第26講_行波波函數(shù)

1、彈性介質(zhì)彈性介質(zhì) 注：波動(dòng)是波源的振動(dòng)狀態(tài)或振動(dòng)能量在介質(zhì)中注：波動(dòng)是波源的振動(dòng)狀態(tài)或振動(dòng)能量在介質(zhì)中 的傳播，介質(zhì)的質(zhì)點(diǎn)的傳播，介質(zhì)的質(zhì)點(diǎn)并不隨波前進(jìn)并不隨波前進(jìn)。波源波源產(chǎn)生機(jī)械振動(dòng)的振源產(chǎn)生機(jī)械振動(dòng)的振源傳播機(jī)械振動(dòng)的介質(zhì)傳播機(jī)械振動(dòng)的介質(zhì) 一、波的產(chǎn)生一、波的產(chǎn)生1 1、機(jī)械波、機(jī)械波(mechanical wave)(mechanical wave)的產(chǎn)生條件的產(chǎn)生條件橫波橫波橫波：橫波：質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方向和波的傳播方向垂直。質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方向和波的傳播方向垂直。縱波縱波縱波：縱波：質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方向和波的傳播方向平行。質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方向和波的傳播方向平行。 注：橫波和縱波是波的兩種最基本類(lèi)型，注：

2、橫波和縱波是波的兩種最基本類(lèi)型，在固在固體中可以傳播橫波或縱波，在液體、氣體體中可以傳播橫波或縱波，在液體、氣體( (因無(wú)剪因無(wú)剪切效應(yīng)切效應(yīng)) )中只能傳播縱波。中只能傳播縱波。振動(dòng)方向振動(dòng)方向傳播方向傳播方向波谷波谷波峰波峰波密波密波疏波疏特征特征橫波：橫波：縱波：縱波：水表面的波水表面的波既非橫波又既非橫波又非縱波，而非縱波，而可以看作橫可以看作橫波和縱波的波和縱波的疊加。疊加。波速波速波線(xiàn)：波線(xiàn)：沿波的傳播方向作的一些帶箭頭的線(xiàn)。波線(xiàn)沿波的傳播方向作的一些帶箭頭的線(xiàn)。波線(xiàn)的指向表示波的傳播方向。的指向表示波的傳播方向。波陣面：波陣面：在波動(dòng)過(guò)程中，把振動(dòng)相位相同的點(diǎn)連成在波動(dòng)過(guò)程中，把

3、振動(dòng)相位相同的點(diǎn)連成的面的面( (簡(jiǎn)稱(chēng)波面簡(jiǎn)稱(chēng)波面) )。波前：波前：在任何時(shí)刻，波面有無(wú)數(shù)多個(gè)，最前方的波在任何時(shí)刻，波面有無(wú)數(shù)多個(gè)，最前方的波面即是波前。波前只有一個(gè)。面即是波前。波前只有一個(gè)。3. .波面波面(wave surface)、波線(xiàn)、波線(xiàn)(wave ray)平面波平面波：波面為平面：波面為平面球面波球面波：波面為球面：波面為球面波面波面波線(xiàn)波線(xiàn)波線(xiàn)波線(xiàn)波波面面平面波平面波球面波球面波波波線(xiàn)線(xiàn)波波陣陣面面波波陣陣面面波波線(xiàn)線(xiàn)1 1、在各向同性介質(zhì)中傳播時(shí)，波線(xiàn)和波陣面垂直。、在各向同性介質(zhì)中傳播時(shí)，波線(xiàn)和波陣面垂直。注：注：2 2、在遠(yuǎn)離波源的球面波波面上的任何一個(gè)小部份，、在遠(yuǎn)

4、離波源的球面波波面上的任何一個(gè)小部份，都可視為平面波。都可視為平面波。 平面平面: : 波面是平面波面是平面 S H W : : 各點(diǎn)均作簡(jiǎn)諧振動(dòng)各點(diǎn)均作簡(jiǎn)諧振動(dòng) 以繩上橫波為例以繩上橫波為例 說(shuō)明波的傳播特征說(shuō)明波的傳播特征xuy1310741無(wú)外界干擾無(wú)外界干擾 各質(zhì)點(diǎn)均處在自己的平衡位置處各質(zhì)點(diǎn)均處在自己的平衡位置處二、平面簡(jiǎn)諧波二、平面簡(jiǎn)諧波(simple harmonic wave) 的形成過(guò)程的形成過(guò)程1310741第第1個(gè)質(zhì)點(diǎn)受一干擾個(gè)質(zhì)點(diǎn)受一干擾 準(zhǔn)備準(zhǔn)備離開(kāi)自己的離開(kāi)自己的平衡平衡位位置向置向正正方向振動(dòng)方向振動(dòng)13107410ty4Tt 第第4個(gè)質(zhì)點(diǎn)個(gè)質(zhì)點(diǎn)準(zhǔn)備準(zhǔn)備400y振

5、動(dòng)振動(dòng)狀態(tài)狀態(tài)02y113107411310741第第7個(gè)質(zhì)點(diǎn)準(zhǔn)備個(gè)質(zhì)點(diǎn)準(zhǔn)備2Tt 43Tt 第第10個(gè)質(zhì)點(diǎn)準(zhǔn)備個(gè)質(zhì)點(diǎn)準(zhǔn)備y4171002第第13個(gè)質(zhì)點(diǎn)準(zhǔn)備個(gè)質(zhì)點(diǎn)準(zhǔn)備Tt y147101302 當(dāng)?shù)诋?dāng)?shù)?個(gè)質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)個(gè)質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)1個(gè)個(gè)周期周期后后 它的它的最初最初的振動(dòng)的振動(dòng)相位相位傳到第傳到第13個(gè)質(zhì)點(diǎn)個(gè)質(zhì)點(diǎn) 從從相位相位來(lái)看來(lái)看 第第1個(gè)質(zhì)點(diǎn)領(lǐng)先第個(gè)質(zhì)點(diǎn)領(lǐng)先第13點(diǎn)點(diǎn)2由上得出結(jié)論由上得出結(jié)論2. . 波長(zhǎng)波長(zhǎng) 波的周期波的周期 頻率頻率 波速波速Tfu1. . 波是波是振動(dòng)狀態(tài)（或相位）振動(dòng)狀態(tài)（或相位）的傳播，不是的傳播，不是質(zhì)點(diǎn)的流動(dòng)，各點(diǎn)均在自己的平衡位置附近質(zhì)點(diǎn)的流動(dòng)，各點(diǎn)均在自己的

6、平衡位置附近作振動(dòng)。作振動(dòng)。波長(zhǎng)波長(zhǎng)(wavelength)(wavelength)：波線(xiàn)上相位差為：波線(xiàn)上相位差為2 2 的的相鄰兩點(diǎn)相鄰兩點(diǎn)間間 的距離的距離波的周期波的周期：一個(gè)完整的波通過(guò)：一個(gè)完整的波通過(guò)某點(diǎn)某點(diǎn)所需的時(shí)間所需的時(shí)間波的頻率波的頻率：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)通過(guò)：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)通過(guò)某點(diǎn)某點(diǎn)完整波的數(shù)目完整波的數(shù)目波速波速：振動(dòng)狀態(tài)傳播的速度：振動(dòng)狀態(tài)傳播的速度131/ufT某點(diǎn)某點(diǎn)波長(zhǎng)波長(zhǎng) 波速與頻率之間的關(guān)系：波速與頻率之間的關(guān)系：3. .波射線(xiàn)上各點(diǎn)振動(dòng)相位波射線(xiàn)上各點(diǎn)振動(dòng)相位( (振動(dòng)狀態(tài)振動(dòng)狀態(tài)) )的關(guān)系的關(guān)系1) )同時(shí)同時(shí)看波線(xiàn)上各點(diǎn)看波線(xiàn)上各點(diǎn) 沿傳播方向沿傳播方向 各

7、點(diǎn)相位依次落后各點(diǎn)相位依次落后y1471013x2相差是相差是相距一個(gè)波長(zhǎng)兩點(diǎn)相距一個(gè)波長(zhǎng)兩點(diǎn)相位差是相位差是2 如第如第13點(diǎn)和第點(diǎn)和第1點(diǎn)點(diǎn)或說(shuō)振動(dòng)時(shí)間差或說(shuō)振動(dòng)時(shí)間差1個(gè)個(gè)周期周期則相位差為則相位差為2 x任意兩質(zhì)元間距為任意兩質(zhì)元間距為P Qu1310741x相距一個(gè)波長(zhǎng)兩點(diǎn)相位差是相距一個(gè)波長(zhǎng)兩點(diǎn)相位差是2 x2相距相距 x的任意兩點(diǎn)的相位差的任意兩點(diǎn)的相位差2)從兩質(zhì)元振動(dòng)的從兩質(zhì)元振動(dòng)的重復(fù)性重復(fù)性看看2 Tt x t 時(shí)刻時(shí)刻 第第13質(zhì)元的振動(dòng)是第質(zhì)元的振動(dòng)是第1質(zhì)元在質(zhì)元在 t T 時(shí)刻的振動(dòng)時(shí)刻的振動(dòng) 第第1點(diǎn)和第點(diǎn)和第13點(diǎn)之間點(diǎn)之間 間距間距:振動(dòng)時(shí)間差：振動(dòng)時(shí)間差：

8、相位差相位差:間距為任意間距為任意 x 的兩點(diǎn)的關(guān)系：的兩點(diǎn)的關(guān)系：在波線(xiàn)下方在波線(xiàn)下方Q點(diǎn)點(diǎn) t 時(shí)刻的振動(dòng)是前方時(shí)刻的振動(dòng)是前方P點(diǎn)在點(diǎn)在xtuxtT時(shí)的振動(dòng)時(shí)的振動(dòng)即即2 Tt x則則三、三、 平面簡(jiǎn)諧波的波函數(shù)平面簡(jiǎn)諧波的波函數(shù)(wave function)(wave function)已知：波沿著已知：波沿著x軸的正方向傳播軸的正方向傳播 坐標(biāo)原點(diǎn)的振動(dòng)形式為坐標(biāo)原點(diǎn)的振動(dòng)形式為0cosoyAt求：波函數(shù)求：波函數(shù)xuoP解：解：任意一點(diǎn)任意一點(diǎn)P坐標(biāo)為坐標(biāo)為xx用數(shù)學(xué)函數(shù)式表示介質(zhì)中質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)狀態(tài)隨時(shí)間變化的用數(shù)學(xué)函數(shù)式表示介質(zhì)中質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)狀態(tài)隨時(shí)間變化的關(guān)系關(guān)系. .()x y

9、z t， ，()y x t ，()y x t ，解法一解法一 運(yùn)動(dòng)的重復(fù)關(guān)系運(yùn)動(dòng)的重復(fù)關(guān)系0cosPxyAtu0( , )cos()xy x tAtu質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)P處開(kāi)始振動(dòng)的時(shí)刻比處開(kāi)始振動(dòng)的時(shí)刻比波源波源o晚晚 時(shí)間，因此在時(shí)間，因此在t時(shí)刻質(zhì)元時(shí)刻質(zhì)元P的位移應(yīng)該等于的位移應(yīng)該等于波源波源o在在 時(shí)刻的位移，時(shí)刻的位移，即可得即可得x uxtuxuoPx解法二解法二 相位關(guān)系相位關(guān)系P點(diǎn)相位落后波源點(diǎn)相位落后波源o的振動(dòng)相位的振動(dòng)相位02cosPyAtx02cosyAtx2x所以就在所以就在a點(diǎn)振動(dòng)表達(dá)式的基礎(chǔ)上改變相位因點(diǎn)振動(dòng)表達(dá)式的基礎(chǔ)上改變相位因子就得到了子就得到了P的振動(dòng)表達(dá)式的振動(dòng)

10、表達(dá)式xuoPx討論討論02cosyAtx1.向向x軸軸負(fù)負(fù)向傳播向傳播02cosyAtx2. .角波數(shù)（簡(jiǎn)稱(chēng)波數(shù)角波數(shù)（簡(jiǎn)稱(chēng)波數(shù)) ) 波數(shù)：?jiǎn)挝婚L(zhǎng)度內(nèi)含的波長(zhǎng)數(shù)目（波長(zhǎng)倒數(shù)）波數(shù)：?jiǎn)挝婚L(zhǎng)度內(nèi)含的波長(zhǎng)數(shù)目（波長(zhǎng)倒數(shù)）角波數(shù)：角波數(shù)：2 長(zhǎng)度內(nèi)含的波長(zhǎng)數(shù)目（簡(jiǎn)稱(chēng)波數(shù)）長(zhǎng)度內(nèi)含的波長(zhǎng)數(shù)目（簡(jiǎn)稱(chēng)波數(shù)）2k向向x軸軸正正向傳播向傳播平面諧波一般表達(dá)：平面諧波一般表達(dá)：0cosyAtkx負(fù)負(fù)（正正）號(hào)代表向）號(hào)代表向 x 正正（負(fù)負(fù)）向傳播的諧波）向傳播的諧波波函數(shù)的物理意義：波函數(shù)的物理意義： 上式代表上式代表x處質(zhì)點(diǎn)在其平衡位置附近以角頻率處質(zhì)點(diǎn)在其平衡位置附近以角頻率 作作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。2cosxyAt即即x 一定一定：令：令x=x1，則質(zhì)點(diǎn)位移則質(zhì)點(diǎn)位移y 僅是時(shí)間僅是時(shí)間t 的函數(shù)。的函數(shù)。tyOA12cosxyAt即即 以以y為縱坐標(biāo)、為縱坐標(biāo)、x 為橫坐標(biāo)，得到一條余弦曲線(xiàn)，為橫坐標(biāo)，得到一條余弦曲線(xiàn)，它是它是t1時(shí)刻波線(xiàn)上各個(gè)質(zhì)點(diǎn)偏離各自平衡位置的位移時(shí)刻波線(xiàn)上各個(gè)質(zhì)點(diǎn)偏離各自平衡位置的位移所構(gòu)成的波形曲線(xiàn)所構(gòu)成的波形曲線(xiàn)( (波