隨機(jī)變量的聯(lián)合分布

1、編輯編輯ppt1 到現(xiàn)在為止，我們只討論了一維到現(xiàn)在為止，我們只討論了一維r.vr.v及其分布及其分布. . 但有些但有些隨機(jī)現(xiàn)象用一個(gè)隨機(jī)變量來描述還不夠，而需要用幾個(gè)隨機(jī)隨機(jī)現(xiàn)象用一個(gè)隨機(jī)變量來描述還不夠，而需要用幾個(gè)隨機(jī)變量來描述變量來描述. . 在打靶時(shí)在打靶時(shí), ,命中點(diǎn)的位置是由一命中點(diǎn)的位置是由一對(duì)對(duì)r .v r .v ( (兩個(gè)坐標(biāo)兩個(gè)坐標(biāo)) )來確定的來確定的. . 飛機(jī)的重心在空中的位置是由三飛機(jī)的重心在空中的位置是由三個(gè)個(gè)r .v (r .v (三個(gè)坐標(biāo)三個(gè)坐標(biāo)) )來確定的等等來確定的等等. .第三章第三章 多維隨機(jī)變量及其分布多維隨機(jī)變量及其分布編輯編輯ppt2一、二

2、維隨機(jī)變量及其分布函數(shù)一、二維隨機(jī)變量及其分布函數(shù) 二、二維離散型隨機(jī)變量二、二維離散型隨機(jī)變量 三、二維連續(xù)型隨機(jī)變量三、二維連續(xù)型隨機(jī)變量 四、兩個(gè)常用的分布四、兩個(gè)常用的分布 五、小結(jié)五、小結(jié)3.1 隨機(jī)變量的聯(lián)合分布編輯編輯ppt3一一 二維隨機(jī)變量二維隨機(jī)變量有些隨機(jī)現(xiàn)象需要用兩個(gè)隨機(jī)變量才能描述，有些隨機(jī)現(xiàn)象需要用兩個(gè)隨機(jī)變量才能描述，如：向一球門射球，觀察射入點(diǎn)的位置。如：向一球門射球，觀察射入點(diǎn)的位置。令令 X 表示射中點(diǎn)的橫坐標(biāo)，表示射中點(diǎn)的橫坐標(biāo)，則樣本空間可用隨機(jī)變量則樣本空間可用隨機(jī)變量 X 與與 Y 聯(lián)合表示為：聯(lián)合表示為： ,X YX YD 稱（稱（X，Y）為）為二

3、維隨機(jī)變量。二維隨機(jī)變量。設(shè)球門占平面區(qū)域設(shè)球門占平面區(qū)域 D ，Y 表示射中點(diǎn)的縱坐標(biāo)。表示射中點(diǎn)的縱坐標(biāo)。編輯編輯ppt4圖示圖示( )Y()X, ,( )( ),(, ),.EXXYYX Y 設(shè)是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn) 它的樣本空間是設(shè)和是定義在上的隨機(jī)變量由它們構(gòu)成的一個(gè)向量叫作二維隨機(jī)向量或二維隨機(jī)變量一、二維隨機(jī)變量及其分布函數(shù) 1.定義定義編輯編輯ppt5實(shí)例實(shí)例1 炮彈的彈著點(diǎn)的炮彈的彈著點(diǎn)的位置位置 ( X, Y ) 就是一個(gè)二維就是一個(gè)二維隨機(jī)變量隨機(jī)變量. 二維隨機(jī)變量二維隨機(jī)變量 ( X, Y ) 的性質(zhì)不僅與的性質(zhì)不僅與 X 、Y 有關(guān)有關(guān),而且還依賴于這兩個(gè)隨機(jī)變量的相互關(guān)系

4、而且還依賴于這兩個(gè)隨機(jī)變量的相互關(guān)系.實(shí)例實(shí)例2 考查某一地考查某一地 區(qū)學(xué)前區(qū)學(xué)前兒童的發(fā)育情況兒童的發(fā)育情況 , 則兒童的則兒童的身高身高 H 和體重和體重 W 就構(gòu)成二就構(gòu)成二維隨機(jī)變量維隨機(jī)變量 ( H, W ).說明說明 編輯編輯ppt62.二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)二維隨機(jī)變量的分布函數(shù) (1)分布函數(shù)的定義分布函數(shù)的定義 (P48-定義定義1).,),(,)()(),( :,),( 的的聯(lián)聯(lián)合合分分布布函函數(shù)數(shù)和和機(jī)機(jī)變變量量或或稱稱為為隨隨的的分分布布函函數(shù)數(shù)稱稱為為二二維維隨隨機(jī)機(jī)變變量量二二元元函函數(shù)數(shù)對(duì)對(duì)于于任任意意實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)是是二二維維隨隨機(jī)機(jī)變變量量設(shè)設(shè)YXYXyYxXPy

5、YxXPyxFyxYX Joint Probability Distribution Function編輯編輯ppt7xoy),(yx yYxX ,. ),(域內(nèi)的概率域內(nèi)的概率在如圖所示區(qū)在如圖所示區(qū)的函數(shù)值就是隨機(jī)點(diǎn)落的函數(shù)值就是隨機(jī)點(diǎn)落yxF編輯編輯ppt8(2) 分布函數(shù)的性質(zhì)分布函數(shù)的性質(zhì)o21212( , ),(, )(, ),F x yxyyxxF xyF x y是變量和的不減函數(shù) 即對(duì)于任意固定的當(dāng)時(shí)).,(),(,1212yxFyxFyyx 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)對(duì)對(duì)于于任任意意固固定定的的o1 0( , )1,F x y , y3 對(duì)于任意固定的, 0),(lim),( yxFyFx,x

6、對(duì)對(duì)于于任任意意固固定定的的, 0),(lim),( yxFxFy編輯編輯ppt9. 1),(lim),( yxFFyxo4( , )(0, ),( , )( ,0),( , ),.F x yF xy F x yF x yF x yxy即關(guān)于右連續(xù) 關(guān)于也右連續(xù), 0),(lim),( yxFFyxxoy),(yx yYxX ,編輯編輯ppt10o12125,xxyy對(duì)于任意有1212,P xXxyYy22122111 = (,)( ,)(,)( ,)0F xyF x yF xyF x y12,x y11,x y21,xy22,xyxy編輯編輯ppt11 若二維隨機(jī)變量若二維隨機(jī)變量 ( X,

7、 Y ) 所取的可能值是有所取的可能值是有限限對(duì)對(duì)或無限可列多或無限可列多對(duì)對(duì),則稱則稱 ( X, Y ) 為二維離散型為二維離散型隨機(jī)變量隨機(jī)變量.二、二維離散型隨機(jī)變量 及其聯(lián)合分布律 定義定義 (P62) 例如例如 二維隨機(jī)變量二維隨機(jī)變量( X, Y ) 表示擲兩顆骰子出現(xiàn)表示擲兩顆骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)的點(diǎn)數(shù), 則則( X, Y )的所有可能取值為的所有可能取值為36對(duì)對(duì). 編輯編輯ppt122. 二維離散型隨機(jī)變量的分布律二維離散型隨機(jī)變量的分布律 (P62-定義定義2) 1110,21.ijijijpp其中, . , ),( , 2, 1, 2, 1,),(),(的聯(lián)合分布律的聯(lián)合分布律

8、和和或隨機(jī)變量或隨機(jī)變量的分布律的分布律變量變量稱此為二維離散型隨機(jī)稱此為二維離散型隨機(jī)記記值為值為所有可能取的所有可能取的設(shè)二維離散型隨機(jī)變量設(shè)二維離散型隨機(jī)變量YXYXjipyYxXPjiyxYXijjiji 11122122121nnpppppp即編輯編輯ppt13二維隨機(jī)變量二維隨機(jī)變量 ( X,Y ) 的分布律也可表示為的分布律也可表示為YX12 jyyy12ixxx1 11 21 jppp2 12 22 jppp12 iiijppp編輯編輯ppt14.),(. 1 , 4 , 3 , 2 , 1 的的分分布布律律試試求求整整數(shù)數(shù)值值中中等等可可能能地地取取一一在在另另一一個(gè)個(gè)隨隨機(jī)

9、機(jī)變變量量取取值值四四個(gè)個(gè)整整數(shù)數(shù)中中等等可可能能地地在在設(shè)設(shè)隨隨機(jī)機(jī)變變量量YXXYX解解:,的的取取值值情情況況是是jYiX , 4 , 3 , 2 , 1 i.的正整數(shù)的正整數(shù)取不大于取不大于ij且由乘法公式得且由乘法公式得,jYiXP iXPiXjYP ,411 i, 4 , 3 , 2 , 1 i. ij 的的分分布布律律為為于于是是),(YX例例1編輯編輯ppt15YX12341234410001881001121121210116116116161,jYiXP iXPiXjYP ,411 i, 4 , 3 , 2 , 1 i. ij 編輯編輯ppt16三三 二維連續(xù)型隨機(jī)變量二維

10、連續(xù)型隨機(jī)變量1.定義定義若存在一非負(fù)函數(shù)若存在一非負(fù)函數(shù) ，使隨機(jī)變量，使隨機(jī)變量,f x y,X Y,yxf x y dxdy 則稱則稱 為為二維連續(xù)二維連續(xù)型隨機(jī)變量，型隨機(jī)變量，,X Y,X Y,f x y稱為稱為 的的（聯(lián)合）概率密度（聯(lián)合）概率密度或或（聯(lián)合）（聯(lián)合）分布密度。分布密度。,F x yP Xx Yy的聯(lián)合分布函數(shù)的聯(lián)合分布函數(shù)設(shè)設(shè) 為為二維二維隨機(jī)變量，隨機(jī)變量，,X Y編輯編輯ppt17 二維連續(xù)型隨機(jī)變量二維連續(xù)型隨機(jī)變量二維連續(xù)型隨機(jī)變量二維連續(xù)型隨機(jī)變量的的概率密度的性質(zhì)概率密度的性質(zhì) 3,DPX YDf x y dxdy 2,1fx y dxdyF 4,f

11、x yx y若若 在點(diǎn)在點(diǎn) 連續(xù)，則有連續(xù)，則有2,F x yf x yx y 1,0fx y編輯編輯ppt18 二維連續(xù)型隨機(jī)變量二維連續(xù)型隨機(jī)變量常見的二維連續(xù)型隨機(jī)變量常見的二維連續(xù)型隨機(jī)變量的分布的分布（1 1）均勻分布）均勻分布若某一質(zhì)點(diǎn)等可能地落在平面區(qū)域若某一質(zhì)點(diǎn)等可能地落在平面區(qū)域 D D 上，（上，（X X，Y Y）表示）表示質(zhì)點(diǎn)落入點(diǎn)的坐標(biāo)，則（質(zhì)點(diǎn)落入點(diǎn)的坐標(biāo)，則（X X，Y Y）的分布密度為：）的分布密度為：1,0,x yDA Df x yx yDA DD其中其中 表示表示 的面積。的面積。這時(shí)稱（這時(shí)稱（X X，Y Y）在）在 D D 上服從二維均勻分布。上服從二維均

12、勻分布。均勻分布對(duì)應(yīng)的是幾何概型。均勻分布對(duì)應(yīng)的是幾何概型。編輯編輯ppt19 二維連續(xù)型隨機(jī)變量二維連續(xù)型隨機(jī)變量常見的二維連續(xù)型隨機(jī)變量常見的二維連續(xù)型隨機(jī)變量的分布的分布（2 2）正態(tài)分布）正態(tài)分布若（若（X X，Y Y）的分布密度為：）的分布密度為： 2211222221212122 12121,21xxyyfx ye 則稱（則稱（X X，Y Y）服從參數(shù)為）服從參數(shù)為 的二維正態(tài)分布。的二維正態(tài)分布。1212, 其中其中 均為參數(shù)，且均為參數(shù)，且1212, 120,0, 11 ,xy 編輯編輯ppt20例例2 2 設(shè)隨機(jī)變量（設(shè)隨機(jī)變量（X X，Y Y）的概率密度為：）的概率密度為：

13、6,02, 24,0,Axyxyf x y其它地方其它地方其中其中 3,3PX YDDx y xy求：求： 21,3 ;P XY 1;A224422061022xAxyxdyAy dy解：解： 42201,6f x y dxdyAxy dx dy 4221081AyyA18A 編輯編輯ppt21例例2 2 設(shè)隨機(jī)變量（設(shè)隨機(jī)變量（X X，Y Y）的概率密度為：）的概率密度為：6,02, 24,0,Axyxyf x y其它地方其它地方其中其中 3,3PX YDDx y xy求：求： 21,3 ;P XY 1;A解：解： 1321,3,XYP XYfx y dxdy1231320201166882

14、xxy dx dyxyxdy 323221111 113828228yyy dy1,3編輯編輯ppt22例例2 2 設(shè)隨機(jī)變量（設(shè)隨機(jī)變量（X X，Y Y）的概率密度為：）的概率密度為：6,02, 24,0,Axyxyf x y其它地方其它地方其中其中 3,3PX YDDx y xy求：求： 21,3 ;P XY 1;A解：解： 3,DPX YDf x y dxdy3320168yxy dx dy 232316 3382yyyydy323201682yxxyxdy524編輯編輯ppt23.)2();,()1(., 0, 0, 0,e2),(),()2(XYPyxFyxyxfYXyx 求概率求概率求分布函數(shù)求分布函數(shù)其它其它具有概率密度具有概率密度設(shè)二維隨機(jī)變量設(shè)二維隨機(jī)變量例例3 3編輯編輯ppt24解解 yxyxyxfyxFdd),(),()1( .,0, 0, 0,dde200)2(其他其他yxyxyxyx., 0. 0, 0),e1)(e1 (),(2其他得yxyxFyx編輯編輯ppt25,),(GYXXY ),(GYXPXYP (2) (2) 將將 ( ( X X, ,Y Y ) )看作是平面上隨機(jī)點(diǎn)的坐標(biāo)看作是平面上隨機(jī)點(diǎn)的坐標(biāo),