關(guān)于高等數(shù)學(xué)上冊(cè)復(fù)習(xí)歸納

1、高等數(shù)學(xué)(上冊(cè))復(fù)習(xí)資料一：函數(shù)的兩個(gè)要素：定義域?qū)?yīng)法則1兩個(gè)函數(shù)相同：(1)定義域相同(2)對(duì)應(yīng)法則相同至于自變量與因變量用什么符合來(lái)表示無(wú)所謂。例如：y=sinx-g<x<u=sint-<t<也是同一個(gè)函數(shù)。2函數(shù)的幾種特性(1)有界性y=f(x)xwD如果存在實(shí)數(shù)k1,使得f(x)<k1,則稱f(x)在D上有上界如果存在實(shí)數(shù)k2,使得f(x)之匕，則稱f(x)在D上有下界。有界：既有上界,又有下界。即存在實(shí)數(shù)ki,k2使得k2Wf(x)ki等價(jià)于存在k>0,使得|f(x)EkxWD(2)單調(diào)性若對(duì)區(qū)間I內(nèi)任意兩點(diǎn)x1<x2,都有f(x1)<

2、;(>)f(x2),則稱y=f(x)在I內(nèi)單調(diào)增加(減少)。若將“EQ)”改成“<(>)”稱為嚴(yán)格單調(diào)增加(減少)。(3)奇偶性設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱如果f(-x)=f(x),則稱f(x)為偶函數(shù)如果f(-x)=-f(x),則稱f(x)為奇函數(shù)(4)周期性若f(x+l)=f(x)則稱f(x)是以l為周期的函數(shù)注：周期通常指的是它的最小正周期3復(fù)合函數(shù)設(shè)y=f(u)的定義域?yàn)镈i,又u=g(x)的定義域?yàn)镈,且g(D)UDi,則函數(shù)y=flg(x)】xD稱為由函數(shù)u=g(x)和函數(shù)y=f(u)構(gòu)成的復(fù)合函數(shù)。u稱為中間變量，記為：(f!)g)(x)=fb(x)4

3、基本初等函數(shù)：(1)幕函數(shù)y=xN(2)指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0,a*1)(3)對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax特例a=e,y=lnx(4)三角函數(shù)y=sinx,y=cosx等(5) 反三角函數(shù)y=arcsinx,y=arccosx等5初等函數(shù)：由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次四則運(yùn)算和有限次復(fù)合運(yùn)算得到的并可以用一個(gè)式子表示的函數(shù)。'x+1xE0.例：f(x)=«2兩個(gè)式子，故不是初等函數(shù)-x21x06函數(shù)的極限當(dāng)xt8時(shí)，若f(x)無(wú)限地接近于某個(gè)確定的數(shù)A,則稱A為f(x)當(dāng)xt笛時(shí)的極限。記為limf(x)=Ax-E二重要結(jié)論：limf(x)=Aulimf(x)=limf(

4、x)=Ax承：xJ二x_；_:：limf(x)=A的幾何意義:x.y = A是他的水平漸近線 例如:lim - = 0xT： xlim f(x) = A lim f(x) = B 而x J ： .x J二二A,B ,則說(shuō)明它有兩條漸近線。例如:兩條漸近線。limarctanx,y=，y=一一x：二22當(dāng)xTxo時(shí)，如果f(x)無(wú)限地接近于某一確定的常數(shù)A,則稱A為f(x)當(dāng)xTXo時(shí)的極限記為：limf(x)=Ax及注：(1)f(x)在Xo處的極限存在與否與f(x)在x=x0處有無(wú)定義沒(méi)有關(guān)系。因?yàn)槎x中沒(méi)有要求x=x0,只是XTx0(2)x趨近于xo的方式是任意的。(即可以從左邊，也可以從右

5、邊)左極限：當(dāng)x從左邊趨近于Xo(記為：XTXo-)時(shí)，f(x)TA,則稱A為f(x)當(dāng)XTx0時(shí)的左極限。記為:右極限：lim,f(x)=Axxo即左右極限存在且相等lim f(x) = A 或 f(xQ=Axx0-若："xQ¥Mx#，則limf(x)不存在x,x07無(wú)窮小量定義：以0為極限的變量稱為無(wú)窮小(量)定義：當(dāng)XTX。(或XT®)時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值的絕對(duì)值|f(X)|無(wú)限增大注意無(wú)窮大是一種特殊的無(wú)界變量，但無(wú)界變量不一定是無(wú)窮大無(wú)窮大的幾何意義：limf(x)=o,直線x=xo是函數(shù)y=f(x)圖形的鉛直漸近線(回憶水平漸近線XT。定理二：在自變量的同

6、一變化過(guò)程中，如果f(x)為無(wú)窮大，則,為無(wú)窮小；反之，f(x)1如果f(x)為無(wú)窮小，且f(x)=0,則，為無(wú)窮大。f(x)無(wú)窮小的性質(zhì)：定理三：有限個(gè)無(wú)窮小的和仍是無(wú)窮小定理二：有界函數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小推論：(1)有極限的量與無(wú)窮小的量的乘積是無(wú)窮小。(有極限;有界)(2)常數(shù)與無(wú)窮小量的乘積是無(wú)窮小(3)有限個(gè)無(wú)窮小量的乘積也是無(wú)窮小8無(wú)窮小的比較定義：設(shè)“，P都是無(wú)窮小(1)若lim-=0,則稱P是比“高階的無(wú)窮小,記為：0=0(«)aP(2)若lim=8,則稱P是比s低階的無(wú)窮小ap(3)若lim=c#0,則稱P與口是同階無(wú)窮小aB(4)若lim=1,則稱P與口是等價(jià)

7、無(wú)窮小,記為：aPa最重要是等價(jià)無(wú)窮小，關(guān)于等價(jià)無(wú)窮小，我們要記住以下結(jié)論當(dāng)xt0時(shí)，sinxx,tanxx,ln(1+x)x,ex-1x,arcsinxx,arctanxx,cT.1.12V1+x-1x,1-cosxx,a-1xlna,(1+x)a-1«xn2注意其引申sinkxkx,tankxkx即上面的無(wú)窮小可換成其他無(wú)窮小,一一，1定理一':設(shè)口口,BP，且lim存在，則a9函數(shù)的連續(xù)性定義：設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)X0的某一鄰域內(nèi)有定義,如果limy=貶f(x0+Ax)f(x0)=0,則稱y=f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)。強(qiáng)調(diào)：Axt0包含ix>0,Axt0;ix&l

8、t;0，&xt0記：x0十Ax=x,貝UAy=f(x0+Ax)f(x0)=f(x)f(x0)xt0相當(dāng)于xtx0yT0相當(dāng)于f(x)Tf(x0)由此，我們得到連續(xù)的另一個(gè)等價(jià)定義定義2:設(shè)y=f(x)在點(diǎn)xO的某一鄰域內(nèi)有定義，如果limf(x)=f(x°)，則稱y=f(x)在xJx0點(diǎn)x0處連續(xù)。即：在x。處的極限等于它在該點(diǎn)的函數(shù)值與左、右極限相對(duì)應(yīng)，也有左、右連續(xù)的概念xxc-若 limy = 0若2m)-"=0，即Jimf(x)=f(x°),則稱f(x)在點(diǎn)x0處左連續(xù),即limf(x)=f(x°),則稱f(x)在點(diǎn)x0處右連續(xù)xx0-y

9、=f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)。左右都連續(xù)f(x) = f(x0)limf(x)=lim.'j0-JJ0若函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)處不連續(xù)，則稱y=f(x)在點(diǎn)x0處間斷。x0稱為y=f(x)的間斷點(diǎn)。(1)可去間斷點(diǎn)極限limf(x)存在，但y=f(x)在點(diǎn)x0處無(wú)定義或y=f(x)在點(diǎn)x0處有定義，但xx0limf(x)#fx0)。則稱xO為f(x)的可去間斷點(diǎn)。X%(2)跳躍間斷點(diǎn)若limf(x)與limj(x)存在，但limf(x)lim.f(x)x網(wǎng)一xx)x%-x%.可去間斷點(diǎn)和跳躍間斷點(diǎn)統(tǒng)稱為第一類間斷點(diǎn)。第一類間斷點(diǎn)的特點(diǎn)是左右極限都存在。第一類間斷點(diǎn)以外的間斷點(diǎn)稱為第二類間斷點(diǎn)

10、。特點(diǎn)：是至少有一個(gè)單側(cè)極限不存在。常見(jiàn)的有無(wú)窮間斷點(diǎn)。特點(diǎn)：至少有一個(gè)單側(cè)極限為無(wú)窮大。一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)是連續(xù)的10函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定義：設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處的某個(gè)鄰域U(%)內(nèi)有定義，給以增量Ax(Ax /0 ,(X0 +Ax) EU (X0)仍然在該鄰域內(nèi))，若肥0?=翦f(X0 +&x)f(Xo)存在。則LX稱f(x)在X0處可導(dǎo)。并稱這個(gè)極限值為f(x)在X0處的導(dǎo)數(shù)。記為：fx),ym,df(x)dy即一、f風(fēng)十fd),即f(x)=limdxx±dXx33Ax關(guān)于導(dǎo)數(shù)的幾點(diǎn)說(shuō)明：(1)導(dǎo)數(shù)反映因變量關(guān)于自變量的變化率，即反映了因變量隨自變量的變化而變化

11、的快慢程度。(2)令x0+Ax=x，當(dāng)Axt0時(shí)XTX0等價(jià)定義f(X0)=limf(x)-f(X0)x加X(jué)-x0(1)若定義中極限不存在，則稱f(X)在X0處不可導(dǎo)。在不可導(dǎo)中有一個(gè)特殊情形。當(dāng)她F=g,則稱f(x)在x0處的導(dǎo)數(shù)為無(wú)窮大。(2)如果函數(shù)y=f(x)在開(kāi)區(qū)間I內(nèi)的每一點(diǎn)處都可導(dǎo)，就稱函數(shù)y=f(x)在開(kāi)區(qū)間I內(nèi)可導(dǎo)。(3)對(duì)于任一個(gè)XWI，都對(duì)應(yīng)著f(x)的一個(gè)確定的導(dǎo)數(shù)值，XTf'(x)。這個(gè)函數(shù)叫做原來(lái)函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)。記作：V,f'(x) dx或整y=limf(x，x)-f(x).xQX注：(1)導(dǎo)函數(shù)f'(x)簡(jiǎn)稱為導(dǎo)數(shù)(2)r(x0)=r

12、(x)x.(6)單側(cè)導(dǎo)數(shù)1、左導(dǎo)數(shù)2、右導(dǎo)數(shù)f(X0)存在uf&X。)=f+(X0)(7)如果f(x)在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且匚(b)及fb)都存在，就說(shuō)f(x)在閉區(qū)間Ia,b±可導(dǎo)。函數(shù)f(x)在點(diǎn)X0處的導(dǎo)數(shù)f'(X0)的幾何意義就是曲線y=f(x)在對(duì)應(yīng)點(diǎn)A(x0,y0)處的切線的斜率。于是：曲線y=f(x)在點(diǎn)A(x0,y°)處的切線方程可寫(xiě)成：(1)f(Xo)存在，則切線方程：y-yo=f(xo)(x-xo)1法線方程：y_y0=_(X-X0)f(Xo)(2)若(x°)=g切線方程：x=xo法線方程：y=y0定理：若f(x)在入處可

13、導(dǎo)。則f(x)在處必連續(xù)連續(xù)但不可導(dǎo)的例子：y=x在x=0處lim|x=0=f(0)所以連續(xù)，但不可導(dǎo)注：若不連續(xù)，則一定不可導(dǎo)11函數(shù)的微分定義：設(shè)函數(shù)y=f(x)在某區(qū)間內(nèi)有定義，在x=xo處給自變量以增量Ax,如果相應(yīng)的函數(shù)的增量X總能表示為：Ay=AAx+o(Ax),其中A與Ax無(wú)關(guān)，o(Ax)是Ax的高階無(wú)窮小。則稱函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處可微。并稱Ax為f(x)在點(diǎn)x0處的微分。記作：dy或df(x)即：dy=AAxA稱為微分系數(shù)。定理：函數(shù)y=f(x)在x0處可微u函數(shù)y=f(x)在x0處可導(dǎo)我們得到函數(shù)的可微性與可導(dǎo)性是等價(jià)的。(可微仁可導(dǎo))。函數(shù)在x處的微分dy=f(x)d

14、x12函數(shù)的不定積分定義1設(shè)函數(shù)F(x)在某區(qū)間I上可導(dǎo)，且VxI有F'(x)=f(x),則稱F(x)為函數(shù)f(x)在區(qū)間I上的一個(gè)原函數(shù).定理1設(shè)F(x)是f(x)在區(qū)間I上的一個(gè)原函數(shù)，則F(x)+C(C為任意常數(shù))為f(x)的全體原函數(shù).定義設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間I上有定義，稱f(x)在區(qū)間I上的原函數(shù)的全體為f(x)在I上的不定積分，.記作Jf(x)dx,其中記號(hào)“”稱為積分號(hào)，f(x)稱為被積函數(shù).，x稱為積分變量.定理1設(shè)F(x)是f(x)在區(qū)間I上的一個(gè)原函數(shù)，則f(x)dx=F(x)+C,C為任意常數(shù).強(qiáng)調(diào)：c不能丟，F(xiàn)(x)僅是一個(gè)原函數(shù)，不定積分是原函數(shù)的全體。通常，

15、我們把f(x)在區(qū)間I上的原函數(shù)的圖形稱為f(x)的積分曲線，不定積分的性質(zhì)(1) fctf(x)+Pg(x)dx=o(jf(x)dx+Pjg(x)dx,其中a,B為常數(shù)；(2) f(x)dx=f(x);dx(3)廣<x)dx=f(x)+C,C為任意常數(shù).13函數(shù)的定積分定義設(shè)函數(shù)f(x在區(qū)間a,b上有界，今取n+1個(gè)分點(diǎn)：a=xo<xi<x2<<xi?<xi<<xnT1<xn=b,將a,b分成n個(gè)小區(qū)間x2,x,其長(zhǎng)度記為Ax=xi?x?(i=1,2,，n),并令人=maxtx.',i上n若ViCxi卯,xi(i=1,2,，n),

16、極限limZf(i)Axi-0y存在，且該極限值與對(duì)區(qū)間a,b的分劃及目的取法無(wú)關(guān)，則稱f(x)在a,bb上可積，且稱該極限值為f(x)在a,b上的定積分，記為f(x)dx,其中，f(x)稱為a被一積函數(shù)”x稱為積分變量da和b分別稱為積分下限和上限一a,b稱為積分.區(qū)間,ZfiM(")Axi稱為積分和.一、/汪忠：(1) 定積分是一個(gè)和式的極限，它是一個(gè)數(shù)。和式很復(fù)雜，區(qū)間的分法無(wú)窮多，點(diǎn)的取法也無(wú)窮多。但是，極限與取法、分法無(wú)關(guān)。(2) 定積分由被積函數(shù)f(x)與積分區(qū)間la,b確定,與積分變量無(wú)關(guān)。即bbbf(x)dx=f(t)dtfUdouaaa(3) 曲邊梯形的面積A=Jf

17、(x)dx1a(4) 當(dāng)被積函數(shù)在積分區(qū)間上包等于1時(shí)，其積分值即為積分區(qū)間長(zhǎng)度，即bf(x)dx=b：a；a(5) 可積條件為方便起見(jiàn)，我們用R(a,b)表示區(qū)間a,b上所有可積函數(shù)的集合，可以證明：(1)若f(x)CC(a,b),則f(x)CR(a,b)；(2)若f(x)為a,b上的單調(diào)有界函數(shù)，則f(x)R(a,b);(3)若f(x)在a,b上僅有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)，則f(x)R(a,b).定積分的幾何意義：b(1) f(x)>0,ff(x)dx=S圖ab(2) f(x)<0,Jf(x)dx=S圖a(3) f(x)在la,b】上有正有負(fù)圖b£f(x)dx=§

18、;-S2+與面積的代數(shù)和總之，若f(x)CC(a,b),則定積分J：f(x)dx的幾何意義是表示由x軸、曲線y=f(x)、直線x=a與x=b所圍成的各部分圖形面積的代數(shù)和，其中位于x軸上方的圖形面積取正號(hào)，位于x軸下方的圖形面積取負(fù)號(hào).定積分的性質(zhì)(1)當(dāng)a=b時(shí)，ff(x)dx=O;.ba(2)當(dāng)a>b時(shí)，ff(x)dx=?f(x)dxa-b積分中值定理)設(shè)f(x)C(a,b),則三己Ca,b,使得bff(x)dx=f(己)(b?a).a設(shè)f(x)C(a,b),F(x)是f(x)在a,b上的一個(gè)原函數(shù)，則bf(x)dx=F(b)?F(a).a要掌握的具體內(nèi)容：如何求極限；如何求導(dǎo)數(shù)與微

19、分如何求不定積分與定積分導(dǎo)數(shù)和定積分的應(yīng)用一如何求極限求極限的方法(1)約去零因子法(適用于xtxo時(shí)的0型)0(2)無(wú)窮小因子分出法(適用于xTg時(shí)的二型)QO當(dāng)xtg時(shí)有理分式的極限為(3)有理化(適用于含有根式的極限)(4)通分(適用于比型)(5)利用兩個(gè)重要極限1第一個(gè)重要極限1而處=1X0x這個(gè)極限的特點(diǎn)：sin x(1)0型(2)0x推廣：1而sinu(x)=1,其中u(x)是x的該變化過(guò)程中的無(wú)窮小某過(guò)程u(x)2第二個(gè)重要極限1Vlim(1+)x=e(e是無(wú)理數(shù)，e=2.71828|)x-x幾種變形有如下特點(diǎn)：(1)產(chǎn)型(2)加號(hào)上的量與肩膀上的量互為倒數(shù)1推廣：若limu(x

20、)=o,貝Ulim1+=e!u(x).1若limu(x)=0,lim1+u(x)詞=e(6)等價(jià)無(wú)窮小替換當(dāng)xt0時(shí)，sinxx,tanxx,ln(1+x)x,ex-1x,arcsinxx,arctanxx,n,1/12xJ1+x1x,1cosxx,a-1xlna,(1十x)1uxn2注意其引申sinkxkx,tankxkx即上面的無(wú)窮小可換成其他無(wú)窮小,一一：定理一：設(shè)uu,口B,且lim)存在，則a強(qiáng)調(diào)：乘積時(shí)才用等價(jià)無(wú)窮小代替,即被替換的無(wú)窮小必須處于,在加減中不能代替 乘積因子位置例：limx 0tanx-sinx3sinx原式=limW=0錯(cuò)在加減中不要替換xQx(7)利用無(wú)窮小的性

21、質(zhì)(定理二：有界函數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小)(8)利用左右極限與極限的關(guān)系(適用于分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的極限)(9)連續(xù)性的定義(設(shè)連續(xù)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0的某一鄰域內(nèi)有定義，則limf(x)=f(%)x%(10)洛必達(dá)法則0型，一型直接使用法則，008型，將其中的一個(gè)倒下來(lái)，化成0型或二型，再使用法則。0g-0c型，通分后化成0型，再使用法則。01的00產(chǎn)0型，化成以e為底的指數(shù)，或取對(duì)數(shù)后化成08以上10種方法中，特別要注意洛必達(dá)法則與重要極限，無(wú)窮小替換，相結(jié)合二如何求導(dǎo)數(shù)(1)基本求導(dǎo)公式求導(dǎo)公式：(1)(c) =0(2)(3)(ax)' = axlna特例:(ex) , =

22、ex(4)(lOga X)xln a特例:,1(ln x) ,(lnxx)' x(5)(sin x) = cosx(cos x) = -sin x(6)(arcsin x)=1 -x2(arccosx)=11 一 x2(2)求導(dǎo)的四則運(yùn)算法則:(當(dāng)二vu v -uv(v=0)(cu)'=cu' c為常數(shù)(*")，=叫"特例：(x)'=1,(7xy=,()'=-72“xxx(3)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則定理三：如果u=g(x)在點(diǎn)x處可導(dǎo)，而y=f(u)在點(diǎn)u=g(x)處可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)y=flg(x)】在點(diǎn)x處可導(dǎo)，且其導(dǎo)數(shù)為:dy dy

23、du .二或dxdu dxy = f (u) g (x)鏈?zhǔn)椒▌tdy dx du函數(shù)對(duì)x的導(dǎo)數(shù)電：f(u)又tu的導(dǎo)數(shù) duu =g(x)對(duì)x求導(dǎo)dx復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，等于函數(shù)對(duì)中間變量的導(dǎo)數(shù)乘以中間變量對(duì)自變量的導(dǎo)數(shù)。(4)參數(shù)方程的求導(dǎo)法x (t)若參數(shù)方程? m(t)確定y與x之間的函數(shù)關(guān)系，稱此為由參數(shù)方程所確定的函數(shù)。 y ='(t)dy求導(dǎo)公式 處=?=乎)y又tt的導(dǎo)數(shù)比上x(chóng)對(duì)t的導(dǎo)數(shù)dxdx(t)dtd29二階導(dǎo)數(shù)d_y = _dt巫 dx2 dxdt(5) 隱含數(shù)的求導(dǎo)法 什么叫隱含數(shù)？電對(duì)t的導(dǎo)數(shù)比上x(chóng)對(duì)t的導(dǎo)數(shù) dx定義：由方程所確定的函數(shù)y = f (x)稱為隱函

24、數(shù)隱函數(shù)的求導(dǎo)法則：用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則直接對(duì)方程兩邊求導(dǎo)(6)對(duì)數(shù)求導(dǎo)法：先兩邊取對(duì)數(shù)，然后按照隱函數(shù)的求導(dǎo)方法求導(dǎo)。適用范圍：(1)幕指函數(shù)u(x)v(x)(2)多個(gè)函數(shù)相乘或還有開(kāi)方的情況(7)變限函數(shù)的求導(dǎo),dx.(x)=(f(t)dt)=f(x)dxadu(x)一ff(t)dt=f(u(x)u'(x)?f(v(x)v'(x).dxMM(8)如何求微分dy=f'(x)dx先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，則dy=f（x）dx千萬(wàn)不要忘記寫(xiě)dx三如何求積分基本積分公式Jkdx=kx+C（k為常數(shù)），xadx=xa1+C（aw二1）,a1特別地：jdx=-l+cdx=2>/x

25、+cxx.x1-f-dx=lnIx|+C（xw0）,xexdx=ex+C,v1adx=a+C（a>0且aw1）,Inacosxdx=sinx+C,飛sinxdx=：cosx+C,Dsec2xdx=tanx+C,9csc2xdx=二cotx+C,secxtanxdx=secx+C,Ocscxcotxdx=二cscx+C,1dx=arcsinx+C,.1-x21,Odx=arctanxc1x2積分的方法一，分項(xiàng)積分jkf(x)+Pg(x)dx=aJf(x)dx+PJg(x)dx,其中a,B為常數(shù);bb.bLf(x)-,g(x)dx="f(x)dx-g(x)dxaaa換元法第一換元法

26、(湊微分)f(1-(x),-(x)dx=f(1-(x)d,-(x)u=1-(x)f(u)du=F(u)cu=中(x)F(巾(x)+C.(注意：中間的換元過(guò)程可省略。)第二換元對(duì)于定積分的第二換元法要注意：(1)換元必?fù)Q限(2)當(dāng)a<b時(shí),不一定有a<P,但下限一定要對(duì)應(yīng)下限，上限一定要對(duì)應(yīng)上限(3)a邛選取可能不唯一,原則上：不自找麻煩"口-再越小越好三分部積分注意：1將誰(shuí)看成v'2回歸法對(duì)于定積分還有三個(gè)要注意的地方一，分段函數(shù)的定積分如果積分區(qū)間包含了被積函數(shù)的分段點(diǎn)，則利用積分對(duì)區(qū)間的可加性，分成幾個(gè)定積分的和例:f(x)=，1 +x26 ,x : 0x -

27、01,計(jì)算 L,(x)dxf (x)dx = -1-1001f (x)dx-f (x)dx = J1 x )dx - i edx解:0=(x +-x3)+ (通 T)例：f(x)=解：因?yàn)閒(x)=4x1,x_-1;-x-1,x-1(1)定義二奇零偶倍廣義積分無(wú)窮積分tf(x)dx=limf(x)dxtl：-1a0若廣義積分ff(x)dx與-f(x)dx都收斂，則-f(x)dx收斂，且定義為這兩個(gè)廣義積分一二：0之和。limf(x)dxlimf(x)dxt：-ttr二二0計(jì)算(2)定義f(x)dx=F(x)a=limF(x)-F(a)瑕積分bt:若x=b為f(x)的瑕點(diǎn)，則ff(x)dx=li

28、mff(x)dxat_b-'abb若x=a為f(x)的瑕點(diǎn)，則af(x)dx=tlim+f(x)dx若*=cw(a,b)為f(x)的瑕點(diǎn)，則f(x)dx=limff(x)dx十limJf(x)dxat.c_at_c't計(jì)算：,一，bb若x=b為f(x)的瑕點(diǎn)，則ff(x)dx=F(x)=limF(x)-F(a)Laa一bb若x=a為f(x)的瑕點(diǎn),則ff(x)dx=F(x).=F(b)lim,F(x)a、/a若*=cW(a,b)為f(x)的瑕點(diǎn)，則bcbcbff(x)dx=Jf(x)dx+Jf(x)dx=F(x)+F(x)aacu=limF(x)-F(a)+F(b)-limF(

29、x)xc-x)c四應(yīng)用題(一)求曲線的切線，法線(二)求極值，單調(diào)區(qū)間，拐點(diǎn)，凹凸區(qū)間，最大值，最小值。確定函數(shù)單調(diào)區(qū)間，極值的步驟為：(1)寫(xiě)出定義域(2)找出駐點(diǎn)和導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)，將定義域進(jìn)行劃分。(3)判斷各區(qū)間導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，并判斷單調(diào)性，。(4)寫(xiě)出單調(diào)區(qū)問(wèn)，求出各極值點(diǎn)的函數(shù)值，即得全部極值。判斷凹凸區(qū)間，曲線拐點(diǎn)的步驟：(1)寫(xiě)出定義域，求f”(x)(2)令f"(x)=0，解出實(shí)根，并找出二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)，將定義域進(jìn)行劃分對(duì)每一點(diǎn)X0,考察f”(x)在刈的左、右兩側(cè)的符號(hào)。寫(xiě)出凹凸區(qū)間，若左、右兩側(cè)符號(hào)相反，則(X。，f(X。)為拐點(diǎn)，否則不是。求最值的步驟：(1)在b,b內(nèi)找出駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)，x1,x2|川|xn(2)計(jì)算f(xi)及f(a),f(b)(3)從這些值中找出最大值、最小值(三)與中值定理有關(guān)的證明題(四)利用單調(diào)性證明不等式(五)關(guān)于閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)的證明題(六)求平面圖形的面積記?。罕环e函數(shù)是上面的函數(shù)減下面的函數(shù)。