matlab(四連桿優(yōu)化設(shè)計)

1、機械優(yōu)化設(shè)計在matlab中的應用 東南大學機械工程學院*一 優(yōu)化設(shè)計目的：在生活和工作中，人們對于同一個問題往往會提出多個解決方案，并通過各方面的論證從中提取最佳方案。最優(yōu)化方法就是專門研究如何從多個方案中科學合理地提取出最佳方案的科學。由于優(yōu)化問題無所不在，目前最優(yōu)化方法的應用和研究已經(jīng)深入到了生產(chǎn)和科研的各個領(lǐng)域，如土木工程、機械工程、化學工程、運輸調(diào)度、生產(chǎn)控制、經(jīng)濟規(guī)劃、經(jīng)濟管理等，并取得了顯著的經(jīng)濟效益和社會效益。二 優(yōu)化設(shè)計步驟：1.機械優(yōu)化設(shè)計的全過程一般可以分為如下幾個步驟：1)建立優(yōu)化設(shè)計的數(shù)學模型；2)選擇適當?shù)膬?yōu)化方法；3)編寫計算機程序；4)準備必要的初始數(shù)據(jù)并傷及計

2、算；5)對計算機求得的結(jié)果進行必要的分析。其中建立優(yōu)化設(shè)計數(shù)學模型是首要的和關(guān)鍵的一步，它是取得正確結(jié)果的前提。優(yōu)化方法的選取取決于數(shù)學模型的特點，例如優(yōu)化問題規(guī)模的大小，目標函數(shù)和約束函數(shù)的性態(tài)以及計算精度等。在比較各種可供選用的優(yōu)化方法時，需要考慮的一個重要因素是計算機執(zhí)行這些程序所花費的時間和費用，也即計算效率。2.建立數(shù)學模型的基本原則與步驟 設(shè)計變量的確定；設(shè)計變量是指在優(yōu)化設(shè)計的過程中，不斷進行修改，調(diào)整，一直處于變化的參數(shù)稱為設(shè)計變量。設(shè)計變量的全體實際上是一組變量，可用一個列向量表示：x=x1 x2 x3 x4xnT。 目標函數(shù)的建立；選擇目標函數(shù)是整個優(yōu)化設(shè)計過程中最重要的決

3、策之一。當對某以設(shè)計性能有特定的要求，而這個要求有很難滿足時，則針對這一性能進行優(yōu)化會得到滿意的效果。目標函數(shù)是設(shè)計變量的函數(shù)，是一項設(shè)計所追求的指標的數(shù)學反映，因此它能夠用來評價設(shè)計的優(yōu)劣。目標函數(shù)的一般表達式為：f(x)=f（x1,x2,x3,x4xn），要根據(jù)實際的設(shè)計要求來設(shè)計目標函數(shù)。 約束條件的確定。一個可行性設(shè)計必須滿足某些設(shè)計限制條件，這些限制條件稱為約束條件，簡稱約束。由若干個約束條件構(gòu)成目標函數(shù)的可行域，而可行域內(nèi)的所有設(shè)計點都是滿足設(shè)計要求的，一般情況下，其設(shè)計可行域可表示為 在可行域中，任意設(shè)計點滿足全部約束條件，稱為可行解，但不是最優(yōu)解，而優(yōu)化設(shè) 計就是要求出目標函數(shù)

4、在可行域的最優(yōu)解。三 實例分析 （機械優(yōu)化設(shè)計P241頁例8-5）設(shè)計一曲柄搖桿機構(gòu)如圖，要求：曲柄l1從0轉(zhuǎn)到m=0+90。時，搖桿l3的轉(zhuǎn)角最佳再現(xiàn)已知的運動規(guī)律：E=0+2×-023且已知l1=1，l4=5，0為極位角，其傳動角允許在45。135。范圍內(nèi)變化。分析：1） 設(shè)計變量的確定決定機構(gòu)尺寸的各桿長度，以及當搖桿按已知運動規(guī)律開始運行時，曲柄所載的位置角0應列為設(shè)計變量，即：X=x1 x2 x3 x4 x5T=l1 l2 l3 l4 0T 考慮到機構(gòu)的桿長按比例變化時，不會改變其運動規(guī)律，因此在計算時常取l1=1，而其他桿長則按比例取為l1的倍數(shù)。若取曲柄的初始位置角為極

5、位角，則0及相應搖桿l3位置角0均為桿長的函數(shù)，幾何圖形關(guān)系如右圖,其關(guān)系式為： 0=arcosl1+l22+l42-l322(l1+l2)l4 （1） 0=arcosl1+l22-l42-l322l3l4 （2）將 l1=1 ， l4=5 的長度代入上式（1），（2）得到：0=arcos1+l22+25-l3210(1+l2） 0=arcos1+l22-25-l3210l3因此，只有 l2 l3 為獨立變量，設(shè)計變量減少，故最后的設(shè)計變量為： X= l2 l3 T= x1 x2 T2) 目標函數(shù)的建立目標函數(shù)可根據(jù)已知的運動規(guī)律與機構(gòu)實際運動規(guī)律之間的偏差最小為指標來建立，即f(x)=i=1

6、m(Ei-i)2 min式中 Ei 期望輸出角，Ei=E（i）； m 輸入角等分數(shù)； i實際輸出角，由下圖得：a) 0i< b) i <2 i=-i-i (0i< ) -i+i ( i<2 ) （3） 式中 i=arcos(i2+l32-l222il3) i=arcos(i2+l42-l122il4) i=l12+l42-2l1l4cosi將輸入角分成30等分，并用近似公式計算，可得目標函數(shù)的表達式：f(x)=i=130(Ei-i)2(i-i-1)由題意知，傳動角的變化范圍是 45。135。，則上式中變量的最后形式可以寫成：i當=i時的機構(gòu)實際輸出角，有式3可知其計算公

7、式為：i=-i-i i=arcosi2+x22-x122ix2 （4） i=arcosi2+2410i （5） i=26-10cosi （6） i=arcos26-10cosi+241026-10cosi將 i帶入（4） （5）得： i=arcos26-10cosi+x22-x12226-10cosi x2 Ei為當=i時的理想輸出角，其值在題目中已經(jīng)給出：E=0+2×i-0233）約束條件的確定 曲柄搖桿機構(gòu)應滿足曲柄存在條件，可得g1x= l1- l20g2x= l1- l30g3x= l1- l40 g4x= l1+ l4- l3- l20 g5x= l1+ l2- l3- l

8、40 g6x= l1+ l3- l4- l20曲柄搖桿機構(gòu)的傳動角min和max之間，可得 g7x=arcosl22+l32- l1+ l422 l2 l3 max 0 g8x=minarcos l2+l32- l1- l422 l2 l3 0把約束條件簡化( l1=1 ， l4=5 ，min=45。， max=135。 ， l2= x1, l3= x2) g1x=1- x10 g2x=1- x20g3x=1-50 g4x=6- x2- x10 g5x= x1- x2-40 g6x= x2- x1-40 g7x=x12+x22-1.414 x1 x2-160 g8x=36-x12-x22-1.

9、414 x1 x20其中g(shù)3x滿足條件，故最后一共有兩個設(shè)計變量（ x1， x2），7個約束條件。4）優(yōu)化計算 此問題的圖解見上圖，有7個約束條件構(gòu)成了改優(yōu)化模型的可行域，而最優(yōu)解在可行域內(nèi)。優(yōu)化方法選擇： 該問題屬于一般的約束非線性最優(yōu)化類型，可以使用matlab優(yōu)化工具箱里面的fmincon函數(shù)進行求解。 fmincon里面算法的選擇：fmincon里面一共提供了largescale， 'medium-scale兩種算法，由于此問題只有兩個設(shè)計變量，維數(shù)較低，故采用medium-scale算法。medium-scale算法是采用SQP，算法中Hessian陣可以通過BFGS迭代，初

10、始Hessian陣任給。注意BFGS公式中q項是需要計算目標函數(shù)梯度得到的。所以Hessian矩陣的近似計算是需要用到有限差分法。在采用'medium-scale算法時，需提供其設(shè)計變量的初始點 x0的信息，而初始點的選擇也將影響計算得收斂性和收斂速度，如果初始點選擇得不恰當，可能最后函數(shù)不能收斂，得不到計算結(jié)果。精度的控制：為了得到更加精確地解，需要設(shè)置優(yōu)化函數(shù)的控制精度，函數(shù)本身默認精度為1e-4，精度比較低，通過options的設(shè)置將精度提高到 1e-9,這樣得到的結(jié)果更精確。以上兩點通過設(shè)置options參數(shù)即可：options=optimset('largescale

11、','off','display','off','Algorithm','active-set','TolFun',1e-9);所有的程序編好以后，在命令窗口輸入：youhua得到的matlab的運行結(jié)果如下： >> youhuax = 4.1574 2.2909 %最優(yōu)解fval = 5.1899e-004 %目標函數(shù)最優(yōu)點的值 exitflag = 5 %標志值，5表示重要方向?qū)?shù)小于規(guī)定的容許范圍并且約束違背小于options.ToLCon output = iterati

12、ons: 12 %迭代次數(shù) funcCount: 40 %函數(shù)的評價次數(shù) lssteplength: 1 stepsize: 7.6955e-005 algorithm: 'medium-scale: SQP, Quasi-Newton, line-search' %采用的中型算法 firstorderopt: 1.0832e-006 %一階最優(yōu)性條件 constrviolation: -1.0852e-006 message: 1x780 char %跳出信息lambda = lower: 2x1 double upper: 2x1 double eqlin: 0x1 dou

13、ble eqnonlin: 0x1 double ineqlin: 5x1 double ineqnonlin: 2x1 doublegrad = %函數(shù)在最優(yōu)點處梯度信息 1.0e-003 * 0.4888 0.4445hessian = %函數(shù)在最優(yōu)點處海塞矩陣 0.0016 0.0075 0.0075 0.0468>>5）結(jié)果分析 采用fmincon求解的最優(yōu)值：x*=4.1574; 2.2909;f*= 0.00051899 ；采用算法：中型算法（mediun-scale）。這與課本給出的最優(yōu)解：x*=4.1286;2.3325，f*=0.0156相比，計算精度更高，最優(yōu)解

14、的數(shù)值更精確，故計算準確度高。 用matlab繪制輸入輸出曲線關(guān)系圖上圖中（單位為“度”）藍色的線代表曲柄搖桿機構(gòu)的實際輸出角與輸入角的關(guān)系，紅色的線代表理想輸出角與輸入角的關(guān)系?？梢钥闯觯簩嶋H輸出和理論輸出曲線之間存在線性誤差，其最大線性誤差為2。，誤差在允許的范圍之內(nèi)，故結(jié)果的可信度也較大，運用matlab優(yōu)化工具箱計算所得結(jié)果正確。小結(jié)通過結(jié)合實際問題的分析，計算，求解，更加深入地了解和掌握機械優(yōu)化設(shè)計的過程和步驟，比較重要的步驟是數(shù)學模型的建立，以及設(shè)計變量的選取，以及數(shù)學模型的尺度變換，根據(jù)機構(gòu)實際工作需要，建立目標函數(shù)的約束條件等等，當數(shù)學模型建好以后，剩下的工作可以再matlab

15、里面完成，而matlab里面的優(yōu)化工具箱，給用戶提供了多種優(yōu)化函數(shù)，使用者只需要將數(shù)學模型按要求編寫成子程序嵌入已有的優(yōu)化程序即可。 在設(shè)計過程中也遇到一些困難，比如說在在用matlab計算時，計算機已知處于busy狀態(tài)，得不到函數(shù)的最優(yōu)解，最后反復的檢查，終于找的了其原因，是由于初始點選擇不恰當引起的，如果初始點選擇得好，可以節(jié)省計算時間和計算空間，故初始點的選取比較重要。 附錄1. 編寫目標函數(shù)M文件myfun.m： function f=myfun(x) f=0; %函數(shù)f賦初值a0=acos(1+x(1)2-x(2)2+25)/(10*(1+x(1); %初始計算點曲柄和搖桿的角度b0

16、=acos(1+x(1)2-x(2)2-25)/(10*x(2);i=2;while(i<=31) %設(shè)置迭代次數(shù)為30次 a(i)=a0+(pi/2)*(i/30); % 計算曲柄各分度的角度值 b(i)=b0+2*(a(i)-a0)2/(3*pi); % 計算搖桿各分度的角度值 r=sqrt(26-10*cos(a(i); c(i)=acos(r2+x(2)2-x(1)2)/(2*x(2)*r); d(i)=acos(r2+24)/(10*r); if a(i)<=pi e(i)=pi-c(i)-d(i); %計算搖桿輸出的實際值 else if a(i)<=2*pi e

17、(i)=pi-c(i)+d(i); end end a(1)=a0; f=f+(b(i)-e(i)2)*(a(i)-a(i-1); %目標函數(shù)的計算 i=i+1; end2. 編寫非線性不等式約束M文件constrain.m： functionc ceq=constrain(x)c=36-x(1)2-x(2)2-1.414*x(1)*x(2); x(1)2+x(2)2-1.414*x(1)*x(2)-16; %非線性不等式約束 ceq=;3. 調(diào)用fmincon優(yōu)化函數(shù)，建立youhua.m文件： lb=1;1; %設(shè)計變量的下界 x0=4;2; %迭代初始點A=-1,0;0,-1;-1,-1;1,-1;-1,