三大抽樣分布

1、編輯ppt15.4 三大抽樣分布三大抽樣分布編輯ppt2 本次課教學(xué)目的： 掌握三大抽樣分布的構(gòu)造性定義并熟悉一些重要結(jié)論 重點(diǎn)難點(diǎn): 三大抽樣分布的構(gòu)造及其抽樣分布 一些重要結(jié)論 教學(xué)基本內(nèi)容及其時(shí)間分配 三大抽樣分布的構(gòu)造性定義30分鐘 定理及其三個(gè)推論以及證明70分鐘根據(jù)本節(jié)課的特點(diǎn)所采取的教學(xué)方法和手段: 啟發(fā)式講授，圖文結(jié)合加深對三大分布的印象編輯ppt3引 言 有許多統(tǒng)計(jì)推斷是基于正態(tài)分布的假設(shè)的，以有許多統(tǒng)計(jì)推斷是基于正態(tài)分布的假設(shè)的，以標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量為基石而構(gòu)造的三個(gè)著名統(tǒng)計(jì)量變量為基石而構(gòu)造的三個(gè)著名統(tǒng)計(jì)量在實(shí)際中有廣泛的在實(shí)際中有廣泛的應(yīng)用，這是因?yàn)檫@三個(gè)統(tǒng)計(jì)量不僅有

2、明確背景，而且其應(yīng)用，這是因?yàn)檫@三個(gè)統(tǒng)計(jì)量不僅有明確背景，而且其抽樣分布的密度函數(shù)有明顯表達(dá)式，他們被稱為統(tǒng)計(jì)中抽樣分布的密度函數(shù)有明顯表達(dá)式，他們被稱為統(tǒng)計(jì)中的的“三大抽樣分布三大抽樣分布”. 若設(shè)若設(shè) 是來自標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的兩個(gè)是來自標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的兩個(gè)相互獨(dú)立的樣本，則此三個(gè)統(tǒng)計(jì)量的構(gòu)造及其抽樣分布相互獨(dú)立的樣本，則此三個(gè)統(tǒng)計(jì)量的構(gòu)造及其抽樣分布如表如表5.4.1所示所示.mnyyyxxx,2121編輯ppt4編輯ppt55.4.1 分布(卡方分布)2 nnGaXGaXNXniiii2122221,221,21) 1 , 0(伽瑪分布的可加性問題：如何確定問題：如何確定 的分布？的分布？2編

3、輯ppt6 0,221)(21222yeynypnynn分布的密度函數(shù)為于是,2nEnVar2)(2圖像：圖像：密度函數(shù)的圖像密度函數(shù)的圖像是一個(gè)只取非負(fù)值非負(fù)值的偏態(tài)分布偏態(tài)分布 數(shù)字特征：數(shù)字特征：編輯ppt7編輯ppt84n6n10n編輯ppt94n6n10n20n編輯ppt101)(212nP) 10(當(dāng)隨機(jī)變量2)(2n時(shí)，對給定的，稱滿足1)(21n的是自由度為n的卡方分布的分位數(shù). 31.181010295. 0205. 01）（）（編輯ppt11)10(2編輯ppt125.4.2 F分布分布其中m稱為分子自由度，n稱為分母自由度. ,21mX1X2X與定義定義5.4.25.4.

4、2 設(shè) ,22nX獨(dú)立，則稱nXmX21F的分布是自由度為m與n的F分布,記為nmFF,問題：如何確定問題：如何確定 的分布？的分布？F首先，我們導(dǎo)出21XXZ的密度函數(shù) ZmnF 第二步，我們導(dǎo)出 的密度函數(shù) 編輯ppt130,221)()(0,221)()(2212222222121212112121xexnxpnXxexmxpmXxnnxmm首先，我們導(dǎo)出21XXZ的密度函數(shù) 編輯ppt14 221212nmzzzpnmmz于是dueuunm0122nm01222212zzznmnmnmmzxu122做變換令 2222102)(dxxpzxpxzpZ21201222122222dxexn

5、mzzxnmnmmZ的密度函數(shù)為 編輯ppt15ZmnF 第二步，我們導(dǎo)出 的密度函數(shù) nmynmynmnmnmnmynmpypnmmZF212122221221222nmmmynmynmnmnm這就是自由度為m與n的F分布的密度函數(shù)。） 編輯ppt16編輯ppt1740 n10 n 4n1n編輯ppt18.1),(1,),10(),(11分位數(shù)分布的的與是自由度為的稱滿足對給定的若FnmnmFnmFFPnmFF編輯ppt191,1nmFFP)10, 4(F分位數(shù)分布的的即是自由度為于是查表知給定95. 0)10, 4(48. 3)10, 4(95. 048. 3)10, 4(,10, 4,0

6、5. 095. 0FFFPnm編輯ppt20有F分布的構(gòu)造知，若FF(m,n),則有1/F F(n,m),故對給定10， mnFFPmnFFP,1,11,1mnFFPnmFmnF,1,11,1nmFFP數(shù)？的時(shí)候，如何確定分位比較小比較大問題：當(dāng))1 (編輯ppt2174. 451051095. 005, 01，F(xiàn)F3 . 033. 3110, 515 ,1095. 005. 0FF例5.4.1 若取m=10,n=5, =0.05,那么從附表5上查得nmFmnF,1,1由編輯ppt225.4.3 t 分布 定義5.4.3 nXNX22110，21XX 與設(shè)隨機(jī)變量獨(dú)立且nXXt/21 ntt

7、則稱的分布為自由度為n的t分布，記為 問題：如何確定問題：如何確定 的分布？的分布？t由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)密度函數(shù)的對稱性知，有相同分布，與11XX從而t與-t有相同分布。 )(21)0()0()0()0(22ytPytPtyPytPytP), 1 (/22212nFnXXt 由于編輯ppt23所以在上式兩邊同時(shí)關(guān)于y求導(dǎo)得t分布的密度函數(shù)為：.,)1 ()2()21()11 ()()2()21()1)(21()()(2122121212212ynynnnyynynnnyypypnnFt這就是自由度為的分布的密度函數(shù)。 編輯ppt24分布的密度函數(shù)的圖象是一個(gè)關(guān)于縱軸對稱的分布 與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的密度函數(shù)

8、形狀類似，只是峰比標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布低一些，尾部的概率比標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的大一些。 編輯ppt25編輯ppt26) 1 , 0(N)4( t) 1 ( t編輯ppt27自由度為1的分布就是標(biāo)準(zhǔn)柯西分布，它的均值不存在；1時(shí),分布的數(shù)學(xué)期望存在且為0。1時(shí),分布的方差存在，且為/(-2)；當(dāng)自由度較大 時(shí)，分布可以用(0,1)分布近似(見下頁圖)30n比如編輯ppt28) 1 , 0(N)40( t編輯ppt29N(0，1)和t(4)的尾部概率比較c=2c=2.5c=3c=3.5XN(0,1)0.04550.01240.00270.000465Xt(4)0.11610.06680.03990.0249cX

9、p編輯ppt30)(ntt1)(1nttP)(1nt當(dāng)隨機(jī)變量 時(shí)稱滿足的是自由度為的分布的1-分位數(shù)。)()(1ntnt812. 1)10()10(95. 005. 0tt由于分布的密度函數(shù)關(guān)于0對稱，故其分位數(shù)間有如下關(guān)系譬如。812. 1)10()10(95. 005. 01tt)(1nt那么從附表4 上查到可以從附表4中查到。譬如=10,=0.05,分位數(shù)編輯ppt31編輯ppt32編輯ppt335.4.4 一些重要結(jié)論的樣本，其樣本nxx,1),(2Nniixnx11niixxns122)(11x2s),(2nNx) 1() 1(222nsn定理定理5.4.1 設(shè)是來自正態(tài)總體均值和

10、樣本方差分別為和則有（1）與（2）（3）相互獨(dú)立；編輯ppt34證明 記TnxxX),(1，則有)( XEIXVar2)(取一個(gè)n維正交矩陣A，其第一行的每一個(gè)元素均為n1,如) 1(1) 1(1) 1(1) 1(10231231231001211211111nnnnnnnnnnnnnA編輯ppt35令Y=AX，則由多維正態(tài)分布的性質(zhì)知Y仍服從n維正態(tài)分布，其均值和方差分別為00nEXAEYTTAIAAXVarAYVar2)(）（IAAT222由此，TnyyY),(1且都服從正態(tài)的各個(gè)分量相互獨(dú)立，分布，其方差均為 ,而均值不完全相同，nyE)(10)(2yE0)(nyEnyExE1)(編輯p

11、pt36 nNxnyVarnxVarnyExE2211,11)()(niiTTniTixAXAXYYy1212由于niiniiniiniiyyyxnxxxsn122112212122)()() 1(所以這證明了結(jié)論（1） 這證明了結(jié)論（2） ) 1()() 1(22222nysnnii) 1 , 0(, 02NyNyii由于這證明了結(jié)論（3） 編輯ppt37推論5.4.1 在定理5.4.1的記號下，有) 1()(ntsxnt)6 . 4 . 5(1/) 1(/)(22nsnnxsxn將5.4.4 左端改寫為 由于分子是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量，分母的根號里是自由度為n-1的t變量除以它的自由度，且分子與分

12、母相互獨(dú)立，由t分布定義可知，tt（n-1），推論證完。證明 由定理5.4.1（2）可以推出)5 . 4 . 5() 1 , 0(/Nnx編輯ppt38 mxx, 1)(21, 1Nnyy,1)(22, 2N,)(11,)(11122122niiymiixyynsxxms推論5.4.2 設(shè)是來自的樣本，是來自的樣本且此兩樣本相互獨(dú)立，記) 1, 1(/222212nmFssFyx) 1, 1(/22nmFssFyxniimiiynyxmx111,1其中則有2221特別，若，則編輯ppt392xs2ys) 1() 1(2212msmx) 1() 1(2222nsny證明: 由兩樣本獨(dú)立可知，與相互獨(dú)立且由F分布定義可知FF（m-1，n-1）編輯ppt40222212)()(2) 1() 1(1212222nmyyxxnmsnsmsniimiiyxw)8 . 4 . 5()2(11)()(21nmtnmsyxw推論5.4.3 在推論5.4.2的記號下，設(shè),并記則編輯ppt41,/,21mNx)/,(22nNy)11( ,(221nmNyx).1 , 0(11)(-)y