件是對任何實數(shù)，有.7、兩個隨機變量函數(shù)的分布設(shè)二維隨機變量的聯(lián)合概率密度函數(shù)為，是的函數(shù)，則的分布函數(shù)為.（1）的分布若為離散型隨機變量，聯(lián)合分布律為，則的概率函數(shù)為：或.若為連續(xù)型隨機變量，概率密度函數(shù)為，則的概率函數(shù)為：. （2）的分布若為連續(xù)型隨機變量，概率密度函數(shù)為，則的概率函數(shù)為：.疑 難 分 析1、事件表示事件與的積事件，為什么不一定等于？如同僅當(dāng)事件相互獨立時，才有一樣，這里依乘法原理.只有事件與相互獨立時，才有，因為.2、二維隨機變量的聯(lián)合分布、邊緣分布及條件分布之間存在什么樣的關(guān)系？由邊緣分布與條件分布的定義與公式知，聯(lián)合分布唯一確定邊緣分

32、布，因而也唯一確定條件分布.反之，邊緣分布與條件分布都不能唯一確定聯(lián)合分布.但由知，一個條件分布和它對應(yīng)的邊緣分布，能唯一確定聯(lián)合分布.但是，如果相互獨立，則，即.說明當(dāng)獨立時，邊緣分布也唯一確定聯(lián)合分布，從而條件分布也唯一確定聯(lián)合分布.3、兩個隨機變量相互獨立的概念與兩個事件相互獨立是否相同？為什么？兩個隨機變量相互獨立，是指組成二維隨機變量的兩個分量中一個分量的取值不受另一個分量取值的影響，滿足.而兩個事件的獨立性，是指一個事件的發(fā)生不受另一個事件發(fā)生的影響，故有.兩者可以說不是一個問題.但是，組成二維隨機變量的兩個分量是同一試驗的樣本空間上的兩個一維隨機變量，而也是一個試驗的樣本空間的兩

33、個事件.因此，若把“”、“”看作兩個事件，那么兩者的意義近乎一致，從而獨立性的定義幾乎是相同的.例 題 解 析【例1】設(shè)一盒內(nèi)有2件次品，3件正品，進行有放回的抽取和無放回的抽取.設(shè)為第一次抽取所得次品個數(shù)，為第二次抽取所取得次品個數(shù).試分別求出兩種抽取下：（1）的聯(lián)合分布律； （2）二維隨機變量的邊緣分布律； （3）與是否相互獨立.分析：求二維隨機變量的邊緣分布律,僅需求出概率.由二維隨機變量的邊緣分布律的定義， ；將聯(lián)合分布律表中各列的概率相加，即得關(guān)于的邊緣分布律；將聯(lián)合分布律表中各行的概率相加，即得關(guān)于的邊緣分布律.關(guān)于與是否相互獨立問題可由二維離散型隨機變量與相互獨立的充要條件來驗證

34、.解：都服從0-1分布，分別記（1）在有放回抽樣時，聯(lián)合分布律為：，可列成表，如表3-1所示.在不放回抽樣時，聯(lián)合分布律為：，可列成表，如表3-2所示.表3-1 表3-20 1 0 1 0 19/25 6/256/25 4/25013/10 3/103/10 1/10（2）在有放回抽樣時，對表3-1，按各列、各行相加，得關(guān)于、的邊緣分布律為表3-3、表3-4.在不放回抽樣時，對表3-2，按各列、各行相加，得關(guān)于、的邊緣分布律為表3-5、表3-6. 表3-3 表3-40 10 13/5 2/53/5 2/5 表3-5 表3-60 10 13/5 2/53/5 2/5 （3）在有放回抽樣時，因為，

35、所以與相互獨立；在不放回抽樣時，因為，所以與不相互獨立.【例2】設(shè)的聯(lián)合密度函數(shù)為 試求：（1）常數(shù)；（2）；（3）與是否相互獨立.分析：由聯(lián)合密度函數(shù)的性質(zhì)確定常數(shù)，由邊緣密度函數(shù)的定義：，計算廣義積分得.關(guān)于與是否相互獨立的問題，可用二維連續(xù)型隨機變量與相互獨立的充要條件來驗證.解: （1）因為，因此；（2）因為，當(dāng)時，當(dāng)為其它情況時，所以；同理 ；（3） 則有，因此，與相互獨立.【例3】設(shè)二維隨機變量的密度函數(shù)為，求的分布函數(shù).分析：根據(jù)密度函數(shù)的定義可以看出分布函數(shù)與所在的區(qū)域有關(guān)，可分區(qū)域分別進行討論.解：當(dāng)時，于是； 當(dāng)時，； 當(dāng)時，； 當(dāng)時，； 當(dāng)時，；所以【例4】隨機變量的密度

36、函數(shù)為，求條件下的條件分布密度.分析：通過的聯(lián)合密度和邊緣密度函數(shù)，來求在條件下條件分布密度.解：當(dāng)時，有；故【例5】隨機變量的密度函數(shù)為，求.分析：先求得邊緣密度函數(shù)，再根據(jù)條件概率的定義進行求解.解：因為故又所以.【例6】設(shè)隨機變量和相互獨立，有 求隨機變量的概率密度函數(shù).分析：可按分布函數(shù)的定義先求得，再進一步求得概率密度函數(shù)；在計算累次積分時要分各種情況進行討論. 解：，積分僅當(dāng)時才不為0，考慮的區(qū)域與的取值，分四種情況計算（如圖3-1）.當(dāng)時，；110（1）（2）（3）（4）當(dāng)時，；當(dāng)時，；圖 3-1 當(dāng)時，；所以 第四章 隨機變量的數(shù)字特征內(nèi) 容 提 要1、隨機變量的數(shù)學(xué)期望設(shè)離散

37、型隨機變量的分布律為，如果級數(shù)絕對收斂，則稱級數(shù)的和為隨機變量的數(shù)學(xué)期望.設(shè)連續(xù)型隨機變量的密度函數(shù)為，如果廣義積分絕對收斂，則稱此積分值為隨機變量的數(shù)學(xué)期望.數(shù)學(xué)期望有如下性質(zhì)：（1）設(shè)是常數(shù)，則；（2）設(shè)是常數(shù)，則；（3）若是隨機變量，則；對任意個隨機變量，有；（4）若相互獨立，則；對任意個相互獨立的隨機變量，有.2、隨機變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望設(shè)離散型隨機變量的分布律為，則的函數(shù)的數(shù)學(xué)期望為，式中級數(shù)絕對收斂.設(shè)連續(xù)型隨機變量的密度函數(shù)為，則的函數(shù)的數(shù)學(xué)期望為，式中積分絕對收斂.3、隨機變量的方差設(shè)是一個隨機變量，則稱為的方差.稱為的標(biāo)準(zhǔn)差或均方差.計算方差也常用公式.方差具有如下性質(zhì)：（1）

38、設(shè)是常數(shù)，則；（2）設(shè)是常數(shù)，則；（3）若相互獨立，則；對任意個相互獨立的隨機變量，有；（4）的充要條件是：存在常數(shù)，使.4、幾種常見分布的數(shù)學(xué)期望與方差（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）.5、矩設(shè)是隨機變量，則稱為的階原點矩.如果存在，則稱為的階中心矩.設(shè)是二維隨機變量，則稱為的階混合原點矩；稱為的階混合中心矩.5、二維隨機變量的數(shù)字特征(1) 的數(shù)學(xué)期望；若是離散型隨機變量，則，.若是連續(xù)型隨機變量，則，.這里，級數(shù)與積分都是絕對收斂的. （2）的方差若是離散型隨機變量，則，.若是連續(xù)型隨機變量，則，.這里，級數(shù)與積分都是絕對收斂的.6、協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)隨機變量

39、的協(xié)方差為.它是1+1階混合中心矩，有計算公式：.隨機變量的相關(guān)系數(shù)為.相關(guān)系數(shù)具有如下性質(zhì)：（1）；（2）存在常數(shù)，使=1，即與以概率1線性相關(guān)；（3）若獨立，則，即不相關(guān).反之，不一定成立.疑 難 分 析1、隨機變量的數(shù)字特征在概率論中有什么意義？知道一個隨機變量的分布函數(shù)，就掌握了這個隨機變量的統(tǒng)計規(guī)律性.但求得一個隨機變量的分布函數(shù)是不容易的，而且往往也沒有這個必要.隨機變量的數(shù)字特征則比較簡單易求，也能滿足我們研究分析具體問題的需要，所以在概率論中很多的應(yīng)用，同時也刻畫了隨機變量的某些特征，有重要的實際意義.例如，數(shù)學(xué)期望反映了隨機變量取值的平均值，表現(xiàn)為具體問題中的平均長度、平均時

40、間、平均成績、期望利潤、期望成本等；方差反映了隨機變量取值的波動程度；偏態(tài)系數(shù)、峰態(tài)系數(shù)則反映了隨機變量取值的對稱性和集中性.因此，在不同的問題上考察不同的數(shù)字特征，可以簡單而切實地解決我們面臨的實際問題.2、在數(shù)學(xué)期望定義中為什么要求級數(shù)和廣義積分絕對收斂？首先，數(shù)學(xué)期望是一個有限值；其次，數(shù)學(xué)期望反映隨機變量取值的平均值.因此，對級數(shù)和廣義積分來說，絕對收斂保證了值的存在，且對級數(shù)來說，又與項的次序無關(guān)，從而更便于運算求值.而由于連續(xù)型隨機變量可以離散化，從而廣義積分與無窮級數(shù)有同樣的意義.要求級數(shù)和廣義積分絕對收斂是為了保證數(shù)學(xué)期望的存在與求出.3、相關(guān)系數(shù)反映了隨機變量和之間的什么關(guān)系

41、？相關(guān)系數(shù)是用隨機變量和的協(xié)方差和標(biāo)準(zhǔn)差來定義的，它反映了隨機變量和之間的相關(guān)程度.當(dāng)時，稱與依概率1線性相關(guān)；當(dāng)時，稱與不相關(guān)；當(dāng)時，又分為強相關(guān)與弱相關(guān).4、兩個隨機變量與相互獨立和不相關(guān)是一種什么樣的關(guān)系？（1）若、相互獨立，則、不相關(guān).因為、獨立，則，故，從而，所以、不相關(guān).（2）若、不相關(guān)，則、不一定獨立.如： 因為，知、不相關(guān).但，,知、不獨立.（3）若、相關(guān)，則、一定不獨立.可由反證法說明.（4）若、不相關(guān)，則、不一定不相關(guān).因為、不獨立，但若時，可以有，從而可以有、不相關(guān). 但是，也有特殊情況，如服從二維正態(tài)分布時，、不相關(guān)與、獨立是等價的.例 題 解 析【例1】設(shè)隨機變量的分

42、布律為求和.分析：可直接按離散型隨機變量的期望和方差的定義進行計算.解: ；同理，所以.【例2】設(shè)的概率密度函數(shù)為求（1）；（2）；（3）.分析：由數(shù)學(xué)期望的定義及方差、協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)的計算公式，首先須求出關(guān)于的邊緣密度函數(shù)，然后在分別求數(shù)學(xué)期望、方差、協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)等.解：（1），所以；（2）所以，；（3），所以；.【例3】設(shè)事件在第次試驗中出現(xiàn)的概率為，表示在次獨立試驗中出現(xiàn)的次數(shù)，求和.分析：可先求出隨機變量的分布，再依公式計算數(shù)字特征.解：設(shè) 于是：.，故，；，由于各相互獨立，所以.（式中）【例4】設(shè)，且相互獨立，試求和的相關(guān)系數(shù).為不等于零的常數(shù).分析：求函數(shù)的數(shù)字特征，可有以下

43、三種方法：（1）先求函數(shù)的概率分布，再依公式計算數(shù)字特征；（2）直接依隨機變量函數(shù)數(shù)字特征的公式計算；（3）利用數(shù)字特征的有關(guān)定理計算. 解：；而，所以.【例5】設(shè) 是相互獨立的隨機變量，且.記.證明（1）；（2）.分析：運用隨機變量數(shù)字特征的某些性質(zhì)及一定的技巧進行證明證明：（1），；（2）.第五章 大數(shù)定律和中心極限定理內(nèi) 容 提 要1、切貝雪夫不等式設(shè)隨機變量的數(shù)學(xué)期望，方差，則對任意正數(shù)，有不等式 或成立.2、大數(shù)定律（1）切貝雪夫大數(shù)定理:設(shè)是相互獨立的隨機變量序列，數(shù)學(xué)期望和方差都存在，且，則對任意給定的，有.（2）貝努利大數(shù)定理:設(shè)是次重復(fù)獨立試驗中事件發(fā)生的次數(shù)，是事件在一次試

44、驗中發(fā)生的概率，則對于任意給定的，有.貝努利大數(shù)定理給出了當(dāng)很大時，發(fā)生的頻率依概率收斂于的概率，證明了頻率的穩(wěn)定性.3、中心極限定律（1）獨立同分布中心極限定理:設(shè)是獨立同分布的隨機變量序列，有有限的數(shù)學(xué)期望和方差，.則對任意實數(shù)，隨機變量的分布函數(shù)滿足.（2）李雅普諾夫定理:設(shè) 是不同分布且相互獨立的隨機變量，它們分別有數(shù)學(xué)期望和方差：, .記 ,若存在正數(shù)，使得當(dāng)時，有, 則隨機變量的分布函數(shù)對于任意的，滿足.當(dāng)很大時,.（3）德莫佛拉普拉斯定理:設(shè)隨機變量服從參數(shù)為的二項分布，則對于任意的，恒有.疑 難 分 析1、依概率收斂的意義是什么？依概率收斂即依概率1收斂.隨機變量序列依概率收斂

45、于，說明對于任給的，當(dāng)很大時，事件“”的概率接近于1.但正因為是概率，所以不排除小概率事件“”發(fā)生.依概率收斂是不確定現(xiàn)象中關(guān)于收斂的一種說法.2、大數(shù)定律在概率論中有何意義？大數(shù)定律給出了在試驗次數(shù)很大時頻率和平均值的穩(wěn)定性.從理論上肯定了用算術(shù)平均值代替均值，用頻率代替概率的合理性，它既驗證了概率論中一些假設(shè)的合理性，又為數(shù)理統(tǒng)計中用樣本推斷總體提供了理論依據(jù).所以說，大數(shù)定律是概率論中最重要的基本定律.3、中心極限定理有何實際意義？許多隨機變量本身并不屬于正態(tài)分布，但它們的極限分布是正態(tài)分布.中心極限定理闡明了在什么條件下，原來不屬于正態(tài)分布的一些隨機變量其總和分布漸進地服從正態(tài)分布.為

46、我們利用正態(tài)分布來解決這類隨機變量的問題提供了理論依據(jù).4、大數(shù)定律與中心極限定理有何異同？ 相同點：都是通過極限理論來研究概率問題，研究對象都是隨機變量序列，解決的都是概率論中的基本問題，因而在概率論中有重要意義.不同點：大數(shù)定律研究當(dāng) 時，概率或平均值的極限，而中心極限定理則研究隨機變量總和的分布的極限.例 題 解 析【例1】設(shè)每次試驗中某事件發(fā)生的概率為0.8，請用切貝雪夫不等式估計：需要多大，才能使得在次重復(fù)獨立試驗中事件發(fā)生的頻率在0.790.81之間的概率至少為0.95？分析：根據(jù)切貝雪夫不等式進行估計，須記住不等式.解: 設(shè)表示次重復(fù)獨立試驗中事件出現(xiàn)的次數(shù)，則，出現(xiàn)的頻率為，由

47、題意得 ，.可見做32000次重復(fù)獨立試驗中可使事件發(fā)生的頻率在0.790.81之間的概率至少為0.95.【例2】證明：（馬爾柯夫定理）如果隨機變量序列，滿足，則對任給，有.證明： ，由切貝雪夫不等式，得，根據(jù)題設(shè)條件，當(dāng)時, ，但概率小于等于1，故馬爾柯夫定理成立.【例3】一本書共有100萬個印刷符號.排版時每個符號被排錯的概率為0.0001，校對時每個排版錯誤被改正的概率為0.9，求校對后錯誤不多于15個的概率.分析：根據(jù)題意構(gòu)造一個獨立同分布的隨機變量序列，具有有限的數(shù)學(xué)期望和方差，然后建立一個標(biāo)準(zhǔn)化的隨機變量，應(yīng)用中心極限定理求得結(jié)果.解：設(shè)隨機變量 則是獨立同分布隨機變量序列，有.作

48、，為校對后錯誤總數(shù).按中心極限定理（德拉定理），有.第六章 數(shù)理統(tǒng)計的基本概念內(nèi) 容 提 要1、總體與樣本在數(shù)理統(tǒng)計中，將研究對象的全體稱為總體；組成總體的每個元素稱為個體.從總體中抽取的一部分個體，稱為總體的一個樣本；樣本中個體的個數(shù)稱為樣本的容量.從分布函數(shù)為的隨機變量中隨機地抽取的相互獨立的個隨機變量，具有與總體相同的分布，則稱為從總體得到的容量為的隨機樣本.一次具體的抽取記錄是隨機變量的一個觀察值，也用來表示這些隨機變量.2、統(tǒng)計量設(shè)是總體的一個樣本，則不含未知參數(shù)的樣本的連續(xù)函數(shù)稱為統(tǒng)計量.統(tǒng)計量也是一個隨機變量，常見的統(tǒng)計量有（1）樣本均值 ；（2）樣本方差 ；（3）樣本標(biāo)準(zhǔn)差 ；

49、（4）樣本階原點矩 ；（5）樣本階中心矩 .2、經(jīng)驗分布函數(shù)設(shè)是總體的一組觀察值將它們按大小順序排列為：，稱它為順序統(tǒng)計量.則稱 為經(jīng)驗分布函數(shù)（或樣本分布函數(shù)）.3、一些常用統(tǒng)計量的分布（1）分布設(shè)，是的一個樣本，則統(tǒng)計量服從自由度為的分布，記作.（2）分布設(shè)，且相互獨立，則隨機變量服從自由度為的分布，記作.分布又稱為學(xué)生分布.（3）分布設(shè)，且相互獨立，則隨機變量服從自由度為的分布，記作.4、正態(tài)總體統(tǒng)計量的分布設(shè)，是的一個樣本，則（1）樣本均值服從正態(tài)分布，有或；（2）樣本方差 ；（3）統(tǒng)計量 .設(shè)，是的一個樣本， 是的一個樣本，兩者相互獨立.則（1）統(tǒng)計量 ；（2）當(dāng)時，統(tǒng)計量 ，其中；

50、（3）統(tǒng)計量 ；（4）統(tǒng)計量 .疑 難 分 析1、為什么要引進統(tǒng)計量？為什么統(tǒng)計量中不能含有未知參數(shù)？引進統(tǒng)計量的目的是為了將雜亂無序的樣本值歸結(jié)為一個便于進行統(tǒng)計推斷和研究分析的形式，集中樣本所含信息，使之更易揭示問題實質(zhì).如果統(tǒng)計量中仍含有未知參數(shù)，就無法依靠樣本觀測值求出未知參數(shù)的估計值，因而就失去利用統(tǒng)計量估計未知參數(shù)的意義.2、什么是自由度？ 所謂自由度，通常是指不受任何約束，可以自由變動的變量的個數(shù).在數(shù)理統(tǒng)計中，自由度是對隨機變量的二次型（或稱為二次統(tǒng)計量）而言的.因為一個含有個變量的二次型的秩是指對稱矩陣的秩，它的大小反映個變量中能自由變動的無約束變量的多少.我們所說的自由度，就是二次型的秩.例 題 解 析【例1】設(shè)，（1）不全等；（2）.問：是否為簡單隨機樣本？分析：相互獨立且與總體同分布的樣本是簡單隨機樣本，由此進行驗證.解:（1） 由于，且不全等，所以不是同分布，因此不是簡單隨機樣本.（2）由于，那么服從相同的分布，但不知道是否相互獨立，因此不一定是簡單隨機樣本.【例2】設(shè)，是取自總體的簡單隨機樣本，為樣本均值，為樣本二階中心矩，為樣本方差，問下列統(tǒng)計量（1），（2），（3）各服從什