概率論與數(shù)理統(tǒng)計課后答案徐雅靜版

1、概率論習題答案第1章 三、解答題 5 從5雙不同的鞋子種任取4只，問這4只鞋子中至少有兩只配成一雙的概率是多少？ 解：顯然總取法有種，以下求至少有兩只配成一雙的取法：法一：分兩種情況考慮：+ 其中：為恰有1雙配對的方法數(shù)法二：分兩種情況考慮：+ 其中：為恰有1雙配對的方法數(shù)法三：分兩種情況考慮：+ 其中：為恰有1雙配對的方法數(shù)法四：先滿足有1雙配對再除去重復部分：-法五：考慮對立事件：- 其中：為沒有一雙配對的方法數(shù)法六：考慮對立事件： 其中：為沒有一雙配對的方法數(shù)所求概率為 6在房間里有10個人，分別佩戴從1號到10號的紀念章，任取3人記錄其紀念章的號碼求： (1) 求最小號碼為5的概率；

2、(2) 求最大號碼為5的概率 解：(1) 法一：，法二： (2) 法二：，法二： 7將3個球隨機地放入4個杯子中去，求杯子中球的最大個數(shù)分別為1，2，3的概率 解：設M1, M2, M3表示杯子中球的最大個數(shù)分別為1，2，3的事件，則, , 8設5個產(chǎn)品中有3個合格品，2個不合格品，從中不返回地任取2個，求取出的2個中全是合格品，僅有一個合格品和沒有合格品的概率各為多少？ 解：設M2, M1, M0分別事件表示取出的2個球全是合格品，僅有一個合格品和沒有合格品，則 , 9口袋中有5個白球，3個黑球，從中任取兩個，求取到的兩個球顏色相同的概率 解：設M1=“取到兩個球顏色相同”，M1=“取到兩個

3、球均為白球”，M2=“取到兩個球均為黑球”，則.所以 10 若在區(qū)間(0，1)內(nèi)任取兩個數(shù)，求事件“兩數(shù)之和小于6/5”的概率 解：這是一個幾何概型問題以x和y表示任取兩個數(shù)，在平面上建立xOy直角坐標系，如圖. 任取兩個數(shù)的所有結果構成樣本空間W = (x，y)：0 £ x，y £ 1 事件A =“兩數(shù)之和小于6/5”= (x，y) Î W ： x + y £ 6/5因此圖？ 11隨機地向半圓（為常數(shù)）內(nèi)擲一點，點落在半圓內(nèi)任何區(qū)域的概率與區(qū)域的面積成正比，求原點和該點的連線與軸的夾角小于的概率 解：這是一個幾何概型問題以x和y表示隨機地向半圓內(nèi)擲一點

4、的坐標，q表示原點和該點的連線與軸的夾角，在平面上建立xOy直角坐標系，如圖. 隨機地向半圓內(nèi)擲一點的所有結果構成樣本空間 W=(x，y)： 事件A =“原點和該點的連線與軸的夾角小于” =(x，y)：因此 12已知，求 解： 13設10件產(chǎn)品中有4件不合格品，從中任取兩件，已知所取兩件產(chǎn)品中有一件是不合格品，則另一件也是不合格品的概率是多少？ 解：題中要求的“已知所取兩件產(chǎn)品中有一件是不合格品，則另一件也是不合格品的概率”應理解為求“已知所取兩件產(chǎn)品中至少有一件是不合格品，則兩件均為不合格品的概率”。 設A=“所取兩件產(chǎn)品中至少有一件是不合格品”，B=“兩件均為不合格品”；， 14有兩個箱子

5、，第1箱子有3個白球2個紅球，第2個箱子有4個白球4個紅球，現(xiàn)從第1個箱子中隨機地取1個球放到第2個箱子里，再從第2個箱子中取出一個球，此球是白球的概率是多少？已知上述從第2個箱子中取出的球是白球，則從第1個箱子中取出的球是白球的概率是多少？ 解：設A=“從第1個箱子中取出的1個球是白球”，B=“從第2個箱子中取出的1個球是白球”，則，由全概率公式得由貝葉斯公式得 15將兩信息分別編碼為A和B傳遞出去，接收站收到時，A被誤收作B的概率為0.02，而B被誤收作A的概率為0.01，信息A與信息B傳送的頻繁程度為2：1，若接收站收到的信息是A，問原發(fā)信息是A的概率是多少？ 解：設M=“原發(fā)信息是A”

6、，N=“接收到的信息是A”，已知所以由貝葉斯公式得 16三人獨立地去破譯一份密碼，已知各人能譯出的概率分別為，問三人中至少有一人能將此密碼譯出的概率是多少？ 解：設Ai=“第i個人能破譯密碼”，i=1,2,3.已知所以至少有一人能將此密碼譯出的概率為 17設事件A與B相互獨立，已知P(A) = 0.4，P(AB) = 0.7，求. 解：由于A與B相互獨立，所以P(AB)=P(A)P(B),且P(AB)=P(A)+ P(B) - P(AB)= P(A)+ P(B) - P(A)P(B)將P(A) = 0.4，P(AB) = 0.7代入上式解得 P(B) = 0.5，所以或者,由于A與B相互獨立,

7、所以A與相互獨立，所以 18甲乙兩人獨立地對同一目標射擊一次，其命中率分別為0.6和0.5，現(xiàn)已知目標被命中，則它是甲射中的概率是多少？ 解：設A=“甲射擊目標”，B=“乙射擊目標”，M=“命中目標”，已知P(A)=P(B)=1,所以由于甲乙兩人是獨立射擊目標，所以 19某零件用兩種工藝加工，第一種工藝有三道工序，各道工序出現(xiàn)不合格品的概率分別為0.3，0.2，0.1；第二種工藝有兩道工序，各道工序出現(xiàn)不合格品的概率分別為0.3，0.2，試問： (1) 用哪種工藝加工得到合格品的概率較大些？ (2) 第二種工藝兩道工序出現(xiàn)不合格品的概率都是0.3時，情況又如何？ 解：設Ai=“第1種工藝的第i

8、道工序出現(xiàn)合格品”，i=1,2,3； Bi=“第2種工藝的第i道工序出現(xiàn)合格品”，i=1,2.（1）根據(jù)題意，P(A1)=0.7，P(A2)=0.8，P(A3)=0.9，P(B1)=0.7,P(B2)=0.8,第一種工藝加工得到合格品的概率為P(A1A2A3)= P(A1)P(A2)P(A3)=第二種工藝加工得到合格品的概率為P(B1B2)= P(B1)P(B2)=可見第二種工藝加工得到合格品的概率大。（2）根據(jù)題意，第一種工藝加工得到合格品的概率仍為0.504，而P(B1)=P(B2)=0.7,第二種工藝加工得到合格品的概率為P(B1B2)= P(B1)P(B2)=可見第一種工藝加工得到合格

9、品的概率大。 1設兩兩相互獨立的三事件A，B和C滿足條件ABC = Æ，且已知，求P(A) 解：因為ABC = Æ，所以P(ABC) =0,因為A，B，C兩兩相互獨立，所以由加法公式得 即 考慮到得 2設事件A，B，C的概率都是，且，證明： 證明：因為，所以將代入上式得到整理得 3設0 < P(A) < 1，0 < P(B) < 1，P(A|B) +，試證A與B獨立 證明：因為P(A|B) +，所以將代入上式得兩邊同乘非零的P(B)1-P(B)并整理得到所以A與B獨立. 4設A，B是任意兩事件，其中A的概率不等于0和1，證明是事件A與B獨立的充分必要

10、條件 證明：充分性，由于，所以即兩邊同乘非零的P(A)1-P(A)并整理得到所以A與B獨立. 必要性：由于A與B獨立，即且所以一方面另一方面所以 5一學生接連參加同一課程的兩次考試第一次及格的概率為p，若第一次及格則第二次及格的概率也為p；若第一次不及格則第二次及格的概率為. (1) 若至少有一次及格則他能取得某種資格，求他取得該資格的概率 (2) 若已知他第二次及格了，求他第第一次及格的概率 解：設Ai=“第i次及格”，i=1，2.已知由全概率公式得(1) 他取得該資格的概率為(2) 若已知他第二次及格了，他第一次及格的概率為 6每箱產(chǎn)品有10件，其中次品從0到2是等可能的，開箱檢驗時，從中

11、任取一件，如果檢驗為次品，則認為該箱產(chǎn)品為不合格而拒收由于檢驗誤差，一件正品被誤判為次品的概率為2%，一件次品被誤判為正品的概率為10%求檢驗一箱產(chǎn)品能通過驗收的概率 解：設Ai=“一箱產(chǎn)品有i件次品”，i=0，1，2.設M=“一件產(chǎn)品為正品”，N=“一件產(chǎn)品被檢驗為正品”.已知由全概率公式又由全概率公式得一箱產(chǎn)品能通過驗收的概率為 7用一種檢驗法檢驗產(chǎn)品中是否含有某種雜質的效果如下若真含有雜質檢驗結果為含有的概率為0.8；若真含不有雜質檢驗結果為不含有的概率為0.9；據(jù)以往的資料知一產(chǎn)品真含有雜質或真不含有雜質的概率分別為0.4和0.6今獨立地對一產(chǎn)品進行三次檢驗，結果是兩次檢驗認為含有雜質

12、，而有一次認為不含有雜質，求此產(chǎn)品真含有雜質的概率 解：A=“一產(chǎn)品真含有雜質”，Bi=“對一產(chǎn)品進行第i次檢驗認為含有雜質”，i=1,2,3. 已知獨立進行的三次檢驗中兩次認為含有雜質，一次認為不含有雜質，不妨假設前兩次檢驗認為含有雜質，第三次認為檢驗不含有雜質，即B1，B2發(fā)生了，而B3未發(fā)生.又知所以所求概率為由于三次檢驗是獨立進行的，所以 8火炮與坦克對戰(zhàn)，假設坦克與火炮依次發(fā)射，且由火炮先射擊，并允許火炮與坦克各發(fā)射2發(fā)，已知火炮與坦克每次發(fā)射的命中概率不變，它們分別等于0.3和0.35.我們規(guī)定只要命中就被擊毀試問 (1) 火炮與坦克被擊毀的概率各等于多少？ (2) 都不被擊毀的概

13、率等于多少？ 解：設Ai=“第i次射擊目標被擊毀”，i=1,2,3,4. 已知所以 (1) 火炮被擊毀的概率為 坦克被擊毀的概率為 (2) 都不被擊毀的概率為 9甲、乙、丙三人進行比賽，規(guī)定每局兩個人比賽，勝者與第三人比賽，依次循環(huán)，直至有一人連勝兩次為止，此人即為冠軍，而每次比賽雙方取勝的概率都是，現(xiàn)假定甲乙兩人先比，試求各人得冠軍的概率 解：Ai=“甲第i局獲勝”， Bi=“乙第i局獲勝”，Bi=“丙第i局獲勝”，i=1,2,.，已知，由于各局比賽具有獨立性，所以在甲乙先比賽，且甲先勝第一局時，丙獲勝的概率為同樣，在甲乙先比賽，且乙先勝第一局時，丙獲勝的概率也為丙得冠軍的概率為甲、乙得冠軍

14、的概率均為第二章9. X-112pi0.40.40.2 分析：由題意，該隨機變量為離散型隨機變量，根據(jù)離散型隨機變量的分布函數(shù)求法，可觀察出隨機變量的取值及概率。10. 分析：每次觀察下基本結果“X1/2”出現(xiàn)的概率為，而本題對隨機變量X取值的觀察可看作是3重伯努利實驗，所以11. ,同理，P| X | £ 3.5 =0.8822.12. .13. ，利用全概率公式來求解：二、單項選擇題：1. B，由概率密度是偶函數(shù)即關于縱軸對稱，容易推導F(-a)=2. B，只有B的結果滿足3. C，根據(jù)分布函數(shù)和概率密度的性質容易驗證4. D，可以看出不超過2，所以，可以看出，分布函數(shù)只有一個間

15、斷點.5. C, 事件的概率可看作為事件A（前三次獨立重復射擊命中一次）與事件B（第四次命中）同時發(fā)生的概率，即 .三、解答題（A）1(1)X123456pi分析：這里的概率均為古典概型下的概率，所有可能性結果共36種，如果X=1，則表明兩次中至少有一點數(shù)為1，其余一個1至6點均可，共有（這里指任選某次點數(shù)為1，6為另一次有6種結果均可取，減1即減去兩次均為1的情形，因為多算了一次）或種，故,其他結果類似可得.(2) 2X-199pi注意，這里X指的是贏錢數(shù)，X取0-1或100-1，顯然.3，所以.4(1) ，(2) 、 、 ；5(1) ，(2) ，(3) .6(1) . (2) .7解：設射

16、擊的次數(shù)為X，由題意知，其中8=400×0.02.8解：設X為事件A在5次獨立重復實驗中出現(xiàn)的次數(shù)，則指示燈發(fā)出信號的概率 ；9. 解：因為X服從參數(shù)為5的指數(shù)分布，則，則10. (1)、由歸一性知：，所以.(2)、.11. 解 （1）由F(x)在x=1的連續(xù)性可得，即A=1.（2）.（3）X的概率密度.12. 解 因為X服從（0，5）上的均勻分布，所以 若方程有實根，則，即 ，所以有實根的概率為 13. 解: (1) 因為 所以 (2) ，則，經(jīng)查表得，即，得；由概率密度關于x=3對稱也容易看出。(3) ，則，即，經(jīng)查表知，故，即；14. 解： 所以 ，；由對稱性更容易解出；15.

17、 解 則 上面結果與無關，即無論怎樣改變，都不會改變；16. 解：由X的分布律知px-2-10134101921013所以 Y的分布律是Y0149pY0123pZ的分布律為 17. 解 因為服從正態(tài)分布，所以，則，當時，則當時，所以Y的概率密度為；18. 解，所以19. 解：，則當時，當時，20. 解: (1) 因為所以(2) ，因為， 所以（3） 當時， 當時， 所以 ，因為，所以四應用題1解：設X為同時打電話的用戶數(shù)，由題意知設至少要有k條電話線路才能使用戶再用電話時能接通的概率為0.99，則，其中查表得k=5.2解：該問題可以看作為10重伯努利試驗，每次試驗下經(jīng)過5個小時后組件不能正常工

18、作這一基本結果的概率為1-，記X為10塊組件中不能正常工作的個數(shù)，則， 5小時后系統(tǒng)不能正常工作，即，其概率為3解：因為，所以 設Y表示三次測量中誤差絕對值不超過30米的次數(shù)，則，(1) .(2) .4解： 當時，是不可能事件，知， 當時，Y和X同分布,服從參數(shù)為5的指數(shù)分布，知， 當時，為必然事件,知，因此，Y的分布函數(shù)為 ；5解：(1) 挑選成功的概率；(2) 設10隨機挑選成功的次數(shù)為X，則該，設10隨機挑選成功三次的概率為：，以上概率為隨機挑選下的概率，遠遠小于該人成功的概率3/10=0.3，因此，可以斷定他確有區(qū)分能力。（B）1. 解：由概率密度可得分布函數(shù)，即，易知；2. 解： X

19、服從的均勻分布，又則，-11P所以Y的分布律為3. 解：，；4. 證明：因是偶函數(shù)，故，所以.5. 解：隨機變量X的分布函數(shù)為 ，顯然， ，當時，是不可能事件，知，當時，當時，是必然事件，知，即 。6. （1）當時，即時，當時，即y>1時，所以；（2）， 當時，為不可能事件，則， 當時，則， 當時，則，根據(jù)得 ；（3），當時，當時，所以 ；7. (1) 證明：由題意知。，當時，即，當時，當時，故有，可以看出服從區(qū)間（0，1）均勻分布；（2） 當時， 當時， 當時， 由以上結果，易知，可以看出服從區(qū)間（0，1）均勻分布。第三章1解：(X,Y)取到的所有可能值為(1,1),(1,2),(2,

20、1)由乘法公式：PX=1,Y=1=PX=1PY=1|X=1|=2/3´1/2=/3同理可求得PX=1,Y=1=1/3; PX=2,Y=1=1/3(X,Y)的分布律用表格表示如下：YX1211/31/321/302 解：X，Y所有可能取到的值是0, 1, 2(1) PX=i, Y=j=PX=iPY=j|X=i|= , i,j=0,1,2, i+j£2或者用表格表示如下： YX01203/286/281/2819/286/28023/2800 (2)P(X,Y)ÎA=PX+Y£1=PX=0, Y=0+PX=1,Y=0+PX=0,Y=0=9/143 解：P(A

21、)=1/4, 由P(B|A)=得P(AB)=1/8由P(A|B)=得P(B)=1/4(X,Y)取到的所有可能數(shù)對為(0,0),(1,0),(0,1),(1,1),則PX=0,Y=0=)=P( (A)-P(B)+P(AB)=5/8PX=0,Y=1=P(B)=P(B-A)=P(B)-P(AB)=1/8PX=1,Y=0=P(A)=P(A-B)=P(A)-P(AB)=1/8PX=1,Y=1=P(AB)=1/84.解：(1)由歸一性知：1=, 故A=4(2)PX=Y=0(3)PX<Y= (4)F(x,y)=即F(x,y)=5.解：PX+Y³1=6 解：X的所有可能取值為0,1,2,Y的所

22、有可能取值為0,1,2, 3.PX=0,Y=0=0.53=0.125; 、PX=0,Y=1=0.53=0.125PX=1,Y=1=, PX=1,Y=2=PX=2,Y=2=0.53=0.125, PX=2,Y=3=0.53=0.125X,Y 的分布律可用表格表示如下： YX0123Pi.00.1250.125000.25100.250.2500.52000.1250.1250.25P.j0.1250.3750.3750.12517. 解：8. 解：(1)所以 c=21/4(2) 9 解：(X,Y)在區(qū)域D上服從均勻分布，故f(x,y)的概率密度為10 解： 當0<x£1時，即，1

23、1解：當y£0時， 當y>0時，所以，12 解：由得13解：Z=max(X,Y),W=min(X,Y)的所有可能取值如下表pi0.050.150.20.070.110.220.040.070.09(X,Y)(0,-1)(0,0)(0,1)(1,-1)(1,0)(1,1)(2,-1)(2,0)(2,1)max(X,Y)001111222Min(X,Y)-100-101-101Z=max(X,Y),W=min(X,Y)的分布律為Z012Pk0.20.60.2 W -101Pj 0.160.530.3114 解： 由獨立性得X，Y的聯(lián)合概率密度為則PZ=1=PX£Y=PZ=

24、0=1-PZ=1=0.5故Z的分布律為Z01Pk0.50.515 解：同理，顯然，所以X與Y不相互獨立.16 解：(1) 利用卷積公式：求fZ(z)=(2) 利用卷積公式：17 解：由定理3.1（p75）知，X+YN(1,2)故18解：(1) (x>0)同理， y>0顯然，所以X與Y不相互獨立(2).利用公式19解：并聯(lián)時，系統(tǒng)L的使用壽命Z=maxX,Y因XE(a),YE(b),故 串聯(lián)時，系統(tǒng)L的使用壽命Z=minX,Y (B)組1 解：PX=0=a+0.4, PX+Y=1=PX=1,Y=0+PX=0,Y=1=a+bPX=0,X+Y=1=PX=0,Y=1=a由于X=0|與X+Y

25、=1相互獨立, 所以PX=0, X+Y=1=PX=0 PX+Y=1即 a=(a+0.4)(a+b) (1)再由歸一性知： 0.4+a+b+0.1=1 (2)解(1),(2)得 a=0.4, b=0.12 解: (1) (2) 利用公式計算3.解：(1) FY(y)=PY£y=PX2£y當y<0時，fY(y)=0當y³0時，從而，(2) F(-1/2,4)=PX£-1/2,Y£4= PX£-1/2,X2£4=P-2£X£-1/2=4.解：PXY¹0=1-PXY=0=0即 PX=-1,Y=1+

26、PX=1,Y=1=0由概率的非負性知，PX=-1,Y=1=0，PX=1,Y=1=0由邊緣分布律的定義，PX=-1= PX=-1,Y=0+ PX=-1,Y=1=1/4得PX=-1,Y=0=1/4再由PX=1= PX=1,Y=0+ PX=1,Y=1=1/4得PX=1,Y=0=1/4再由PY=1=PX=-1,Y=1+ PX=0,Y=1+ PX=1,Y=1= PX=0,Y=1知PX=0,Y=1=1/2最后由歸一性得：PX=0,Y=0=0(X,Y)的分布律用表格表示如下： YX01PX=i-11/401/4001/21/211/401/4PY=j1/21/21(2) 顯然，X和Y不相互獨立，因為PX=-

27、1,Y=0¹ PX=-1PY=05 解：X與Y相互獨立，利用卷積公式計算 6.解：(X,Y)(G)設F(x)和f(s)分別表示S=XY的分布函數(shù)和密度函數(shù)F(s)=PXY<ss<0時，F(xiàn)s(s)=0s³0時，所以，于是，S=Y概率密度為7.解：由全概率公式：FU(u)=PU£u=X+Y£u=PX=1PX+Y£u|X=1+ PX=2PX+Y£u|X=2= PX=1P1+Y£u+ PX=2P2+Y£u=0.3´FY(u-1)+0.7´FY(u-2)所以，fU(u) =0.3´f

28、Y(u-1)+0.7´fY(u-2)8. 解：(1) (2) 如圖所示，當z<0時，F(xiàn)Z(z)=0; 當z³2時，F(xiàn)Z(z)=1 當0£z<2時:綜上所述，所以Z的概率密度為：9.解：(1) (2) (3) 10.解：(1)PZ£1/2|X=0=PX+Y£1/2|X=0=PY£1/2=1/2(2) 由全概率公式：FZ(z)=PZ£z=PX+Y£z=PX=1PX+Y£z|X=1+PX=0PX+Y£z|X=0=PX=-1PX+Y£z|X=-1= PX=1P1+Y£z+

29、PX=0PY£z=PX=-1P-1+Y£z=1/3´FY(z-1)+ FY(z)+ FY(z+1)從而，fZ(z) =1/3´fY(z-1)+ fY(z)+ fY(z+1)=11.解：如圖，當z<0時，F(xiàn)Z(z)=0; 當z³1時，F(xiàn)Z(z)=1 當0£z<1時:綜上得：12Z的概率密度為12 解：當z<0時，F(xiàn)Z(z)=0;當z³0時，所以，Z的概率密度為 第四章4三、解答題1. 設隨機變量的分布律為X 202pi0.40.30.3求，解：E (X ) = = +0+2= -0.2E (X 2 ) = =

30、 4+ 0+ 4= 2.8E (3 X +5) =3 E (X ) +5 =3+5 = 4.42. 同時擲八顆骰子，求八顆骰子所擲出的點數(shù)和的數(shù)學期望解：記擲1顆骰子所擲出的點數(shù)為Xi，則Xi 的分布律為記擲8顆骰子所擲出的點數(shù)為X ，同時擲8顆骰子，相當于作了8次獨立重復的試驗，E (Xi ) =1/6×(1+2+3+4+5+6)=21/6E (X ) =8×21/3=283. 某圖書館的讀者借閱甲種圖書的概率為p1，借閱乙種圖書的概率為p2，設每人借閱甲乙圖書的行為相互獨立，讀者之間的行為也是相互獨立的 (1) 某天恰有n個讀者，求借閱甲種圖書的人數(shù)的數(shù)學期望(2) 某

31、天恰有n個讀者，求甲乙兩種圖書至少借閱一種的人數(shù)的數(shù)學期望解：(1) 設借閱甲種圖書的人數(shù)為X ，則XB(n, p1),所以E (X )= n p1(2) 設甲乙兩種圖書至少借閱一種的人數(shù)為Y , 則Y B(n, p),記A =借甲種圖書， B =借乙種圖書，則p =A B= p1+ p2 - p1 p2所以E (Y )= n (p1+ p2 - p1 p2 )4. 將n個考生的的錄取通知書分別裝入n個信封，在每個信封上任意寫上一個考生的姓名、地址發(fā)出，用X表示n個考生中收到自己通知書的人數(shù)，求E(X)解：依題意，XB(n，1/n)，所以E (X ) =1.5. 設，且，求E(X)解：由題意知

32、XP（），則X的分布律P =，k = 1,2,.又P=P, 所以 解得 ，所以E(X) = 6.6. 設隨機變量X的分布律為問X的數(shù)學期望是否存在？解：因為級數(shù)， 而發(fā)散，所以X的數(shù)學期望不存在.7. 某城市一天的用電量X（十萬度計）是一個隨機變量，其概率密度為求一天的平均耗電量 解：E(X) =6. 8. 設某種家電的壽命X（以年計）是一個隨機變量，其分布函數(shù)為求這種家電的平均壽命E(X)解：由題意知，隨機變量X的概率密度為 當>5時， ，當£5時，0.E(X) =所以這種家電的平均壽命E(X)=10年.9. 在制作某種食品時，面粉所占的比例X的概率密度為求X的數(shù)學期望E(X

33、)解：E(X) =1/4 10. 設隨機變量X的概率密度如下，求E(X)解：.11. 設，求數(shù)學期望解：X的分布律為， k = 0，1，2，3，4，X取值為0，1，2，3，4時，相應的取值為0，1，0，-1，0，所以 12. 設風速V在(0，a)上服從均勻分布，飛機機翼受到的正壓力W是V的函數(shù)：，（k > 0，常數(shù)），求W的數(shù)學期望解：V的分布律為，所以 13. 設隨機變量(X, Y )的分布律為 Y X01203/289/283/2813/143/14021/2800求E(X)，E(Y )，E(X Y )解：E(X)=0×(3/28+9/28+3/28）+1×(3/

34、14+3/14+0)+ 2×(1/28+0+0)= 7/14=1/2 E(Y)=0×（3/28+3/14+1/28）+1×(9/28+3/14+0)+ 2×(3/28+0+0)=21/28=3/4 E(X-Y) = E(X)- E(Y)=1/2-3/4= -1/4.14. 設隨機變量(X，Y)具有概率密度，求E(X)，E(Y)，E(XY)解：E(X)= 15. 某工廠完成某批產(chǎn)品生產(chǎn)的天數(shù)X是一個隨機變量，具有分布律X10 11 12 13 14pi0.2 0.3 0.3 0.1 0.1所得利潤（以元計）為,求E(Y)，D(Y)解： E(Y) = E10

35、00(12-X)=1000×(12-10)×0.2+(12-11)×0.3+(12-12)×0.3+(12-13)×0.1+(12-14)×0.1 = 400E(Y2) = E10002(12-X)2=10002(12-10)2×0.2+（12-11）2×0.3+（12-12）2×0.3+（12-13）2×0.1+（12-14）2×0.1=1.6×106D(Y)=E(Y2)-E(Y)2=1.6×106- 4002=1.44×106 16. 設隨機變量X服從

36、幾何分布 ，其分布律為其中0 < p < 1是常數(shù)，求E(X)，D(X)解：令q=1- p ,則 D(X) = E(X2)- E(X) =2q/p2+1/p-1/p2 = (1-p)/p217. 設隨機變量X的概率密度為，試求E(X)，D(X)解：E(X)= D(X)= E(X2)= 18. 設隨機變量(X，Y)具有D(X) = 9，D(Y) = 4，求，解：因為，所以=-1/6×3×2=-1,19. 在題13中求Cov(X，Y)，rXY解：E(X) =1/2, E(Y) =3/4, E(XY)=0×(3/28+9/28+3/28+3/14+1/28）

37、+1×3/14+2×0+4×0=3/14, E(X2)= 02×（3/28+9/28+3/28）+12×(3/14+3/14+0)+ 22×(1/28+0+0)=4/7, E(Y2)= 02×（3/28+3/14+1/28）+12×(9/28+3/14+0)+ 22×(3/28+0+0)=27/28, D(X)= E(X2) -E(X)2 = 4/7-(1/2)2= 9/28, D(Y)= E(Y2)- E(Y)2=27/28-(3/4)2= 45/112, Cov(X，Y)= E(XY)- E(X) E

38、(Y) =3/14- (1/2) ×(3/4)= -9/56, rXY = Cov(X，Y) /()=-9/56 ¸ ()= -/520. 在題14中求Cov(X，Y)，rXY，D(X + Y)解：,21. 設二維隨機變量(X, Y )的概率密度為試驗證X和Y是不相關的，但X和Y不是相互獨立的解：，所以Cov(X，Y)=0，rXY =0，即X和Y是不相關.當x2 + y21時，f ( x,y)fX ( x) f Y(y),所以X和Y不是相互獨立的22. 設隨機變量(X, Y )的概率密度為驗證X和Y是不相關的，但X和Y不是相互獨立的解：由于f ( x,y)的非零區(qū)域為D:

39、0 < x < 1, | y |< 2x ,所以Cov(X，Y)=0，從而，因此X與Y不相關 . 所以，當0<x<1, -2<y<2時，所以X和Y不是相互獨立的 .四、應用題.1. 某公司計劃開發(fā)一種新產(chǎn)品市場，并試圖確定該產(chǎn)品的產(chǎn)量，他們估計出售一件產(chǎn)品可獲利m元，而積壓一件產(chǎn)品導致n元的損失，再者，他們預測銷售量Y（件）服從參數(shù)的指數(shù)分布，問若要獲利的數(shù)學期望最大，應該生產(chǎn)多少件產(chǎn)品？（設m,n,均為已知）.解：設生產(chǎn)x件產(chǎn)品時，獲利Q為銷售量Y的函數(shù) y 0< y<x x 2. 設賣報人每日的潛在賣報數(shù)為X服從參數(shù)為的泊松分布，如果每

40、日賣出一份報可獲報酬m元，賣不掉而退回則每日賠償n元，若每日賣報人買進r份報，求其期望所得及最佳賣報數(shù)。解： 設真正賣報數(shù)為Y ,則，Y的分布為設賣報所得為Z ,則Z 與Y 的關系為當給定m,n,之后，求r，使得E(g(Y)達到最大.(B)組題1. 已知甲、乙兩箱中裝有同種產(chǎn)品，其中甲箱中裝有3件合格品和3件次品，乙箱中僅裝有3件合格品，從甲箱中任取3件產(chǎn)品放入乙箱后，求： (1) 乙箱中次品件數(shù)X的數(shù)學期望； (2) 從乙箱中任取一件產(chǎn)品是次品的概率解：(1) X的可能取值為0，1，2，3，X的概率分布律為 ， k=0,1,2,3.即 X 0 1 2 3 pi 因此 (2) 設A表示事件“從

41、乙箱中任取一件產(chǎn)品是次品”，由于，構成完備事件組，因此根據(jù)全概率公式，有 = =2. 隨機變量X的概率密度為，對X獨立重復觀察4次，用Y表示觀察值大于的次數(shù)，求Y 2的數(shù)學期望解：依題意，YB(4, p),p=PX >=所以E(Y)= 4p =2，D(Y)= 4p(1-p)=1， E(Y2) = D(Y)+E(Y)2=1+4=53. 設隨機變量U在區(qū)間(-2，2)上服從均勻分布，隨機變量試求：(1)和的聯(lián)合分布律；(2) 解：(1) PX =-1, Y =-1= PU -1且U 1= PU -1=，PX =-1, Y =1= PU -1且U >1= 0，PX =1, Y =-1=

42、P-1<U 1=，PX =1, Y =1= PU > -1且U >1= PU > 1=，所以和的聯(lián)合分布律為 X Y-11-11/41/2101/4(2) 和的邊緣分布律分別為X 11pi1/43/4Y 11pi3/41/4所以E(X)= -1/4+3/4=1/2，E(Y)= -3/4+1/4=-1/2，E(XY)= 1/4-1/2+1/4=0，E(X2)= 1/4+3/4=1，E(Y2)=1，D(X)=1-1/4=3/4，D(Y)=1-1/4=3/4，Cov(X，Y)=1/4，D(X+Y)= D(X)+ D(Y)+2 Cov(X，Y)=3/4+3/4+2/4=24.

43、設隨機變量X的期望E(X)與方差存在，且有，證明證明：首先證明E（Y）存在(1) 若隨機變量X為離散型隨機變量，分布律為：則由E(X)存在知，絕對收斂，且記,則絕對收斂，所以E（Y）存在，,(2) 若X為連續(xù)型隨機變量，其概率密度為f(x),則：5. 設離散型隨機變量X的分布律為，且E(X)，E(X 2)，D(X)都存在，試證明：函數(shù)在時取得最小值，且最小值為D(X)證明：令，則，所以，又，所以時，取得最小值，此時 6. 隨機變量X與Y獨立同分布，且X的分布律為X12pi2/31/3記， (1) 求(U，V)的分布律；(2) 求U與V的協(xié)方差Cov(U，V).解：(1) (X ,Y)的分布律

44、Y X1214/92/922/91/9(X ,Y)（1，1）（1，2）（2，1）（2，2）pij4/92/92/91/9U1222V1112 V U1214/9024/91/9(2) E(U)= 4/9+2×5/9=14/9，E(V)= (4/9+2/9+2/9)+ 2×1/9=10/9，E(UV)= 4/9+2×4/9+4×1/9=16/9,Cov(U，V)=16/9-140/81=4/81 7. 隨機變量X的概率密度為令為二維隨機變量（X，Y）的分布函數(shù)，求Cov(X，Y)解： 8. 對于任意二事件A和B，0 < P(A) < 1，0 &

45、lt; P(B) < 1，稱作事件A和B的相關系數(shù) (1) 證明事件A和B獨立的充分必要條件是其相關系數(shù)等于零 (2) 利用隨機變量相關系數(shù)的基本性質，證明證明: (1) ,即(2) 考慮隨機變量X和Y X服從0-1分布:X01pi1-P(A)P(A)Y服從0-1分布:X01pi1-P(B)P(B)可見, 隨機變量和的相關系數(shù)由兩隨機變量的相關系數(shù)的基本性質有第五章三、解答題1. 設隨機變量X1，X2，Xn獨立同分布，且XP(l)，試利用契比謝夫不等式估計的下界。解：因為XP(l)，由契比謝夫不等式可得2. 設E(X) = 1，E(Y) = 1，D(X) = 1，D(Y) = 9，r X

46、Y = 0.5，試根據(jù)契比謝夫不等式估計P|X + Y | ³ 3的上界。解：由題知 =0Cov= -1.5所以3. 據(jù)以往經(jīng)驗，某種電器元件的壽命服從均值為100小時的指數(shù)分布現(xiàn)隨機地取16只，設它們的壽命是相互獨立的求這16只元件的壽命的總和大于1920小時的概率解：設i個元件壽命為Xi小時，i = 1 ,2 , . , 16 ，則X1 ，X2 ，. ，X16獨立同分布，且 E(Xi ) =100，D(Xi ) =10000，i = 1 ,2 , . , 16 ，由獨立同分布的中心極限定理可知：近似服從N ( 1600 , 1.610000)，所以=1- 0.7881= 0.21

47、194. 某商店負責供應某地區(qū)1000人商品，某種商品在一段時間內(nèi)每人需要用一件的概率為0.6，假定在這一時間段各人購買與否彼此無關，問商店應預備多少件這種商品，才能以99.7%的概率保證不會脫銷（假定該商品在某一時間段內(nèi)每人最多可以買一件）解：設商店應預備n件這種商品，這一時間段內(nèi)同時間購買此商品的人數(shù)為X ，則X B（1000，0.6），則E(X) = 600，D (X ) = 240，根據(jù)題意應確定最小的n，使PX n = 99.7%成立.則PX n 所以，取n=643。即商店應預備643件這種商品，才能以99.7%的概率保證不會脫銷。5. 某種難度很大的手術成功率為0.9，先對100個

48、病人進行這種手術，用X記手術成功的人數(shù)，求P84 < X < 95解：依題意, X B（100，0.9），則E(X) = 90，D (X ) = 9， 6. 在一零售商店中，其結帳柜臺替顧客服務的時間（以分鐘計）是相互獨立的隨機變量，均值為1.5，方差為1求對100位顧客的總服務時間不多于2小時的概率解：設柜臺替第i位顧客服務的時間為X i ，i = 1,2,3.100.則X i ，i = 1,2,3.100獨立同分布，且E（X i）=1.5，D(X i )=1，所以 即對100位顧客的服務時間不多于兩個小時的概率為0.0013.7. 已知筆記本電腦中某種配件的合格率僅為80%，某大型電腦廠商月生產(chǎn)筆記本電腦10000臺，為了以99.7%的把握保證出廠的電腦均能裝上合格的配件，問：此生產(chǎn)廠商每月至少應購買該種配件多少件？解：設此生產(chǎn)廠商每