特征值與特征向量計算(第六章)

1、編輯ppt1北京科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院北京科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院 衛(wèi)宏儒衛(wèi)宏儒科學(xué)與工程計算科學(xué)與工程計算編輯ppt2矩陣特征值矩陣特征值與特征向量的計算主要內(nèi)容與特征向量的計算主要內(nèi)容一、冪法一、冪法二、反冪法二、反冪法三、冪法、反冪法小結(jié)三、冪法、反冪法小結(jié)四、四、QRQR算法算法五、五、JacobiJacobi方法方法編輯ppt3問題的提出：問題的提出： 工程技術(shù)的許多實際問題，例如振動問題，穩(wěn)定問題的求工程技術(shù)的許多實際問題，例如振動問題，穩(wěn)定問題的求解，有時會歸結(jié)成求矩陣的特征值解，有時會歸結(jié)成求矩陣的特征值和對應(yīng)的特征向量和對應(yīng)的特征向量。學(xué)。學(xué)過線性代數(shù)后，我們已知求矩陣過線性代數(shù)后，我們已

2、知求矩陣A A的特征值的特征值和特征向量和特征向量的的解法，即先求出解法，即先求出A A的特征多項式：的特征多項式： nnnnnnaaaaaaaaaIAxf212222111211det 令令0 0。 通過求解上述高次多項式方程，所得根通過求解上述高次多項式方程，所得根即為矩陣即為矩陣A A的特征值，然后求解方程組的特征值，然后求解方程組0 0，就可得，就可得出特征值出特征值對應(yīng)的特征向量對應(yīng)的特征向量X X。編輯ppt4 但眾所周知，高次多項式求根是相當(dāng)困難的，而且重根但眾所周知，高次多項式求根是相當(dāng)困難的，而且重根的計算精度較低。同時，矩陣的計算精度較低。同時，矩陣A A求特征多項式系數(shù)的

3、過程對舍求特征多項式系數(shù)的過程對舍入誤差十分敏感，這對最后計算結(jié)果影響很大。因此，從數(shù)入誤差十分敏感，這對最后計算結(jié)果影響很大。因此，從數(shù)值計算角度來看，上述方法缺乏實用價值。值計算角度來看，上述方法缺乏實用價值。 目前，求矩陣特征值問題實際采用的是迭代法和變換法。目前，求矩陣特征值問題實際采用的是迭代法和變換法。這里將介紹通過求矩陣特征向量求出特征值的一種迭代法這里將介紹通過求矩陣特征向量求出特征值的一種迭代法- -冪法，而后再介紹一些反冪法的內(nèi)容。冪法，而后再介紹一些反冪法的內(nèi)容。一、冪法 定理：設(shè)矩陣定理：設(shè)矩陣A的特征值為的特征值為并設(shè)并設(shè)A有完全的特征向量系有完全的特征向量系 (它們

4、線性無關(guān)它們線性無關(guān))，則對任意一個非零向量則對任意一個非零向量V0 Rn 所構(gòu)造的向量序列所構(gòu)造的向量序列有有其中表示向量的第其中表示向量的第j個分量個分量.11)()(limjkjkkVVn21n,211kkAVVP129P129：定理：定理6-26-2；歸一化冪；歸一化冪法是定理法是定理6-36-3。編輯ppt5證明：證明： 僅就為實數(shù)的情況來證明僅就為實數(shù)的情況來證明.假定假定 于是于是,由矩陣特征值定義知由矩陣特征值定義知 ,得得)0(122110nnViiinnAAAAVV221101nnn222111nnnVAAVV2222212110212nknnkkkkkVAAVV22211

5、101.)(12111ikiniik編輯ppt6同理可得：同理可得：)(11211111ikiniikkV假定假定 ,因為因為 ,故得故得0)(1j),3,2(11nii111211211111)()()()(lim)()(limjikiniijjinikiijkjkjkkVV 從上述證明過程可得出計算矩陣從上述證明過程可得出計算矩陣A的按模最大特征值的方的按模最大特征值的方法法,具體步驟如下：具體步驟如下：(1)任取一非零向量任取一非零向量V0 Rn,一般可取一般可取V0=(1,1,.,1)T (2)計算計算Vk=AVk-1(3)當(dāng)當(dāng)k足夠大時足夠大時,即可得到：即可得到：jkjkVV)()

6、(11編輯ppt7 若按上述計算過程，有一嚴(yán)重缺點，當(dāng)若按上述計算過程，有一嚴(yán)重缺點，當(dāng)| 1|1 （或（或| 1 |1時）時）Vk中不為零的分量將隨中不為零的分量將隨K的增大而無限增大，計的增大而無限增大，計算機就可能出現(xiàn)上溢（或隨算機就可能出現(xiàn)上溢（或隨K的增大而很快出現(xiàn)下溢），的增大而很快出現(xiàn)下溢），因此，在實際計算時，須按規(guī)范法計算，每步先對向量因此，在實際計算時，須按規(guī)范法計算，每步先對向量Vk進行進行“規(guī)范化規(guī)范化”,即取即取Vk中絕對值最大的一個分量記作中絕對值最大的一個分量記作mk =max(Vk )，用，用mk遍除的所有向量遍除的所有向量Vk ，得到規(guī)范化向量。，得到規(guī)范化向

7、量。 為說明上述算法的正確性，我們證明下述定理為說明上述算法的正確性，我們證明下述定理定理二：在定理一的條件下定理二：在定理一的條件下,規(guī)范化向量序列規(guī)范化向量序列uk收斂于收斂于矩陣矩陣A按模最大的特征值按模最大的特征值 1對應(yīng)的特征向量對應(yīng)的特征向量,而向量序列而向量序列Vk的絕對值最大的分量的絕對值最大的分量mk收斂于收斂于 1,即即)max(lim11kku1limkkm編輯ppt8證證:)max()max(,00111001AVAVVVuAVAuV)max(0101VAVAAuVkkkk)max(00VAVAmVukkkkk)(max)(1211112111ikiniikiiniik

8、)(max)(12111211ikiniiikinii編輯ppt9)max(lim11kku)(max)(max)max(11211112111ikiniikiiniikkkVm)(max)(max1121112111ikiniiiinii1limkkm編輯ppt10例：例： 用冪法求矩陣用冪法求矩陣90688465441356133A按模最大特征值按模最大特征值 1和對應(yīng)的特征向量和對應(yīng)的特征向量x1解解:取初始向量取初始向量V0= u0=(1,1,1)T ，計算出，計算出Vk,uk和和mk,迭代迭代7次的結(jié)果列于下表次的結(jié)果列于下表kkVku012345671 1 1274 95 -184

9、44.43277 14.84322 -29.6426244.92333 14.97623 -29.9504844.99572 14.99865 -29.9972244.99959 14.99988 -29.9997444.99953 14.99983 -29.9996844.99953 14.99983 -29.999681 1 11 0.34672 -0.671531 0.33413 -0.667271 0.33337 -0.666701 0.33334 -0.666671 0.33333 -0.666671 0.33333 -0.666671 0.33333 -0.66667編輯ppt11

10、99953.44,99953.44,99959.4499572.44,92333.44,42377.44765432mmmmmm 由上可見經(jīng)過由上可見經(jīng)過7次迭代次迭代, m7的值已穩(wěn)定到小數(shù)后的值已穩(wěn)定到小數(shù)后5位，位，故所求的按模最大特征值和對應(yīng)的特征向量可取作：故所求的按模最大特征值和對應(yīng)的特征向量可取作：Tx)6667. 0,333. 0 , 1(,9995.44111 1、歸一化例題、歸一化例題6-26-22 2、冪法的加速：原點平移法；、冪法的加速：原點平移法；AitkenAitken加速法；加速法；RayleighRayleigh商加速法商加速法注：注：編輯ppt12編輯ppt1

11、3編輯ppt14編輯ppt15編輯ppt16二、反冪法：二、反冪法： 基本思路：設(shè)基本思路：設(shè)A沒有零特征值，則沒有零特征值，則A非奇異，即非奇異，即A的逆矩的逆矩陣存在，設(shè)的特征值為陣存在，設(shè)的特征值為其對應(yīng)的特征向量為其對應(yīng)的特征向量為因為因為 A xk = k xk 所以所以 A-1 xk = k-1 xk 故故k-1就是矩陣就是矩陣A-1的特征值，它們滿足的特征值，它們滿足021n123,nx xxx11111nn 對應(yīng)的特征向量仍為對應(yīng)的特征向量仍為x xk k 。因此，求矩陣。因此，求矩陣A A的按模最小特征的按模最小特征值，就相當(dāng)于求其逆陣值，就相當(dāng)于求其逆陣A A-1-1的按模

12、最大特征值的按模最大特征值 n n-1-1 ，這只需應(yīng)用，這只需應(yīng)用冪法即可求得。冪法即可求得。編輯ppt17注意點：注意點： 由于求逆非常費時。故在用迭代向量由于求逆非常費時。故在用迭代向量由由u uk-1k-1求求V Vk k時，可采用解方程組時，可采用解方程組的辦法。由于每次解方程組的系數(shù)矩陣都相同，故的辦法。由于每次解方程組的系數(shù)矩陣都相同，故計算并不復(fù)雜。如果預(yù)先將作三角分解，這樣使每計算并不復(fù)雜。如果預(yù)先將作三角分解，這樣使每次迭代僅僅求解兩個三角方程組就更省時了。特別次迭代僅僅求解兩個三角方程組就更省時了。特別當(dāng)當(dāng)n n較大時，將大大地節(jié)省計算量。較大時，將大大地節(jié)省計算量。三、

13、冪法小結(jié)：三、冪法小結(jié)： 冪法適用范圍為求矩陣的按模最大特征值及相冪法適用范圍為求矩陣的按模最大特征值及相應(yīng)的特征向量，其優(yōu)點是算法簡單，容易編寫程序應(yīng)的特征向量，其優(yōu)點是算法簡單，容易編寫程序在計算機上實現(xiàn)，缺點是收斂速度慢，其有效性依在計算機上實現(xiàn)，缺點是收斂速度慢，其有效性依賴于矩陣特征值的分布情況。反冪法的適用范圍是賴于矩陣特征值的分布情況。反冪法的適用范圍是求矩陣的按模最小特征值及對應(yīng)的特征向量。求矩陣的按模最小特征值及對應(yīng)的特征向量。11kkuAV1kkuAV編輯ppt18四、算法四、算法 編輯ppt19編輯ppt201、Householder矩陣矩陣 P136P136定義定義6-

14、16-1，定理，定理6-46-4編輯ppt21編輯ppt22編輯ppt23P137P137定理定理6-56-5編輯ppt24編輯ppt25編輯ppt26、矩陣的分解、矩陣的分解編輯ppt27編輯ppt28編輯ppt29110210033 17171221142232 21 03317173 171721 2412120317171717 12Q=HH可驗證可驗證:QR = A. 編輯ppt30編輯ppt31定理定理6.76.7編輯ppt32、求矩陣全部特征值的算法、求矩陣全部特征值的算法編輯ppt33編輯ppt34編輯ppt35編輯ppt36編輯ppt37編輯ppt38編輯ppt39五、五、JacobiJacobi方法方法編輯ppt40、預(yù)備知識、預(yù)備知識編輯ppt411cossin1,1sincos11P i j稱稱為為旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)矩矩陣陣 編輯ppt42編輯ppt432 2、JacobiJa