決勝中考探索性數(shù)學問題

1、.初中數(shù)學開放性探究性試題及解題策略瑞金市壬田初中 謝清靈個人郵箱：ruijinxieqingling QQ：1084733389 電話著基礎教育課程改革和素質教育的全面推進，近幾年在初中數(shù)學教學中和各省、市的中考題中，出現(xiàn)了一批符合學生年齡特點和認知水平、設計優(yōu)美、個性獨特的開放題。開放題打破傳統(tǒng)模式，構思新穎，使人耳目一新。數(shù)學開放題被認為是當前培養(yǎng)創(chuàng)新意識、創(chuàng)造能力的最富有價值的數(shù)學問題，加大數(shù)學開放題在中考命題中的力度，是應試教育向素質教育轉軌的重要體現(xiàn)，對發(fā)揮學生主體性方面確實具有得天獨厚的優(yōu)勢，是培養(yǎng)學生主體意識的極好材料。一、數(shù)學開放題的概述1、關于數(shù)學

2、開放題的幾種論述：所謂開放性試題：是指那些條件不完善，結論不明確、不惟一，解法無限制的一類試題。它是相對于   傳統(tǒng)型試題而言的。兩者的主要區(qū)別在于：傳統(tǒng)型試題的條件是完備的，結果是確定的（唯一的）：而開放性試題則是，要么條件不完備，要么結論不確定、不惟一，需要解題者自己去探索.主要有如下的論述：（1）答案不固定或者條件不完備的習題，我們稱為開放題；（2）開放題是條件多余需選擇、條件不足需補充或答案不固定的題；（3）有多處正確答案的問題是開放題。這類問題給予學生以自己喜歡的方式解答問題的機會，在解題過程中，學生可以把自己的知識、技能以各種方式結合，學生可以把自己的

3、知識、技能以各種方式結合，去發(fā)現(xiàn)新的思想方法；（4）答案不唯一的問題是開放性的問題；（5）具有多種不同的解法，或有多種可能的解答的問題，稱之為開放題；（6）問題不必有解，答案不必唯一，條件可以多余，稱之為開放題。正因如此，開放性試題有利于學生的創(chuàng)造性思維的培養(yǎng)，更有利于學生素質的提高，之所以越來越受到命題者的青睞。2、數(shù)學開放題的基本類型：大概包括以下幾種：（1）條件開放型這類問題一般是由給定的結論，反思，探索應具備的條件，而滿足結論的條件并不唯一A DC EB1 2例1、如圖，AB=DB，1=2，請你添加一個適當?shù)臈l件，使ABCDBE，則需添加的條件是。（2）結論開放型這類題目就是在給定的條

4、件下，探索響應的對象是否存在。它有結論存在和結論不存在兩種情況。其基本解題方法是：假設存在，演繹推理，得出結論，從而對是否存在做出準確的判斷。DBCA例2、如圖，O的直徑AB為6，P為AB上一點，過點P作O的弦CD，連結AC、BC，設BCD=mACD，是否存在正實數(shù)m，使弦CD最短？如果存在，請求出m的值；如果不存在請說明理由。簡析：假設存在正實數(shù)m，使弦CD最短，則有CDAB于P，從而cosPOD=OP:OD， 因為，AB=6，所以cosPOD=30°。于是ACD=15º，BCD=75º，故m=5。（3）策略開放性類型解題策略（或方法）有多種，可根據(jù)問題情景尋求

5、解法的一類問題。例3、計算：，學生可能出現(xiàn)以下幾種方法。方法1：直接通分，相加后再約分。方法2：原式=。方法3：原式=.方法1是常規(guī)方法；方法2體現(xiàn)的是一種化歸思想，但也不簡單；方法3轉化為一些互為相反數(shù)的和來計算，顯然新穎、簡便。（4）、綜合開放性類型（組合開放型）也叫條件、結論同時開放試題條件結論都不全或未知，需根據(jù)問題情景補充條件和結論。（這類型的試題的開放度大，相應難度高，突出考查的是尋求過程的多樣性，解題的核心是怎樣通過題設條件去聯(lián)想、類比、歸納和猜想結論，追求的是解決實際問題的數(shù)學思想和方法的多樣性）。此外，設計開放型、舉例開放型、實踐開放型、信息開放型（限于篇幅不舉例子）。還有綜

6、合開放型情境開放型等。這些開放題的條件、問題變化不定，有的條件隱蔽多余，有的結論多樣，有的解法豐富等。二、開放題具有不同于封閉題的顯著特點（1）數(shù)學開放題內容具有新穎性，條件復雜、結論不定、解法靈活、無現(xiàn)成模式可套用。題材廣泛，貼近學生實際生活，不像封閉性題型那樣簡單，靠記憶、套模式來解題。（2）數(shù)學開放題形式具有多樣性、生動性，有的追溯多種條件，有的追溯多種條件，有的探求多種結論，有的尋找多種解法，有的由變求變，體現(xiàn)現(xiàn)代數(shù)學氣息，不像封閉性題型形式單一的呈現(xiàn)和呆板的敘述。（3）數(shù)學開放題解決具有發(fā)散性，由于開放題的答案不唯一，解題時需要運用多種思維方法，通過多角度的觀察、想像、分析、綜合、類

7、比、歸納、概括等思維方法，同時探求多個解決方向。（4）數(shù)學開放題教育功能具有創(chuàng)新性，正是因為它的這種先進而高效的教育功能，適應了當前各國人才競爭的要求。三、開放探索性試題備考策略：（一）數(shù)與式的開放題此類題常以找規(guī)律的閱讀題形式出現(xiàn)，解題要求能善于觀察分析，歸納所提供的材料，猜想其結論。例題：觀察下列等式：9-1=8 16-4=12 25-9=16 36-16=20 這些等式反映出自然數(shù)間的某種規(guī)律，設n表示自然數(shù)，用關于n的等式表示出來： 。策略小結：此類“猜想性”開放題要求能夠從所給條件出發(fā)，通過觀察、試驗、分析、歸納、比較、概括、猜想、探索出一般規(guī)律，解題的關鍵在于正確的歸納和猜想。（二

8、）方程開放題此類問題主要以方程知識為背景，探索方程有解的條件或某種條件解的情況，求字母參數(shù)的值。例題：是否存在k，使關于x的方程9x2-（4k-7）x-6k2=0的兩個實數(shù)根x1、x2，滿足|x1-x2|=10如果存在，試求出所有滿足條件的k的值；若不存在，說明理由。策略小結：此類“存在性”開放題，其解題的一般思路是先假定滿足條件的結果存在，再依據(jù)有關知識推理，要么得到下面結果，肯定存在性；要么導出矛盾，否定存在性。（三）函數(shù)開放題xyO-1此類題是以函數(shù)知識為背景，設置探索函數(shù)解析式中字母系數(shù)的值及關系，滿足某條件的點的存在性等。例題：已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a0）的圖像如圖所示，

9、問由此圖像中所顯示的拋物線的特征，可以得到二次函數(shù)的系數(shù)a、b、c的哪些關系和結論。分析：a>0；即2a+3b=0；c= -1；策略小結：此類“圖像信息”開放題，只有認真觀察圖像上所給出的各個數(shù)據(jù)及位置特征，靈活運用函數(shù)性質，才能找出所有的關系與結論，數(shù)形結合是解此類題的重要數(shù)學思想方法。（四）幾何開放題此類問題常以幾何圖形為背景，設置探索幾何量間的關系或點、線位置關系DOAF B COA DE B CF例題：如圖1，四邊形ABCD是O的內接四邊形，A是弧BD的中點，過A點的切線與CB的延長線交于點E。（1）求證：AB·DA=CD·BE（2）若點E在CB延長線上運動，

10、點A在弧BD上運動，使切線EA變?yōu)楦罹€EFA，其他條件不變，問具備什么條件使原結論成立？（要求畫出示意圖2注明條件，不要求證明）分析：此題第（2）小題是一道條件探索性問題。其解法是“執(zhí)果索因”，要得到AB·DA=CD·BE，即要得ABECDA，已有條件ABE=CDA，還需增加條件：BAE=ACD，或BF=AD，或BF=DA，或FABD，或BCF=ACD等。策略小結：此類探索性試題，解答一般方法是“執(zhí)果索因”，能畫出圖形要盡量畫出圖形，再結合圖形逆向推導探索出需要增加的條件，為探索結論，可以作輔助線，對于結論未定的問題，也可反面思考，尋求否定結論的反例，達到目的。（五）綜合性

11、開放題此類問題是以幾何、代數(shù)綜合知識為背景，考查分析，推理能力，綜合運用知識解題能力。例題：如圖，在ABC中，AB=BC=2，高BE=3，在BC邊的延長線上取一點D，使CD=3。（1）現(xiàn)有一動點P，由A沿AB移動，設AP=t，SPCD=S，求S與t之間的關系式及自變量的取值范圍；（2）在（1）的條件下，當t=時，過點C作CHPD垂足為H；求證：關于x的二次函數(shù)y= -x+2-（10k）x+2k的圖像與x軸的兩個交點關于原點對稱；（3）在（1）的條件下，是否存在正實數(shù)t，使PD邊上的高CH=CD，如果存在，請求出t的值；如果不存在，請說明理由。分析：（1）（2）略。（4）假設存在實數(shù)根t，使得C

12、H=CD，則CDH=30º可推得BPD=90º，則BP=BD=2.5>AB，這與P在AB邊上矛盾，故這樣的P點不存在。策略小結：此類綜合性開放題，需要學生綜合題設條件，通過觀察，比較、聯(lián)想、猜測、推理、判斷等探索活動逐步得到結論，有時需分析運動變化過程，尋找變化中的特殊位置，即“動”中求“靜”、“一般”中見“特殊”，再探求特殊位置下應滿足的條件，利用分類討論思想，各個擊破。常見的開放題舉例：例1：在多項式4x2+1中添加一個條件，使其成為一個完全平方式，則添加的單項式是（只寫出一個即可）。分析：要使多項式4x2+1成為一個完全平方式，可添加一次項，也可添加二次項，還可

13、添加常數(shù)項。解：（1）添加4x可得完全平方式（2x+1）2 （2）添加-4x可得完全平方式（2x-1）2（3）添加-1可得完全平方式（2x）2 （4）添加-4x2可得完全平方式12例2：已知反比例函數(shù)，其圖象在第一、第三象限內，則k的值可為（寫出滿足條件的一個k的值即可）分析：對于反比例函數(shù)（是常數(shù)，0）。當它的圖象在第一、第三象限時有>0，所以本題中應該是-2>0，即>2。解：-2>0 >2 即只要的值大于2就可以滿足題目要求。例3：已知：ABC內接于O，過點A作直線EF，如圖，AB為直徑，要使得EF是O的切線，還需添加的條件是：（只須寫出三種情況） （1）（2

14、）（3）分析：根據(jù)題目所給條件，要使得EF是O的切線，關鍵是找到ABEF的條件即可解決問題。解：（1）CAE=B （2）ABEF （3）BAC+CAE=90º （4）C=FAB （5）EAB=BAF例4：已知一元二次方程有一個根為1，那么這個方程可以是（只需寫出一個方程）分析：如果一元二次方程有解，則有兩個解，題目給出方程有一個根為1，我們可以將此一元二次方程寫成（x-1）（x+a）=0的形式，則問題可以解決?？傊?，開放性問題變化無窮、生動活潑、靈活多樣、一改學生死搬硬套的解題模式，消除學生模仿死記解題的習慣，從不同角度對問題的深思熟慮，尋求多樣性的解題方法，以上僅僅是筆者幾年來教學

15、的心結，有不完善的地方還需要今后的教學中不斷探索、實踐，但我們的目標是堅定的，為培養(yǎng)開放型、創(chuàng)造型人才而努力工作。 動態(tài)幾何問題動態(tài)幾何類問題是近幾年中考命題的熱點，題目靈活、多變，能夠全面考查學生的綜合分析和解決問題的能力。有關動態(tài)幾何的概念，在很多資料上有說明，但是沒有一個統(tǒng)一的定義，在這里就不在贅述了。本人只是用2010年的部分中考數(shù)學試題加以說明。一、知識網(wǎng)絡動態(tài)幾何涉及的幾種情況 靜態(tài)問題的難度最多也就是中等偏上，真正讓人抓狂的永遠是動態(tài)問題。從歷年中考來看，動態(tài)問題經常作為壓軸題目出現(xiàn)，得分率也是最低的。動態(tài)問題一般分兩類，一類是代數(shù)綜合方面，在坐標系中有動點，動直線，一般是利用多

16、種函數(shù)交叉求解。另一類就是幾何綜合題，在梯形，矩形，三角形中設立動點、線以及整體平移翻轉，對考生的綜合分析能力進行考察。所以說，動態(tài)問題是中考數(shù)學當中的重中之重，只有完全掌握，才有機會拼高分。二、真題精講【例1】（2010，密云，）如圖，在梯形中，梯形的高為動點從點出發(fā)沿線段以每秒2個單位長度的速度向終點運動；動點同時從點出發(fā)沿線段以每秒1個單位長度的速度向終點運動設運動的時間為（秒）（1）當時，求的值；（2）試探究：為何值時，為等腰三角形【思路分析1】本題作為密云卷壓軸題，自然有一定難度，題目中出現(xiàn)了兩個動點，很多同學看到可能就會無從下手。但是解決動點問題，首先就是要找誰在動，誰沒在動，通過

17、分析動態(tài)條件和靜態(tài)條件之間的關系求解。對于大多數(shù)題目來說，都有一個由動轉靜的瞬間，就本題而言，M，N是在動，意味著BM,MC以及DN,NC都是變化的。但是我們發(fā)現(xiàn)，和這些動態(tài)的條件密切相關的條件DC,BC長度都是給定的，而且動態(tài)條件之間也是有關系的。所以當題中設定MN/AB時，就變成了一個靜止問題。由此，從這些條件出發(fā)，列出方程，自然得出結果?！窘馕觥拷猓海?）由題意知，當、運動到秒時，如圖，過作交于點，則四邊形是平行四邊形， （根據(jù)梯形內輔助線的常用做法，我們將MN放在三角形內，將動態(tài)問題轉化成平行時候的靜態(tài)問題） （這個比例關系就是將靜態(tài)與動態(tài)聯(lián)系起來的關鍵） 解得【思路分析2】第二問失分

18、也是最嚴重的，很多同學看到等腰三角形，理所當然以為是MN=NC即可，于是就漏掉了MN=MC,MC=CN這兩種情況。在中考中如果在動態(tài)問題當中碰見等腰三角形，一定不要忘記分類討論的思想，兩腰一底一個都不能少。具體分類以后，就成為了較為簡單的解三角形問題，于是可以輕松求解【解析】（2）分三種情況討論： 當時，如圖作交于，則有即（利用等腰三角形底邊高也是底邊中線的性質），解得 當時，如圖，過作于H則， 當時， 則 綜上所述，當、或時，為等腰三角形【例2】（2010，崇文）在ABC中，ACB=45º點D（與點B、C不重合）為射線BC上一動點，連接AD，以AD為一邊且在AD的右側作正方形ADE

19、F（1）如果AB=AC如圖，且點D在線段BC上運動試判斷線段CF與BD之間的位置關系，并證明你的結論（2）如果ABAC，如圖，且點D在線段BC上運動（1）中結論是否成立，為什么？（3）若正方形ADEF的邊DE所在直線與線段CF所在直線相交于點P，設AC，CD=，求線段CP的長（用含的式子表示） 【思路分析1】本題和上題有所不同，上一題會給出一個條件使得動點靜止，而本題并未給出那個“靜止點”，所以需要我們去分析由D運動產生的變化圖形當中，什么條件是不動的。由題我們發(fā)現(xiàn)，正方形中四條邊的垂直關系是不動的，于是利用角度的互余關系進行傳遞，就可以得解?！窘馕觥浚海?）結論：CF與BD位置關系是垂直；

20、證明如下：AB=AC ，ACB=45º，ABC=45º由正方形ADEF得 AD=AF ，DAF=BAC =90º， DAB=FAC，DABFAC ， ACF=ABDBCF=ACB+ACF= 90º即 CFBD【思路分析2】這一問是典型的從特殊到一般的問法，那么思路很簡單，就是從一般中構筑一個特殊的條件就行，于是我們和上題一樣找AC的垂線，就可以變成第一問的條件，然后一樣求解。（2）CFBD(1)中結論成立 理由是：過點A作AGAC交BC于點G，AC=AG可證：GADCAF ACF=AGD=45º BCF=ACB+ACF= 90º 即C

21、FBD【思路分析3】這一問有點棘手，D在BC之間運動和它在BC延長線上運動時的位置是不一樣的，所以已給的線段長度就需要分情況去考慮到底是4+X還是4-X。分類討論之后利用相似三角形的比例關系即可求出CP.（3）過點A作AQBC交CB的延長線于點Q， 點D在線段BC上運動時，BCA=45º，可求出AQ= CQ=4 DQ=4-x，易證AQDDCP， ， ， 點D在線段BC延長線上運動時，BCA=45º，可求出AQ= CQ=4， DQ=4+x 過A作交CB延長線于點G，則 CFBD，AQDDCP， ， ，【例3】（2010，懷柔）已知如圖，在梯形中，點是的中點，是等邊三角形（1）

22、求證：梯形是等腰梯形；（2）動點、分別在線段和上運動，且保持不變設求與的函數(shù)關系式；ADCBPMQ60°（3）在（2）中，當取最小值時，判斷的形狀，并說明理由【思路分析1】本題有一點綜合題的意味，但是對二次函數(shù)要求不算太高，重點還是在考察幾何方面。第一問純靜態(tài)問題，自不必說，只要證兩邊的三角形全等就可以了。第二問和例1一樣是雙動點問題，所以就需要研究在P,Q運動過程中什么東西是不變的。題目給定MPQ=60°，這個度數(shù)的意義在哪里？其實就是將靜態(tài)的那個等邊三角形與動態(tài)條件聯(lián)系了起來.因為最終求兩條線段的關系,所以我們很自然想到要通過相似三角形找比例關系.怎么證相似三角形呢?

23、當然是利用角度咯.于是就有了思路. 【解析】（1）證明：是等邊三角形是中點 梯形是等腰梯形（2）解：在等邊中， (這個角度傳遞非常重要,大家要仔細揣摩) (設元以后得出比例關系,輕松化成二次函數(shù)的樣子)【思路分析2】第三問的條件又回歸了當動點靜止時的問題。由第二問所得的二次函數(shù)，很輕易就可以求出當X取對稱軸的值時Y有最小值。接下來就變成了“給定PC=2，求PQC形狀”的問題了。由已知的BC=4，自然看出P是中點，于是問題輕松求解。（3）解： 為直角三角形當取最小值時，是的中點，而以上三類題目都是動點問題，這一類問題的關鍵就在于當動點移動中出現(xiàn)特殊條件，例如某邊相等，某角固定時，將動態(tài)問題化為靜

24、態(tài)問題去求解。如果沒有特殊條件，那么就需要研究在動點移動中哪些條件是保持不變的。當動的不是點，而是一些具體的圖形時，思路是不是一樣呢?接下來我們看另外兩道題.【例4】已知正方形中，為對角線上一點，過點作交于，連接，為中點，連接（1）直接寫出線段與的數(shù)量關系；（2）將圖1中繞點逆時針旋轉，如圖2所示，取中點，連接，你在（1）中得到的結論是否發(fā)生變化？寫出你的猜想并加以證明 （3）將圖1中繞點旋轉任意角度，如圖3所示，再連接相應的線段，問（1）中的結論是否仍然成立？（不要求證明）【思路分析1】這一題是一道典型的從特殊到一般的圖形旋轉題。從旋轉45°到旋轉任意角度，要求考生討論其中的不動關

25、系。第一問自不必說，兩個共斜邊的直角三角形的斜邊中線自然相等。第二問將BEF旋轉45°之后，很多考生就想不到思路了。事實上，本題的核心條件就是G是中點，中點往往意味著一大票的全等關系，如何構建一對我們想要的全等三角形就成為了分析的關鍵所在。連接AG之后，拋開其他條件，單看G點所在的四邊形ADFE，我們會發(fā)現(xiàn)這是一個梯形，于是根據(jù)我們在第一講專題中所討論的方法，自然想到過G點做AD,EF的垂線。于是兩個全等的三角形出現(xiàn)了。（1） （2）（1）中結論沒有發(fā)生變化，即證明：連接，過點作于，與的延長線交于點在與中， 在與中， 在矩形中， 在與中， 【思路分析2】第三問純粹送分，不要求證明的話

26、幾乎所有人都會答出仍然成立。但是我們不應該止步于此。將這道題放在動態(tài)問題專題中也是出于此原因，如果BEF任意旋轉，哪些量在變化，哪些量不變呢？如果題目要求證明，應該如何思考。建議有余力的同學自己研究一下，筆者在這里提供一個思路供參考：在BEF的旋轉過程中，始終不變的依然是G點是FD的中點?？梢匝娱L一倍EG到H，從而構造一個和EFG全等的三角形，利用BE=EF這一條件將全等過渡。要想辦法證明三角形ECH是一個等腰直角三角形，就需要證明三角形EBC和三角形CGH全等，利用角度變換關系就可以得證了。（3）（1）中的結論仍然成立 【例5】（2010，朝陽）已知正方形ABCD的邊長為6cm，點E是射線B

27、C上的一個動點，連接AE交射線DC于點F，將ABE沿直線AE翻折，點B落在點B 處（1）當=1 時，CF=_cm，（2）當=2 時，求sinDAB 的值；CADB（3）當= x 時（點C與點E不重合），請寫出ABE翻折后與正方形ABCD公共部分的面積y與x的關系式，（只要寫出結論，不要解題過程）【思路分析】動態(tài)問題未必只有點的平移，圖形的旋轉，翻折（就是軸對稱）也是一大熱點。這一題是朝陽卷的壓軸題，第一問給出比例為1，第二問比例為2，第三問比例任意，所以也是一道很明顯的從一般到特殊的遞進式題目。同學們需要仔細把握翻折過程中哪些條件發(fā)生了變化，哪些條件沒有發(fā)生變化。一般說來，翻折中，角，邊都是不

28、變的，所以軸對稱圖形也意味著大量全等或者相似關系，所以要利用這些來獲得線段之間的比例關系。尤其注意的是，本題中給定的比例都是有兩重情況的，E在BC上和E在延長線上都是可能的，所以需要大家分類討論，不要遺漏?！窘馕觥浚?）CF= 6 cm； （延長之后一眼看出，EAZY） （2） 如圖1，當點E在BC上時，延長AB交DC于點M，圖1 ABCF， ABEFCE， =2， CF=3 ABCF，BAE=F又BAE=B AE， B AE=F MA=MF設MA=MF=k，則MC=k -3，DM=9-k在RtADM中，由勾股定理得：k2=(9-k)2+62， 解得 k=MA= DM=（設元求解是這類題型中比

29、較重要的方法）圖2 sinDAB=； 如圖2，當點E在BC延長線上時，延長AD交B E于點N，同可得NA=NE設NA=NE=m，則B N=12-m在RtAB N中，由勾股定理，得m2=(12-m)2+62， 解得 m=AN= B N= sinDAB= （3）當點E在BC上時，y=； （所求A B E的面積即為ABE的面積，再由相似表示出邊長）當點E在BC延長線上時，y= 【總結】 通過以上五道例題，我們研究了動態(tài)幾何問題當中點動，線動，乃至整體圖形動這么幾種可能的方式。動態(tài)幾何問題往往作為壓軸題來出,所以難度不言而喻,但是希望考生拿到題以后不要慌張,因為無論是題目以哪種形態(tài)出現(xiàn)，始終把握的都是

30、在變化過程中那些不變的量。只要條分縷析,一個個將條件抽出來,將大問題化成若干個小問題去解決,就很輕松了.為更好的幫助考生,筆者總結這種問題的一般思路如下：第一、仔細讀題，分析給定條件中那些量是運動的，哪些量是不動的。針對運動的量，要分析它是如何運動的，運動過程是否需要分段考慮，分類討論。針對不動的量，要分析它們和動量之間可能有什么關系，如何建立這種關系。第二、畫出圖形，進行分析，尤其在于找準運動過程中靜止的那一瞬間題目間各個變量的關系。如果沒有靜止狀態(tài)，通過比例，相等等關系建立變量間的函數(shù)關系來研究。第三、做題過程中時刻注意分類討論，不同的情況下題目是否有不同的表現(xiàn)，很多同學丟分就丟在沒有討論

31、，只是想當然看出了題目所給的那一種圖示方式，沒有想到另外的方式，如本講例5當中的比例關系意味著兩種不一樣的狀況，是否能想到就成了關鍵。探索性數(shù)學問題 探索是人類認識客觀世界過程中最生動、最活躍的思維活動，探索性問題存在于一切學科領域之中，在數(shù)學中則更為普遍 習慣上，我們可以按照命題者對解答者的要求將數(shù)學問題分為兩大類：一類是已知和結論都有確定要求的題型；另一類是已知與結論兩者中至少有一個沒有確定要求的題型；我們把后一類問題稱為探索性問題 因此，在初中數(shù)學中的“探索性”問題特征是：命題中缺少一定的題設或沒有給出明確的結論，或解題思路及過程沒有確定的形式和方法，解題時需要經過大膽地猜想、推斷、補充

32、，并加以計算或證明的這一類命題 命題趨勢 探索性數(shù)學問題在近幾年的中考中頻頻出現(xiàn)；常出現(xiàn)的四大類型：規(guī)律探索型、條件探索型、結論探索型、存在探索型等；江西中考試卷中多以一至兩個小題和一個中等以上問題出現(xiàn)，分值約有614分；要求考生對問題進行觀察、分析、比較、概括；達到發(fā)現(xiàn)規(guī)律，或得出結論，或尋求使結論成立的條件，或探索數(shù)學對象存在可能性與結果的目的 解題策略 探索性問題的解答必須利用題設進行分析、比較、歸納、推理，或由條件去探索出不明確的結論；或由結論去探索未給予的條件；或去探索存在的各種可能性以及發(fā)現(xiàn)所形成的數(shù)學規(guī)律以下課案就近幾年的中考試題，列舉幾例加以說明：目的是對各種探索性的問題進行歸

33、納、整合，幫助老師與同學們提高對探索性數(shù)學問題的分析、思考及解答能力【題組講解】一、基礎練習【實現(xiàn)目標】：認識各類探索試題的基本特征與形式，初步掌握解決各類不同類型的探索問題的方法1、規(guī)律探索型 規(guī)律探索型問題是根據(jù)已知條件或所提供的若干個特例，通過觀察、類比、歸納，揭示和發(fā)現(xiàn)題目所蘊含的數(shù)學本質、規(guī)律與特征的一類探索性問題解題策略是：常常利用特殊值（特殊點、特殊數(shù)量、特殊線段、特殊位置等）進行歸納、概括，從特殊到一般，從而得出規(guī)律題1（2010四川攀枝花）、如圖，將邊長為2的等邊三角形沿x軸正方向連續(xù)翻折2010次，第1題圖P1P3P2Oyx依次得到點P,P,PP則點P的坐標是 簡析：觀察預

34、判每一個點P,P,P的坐標是（1，），(3, )， (5, )，可以遞推得；因而P的坐標是(4019, )變式：題2（2010·廣東肇慶，有改動）、觀察下列單項式： a， 2a2， 4a3， 8a4，16a5，按照此規(guī)律第n個單項式是 _ (n是正整數(shù)) 簡析：這一列單項式，觀察每一序列號下單項式的符號、系數(shù)、字母的次數(shù)；符號滿足奇數(shù)序號項為負、偶數(shù)序號項為正；系數(shù)的絕對值是成2的自然數(shù)冪；字母a的次數(shù)是成正整數(shù)列遞增；因而設定n為正整數(shù)，則答案為02842462246844m6第2題圖變式：題3（2010·江蘇鹽城）、填在下面各正方形中的四個數(shù)之間都有相同的規(guī)律，根據(jù)此規(guī)

35、律，m的值是（ ）A38 B52C66 D74 簡析：觀察這一系列正方形四方格028424622468441 2 3 4m6 1082(n-1)2nm2(n+1)中數(shù)字后，得出：右上的數(shù)字與左下的數(shù)字的積減去左上數(shù)字所得的差，即m=10×8-6=74；更為一般的方法：建立序列號1、2、3、n；則有以下對應關系：左上方格的數(shù)字為2(n-1)，右上的方格數(shù)字為2(n+1)；左下方格的數(shù)字為2n，右下方格的數(shù)字是多少呢？，令n=4，代入即得；故選擇D第4題圖變式：題4（2010·山東日照）、古希臘人常用小石子在沙灘上擺成各種形狀來研究數(shù)，如圖；例如： 他們研究過圖1中的1，3，6

36、，10，由于這些數(shù)能夠表示成三角形，稱其為三角形數(shù)；類似地，稱圖2中的1，4，9，16，這樣的數(shù)為正方形數(shù)下列數(shù)中既是三角形數(shù)又是正方形數(shù)的是（）A15 B25 C55 D1225簡析：圖1的三角數(shù)，從第二個開始，有這樣的規(guī)律：1=1，3=1+2,6=1+2+3，第n個三角數(shù)是；圖2 中的正方形數(shù)從第二個開始，有這樣的規(guī)律：第m個正方形數(shù)時，；比較A、B、C、D四個數(shù)，僅有25、1225是正方形數(shù)（m分別等于5、35），檢驗25不是三角形數(shù)（n無整數(shù)解），而1225又是三角形數(shù)（此時n=35）；故選擇D【變式意圖】：變式試題T2、T3和T4不僅是要考慮數(shù)與字母的變化特征，而且還要觀察數(shù)的排列規(guī)

37、律，同時又要考慮圖形的特征表象；需要從縱橫兩個方面、數(shù)形結合相互關聯(lián)地比較、觀察、猜想、推理，獲取與形成對每一個問題自身的數(shù)學本質、特征與規(guī)律的認識，再進行嚴格地推理、驗證【方法提煉】：特別注意：（1）一般寫成豎式或單列形式進行對比、分析；（2）注重縱橫聯(lián)系與數(shù)形結合；（3）關注自然數(shù)序列號與數(shù)據(jù)之間的聯(lián)系2、條件探索型條件探索型問題是指在給定明確的結論而未給出確定的條件，需要采取證明、推斷去探索發(fā)現(xiàn)，并補充與完善使結論成立的條件的一類問題解題策略是：從所給出的結論出發(fā)，采用逆推的辦法，猜想出合乎要求的一些條件，并進行邏輯推理證明，從而尋找出滿足結論的條件ACBDFE第5題圖題5（2010&#

38、183;浙江金華）、如圖，在ABC中，D是BC邊上的點（不與B，C重合），F(xiàn)，E分別是AD及其延長線上的點，CFBE請你添加一個條件，使BDECDF (不再添加其它線段，不再標注或使用其他字母)，并給出證明（1）你添加的條件是： ；（2）證明： 簡析：因為CFBE，所以FCDEBD又因為FDCEDB，要證明BDECDF，只需要添加一組對應邊相等即可答案：（1）(或點D是線段BC的中點)，中任選一個即可（2）以為例，進行證明：CFBE， FCDEBD又，F(xiàn)DCEDB，BDECDF變式：題6（2009·山東東營）、如圖，在四邊形ABCD中，已知AB與CD不平行，ABDDCA，請你添加一個

39、條件： ，使得加上這個條件后能夠推出：ADBC且ABCDBCDAO第6題圖簡析：命題的結論很明顯：四邊形ABCD欲成為等腰梯形；現(xiàn)需探索補充使它成立的一個條件（有可能不唯一）；可以先觀察與已知條件ABDACD相關聯(lián)的、一對可能全等的三角形ABD與DCA，滿足這種可能的添加條件有若干條；也可以從其他方面入手；可供添加的條件可以是以下的任選其一：解答：DACADB，BADCDA，DBCACB，ABCDCB，OBOC，OAOD；（任選其一）若添加條件為：BADCDA，可證明如下：在ABD與DCA中，已知ABDDCA，且ADDA，BADCDA，所以ABDDCA，可得到：ABDC，BDCA，ADBDAC

40、；進一步得到OAOD，從而OCOB；再得到ADBDACACBDBC；最終得到ADBC3、結論探索型 結論探索型問題是指僅給出某種情境而沒有明確指出結論，需要解題者去探索符合條件的數(shù)學結論的一類試題；這類探索問題的設問常以適合某種條件的結論“成立”、“不成立”、“是否成立”等語句加以表述，或直接問“有何結論”等它與傳統(tǒng)題的區(qū)別在于：探索問題的結論的過程往往也是解題過程第7題圖解題策略是：從剖析題意入手，充分捕捉題設的信息，執(zhí)因索果，順向推理或聯(lián)想類比、猜測等，獲得所求結論（特別注意解答的多樣性與反思和證明）題7 (2009·甘肅定西)、拋物線的部分圖象如圖所示，請寫出與其關系式、圖象相

41、關的兩個正確結論： ，（直接采用已知數(shù)據(jù)的結論除外）簡析：已知的是二次函數(shù)的圖像，結合圖像可讀出對稱軸方程、拋物線與x軸、y軸的交點坐標；通過計算推理可得到：因而從關系式、圖像兩方面，可填的正確結論：；圖像與x軸的另一個交點坐標（-3,0）；解析式為方程有兩個根；拋物線的頂點坐標（-1,4）；該二次函數(shù)的最大值為4；當時，y隨著x的增大而減少；若二次函數(shù)則有等等，任選兩條均可4、探索存在型問題 探索存在型問題：是指在一定的前提條件下，需探索發(fā)現(xiàn)某種數(shù)學關系是否存在的一類問題；它往往以“是否存在”“是否有”“是否變化”等疑問句出現(xiàn)，以示結論成立與否有待判斷解題策略是：通常對結論作出肯定存在的假設

42、，再按題設條件進行推理計算，若導出矛盾，則否定先前的假設，若推出合理的結論，則說明先前的假設成立 題8：(2009·江西樣卷)、在平面直角坐標系中，現(xiàn)將一塊等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在兩坐標軸上，點A（0，2），點C（-1，0），如圖；拋物線經過點B第8題圖（1）求點B的坐標；（2）求拋物線的解析式；（3）在拋物線上是否還存在點P（點B除外），使ACP仍然是以AC為直角邊的等腰直角三角形？若存在，求所有點P的坐標；若不存在，請說明理由簡析：（1）借助全等三角形，容易求得點B的坐標；（2）代入點A、點C、點B的坐標，拋物線的解析式還是可以求得的；（3）滿足條件的點P仍需要在

43、拋物線上， 假設這樣的點P存在，思考過程中，考慮點P是否是點B 關于直線AC的軸對稱點？考慮點P是否是關于線段AC 中點的中心對稱點？（或者將等腰直角三角板ABC物化， 把它沿直線AC的翻折或繞線段AC的中點旋轉180°）如此尋求到：求點P的方法與思路解：(1) 過點B作，垂足為D， 又， =1，=2；點B的坐標為（-3，1）；（2）拋物線經過點B(-3,1)，則得到，解得，所以拋物線解析式為；（3）假設存在P、Q兩點，使得ACP是直角三角形：若以AC為直角邊，點C為直角頂點；則延長至點，使得，得到等腰直角三角形，過點作,1=，；=2, =1, 可求得點P1（1，-1）；經檢驗點P1

44、（1，-1）在拋物線上，使得是等腰直角三角形；若以AC為直角邊，點A為直角頂點；則過點A作,且使得,得到等腰直角三角形,過點P2作，同理可證；=2, = 1, 可求得點（2，1）；經檢驗點（2，1）也在拋物線上，使得也是等腰直角三角形 （解法二：從中點坐標入手，點C是BP1的中點，由此可得點P1的坐標；四邊形ABC P2是平行四邊形，AC的中點Q也就是BP2的中點，由此可得點P2的坐標）二、能力提高【實現(xiàn)目標】掌握各類探索性問題入手解答的基本套路，能將較為復雜的問題各個擊破，類比轉化為較為熟悉或簡單的問題；在解題的過程中注重數(shù)學思想方法的運用；如：、研究幾何的運動變化情境時，常常借助代數(shù)變量的

45、思想來表達變化中的幾何量；、經常利用數(shù)形結合觀點、方程函數(shù)辯證統(tǒng)一的思想構通代數(shù)與幾何兩大板塊，最終達到數(shù)學本質意義的化歸與統(tǒng)一；、用分類討論的數(shù)學思想考慮問題的多變性與復雜性，減少失誤；、通過觀察數(shù)學對象的獨立性、特殊性，猜想、歸納、抽象、概括出具有更加一般性的數(shù)學規(guī)律，并注意條件的不同帶來的數(shù)學變化和轉化經過這一階段的學習、演練之后，老師與同學們的思路會更為靈活與開闊，解題也會變得更加深刻與嚴密，數(shù)學思維與能力將獲得有效的提升題9（2009·河南）、如圖，在RtABC中，ACB=90°，B =60°，BC=2點O是AC的中點，過點O的直線l從與AC重合的位置開

46、始，繞點O作逆時針旋轉，交AB邊于點D過點C作CEAB交直線l于點E，設直線l的旋轉角為 (1)當=_度時，四邊形EDBC是等腰梯形，此時AD的長為_；當=_度時，四邊形EDBC是直角梯形，此時AD的長為_；第9題圖(2)當=90°時，判斷四邊形EDBC是否為菱形？并說明理由簡析：第(1)問是典型的條件探索；在保證了CEAB的前提下，則四邊形EDBC一定可能是梯形（EDBC除外）；第 問：逆推分析：當EDB=B =60°此時=30°，四邊形EDBC是等腰梯形，AD的長為1； 因為；同理第問：逆推分析：當EDB=90°時，此時=60°，四邊形ED

47、BC是直角梯形，AD的長為1.5;因為 （2）當=90°時，四邊形EDBC是菱形；=ACB=90°，BC/ED；又CE/AB，四邊形EDBC是平行四邊形； 在RtABC中，ACB=90°，B=60°，BC=2；A=30°，AB=4，AC=； AO=在RtAOD中，A=30°，AD=2BD=2，BD=BC又四邊形EDBC是平行四邊形，四邊形EDBC是菱形（提供解法二：第問：以斜邊AB上的中線CM（設點M是斜邊AB的中點）為輔助線，逆推分析：當EDCM時，EDCM且ED=BC； 此時=30°，四邊形EDBC是等腰梯形，AD的長為

48、1；因為；同理第問：以斜邊AB上的高線CH（設點H是垂足）為輔助線，逆推分析：當EDCH時，此時=60°， 四邊形EDBC是直角梯形，AD的長為1.5；因為）（點評：本題的第2問又是結論探索型問題,順應條件的變化與不同，做出正確的解答即可）題10（2010·福建南平，有改動）、如圖，一種電子游戲，電子屏幕上有一正六邊形ABCDEF，點P沿直線AB從右向左移動，當出現(xiàn)：點P與正六邊形六個頂點中的至少兩個頂點構造成等腰三角形時，就會發(fā)出警報，則直線AB上會發(fā)出警報的點P有( )第10題圖A9個 B10個 C11個 D12個 簡析：本題是一道探索結論的典型試題，并且符合條件的點P

49、有多種可能，需要確定它的個數(shù)；為了探索本題的方便，不妨設正六邊形ABCDEF的邊長為則依據(jù)三角函數(shù)知識可得對角線，對角線； 因而在點P沿直線AB從右向左移動時：當時，此時的點與正六邊形ABCDEF六個頂點中的點、構造成等腰、；當時，構造成等腰、；當時，構造成等邊、和等腰；當時，構造成等腰、；當點與點B重合時，構造成等腰、和等邊；當位于線段的中點時，構造成等腰、；同理根據(jù)對稱性，可推測在線段的延長線上，還存在這樣的五個點故選擇答案C 【引入幾何畫板動畫演示，驗證結論！】【方法提煉】：1、注意分類討論時的不重不漏；2、利用了對稱性的數(shù)學思想方法，使求解更簡便，思考的過程中還可以通過平移方法來檢驗；

50、3、將原試題進行了改編，適當增加了它的思考性與難度！ 題11（2010·四川樂山）、在ABC中，D為BC的中點，O為AD的中點，直線l過點O.過A、B、C三點分別做直線l的垂線，垂足分別是G、E、F，設AG=h1，BE=h2，CF=h3. （1）如圖（11.1），當直線lAD時（此時點G與點O重合）.求證：h2+h3= 2h1； （2）將直線l繞點O旋轉，使得l與AD不垂直. 如圖（11.2），當點B、C在直線l的同側時，猜想（1）中的結論是否成立？請你說明理由；h2h1EFGOCABDh3lh3h1h2EFlCABDO(G)Oh2h1h3FEGlCABD圖（11.3）圖（11.2）

51、圖（11.1） 如圖（11.3），當點B、C在直線l的異側時，猜想h1、h2、h3滿足什么關系.（只需寫出關系，不要求說明理由）簡析：（1）當直線lAD時，本圖滿足直角梯形的中位線性質，易得結論；（2）將直線l繞點O旋轉，使得l與AD不垂直.此時的圖形（11.2）依然通過輔助線、轉化至（11.1），繼續(xù)運用直角梯形的中位線性質，容易得結論：；（3）抓住中點O不放，繼續(xù)過點D作DHl，垂足為H，依然有DH=AG= h1；又知點D是線段BC的中點，連結FD并延長交線段BE于F1，構建三角形中位線圖形，可得：解答：（1）證明：BEl， CFl，四邊形BCFE是梯形.又GDl，D是BC的中點，DG是梯

52、形的中位線，BE+CF=2DG.又O為AD的中點，AG=DG，BE+CF=2AG.即.（2）成立.證明：過點D作DHl，垂足為H，AGO=DHO=Rt，AOG=DOH，OA=OD，AGODHO，DH=AG.又D為BC的中點，由梯形的中位線性質，得2 DH=BE+CF，即2 AG =BE+CF，成立.（3）猜想h1、h2、h3滿足h1、h2、h3滿足關系：.【引入幾何畫板動畫演示，驗證結論！】【方法提煉】：第(3)問是在感悟了前兩問的猜想與推理的前提下,作出的合情推理；考查著學生的數(shù)學直覺能力與發(fā)現(xiàn)、猜想能力；此處猜想時，需要有直覺的感知：估算正確圖形下的線段的長短，再作出一種合乎邏輯的大膽猜測

53、（為節(jié)約時間，不要求證明而已）三、挑戰(zhàn)中考【實現(xiàn)目標】接觸到中考型探索性數(shù)學問題，需要做到認真審題、分類思考，具體問題具體分析，針對不同的題型：或特殊探路，或逆推分析，或用數(shù)學思想方法研究、分析、轉化老師和同學們掌握了這些規(guī)律，并在練習中不斷領悟，提高綜合解決問題的能力，形成自己的數(shù)學思維和能力；同時還需要培養(yǎng)并掌握一定的應試技巧與心理素質，相信同學們一定能在中考中取得理想的數(shù)學成績. 題12：（2010江西）、如圖，一根直立于水平地面上的木桿AB在燈光下形成影子，當木桿繞A按逆時針方向旋轉直至到達地面時，影子的長度發(fā)生變化設AB垂直于地面時的影長為AC（假定ACAB），影長的最大值為m，最小值為n，那么下列結論：mAC；m