第 04 章 動量及角動量

1、第第 4 章章 動量和角動量動量和角動量第第 4 章章 動量和角動量動量和角動量4.1 動量定理動量定理 動量守恒定律動量守恒定律4.2 質心質心 質心運動定理質心運動定理4.3 碰撞問題碰撞問題4.5 質點的角動量質點的角動量 角動量守恒定律角動量守恒定律4.4 火箭飛行基本原理火箭飛行基本原理4.6 質點系的角動量質點系的角動量一、動量與沖量一、動量與沖量vmp單位：單位：kgms-1 沖量是反映力對時間的累積效應的物理量。沖量是反映力對時間的累積效應的物理量。沖量：作用力與作用時間的乘積。沖量：作用力與作用時間的乘積。恒力的沖量：恒力的沖量：)(12ttFI變力的沖量：變力的沖量：21d

2、)(ttttFI單位：單位：Ns牛頓第二定律：牛頓第二定律：amtvmFtvmFtm ddd)(d0dd動量：動量：4.1 動量定理動量定理 動量守恒定律動量守恒定律二、質點動量定理二、質點動量定理由牛頓運動定律：由牛頓運動定律：tptvmFddd)(dtFpdd如果力的作用時間從如果力的作用時間從 ，質點動量從，質點動量從 則：則： tt 0pp0000dvmvmpptFItt質點動量定理：質點動量定理： 質點在運動過程中，所受合外力的沖質點在運動過程中，所受合外力的沖量等于質點動量的增量。量等于質點動量的增量。動量定理的微分式：動量定理的微分式：(2) 動量定理中的動量和沖量都是矢量，符合

3、矢量疊加動量定理中的動量和沖量都是矢量，符合矢量疊加原理。或以原理?；蛞苑至啃问椒至啃问竭M行計算。進行計算。ttzzzzttyyyyxxttxxmvmvtFImvmvtFImvmvtFI000000ddd(1) 反映了力在時間上的累積作用對質點產生的效果。反映了力在時間上的累積作用對質點產生的效果。說明說明000dvmvmpptFItt(3) 沖擊、沖擊、 碰撞問題中碰撞問題中估算估算平均沖力平均沖力tttFtttIF0d10(4) 適用于適用于慣性系慣性系，在非慣性系中，只有添加慣性力的沖，在非慣性系中，只有添加慣性力的沖量后才成立量后才成立F(t)FtF00ttpp解：解：0440d mv

4、mvtF4)(mvtmgFtgmFv)(4(1) 根據動量定理：根據動量定理：30047t(s)F(N)例例4-1 m=10 千克木箱，在水平拉力作用下由靜止開始千克木箱，在水平拉力作用下由靜止開始運動，拉力隨時間變化如圖。已知木箱與地面摩擦系數運動，拉力隨時間變化如圖。已知木箱與地面摩擦系數為為 =0.2，求：，求： (1) t=4 秒時刻木箱速度；秒時刻木箱速度；(2) t=7 秒時刻木箱速度；秒時刻木箱速度；(3) t=6 秒時刻木箱速度。秒時刻木箱速度。mF)m/s(44)102 . 01030( d )2(4774mvmvtF)74( 1070ttF4747d)1070(mvtmgt

5、mv)m/s( 5 . 24d)5(747ttv)m/s( 44d)5(646ttv30047t(s)F(N)( mgFF例例4-2 質量為質量為m的行李，垂直地輕放在傳送帶上，傳送的行李，垂直地輕放在傳送帶上，傳送帶的速率為帶的速率為v ，它與行李間的摩擦系數為，它與行李間的摩擦系數為， 試計算試計算：(1) 行李將在傳送帶上滑動多長時間行李將在傳送帶上滑動多長時間? (2) 行李在這段時間內運行李在這段時間內運動多遠動多遠? (3) 有多少能量被摩擦所耗費有多少能量被摩擦所耗費?0fmvmgttF(1) 以地面為參照系以地面為參照系(2) 由質點動能定理由質點動能定理0212fmvmgxx

6、FA解解:(或：或： )221atxmxOvgvtgvx22mxOv(3) 被摩擦損耗的能量等于一對摩擦力做的功被摩擦損耗的能量等于一對摩擦力做的功)(fvtxFA以傳送帶為參考系：以傳送帶為參考系：2221)2(mvgvmg三、質點系的動量定理三、質點系的動量定理設設 有有N個質點構成一個系統(tǒng)，個質點構成一個系統(tǒng)，末速度末速度 。第第 i 個質點：個質點：外力外力 ，iF內力內力 ，if初速度初速度 ，0iviv質量質量im由質點動量定理：由質點動量定理：0d0iiiittiivmvmtfF 0d0iiiittiivmvmtfF 0if其中：其中：m21f2fm1PPPtFtti 00di質

7、點系的動量定理：質點系的動量定理：微分式：微分式：tPFidd質點系統(tǒng)所受合外力的沖量等于系統(tǒng)總動量的增量。質點系統(tǒng)所受合外力的沖量等于系統(tǒng)總動量的增量。PPPtFtti 00d四、動量守恒定律四、動量守恒定律系統(tǒng)所受合外力為零時，系統(tǒng)的總動量保持不變。系統(tǒng)所受合外力為零時，系統(tǒng)的總動量保持不變。iivmP 0iF當當 時，時， 常矢量。常矢量。( (2) )當外力作用遠小于內力作用時，可近似認為系統(tǒng)的總當外力作用遠小于內力作用時，可近似認為系統(tǒng)的總動量守恒。（如：碰撞、打擊等）動量守恒。（如：碰撞、打擊等） ( (1) )動量守恒是指系統(tǒng)動量總和不變，但系統(tǒng)內動量守恒是指系統(tǒng)動量總和不變，但

8、系統(tǒng)內各個質點的動量可以變化各個質點的動量可以變化, , 通過內力進行傳遞和交換。通過內力進行傳遞和交換。說明說明(3) 分量式分量式)0()0()0(時時當當常常量量時時當當常常量量時時當當常常量量iziziziyiyiyixixixFvmPFvmPFvmP(4) 定律不僅適合宏觀物體，同樣也適合微觀領域。定律不僅適合宏觀物體，同樣也適合微觀領域。例例4-3 已知高已知高H，傾角為，傾角為 的斜面光滑。小車的斜面光滑。小車質量質量 M，從頂端滑至中點時剛好有一鋼球從頂端滑至中點時剛好有一鋼球 m 從從 h 高度掉入。求小高度掉入。求小車到達底部時的速度車到達底部時的速度V ?解：解：m、M

9、系統(tǒng)，沖擊過程系統(tǒng)，沖擊過程HhmM (M+m)gNvmMmvMvMm)(sin由于由于m與與M間的沖擊作間的沖擊作用力遠大于重力在斜面用力遠大于重力在斜面上的分量，重力在沖擊上的分量，重力在沖擊過程中可以忽略，過程中可以忽略，斜面斜面方向動量守恒方向動量守恒!沖擊過程后，沖擊過程后，m、M、地球系統(tǒng)機械能守恒：地球系統(tǒng)機械能守恒：22)(212)()(21VmMgHmMvmM解得：解得：2)sin2(mMghmgHMgHVghvmghmvmm2 212 2212gHvHMgMvMMu例例4-4 炮車的質量為炮車的質量為M，炮彈的質量為，炮彈的質量為m。若炮車與地面。若炮車與地面有摩擦，摩擦系

10、數為有摩擦，摩擦系數為 , 炮彈相對炮身的速度為炮彈相對炮身的速度為u， 求炮身求炮身相對地面的反沖速度相對地面的反沖速度 v 。解：解：選取炮車和炮彈組成系統(tǒng)選取炮車和炮彈組成系統(tǒng)運用質點系的動量定理：運用質點系的動量定理：0)(d)(0uvmvMtfNgmgMx方向：方向：) 1 ()cos(d0uvmMvtf內、外力分析。內、外力分析。水平的動量守恒嗎水平的動量守恒嗎 ？y方向：方向：)2(sind)(0mutmgMgNxygMgmNf) 1 ()cos(d0uvmMvtf)2(sind)(0mutmgMgN)( mgMgN很很短短，) 3(Nf)2(sind0mutNsin cos )

11、(umumvmMmMmuv)sin(cosugMgmNf討論：討論：1. 若炮車與地面沒有摩擦若炮車與地面沒有摩擦0mMmuvcos2. 若炮車與地面有摩擦，但水平發(fā)射炮彈若炮車與地面有摩擦，但水平發(fā)射炮彈0mMmuv3. 自鎖現象，即自鎖現象，即 v=0 時時cotmMmuv)sin(cosEND4.2 質心質心 質心運動定理質心運動定理一、質心一、質心 質心質心是與質量分布有關的一個代表點，它的位置在是與質量分布有關的一個代表點，它的位置在平均意義上代表著質量分布的中心。平均意義上代表著質量分布的中心。ccc質心的位矢：質心的位矢：iiiiimrmrcmxmxiiic分量式：分量式：mmr

12、rddcmymyiiicmzmziiic質量連續(xù)分布的物體：質量連續(xù)分布的物體：xyzirimcrOcmmxxddc分量式：分量式：smsddVmdd質量線分布：質量線分布：質量面分布：質量面分布：質量體分布：質量體分布：mmrrddcmmyyddcmmzzddclmldd例例4-5 求半圓求半圓環(huán)環(huán)的質心。的質心。llRRxdmmxxdc0dsin1R 質心不一定位于物體內部。質心不一定位于物體內部。解：解：RxyOdlc2RdddRlmll二、質心運動定理二、質心運動定理iiiiiimvmmtrmtrvddddcciiivmvmciiiiimrmrc為質點系的動量為質點系的動量零動量系零動

13、量系質心坐標系：質心坐標系：由質心位矢公式：由質心位矢公式：0cr0cv0iiivmccddamtvmFii由質點系動量定理：由質點系動量定理：c1ddvmtFii0d0iiiiiittiivmvmtF 質心運動定理：質心運動定理： 質心的運動等同于一個質點的運動，這質心的運動等同于一個質點的運動，這個質點具有質點系的總質量，它受到的外力為質點系所個質點具有質點系的總質量，它受到的外力為質點系所受的所有外力的矢量和。受的所有外力的矢量和。微分形式：微分形式：0ccvmvm1. 適用于慣性系。適用于慣性系。0, 0caFii質心系是慣性系，質心系是慣性系，質心系是非慣性系。質心系是非慣性系。0,

14、 0caFii2.3. 動量守恒、功能原理、角動量定理在質心系中成立。動量守恒、功能原理、角動量定理在質心系中成立。4. 質點系相對慣性系的運動可分解成：質點系相對慣性系的運動可分解成： 隨質心的運動隨質心的運動+相對質心的運動。相對質心的運動。222212121iiiiciiiivmvmvm資用能資用能說明說明質點系在實驗室系的總動能：質點系在實驗室系的總動能：例例4-6 三棱體三棱體 C、滑塊、滑塊 A、B，各面均光滑。各面均光滑。已知已知mC=4mA=16mB , =300， =600。求。求A下降下降 h=10cm時三棱體時三棱體 C 在水平方向的位移。在水平方向的位移。解：解：0)(

15、)(xmxxmxxmCBBAA水平方向無外力水平方向無外力, 質心水平位置不變。質心水平位置不變。ABCh tan/ hxA)cm(8 . 3 CBABBAAmmmxmxmxx設三棱體設三棱體 位移為位移為 ： 0cx0 iixm sin/cos hxB例例4-7 質量為質量為M的人，手里拿著質量為的人，手里拿著質量為m的物體，此人用的物體，此人用與地平線成與地平線成 的速度的速度v0 向前跳去，當他到達最高點時，把向前跳去，當他到達最高點時，把物體以相對于自己以速度物體以相對于自己以速度 u 向后拋出，問由于物體的拋出向后拋出，問由于物體的拋出，他跳過的距離與不拋物體時相比可增加多少？，他跳

16、過的距離與不拋物體時相比可增加多少？人不向后拋出物體，所跳人不向后拋出物體，所跳過的距離：過的距離：解法一解法一 取地面坐標系，用動量守恒定律求解。取地面坐標系，用動量守恒定律求解。人在最高點向后拋出物體的過人在最高點向后拋出物體的過程中，應用動量守恒定律：程中，應用動量守恒定律：gvRcossin220cos)()(0vMmuVmMVmMRR+RxyuVO拋出物體后人的速度：拋出物體后人的速度： MmmuvVcos0比不拋出物體時速度增加了：比不拋出物體時速度增加了：MmmuV拋出物體后多跳過的距離：拋出物體后多跳過的距離：2TVtVRgvMmmusin0解法二解法二 質心坐標系中應用動量守

17、恒定律。質心坐標系中應用動量守恒定律。uvVMVmv0MmmuV在下落時間過程中，人相對于質心運動的距離，即為人在下落時間過程中，人相對于質心運動的距離，即為人比不拋出物體時多跳過的距離比不拋出物體時多跳過的距離:tVRmMRR+RxyuVOgvMmmusin0解法三解法三 應用質心運動定律求解。應用質心運動定律求解。人以相對于自己速度人以相對于自己速度u 拋出拋出物體物體m，下落后，人，下落后，人M與物與物體體m之間的距離：之間的距離：gvuutlsin0cxxRMmMxx聯立方程后，可得落地時人離質心距離為：聯立方程后，可得落地時人離質心距離為：mMmxMxxmMcENDmMRR+Rxyu

18、VOgvR2sin20gMmmuvMmml)(sin0一、碰撞過程一、碰撞過程1. 壓縮階段壓縮階段2. 恢復階段恢復階段4.3 碰撞問題碰撞問題微觀粒子：碰撞微觀粒子：碰撞 散射散射 彈性碰撞：彈性碰撞：碰撞后物體的形變可以完全恢復，且碰碰撞后物體的形變可以完全恢復，且碰撞前后系統(tǒng)的總機械能守恒。撞前后系統(tǒng)的總機械能守恒。 非彈性碰撞：非彈性碰撞：碰撞后物體的形變只有部分恢復，系碰撞后物體的形變只有部分恢復，系統(tǒng)有部分機械能損失。統(tǒng)有部分機械能損失。 完全非彈性碰撞：完全非彈性碰撞：碰撞后物體的形變完全不能恢復，碰撞后物體的形變完全不能恢復，兩物體合為一體一起運動。系統(tǒng)有機械能損失。兩物體合

19、為一體一起運動。系統(tǒng)有機械能損失。(1) 彈性碰撞彈性碰撞v2v1v20v102211202101vmvmvmvm動量守恒：動量守恒：動能守恒：動能守恒：2222112202210121212121vmvmvmvm21202102112mmvmvmmv21101201222mmvmvmmv201012vvvv1. 當當m1=m2時，時， 則則:102201vvvv討論討論 在一維彈性碰撞中在一維彈性碰撞中, 質量相等的兩個質點在碰撞中交質量相等的兩個質點在碰撞中交換彼此的速度。換彼此的速度。2. 若若v20=0，且，且 m2m1，則，則:21202102112mmvmvmmv211012012

20、22mmvmvmmv02101vvv質量很小的質點與質量很大的靜止質點碰撞后，調轉運質量很小的質點與質量很大的靜止質點碰撞后，調轉運動方向，而質量很大的質點幾乎保持不動。動方向，而質量很大的質點幾乎保持不動。3. 若若v20=0， 且且m2m1， 則則:1021012vvvv質量很大的入射質點與質量很小的靜止質點碰撞后速度幾質量很大的入射質點與質量很小的靜止質點碰撞后速度幾乎不變，但質量很小的質點卻以近兩倍的速度運動起來。乎不變，但質量很小的質點卻以近兩倍的速度運動起來。(2) 完全非彈性碰撞完全非彈性碰撞動量守恒：動量守恒：vmmvmvm)(2120210121202101mmvmvmv機械

21、能損失：機械能損失：)2121()(21220221012210kkvmvmvmmEEE)(2)(212201021mmvvmmEvv20v10動量守恒：動量守恒：(3) 非彈性碰撞：非彈性碰撞：2211202101vmvmvmvm碰撞定律：碰撞定律： 碰撞后兩球的分離速度碰撞后兩球的分離速度(v2-v1)與碰撞前與碰撞前兩球的接近速度兩球的接近速度(v10-v20) 成正比。比值由兩成正比。比值由兩球的質料決定。球的質料決定。201012vvvve恢復系數恢復系數v2v1v20v10碰后兩球的速度：碰后兩球的速度：2120102101)(1 (mmvvemvv2120101202)(1 (m

22、mvvemvv機械能損失：機械能損失：2201021212k)()1 (21vvmmmmeE完全非彈性碰撞：完全非彈性碰撞： e =0 v2=v1非彈性碰撞：非彈性碰撞： 0 e 1 彈性碰撞：彈性碰撞： e =1 （v2-v1）= （v10-v20）201012vvvve例例4-8 已知板已知板 M，l；小球；小球 m, v0 , h。彈簧。彈簧 k，桌面光滑，桌面光滑，掉下時與板為彈性碰撞。求掉下時與板為彈性碰撞。求(1) 彈簧最大壓縮量，彈簧最大壓縮量， (2) 若若只發(fā)生一次碰撞，則只發(fā)生一次碰撞，則v0 應滿足什么條件？應滿足什么條件？解：解：ghvvvyx2,0MVvmmvyy22

23、222212121MVvvmvvmyxyx（1）碰撞時（）碰撞時（y方向碰撞）方向碰撞）, 小球速度為：小球速度為：彈性碰撞：彈性碰撞：hlm v0kxy解得：解得：MmghmV22MmghmMvy2碰后，板、彈簧、地球系統(tǒng)：碰后，板、彈簧、地球系統(tǒng)：yMgyykykMV20202212121得：得：kMghMmmVkMy22kMgy 0 其中(2)小球從桌面下落至板上經歷的時間：小球從桌面下落至板上經歷的時間：ght/21球要與板發(fā)生碰撞，球要與板發(fā)生碰撞， 首先首先須滿足條件須滿足條件 1：ltv10一次碰撞后，小球彈起再落一次碰撞后，小球彈起再落回原碰撞處經歷的時間：回原碰撞處經歷的時間：gvty/22hlm v0k得：得：lhgvlhgmMMm 2 230lttv)(210設平板質量很大，碰后彈