高中數(shù)學(xué)解題思想方法總結(jié)

1、第一章 高中數(shù)學(xué)解題基本方法一、 配方法配方法是對(duì)數(shù)學(xué)式子進(jìn)行一種定向變形（配成“完全平方”）的技巧，通過(guò)配方找到已知和未知的聯(lián)系，從而化繁為簡(jiǎn)。何時(shí)配方，需要我們適當(dāng)預(yù)測(cè)，并且合理運(yùn)用“裂項(xiàng)”與“添項(xiàng)”、“配”與“湊”的技巧，從而完成配方。有時(shí)也將其稱為“湊配法”。最常見(jiàn)的配方是進(jìn)行恒等變形，使數(shù)學(xué)式子出現(xiàn)完全平方。它主要適用于：已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函數(shù)、二次代數(shù)式的討論與求解，或者缺xy項(xiàng)的二次曲線的平移變換等問(wèn)題。配方法使用的最基本的配方依據(jù)是二項(xiàng)完全平方公式(ab)a2abb，將這個(gè)公式靈活運(yùn)用，可得到各種基本配方形式，如：ab(ab)2ab(ab)2ab；aa

2、bb(ab)ab(ab)3ab(a)（b）；abcabbcca(ab)(bc)(ca)abc(abc)2(abbcca)(abc)2(abbcca)結(jié)合其它數(shù)學(xué)知識(shí)和性質(zhì)，相應(yīng)有另外的一些配方形式，如：1sin212sincos（sincos）；x(x)2(x)2 ； 等等。、再現(xiàn)性題組：1. 在正項(xiàng)等比數(shù)列a中，asa+2asa+aa=25，則 aa_。2. 方程xy4kx2y5k0表示圓的充要條件是_。 A. <k<1 B. k<或k>1 C. kR D. k或k13. 已知sincos1，則sincos的值為_(kāi)。 A. 1 B. 1 C. 1或1 D. 04. 函

3、數(shù)ylog (2x5x3)的單調(diào)遞增區(qū)間是_。 A. （, B. ,+) C. (, D. ,3)5. 已知方程x+(a-2)x+a-1=0的兩根x、x，則點(diǎn)P(x,x)在圓x+y=4上，則實(shí)數(shù)a_?！竞?jiǎn)解】 1小題：利用等比數(shù)列性質(zhì)aaa，將已知等式左邊后配方（aa）易求。答案是：5。 2小題：配方成圓的標(biāo)準(zhǔn)方程形式(xa)(yb)r，解r>0即可，選B。 3小題：已知等式經(jīng)配方成(sincos)2sincos1，求出sincos，然后求出所求式的平方值，再開(kāi)方求解。選C。4小題：配方后得到對(duì)稱軸，結(jié)合定義域和對(duì)數(shù)函數(shù)及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求解。選D。5小題：答案3。、示范性題組：例1.

4、已知長(zhǎng)方體的全面積為11，其12條棱的長(zhǎng)度之和為24，則這個(gè)長(zhǎng)方體的一條對(duì)角線長(zhǎng)為_(kāi)。 A. 2 B. C. 5 D. 6【分析】 先轉(zhuǎn)換為數(shù)學(xué)表達(dá)式：設(shè)長(zhǎng)方體長(zhǎng)寬高分別為x,y,z，則 ,而欲求對(duì)角線長(zhǎng)，將其配湊成兩已知式的組合形式可得。【解】設(shè)長(zhǎng)方體長(zhǎng)寬高分別為x,y,z，由已知“長(zhǎng)方體的全面積為11，其12條棱的長(zhǎng)度之和為24”而得：。長(zhǎng)方體所求對(duì)角線長(zhǎng)為：5所以選B?！咀ⅰ勘绢}解答關(guān)鍵是在于將兩個(gè)已知和一個(gè)未知轉(zhuǎn)換為三個(gè)數(shù)學(xué)表示式，觀察和分析三個(gè)數(shù)學(xué)式，容易發(fā)現(xiàn)使用配方法將三個(gè)數(shù)學(xué)式進(jìn)行聯(lián)系，即聯(lián)系了已知和未知，從而求解。這也是我們使用配方法的一種解題模式。例2. 設(shè)方程xkx2=0的

5、兩實(shí)根為p、q，若()+()7成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍?！窘狻糠匠蘹kx2=0的兩實(shí)根為p、q，由韋達(dá)定理得：pqk，pq2 ,()+()7， 解得k或k 。又 p、q為方程xkx2=0的兩實(shí)根， k80即k2或k2綜合起來(lái)，k的取值范圍是：k 或者 k。【注】 關(guān)于實(shí)系數(shù)一元二次方程問(wèn)題，總是先考慮根的判別式“”；已知方程有兩根時(shí)，可以恰當(dāng)運(yùn)用韋達(dá)定理。本題由韋達(dá)定理得到pq、pq后，觀察已知不等式，從其結(jié)構(gòu)特征聯(lián)想到先通分后配方，表示成pq與pq的組合式。假如本題不對(duì)“”討論，結(jié)果將出錯(cuò)，即使有些題目可能結(jié)果相同，去掉對(duì)“”的討論，但解答是不嚴(yán)密、不完整的，這一點(diǎn)我們要尤為注意和重視。例3

6、. 設(shè)非零復(fù)數(shù)a、b滿足aabb=0，求()() 。【分析】 對(duì)已知式可以聯(lián)想：變形為()()10，則 （為1的立方虛根）；或配方為(ab)ab 。則代入所求式即得。【解】由aabb=0變形得：()()10 ，設(shè)，則10，可知為1的立方虛根，所以：，1。又由aabb=0變形得：(ab)ab ，所以 ()()()()()()2 ?！咀ⅰ?本題通過(guò)配方，簡(jiǎn)化了所求的表達(dá)式；巧用1的立方虛根，活用的性質(zhì)，計(jì)算表達(dá)式中的高次冪。一系列的變換過(guò)程，有較大的靈活性，要求我們善于聯(lián)想和展開(kāi)。【另解】由aabb0變形得：()()10 ，解出后，化成三角形式，代入所求表達(dá)式的變形式()()后，完成后面的運(yùn)算。此

7、方法用于只是未聯(lián)想到時(shí)進(jìn)行解題。假如本題沒(méi)有想到以上一系列變換過(guò)程時(shí)，還可由aabb0解出：ab，直接代入所求表達(dá)式，進(jìn)行分式化簡(jiǎn)后，化成復(fù)數(shù)的三角形式，利用棣莫佛定理完成最后的計(jì)算。、鞏固性題組：1. 函數(shù)y(xa)(xb) （a、b為常數(shù)）的最小值為_(kāi)。A. 8 B. C. D.最小值不存在2. 、是方程x2axa60的兩實(shí)根，則(-1) +(-1)的最小值是_。A. B. 8 C. 18 D.不存在3. 已知x、yR，且滿足x3y10，則函數(shù)t28有_。A.最大值2 B.最大值 C.最小值2 B.最小值4. 橢圓x2ax3ya60的一個(gè)焦點(diǎn)在直線xy40上，則a_。A. 2 B. 6 C

8、. 2或6 D. 2或65. 化簡(jiǎn)：2的結(jié)果是_。A. 2sin4 B. 2sin44cos4 C. 2sin4 D. 4cos42sin4 6. 設(shè)F和F為雙曲線y1的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線上且滿足FPF90°，則FPF的面積是_。7. 若x>1，則f(x)x2x的最小值為_(kāi)。8. 已知<，cos(-)，sin(+)，求sin2的值。(92年高考題)9. 設(shè)二次函數(shù)f(x)AxBxC，給定m、n（m<n）,且滿足A(m+n)+ mn2AB(m+n)CmnBC0 。 解不等式f(x)>0； 是否存在一個(gè)實(shí)數(shù)t，使當(dāng)t(m+t,n-t)時(shí)，f(x)<0 ？

9、若不存在，說(shuō)出理由；若存在，指出t的取值范圍。10. 設(shè)s>1，t>1，mR，xlogtlogs，ylogtlogsm(logtlogs), 將y表示為x的函數(shù)yf(x)，并求出f(x)的定義域； 若關(guān)于x的方程f(x)0有且僅有一個(gè)實(shí)根，求m的取值范圍。二、換元法解數(shù)學(xué)題時(shí)，把某個(gè)式子看成一個(gè)整體，用一個(gè)變量去代替它，從而使問(wèn)題得到簡(jiǎn)化，這叫換元法。換元的實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元，理論依據(jù)是等量代換，目的是變換研究對(duì)象，將問(wèn)題移至新對(duì)象的知識(shí)背景中去研究，從而使非標(biāo)準(zhǔn)型問(wèn)題標(biāo)準(zhǔn)化、復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，變得容易處理。換元法又稱輔助元素法、變量代換法。通過(guò)引進(jìn)新的變量，可以把分散的

10、條件聯(lián)系起來(lái)，隱含的條件顯露出來(lái)，或者把條件與結(jié)論聯(lián)系起來(lái)?；蛘咦?yōu)槭煜さ男问?，把?fù)雜的計(jì)算和推證簡(jiǎn)化。它可以化高次為低次、化分式為整式、化無(wú)理式為有理式、化超越式為代數(shù)式，在研究方程、不等式、函數(shù)、數(shù)列、三角等問(wèn)題中有廣泛的應(yīng)用。換元的方法有：局部換元、三角換元、均值換元等。局部換元又稱整體換元，是在已知或者未知中，某個(gè)代數(shù)式幾次出現(xiàn)，而用一個(gè)字母來(lái)代替它從而簡(jiǎn)化問(wèn)題，當(dāng)然有時(shí)候要通過(guò)變形才能發(fā)現(xiàn)。例如解不等式：4220，先變形為設(shè)2t（t>0），而變?yōu)槭煜さ囊辉尾坏仁角蠼夂椭笖?shù)方程的問(wèn)題。三角換元，應(yīng)用于去根號(hào)，或者變換為三角形式易求時(shí)，主要利用已知代數(shù)式中與三角知識(shí)中有某點(diǎn)聯(lián)系

11、進(jìn)行換元。如求函數(shù)y的值域時(shí)，易發(fā)現(xiàn)x0,1，設(shè)xsin ，0,，問(wèn)題變成了熟悉的求三角函數(shù)值域。為什么會(huì)想到如此設(shè)，其中主要應(yīng)該是發(fā)現(xiàn)值域的聯(lián)系，又有去根號(hào)的需要。如變量x、y適合條件xyr（r>0）時(shí)，則可作三角代換xrcos、yrsin化為三角問(wèn)題。均值換元，如遇到xyS形式時(shí)，設(shè)xt，yt等等。我們使用換元法時(shí)，要遵循有利于運(yùn)算、有利于標(biāo)準(zhǔn)化的原則，換元后要注重新變量范圍的選取，一定要使新變量范圍對(duì)應(yīng)于原變量的取值范圍，不能縮小也不能擴(kuò)大。如上幾例中的t>0和0,。、再現(xiàn)性題組：1.ysinx·cosxsinx+cosx的最大值是_。2.設(shè)f(x1)log(4x)

12、 （a>1），則f(x)的值域是_。3.已知數(shù)列a中，a1，a·aaa，則數(shù)列通項(xiàng)a_。4.設(shè)實(shí)數(shù)x、y滿足x2xy10，則xy的取值范圍是_。5.方程3的解是_。6.不等式log(21) ·log(22)2的解集是_?！竞?jiǎn)解】1小題：設(shè)sinx+cosxt,，則yt，對(duì)稱軸t1，當(dāng)t，y；2小題：設(shè)x1t (t1)，則f(t)log-(t-1)4，所以值域?yàn)?,log4；3小題：已知變形為1,設(shè)b，則b1,b1(n1)(-1)n，所以a；4小題：設(shè)xyk，則x2kx10, 4k40,所以k1或k1；5小題：設(shè)3y，則3y2y10,解得y，所以x1；6小題：設(shè)log(

13、21)y，則y(y1)<2，解得2<y<1，所以x(log,log3)。、示范性題組：例1. 實(shí)數(shù)x、y滿足4x5xy4y5 （ 式） ，設(shè)Sxy，求的值。（93年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題）【分析】 由Sxy聯(lián)想到cossin1,于是進(jìn)行三角換元，設(shè)代入式求S和S的值?！窘狻吭O(shè)代入式得： 4S5S·sincos5 解得 S ； -1sin21 385sin213 此種解法后面求S最大值和最小值，還可由sin2的有界性而求，即解不等式：|1。這種方法是求函數(shù)值域時(shí)經(jīng)常用到的“有界法”。【另解】 由Sxy，設(shè)xt，yt，t， 則xy±代入式得：4S±5=5

14、， 移項(xiàng)平方整理得 100t+39S160S1000 。 39S160S1000 解得：S 【注】 此題第一種解法屬于“三角換元法”，主要是利用已知條件Sxy與三角公式cossin1的聯(lián)系而聯(lián)想和發(fā)現(xiàn)用三角換元，將代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)值域問(wèn)題。第二種解法屬于“均值換元法”，主要是由等式Sxy而按照均值換元的思路，設(shè)xt、yt，減少了元的個(gè)數(shù)，問(wèn)題且容易求解。另外，還用到了求值域的幾種方法：有界法、不等式性質(zhì)法、分離參數(shù)法。和“均值換元法”類似，我們還有一種換元法，即在題中有兩個(gè)變量x、y時(shí)，可以設(shè)xab，yab，這稱為“和差換元法”，換元后有可能簡(jiǎn)化代數(shù)式。本題設(shè)xab，yab，代入式整理得

15、3a13b5 ，求得a0,，所以S(ab)(ab)2(ab)a,，再求的值。例2 ABC的三個(gè)內(nèi)角A、B、C滿足：AC2B，求cos的值。（96年全國(guó)理）【分析】 由已知“AC2B”和“三角形內(nèi)角和等于180°”的性質(zhì)，可得 ；由“AC120°”進(jìn)行均值換元，則設(shè) ，再代入可求cos即cos。【解】由ABC中已知AC2B，可得 ,由AC120°，設(shè)，代入已知等式得：2,解得：cos， 即：cos?！玖斫狻坑葾C2B，得AC120°，B60°。所以2，設(shè)m，m ，所以cosA，cosC，兩式分別相加、相減得：cosAcosC2coscoscos，

16、cosAcosC2sinsinsin，即：sin，代入sincos1整理得：3m16m120,解出m6，代入cos?！咀ⅰ?本題兩種解法由“AC120°”、“2”分別進(jìn)行均值換元，隨后結(jié)合三角形角的關(guān)系與三角公式進(jìn)行運(yùn)算，除由已知想到均值換元外，還要求對(duì)三角公式的運(yùn)用相當(dāng)熟練。假如未想到進(jìn)行均值換元，也可由三角運(yùn)算直接解出：由AC2B，得AC120°，B60°。所以2，即cosAcosC2cosAcosC，和積互化得：2coscoscos(A+C)cos(A-C)，即coscos(A-C)(2cos1)，整理得：4cos2cos30,解得：cos y , , x例

17、3. 設(shè)a>0，求f(x)2a(sinxcosx)sinx·cosx2a的最大值和最小值?！窘狻?設(shè)sinxcosxt，則t-,，由(sinxcosx)12sinx·cosx得：sinx·cosx f(x)g(t)(t2a) （a>0），t-,t-時(shí)，取最小值：2a2a當(dāng)2a時(shí)，t，取最大值：2a2a ；當(dāng)0<2a時(shí)，t2a，取最大值： 。 f(x)的最小值為2a2a，最大值為?！咀ⅰ?此題屬于局部換元法，設(shè)sinxcosxt后，抓住sinxcosx與sinx·cosx的內(nèi)在聯(lián)系，將三角函數(shù)的值域問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在閉區(qū)間上的值域問(wèn)題，

18、使得容易求解。換元過(guò)程中一定要注意新的參數(shù)的范圍（t-,）與sinxcosx對(duì)應(yīng)，否則將會(huì)出錯(cuò)。本題解法中還包含了含參問(wèn)題時(shí)分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，即由對(duì)稱軸與閉區(qū)間的位置關(guān)系而確定參數(shù)分兩種情況進(jìn)行討論。一般地，在遇到題目已知和未知中含有sinx與cosx的和、差、積等而求三角式的最大值和最小值的題型時(shí)，即函數(shù)為f(sinx±cosx，sinxcsox)，經(jīng)常用到這樣設(shè)元的換元法，轉(zhuǎn)化為在閉區(qū)間上的二次函數(shù)或一次函數(shù)的研究。例4. 設(shè)對(duì)所于有實(shí)數(shù)x，不等式xlog2x loglog>0恒成立，求a的取值范圍。（87年全國(guó)理）【分析】不等式中l(wèi)og、 log、log三項(xiàng)有何聯(lián)系

19、？進(jìn)行對(duì)數(shù)式的有關(guān)變形后不難發(fā)現(xiàn)，再實(shí)施換元法?！窘狻?設(shè)logt，則loglog3log3log3t，log2log2t，代入后原不等式簡(jiǎn)化為（3t）x2tx2t>0，它對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立，所以：，解得 t<0即log<00<<1，解得0<a<1?！咀ⅰ繎?yīng)用局部換元法，起到了化繁為簡(jiǎn)、化難為易的作用。為什么會(huì)想到換元及如何設(shè)元，關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)已知不等式中l(wèi)og、 log、log三項(xiàng)之間的聯(lián)系。在解決不等式恒成立問(wèn)題時(shí)，使用了“判別式法”。另外，本題還要求對(duì)數(shù)運(yùn)算十分熟練。一般地，解指數(shù)與對(duì)數(shù)的不等式、方程，有可能使用局部換元法，換元時(shí)也可能要對(duì)所給的已知

20、條件進(jìn)行適當(dāng)變形，發(fā)現(xiàn)它們的聯(lián)系而實(shí)施換元，這是我們思考解法時(shí)要注意的一點(diǎn)。例5. 已知，且 (式)，求的值?！窘狻?設(shè)k，則sinkx，cosky，且sincosk(x+y)1,代入式得： 即：設(shè)t，則t , 解得：t3或 ±或±【另解】 由tg，將等式兩邊同時(shí)除以，再表示成含tg的式子：1tgtg，設(shè)tgt，則3t10t30，t3或， 解得±或±?！咀ⅰ?第一種解法由而進(jìn)行等量代換，進(jìn)行換元，減少了變量的個(gè)數(shù)。第二種解法將已知變形為，不難發(fā)現(xiàn)進(jìn)行結(jié)果為tg，再進(jìn)行換元和變形。兩種解法要求代數(shù)變形比較熟練。在解高次方程時(shí)，都使用了換元法使方程次數(shù)降低。

21、例6. 實(shí)數(shù)x、y滿足1，若xyk>0恒成立，求k的范圍。【分析】由已知條件1，可以發(fā)現(xiàn)它與ab1有相似之處，于是實(shí)施三角換元?！窘狻坑?，設(shè)cos，sin，即： 代入不等式xyk>0得：3cos4sink>0，即k<3cos4sin5sin(+) 所以k<-5時(shí)不等式恒成立?！咀ⅰ勘绢}進(jìn)行三角換元，將代數(shù)問(wèn)題（或者是解析幾何問(wèn)題）化為了含參三角不等式恒成立的問(wèn)題，再運(yùn)用“分離參數(shù)法”轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的值域問(wèn)題，從而求出參數(shù)范圍。一般地，在遇到與圓、橢圓、雙曲線的方程相似的代數(shù)式時(shí)，或者在解決圓、橢圓、雙曲線等有關(guān)問(wèn)題時(shí)，經(jīng)常使用“三角換元法”。 y x xyk&g

22、t;0 k 平面區(qū)域本題另一種解題思路是使用數(shù)形結(jié)合法的思想方法：在平面直角坐標(biāo)系，不等式axbyc>0 (a>0)所表示的區(qū)域?yàn)橹本€axbyc0所分平面成兩部分中含x軸正方向的一部分。此題不等式恒成立問(wèn)題化為圖形問(wèn)題：橢圓上的點(diǎn)始終位于平面上x(chóng)yk>0的區(qū)域。即當(dāng)直線xyk0在與橢圓下部相切的切線之下時(shí)。當(dāng)直線與橢圓相切時(shí)，方程組有相等的一組實(shí)數(shù)解，消元后由0可求得k3,所以k<-3時(shí)原不等式恒成立。、鞏固性題組：1. 已知f(x)lgx (x>0)，則f(4)的值為_(kāi)。A. 2lg2 B. lg2 C. lg2 D. lg42. 函數(shù)y(x1)2的單調(diào)增區(qū)間是

23、_。A. -2,+) B. -1,+) D. (-,+) C. (-,-13. 設(shè)等差數(shù)列a的公差d，且S145，則aaaa的值為_(kāi)。A. 85 B. 72.5 C. 60 D. 52.54. 已知x4y4x，則xy的范圍是_。5. 已知a0，b0，ab1，則的范圍是_。6. 不等式>ax的解集是(4,b)，則a_，b_。7. 函數(shù)y2x的值域是_。8. 在等比數(shù)列a中，aaa2，aaa12，求aaa。 y D C A B O x9. 實(shí)數(shù)m在什么范圍內(nèi)取值，對(duì)任意實(shí)數(shù)x，不等式sinx2mcosx4m1<0恒成立。10. 已知矩形ABCD，頂點(diǎn)C(4,4)，A點(diǎn)在曲線xy2 (x

24、>0,y>0)上移動(dòng)，且AB、AD始終平行x軸、y軸，求矩形ABCD的最小面積。 三、待定系數(shù)法要確定變量間的函數(shù)關(guān)系，設(shè)出某些未知系數(shù)，然后根據(jù)所給條件來(lái)確定這些未知系數(shù)的方法叫待定系數(shù)法，其理論依據(jù)是多項(xiàng)式恒等，也就是利用了多項(xiàng)式f(x)g(x)的充要條件是：對(duì)于一個(gè)任意的a值，都有f(a)g(a)；或者兩個(gè)多項(xiàng)式各同類項(xiàng)的系數(shù)對(duì)應(yīng)相等。待定系數(shù)法解題的關(guān)鍵是依據(jù)已知，正確列出等式或方程。使用待定系數(shù)法，就是把具有某種確定形式的數(shù)學(xué)問(wèn)題，通過(guò)引入一些待定的系數(shù)，轉(zhuǎn)化為方程組來(lái)解決，要判斷一個(gè)問(wèn)題是否用待定系數(shù)法求解，主要是看所求解的數(shù)學(xué)問(wèn)題是否具有某種確定的數(shù)學(xué)表達(dá)式，如果具有

25、，就可以用待定系數(shù)法求解。例如分解因式、拆分分式、數(shù)列求和、求函數(shù)式、求復(fù)數(shù)、解析幾何中求曲線方程等，這些問(wèn)題都具有確定的數(shù)學(xué)表達(dá)形式，所以都可以用待定系數(shù)法求解。使用待定系數(shù)法，它解題的基本步驟是：第一步，確定所求問(wèn)題含有待定系數(shù)的解析式；第二步，根據(jù)恒等的條件，列出一組含待定系數(shù)的方程；第三步，解方程組或者消去待定系數(shù)，從而使問(wèn)題得到解決。如何列出一組含待定系數(shù)的方程，主要從以下幾方面著手分析： 利用對(duì)應(yīng)系數(shù)相等列方程； 由恒等的概念用數(shù)值代入法列方程； 利用定義本身的屬性列方程； 利用幾何條件列方程。比如在求圓錐曲線的方程時(shí)，我們可以用待定系數(shù)法求方程：首先設(shè)所求方程的形式，其中含有待定

26、的系數(shù)；再把幾何條件轉(zhuǎn)化為含所求方程未知系數(shù)的方程或方程組；最后解所得的方程或方程組求出未知的系數(shù)，并把求出的系數(shù)代入已經(jīng)明確的方程形式，得到所求圓錐曲線的方程。、再現(xiàn)性題組：1. 設(shè)f(x)m，f(x)的反函數(shù)f(x)nx5，那么m、n的值依次為_(kāi)。A. , 2 B. ， 2 C. , 2 D. ，22. 二次不等式axbx2>0的解集是(,)，則ab的值是_。A. 10 B. 10 C. 14 D. 143. 在(1x)（1x）的展開(kāi)式中，x的系數(shù)是_。A. 297 B.252 C. 297 D. 2074. 函數(shù)yabcos3x (b<0)的最大值為，最小值為，則y4asin

27、3bx的最小正周期是_。5. 與直線L：2x3y50平行且過(guò)點(diǎn)A(1,-4)的直線L的方程是_。6. 與雙曲線x1有共同的漸近線，且過(guò)點(diǎn)(2,2)的雙曲線的方程是_?！竞?jiǎn)解】1小題：由f(x)m求出f(x)2x2m，比較系數(shù)易求，選C；2小題：由不等式解集(,)，可知、是方程axbx20的兩根，代入兩根，列出關(guān)于系數(shù)a、b的方程組，易求得ab，選D；3小題：分析x的系數(shù)由C與(1)C兩項(xiàng)組成，相加后得x的系數(shù)，選D；4小題：由已知最大值和最小值列出a、b的方程組求出a、b的值，再代入求得答案；5小題：設(shè)直線L方程2x3yc0，點(diǎn)A(1,-4)代入求得C10，即得2x3y100；6小題：設(shè)雙曲線

28、方程x，點(diǎn)(2,2)代入求得3，即得方程1。、示范性題組：例1. 已知函數(shù)y的最大值為7，最小值為1，求此函數(shù)式?！痉治觥壳蠛瘮?shù)的表達(dá)式，實(shí)際上就是確定系數(shù)m、n的值；已知最大值、最小值實(shí)際是就是已知函數(shù)的值域，對(duì)分子或分母為二次函數(shù)的分式函數(shù)的值域易聯(lián)想到“判別式法”?！窘狻?函數(shù)式變形為： (ym)x4x(yn)0， xR, 由已知得ym0 (4)4(ym)(yn)0 即： y(mn)y(mn12)0 不等式的解集為(-1,7)，則1、7是方程y(mn)y(mn12)0的兩根，代入兩根得： 解得：或 y或者y此題也可由解集(-1,7)而設(shè)(y1)(y7)0,即y6y70，然后與不等式比較系

29、數(shù)而得：，解出m、n而求得函數(shù)式y(tǒng)?！咀ⅰ?在所求函數(shù)式中有兩個(gè)系數(shù)m、n需要確定，首先用“判別式法”處理函數(shù)值域問(wèn)題，得到了含參數(shù)m、n的關(guān)于y的一元二次不等式，且知道了它的解集，求參數(shù)m、n。兩種方法可以求解，一是視為方程兩根，代入后列出m、n的方程求解；二是由已知解集寫(xiě)出不等式，比較含參數(shù)的不等式而列出m、n的方程組求解。本題要求對(duì)一元二次不等式的解集概念理解透徹，也要求理解求函數(shù)值域的“判別式法”：將y視為參數(shù)，函數(shù)式化成含參數(shù)y的關(guān)于x的一元二次方程，可知其有解，利用0,建立了關(guān)于參數(shù)y的不等式，解出y的范圍就是值域，使用“判別式法”的關(guān)鍵是否可以將函數(shù)化成一個(gè)一元二次方程。例2.

30、設(shè)橢圓中心在(2,-1)，它的一個(gè)焦點(diǎn)與短軸兩端連線互相垂直，且此焦點(diǎn)與長(zhǎng)軸較近的端點(diǎn)距離是，求橢圓的方程。 y B x A F O F A B【分析】求橢圓方程，根據(jù)所給條件，確定幾何數(shù)據(jù)a、b、c之值，問(wèn)題就全部解決了。設(shè)a、b、c后，由已知垂直關(guān)系而聯(lián)想到勾股定理建立一個(gè)方程，再將焦點(diǎn)與長(zhǎng)軸較近端點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為ac的值后列出第二個(gè)方程?！窘狻?設(shè)橢圓長(zhǎng)軸2a、短軸2b、焦距2c，則|BF|a 解得： 所求橢圓方程是：1也可有垂直關(guān)系推證出等腰RtBBF后，由其性質(zhì)推證出等腰RtBOF，再進(jìn)行如下列式： ，更容易求出a、b的值?！咀ⅰ?圓錐曲線中，參數(shù)（a、b、c、e、p）的確定，是待定系

31、數(shù)法的生動(dòng)體現(xiàn)；如何確定，要抓住已知條件，將其轉(zhuǎn)換成表達(dá)式。在曲線的平移中，幾何數(shù)據(jù)（a、b、c、e）不變，本題就利用了這一特征，列出關(guān)于ac的等式。一般地，解析幾何中求曲線方程的問(wèn)題，大部分用待定系數(shù)法，基本步驟是：設(shè)方程（或幾何數(shù)據(jù)）幾何條件轉(zhuǎn)換成方程求解已知系數(shù)代入。、鞏固性題組：1. 函數(shù)ylogx的x2,+)上恒有|y|>1，則a的取值范圍是_。A. 2>a>且a1 B. 0<a<或1<a<2 C. 1<a<2 D. a>2或0<a<2. 方程xpxq0與xqxp0只有一個(gè)公共根，則其余兩個(gè)不同根之和為_(kāi)。A.

32、1 B. 1 C. pq D. 無(wú)法確定 3. 如果函數(shù)ysin2xa·cos2x的圖像關(guān)于直線x對(duì)稱，那么a_。A. B. C. 1 D. 14. 滿足C1·C2·Cn·C<500的最大正整數(shù)是_。A. 4 B. 5 C. 6 D. 75. 無(wú)窮等比數(shù)列a的前n項(xiàng)和為Sa , 則所有項(xiàng)的和等于_。A. B. 1 C. D.與a有關(guān)6. (1kx)bbxbxbx，若bbbb1，則k_。7. 經(jīng)過(guò)兩直線11x3y90與12xy190的交點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)(3,-2)的直線方程為_(kāi)。 8. 正三棱錐底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱和底面所成角為60°，過(guò)底面一邊作

33、截面，使其與底面成30°角，則截面面積為_(kāi)。9. 設(shè)yf(x)是一次函數(shù)，已知f(8)15,且f(2)、f(5)、(f14)成等比數(shù)列，求f(1)f(2)f(m)的值。10. 設(shè)拋物線經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)(-1,6)和(-1,-2)，對(duì)稱軸與x軸平行，開(kāi)口向右，直線y2x7和拋物線截得的線段長(zhǎng)是4, 求拋物線的方程。四、定義法所謂定義法，就是直接用數(shù)學(xué)定義解題。數(shù)學(xué)中的定理、公式、性質(zhì)和法則等，都是由定義和公理推演出來(lái)。定義是揭示概念內(nèi)涵的邏輯方法，它通過(guò)指出概念所反映的事物的本質(zhì)屬性來(lái)明確概念。定義是千百次實(shí)踐后的必然結(jié)果，它科學(xué)地反映和揭示了客觀世界的事物的本質(zhì)特點(diǎn)。簡(jiǎn)單地說(shuō)，定義是基本概念

34、對(duì)數(shù)學(xué)實(shí)體的高度抽象。用定義法解題，是最直接的方法，本講讓我們回到定義中去。、再現(xiàn)性題組：1. 已知集合A中有2個(gè)元素，集合B中有7個(gè)元素，AB的元素個(gè)數(shù)為n，則_。A. 2n9 B. 7n9 C. 5n9 D. 5n72. 設(shè)MP、OM、AT分別是46°角的正弦線、余弦線和正切線，則_。A. MP<OM<AT B. OM<MP<AT C. AT<<OM<MP D. OM<AT<MP3. 復(fù)數(shù)za2，z2，如果|z|< |z|，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_。A. 1<a<1 B. a>1 C. a>0 D.

35、 a<1或a>14. 橢圓1上有一點(diǎn)P，它到左準(zhǔn)線的距離為，那么P點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為_(kāi)。A. 8 C. 7.5 C. D. 35. 奇函數(shù)f(x)的最小正周期為T(mén)，則f()的值為_(kāi)。A. T B. 0 C. D. 不能確定6. 正三棱臺(tái)的側(cè)棱與底面成45°角，則其側(cè)面與底面所成角的正切值為_(kāi)?！竞?jiǎn)解】1小題：利用并集定義，選B；2小題：利用三角函數(shù)線定義，作出圖形，選B；3小題：利用復(fù)數(shù)模的定義得<，選A；4小題：利用橢圓的第二定義得到e，選A；5小題：利用周期函數(shù)、奇函數(shù)的定義得到f()f()f()，選B；6小題：利用線面角、面面角的定義，答案2。、示范性題組：例

36、1. 已知z1， 設(shè)wz34，求w的三角形式； 如果1，求實(shí)數(shù)a、b的值。（94年全國(guó)理）【分析】代入z進(jìn)行運(yùn)算化簡(jiǎn)后，運(yùn)用復(fù)數(shù)三角形式和復(fù)數(shù)相等的定義解答?！窘狻坑蓏1，有wz34(1)3423(1)41，w的三角形式是（cossin）；由z1，有(a2)(ab)。由題設(shè)條件知：(a2)(ab)1；根據(jù)復(fù)數(shù)相等的定義，得：，解得?！咀ⅰ壳髲?fù)數(shù)的三角形式，一般直接利用復(fù)數(shù)的三角形式定義求解。利用復(fù)數(shù)相等的定義，由實(shí)部、虛部分別相等而建立方程組，這是復(fù)數(shù)中經(jīng)常遇到的。例2. 已知f(x)xcx，f(2)14，f(4)252，求ylogf(x)的定義域，判定在(,1)上的單調(diào)性?！痉治觥恳袛嗪瘮?shù)

37、的單調(diào)性，必須首先確定n與c的值求出函數(shù)的解析式，再利用函數(shù)的單調(diào)性定義判斷?！窘狻?解得： f(x)xx 解f(x)>0得：0<x<1設(shè)<x<x<1， 則f(x)f(x)x+x-（-x+x）=(x-x)1-(x+x)( x+x), x+x>， x+x> (x+x)( x+x)×1 f(x)f(x)>0即f(x)在(,1)上是減函數(shù) <1 ylogf(x) 在(,1)上是增函數(shù)。 A A D C C O H B B 【注】關(guān)于函數(shù)的性質(zhì)：奇偶性、單調(diào)性、周期性的判斷，一般都是直接應(yīng)用定義解題。本題還在求n、c的過(guò)程中，運(yùn)用了

38、待定系數(shù)法和換元法。例3. 如圖，已知ABCABC是正三棱柱，D是AC中點(diǎn)。 證明：AB平面DBC； 假設(shè)ABBC，求二面角DBCC的度數(shù)。（94年全國(guó)理）【分析】 由線面平行的定義來(lái)證問(wèn)，即通過(guò)證AB平行平面DBC內(nèi)的一條直線而得；由二面角的平面角的定義作出平面角，通過(guò)解三角形而求問(wèn)?！窘狻?連接BC交BC于O, 連接OD ABCABC是正三棱柱 四邊形BBCC是矩形 O是BC中點(diǎn)ABC中， D是AC中點(diǎn) ABOD AB平面DBC 作DHBC于H，連接OH DH平面BCC ABOD, ABBC BCOD BCOH 即DOH為所求二面角的平面角。設(shè)AC1，作OEBC于E，則DHsin60

39、76;，BH，EH ； RtBOH中，OHBH×EH， OHDH DOH45°，即二面角DBCC的度數(shù)為45°。【注】對(duì)于二面角DBCC的平面角，容易誤認(rèn)為DOC即所求。利用二面角的平面角定義，兩邊垂直于棱，抓住平面角的作法，先作垂直于一面的垂線DH，再證得垂直于棱的垂線DO，最后連接兩個(gè)垂足OH，則DOH即為所求，其依據(jù)是三垂線定理。本題還要求解三角形十分熟練，在RtBOH中運(yùn)用射影定理求OH的長(zhǎng)是計(jì)算的關(guān)鍵。此題文科考生的第二問(wèn)為：假設(shè)ABBC，BC2，求AB在側(cè)面BBCC的 射影長(zhǎng)。解答中抓住斜線在平面上的射影的定義，先作平面的垂線，連接垂足和斜足而得到射影

40、。其解法如下：作AEBC于E，連接BE即所求，易得到OEBB，所以，EFBE。在RtBBE中，易得到BFBE,由射影定理得：BE×EFBE即BE1，所以BE。、鞏固性題組：1 函數(shù)yf(x)ak的圖像過(guò)點(diǎn)(1,7)，它的反函數(shù)的圖像過(guò)點(diǎn)(4,0)，則f(x)的表達(dá)式是_。2. 過(guò)拋物線焦點(diǎn)F的直線與拋物線相交于A、B兩點(diǎn)，若A、B在拋物線準(zhǔn)線上的射影分別為A、B,則AFB等于_。A. 45° B. 60° C. 90° D. 120°3. 已知A0,1，Bx|xA，則下列關(guān)系正確的是_。 A. AB B. AB C. AB D. AB4. 雙曲

41、線3xy3的漸近線方程是_。 A. y±3x B. y±x C. y±x D. y±x5. 已知定義在R上的非零函數(shù)f(x)滿足f(xy)f(x)f(y)，則f(x)是_。 A.奇函數(shù) B.偶函數(shù) C.非奇非偶函數(shù) D.既奇既偶函數(shù)6. CC_。7. Z4(sin140°cos140°)，則復(fù)數(shù)的輻角主值是_。8. 不等式axbxc>0的解集是(1,2)，則不等式bxcxa<0解集是_。9. 已知數(shù)列a是等差數(shù)列，求證數(shù)列b也是等差數(shù)列，其中b(aaa)。10. 已知F、F是橢圓1 (a>b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，其

42、中F與拋物線y12x的焦點(diǎn)重合，M是兩曲線的一個(gè)焦點(diǎn)，且有cosM FF·cosMFF，求橢圓方程。五、數(shù)學(xué)歸納法歸納是一種有特殊事例導(dǎo)出一般原理的思維方法。歸納推理分完全歸納推理與不完全歸納推理兩種。不完全歸納推理只根據(jù)一類事物中的部分對(duì)象具有的共同性質(zhì)，推斷該類事物全體都具有的性質(zhì)，這種推理方法，在數(shù)學(xué)推理論證中是不允許的。完全歸納推理是在考察了一類事物的全部對(duì)象后歸納得出結(jié)論來(lái)。數(shù)學(xué)歸納法是用來(lái)證明某些與自然數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的一種推理方法，在解數(shù)學(xué)題中有著廣泛的應(yīng)用。它是一個(gè)遞推的數(shù)學(xué)論證方法，論證的第一步是證明命題在n1(或n)時(shí)成立，這是遞推的基礎(chǔ)；第二步是假設(shè)在nk時(shí)命題

43、成立，再證明nk1時(shí)命題也成立，這是無(wú)限遞推下去的理論依據(jù)，它判斷命題的正確性能否由特殊推廣到一般，實(shí)際上它使命題的正確性突破了有限，達(dá)到無(wú)限。這兩個(gè)步驟密切相關(guān)，缺一不可，完成了這兩步，就可以斷定“對(duì)任何自然數(shù)（或nn且nN）結(jié)論都正確”。由這兩步可以看出，數(shù)學(xué)歸納法是由遞推實(shí)現(xiàn)歸納的，屬于完全歸納。運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明問(wèn)題時(shí)，關(guān)鍵是nk1時(shí)命題成立的推證，此步證明要具有目標(biāo)意識(shí)，注意與最終要達(dá)到的解題目標(biāo)進(jìn)行分析比較，以此確定和調(diào)控解題的方向，使差異逐步減小，最終實(shí)現(xiàn)目標(biāo)完成解題。運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法，可以證明下列問(wèn)題：與自然數(shù)n有關(guān)的恒等式、代數(shù)不等式、三角不等式、數(shù)列問(wèn)題、幾何問(wèn)題、整除性問(wèn)題

44、等等。、再現(xiàn)性題組：1. 用數(shù)學(xué)歸納法證明(n1)(n2)(nn)2·1·2(2n1) （nN），從“k到k1”，左端需乘的代數(shù)式為_(kāi)。 A. 2k1 B. 2(2k1) C. D. 2. 用數(shù)學(xué)歸納法證明1<n (n>1)時(shí)，由nk (k>1)不等式成立，推證nk1時(shí)，左邊應(yīng)增加的代數(shù)式的個(gè)數(shù)是_。 A. 2 B. 21 C. 2 D. 213. 某個(gè)命題與自然數(shù)n有關(guān)，若nk (kN)時(shí)該命題成立，那么可推得nk1時(shí)該命題也成立?，F(xiàn)已知當(dāng)n5時(shí)該命題不成立，那么可推得_。 (94年上海高考) A.當(dāng)n6時(shí)該命題不成立 B.當(dāng)n6時(shí)該命題成立 C.當(dāng)n4

45、時(shí)該命題不成立 D.當(dāng)n4時(shí)該命題成立4. 數(shù)列a中，已知a1，當(dāng)n2時(shí)aa2n1，依次計(jì)算a、a、a后，猜想a的表達(dá)式是_。 A. 3n2 B. n C. 3 D. 4n35. 用數(shù)學(xué)歸納法證明35 (nN)能被14整除，當(dāng)nk1時(shí)對(duì)于式子35應(yīng)變形為_(kāi)。6. 設(shè)k棱柱有f(k)個(gè)對(duì)角面，則k1棱柱對(duì)角面的個(gè)數(shù)為f(k+1)f(k)_?！竞?jiǎn)解】1小題：nk時(shí)，左端的代數(shù)式是(k1)(k2)(kk),nk1時(shí)，左端的代數(shù)式是(k2)(k3)(2k1)(2k2)，所以應(yīng)乘的代數(shù)式為，選B；2小題：（21）（21）2，選C；3小題：原命題與逆否命題等價(jià)，若nk1時(shí)命題不成立，則nk命題不成立，選C

46、。4小題：計(jì)算出a1、a4、a9、a16再猜想a，選B；5小題：答案（35）35（53）；6小題：答案k1。、示范性題組：例1. 已知數(shù)列，得，。S為其前n項(xiàng)和，求S、S、S、S，推測(cè)S公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明。 （93年全國(guó)理）【解】 計(jì)算得S，S，S，S ， 猜測(cè)S (nN)。當(dāng)n1時(shí)，等式顯然成立；假設(shè)當(dāng)nk時(shí)等式成立，即：S，當(dāng)nk1時(shí)，SS,由此可知，當(dāng)nk1時(shí)等式也成立。綜上所述，等式對(duì)任何nN都成立?！咀ⅰ?把要證的等式S作為目標(biāo)，先通分使分母含有(2k3)，再考慮要約分，而將分子變形，并注意約分后得到（2k3）1。這樣證題過(guò)程中簡(jiǎn)潔一些，有效地確定了證題的方向。本題的思路是從試

47、驗(yàn)、觀察出發(fā)，用不完全歸納法作出歸納猜想，再用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行嚴(yán)格證明，這是關(guān)于探索性問(wèn)題的常見(jiàn)證法，在數(shù)列問(wèn)題中經(jīng)常見(jiàn)到。 假如猜想后不用數(shù)學(xué)歸納法證明，結(jié)論不一定正確，即使正確，解答過(guò)程也不嚴(yán)密。必須要進(jìn)行三步：試值 猜想 證明?！玖斫狻?用裂項(xiàng)相消法求和：由a得，S（1）（）1。此種解法與用試值猜想證明相比，過(guò)程十分簡(jiǎn)單，但要求發(fā)現(xiàn)的裂項(xiàng)公式?？梢哉f(shuō)，用試值猜想證明三步解題，具有一般性。例2. 設(shè)a (nN),證明：n(n1)<a< (n1) ?！痉治觥颗c自然數(shù)n有關(guān)，考慮用數(shù)學(xué)歸納法證明。n1時(shí)容易證得，nk1時(shí)，因?yàn)閍a,所以在假設(shè)nk成立得到的不等式中同時(shí)加上，再與目標(biāo)比

48、較而進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆趴s求解?！窘狻?當(dāng)n1時(shí)，a，n(n+1)， (n+1)2 ， n1時(shí)不等式成立。假設(shè)當(dāng)nk時(shí)不等式成立，即：k(k1)<a< (k1) ，當(dāng)nk1時(shí)，k(k1)<a<(k1),k(k1)>k(k1)(k1)(k1)(k3)>(k1)(k2)，(k1)(k1)<(k1)(k)(k2)，所以(k1)(k2) <a<(k2)，即nk1時(shí)不等式也成立。綜上所述，對(duì)所有的nN，不等式n(n1)<a<(n1)恒成立。【注】 用數(shù)學(xué)歸納法解決與自然數(shù)有關(guān)的不等式問(wèn)題，注意適當(dāng)選用放縮法。本題中分別將縮小成(k1)、將放大成(k)的兩步放縮是證nk1時(shí)不等式成立的關(guān)鍵。為什么這樣放縮，而不放大成(k2)，這是與目標(biāo)比較后的要求，也是遵循放縮要適當(dāng)?shù)脑瓌t。本題另一種解題思路是直接采用放縮法進(jìn)行證明。主要是抓住對(duì)的分析，注意與目標(biāo)比較后，進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆糯蠛涂s小。解法如下：由>n可得，a>123nn(n1)；由<n可得，a<123n×nn(n1)n(n2n)<(n1)。所以n(n1)<a<(n1)。例3. 設(shè)數(shù)列a的前n項(xiàng)和為S，若對(duì)于所有的自然數(shù)n，都有S，證明a是等差數(shù)列。 （94年全國(guó)文）【分析】 要證明a是等差數(shù)列，可以證明其通項(xiàng)符合等差數(shù)列的通項(xiàng)公