梁的剪力、彎矩方程和剪力、彎矩圖

1、5.4.1 梁的剪力、彎矩方程和剪力、彎矩圖 梁在外力作用下，各個截面上的剪力和彎矩一般是不相等的。若以橫坐標表示橫截面沿梁軸線的位置，則剪力 Q 和彎矩 M 可以表示為坐標的函數(shù)，即 它們分別稱為梁的剪力方程和彎矩方程。 與繪制軸力圖或扭矩圖一樣，可用圖線表明梁的各截面上剪力和彎矩沿梁軸線的變化情況。作圖時，取平行于梁軸線的直線為橫坐標 軸，值表示各截面的位置；以縱坐標表示相應截面上的剪力、彎矩的大小及其正負，這種表示梁在各截面上剪力和彎矩的圖形，稱為剪力圖和彎矩圖。 例 5-1 簡支梁 AB 承受承受均布荷載作用，如圖 5 - 10a 所示。試列出剪力方程和彎矩方程，并繪制剪力圖和彎矩圖。

2、 圖 5-10 解： (1) 計算支反力 以整梁為研究對象，利用平衡條件計算支反力。由于簡支梁上的載荷對于跨度中央截面是對稱的，所以 A 、 B 兩端的支反力應相等，即 (1) 方向如圖。(2) 建立剪力、彎矩方程 以梁左端 A 為的坐標原點，取坐標為的任意橫截面的左側梁段為研究對象。設截面上的剪力 Q () 、彎矩 M () 皆為正，如圖 5-10b 所示。由平衡方程 將 (1) 式代入上面兩式，解得（ 2 ） （ 3 ） (2) 、 (3) 兩式分別為剪力方程和彎矩方程。 (3) 繪制剪力圖、彎矩圖 由式 (2) 可知，剪力圖為一直線。只需算出任意兩個截面的剪力值，如 A 、 B 兩截面的

3、剪力，即可作出剪力圖，如圖 5 - 10c 所示。 由式 (3) 可知，彎矩圖為一拋物線，需要算出多個截面的彎矩值，才能作出曲線。例如計算下列五個截面的彎矩值：當時 , M =0 ；當時，；當 時，。由此作出的彎矩圖，如圖 5-10d 所示。 由剪力圖和彎矩圖可知，在靠近 A 、 B 支座的橫截面上剪力的絕對值最大，其值為 在梁的中央截面上，剪力 Q 0 ，彎矩為最大，其值為 例 5-2 簡支梁 AB 承受集中力偶 M0作用，如圖 5 - 11a 所示。試作梁的剪力圖、彎矩圖。 圖 5-11 解： (1) 計算支反力 由平衡方程分別算得支反力為 反力 RA的方向如圖， RB為負值，表示其方向與

4、圖 5 - 11a 中假設的方向相反。兩個支反力形成的力偶矩剛好與集中力偶 M0平衡。 (2) 建立剪力、彎矩方程 由于梁上作用有集中力偶，剪力、彎矩方程同樣應分段列出。利用截面法分別在 AC 與 CB 段內(nèi)截取截面，根據(jù)截面左側 ( 或右側 ) 梁段上的外力，列出剪力方程和彎矩方程為AC 段 (1) (2) CB 段 (3) (4) (3 )繪制剪力、彎矩圖由(1) 、(3)兩式可知，兩段梁上的剪力相等，因此,AB 梁的剪力圖為一條平行于 x 軸的直線 ( 圖 5-11b) 。由 (2) 、(4)兩式可知，左右兩段梁上的彎矩圖各為一條斜直線，如圖 5 - 11c 所示。由圖可見，對于 ab

5、的情況，絕對值最大的彎矩發(fā)生在集中力偶作用處的右側截面上，其值為 而且，在集中力偶作用處，彎矩圖有突變，其突變量等于集中力偶矩的數(shù)值。 例 5-3 簡支梁 AB 承受集中力 P 作用，如圖 5 - 12a 所示。試列出剪力方程和彎矩方程，并繪制剪力圖和彎矩圖。 圖 5-12 解： (1) 計算支反力 以整梁為研究對象，利用平衡條件計算支反力。由平衡方程 求得 方向如圖 5 - 12a 所示。 (2 ) 建立剪力、彎矩方程 由于梁在 C 截面上作用集中力 P ，在建立剪力方程和彎矩方程時，必須分為 AC 、 CB 兩段來考慮。 在 AC 段內(nèi)，距 A 點 x 處取一橫截面，其左側梁段上向上的支反

6、力只 R A 引起正值剪力和正值彎矩，則 AC 段上的剪力方程和彎矩方程分別為 (1) (2) 在 CB 段內(nèi)，距 A 端 x 處取一橫截面，其左側梁段上除 R A 之外，還有向下的集中力 P 。 P 將引起負值剪力和負值彎矩，因此，任一截面上的剪力方程和彎矩方程分別為 (3) (4) 實際上，在列出 CB 段的內(nèi)力方程時，選用右側梁段更為簡便。 (3) 繪制剪力、彎矩圖 由 (1) 、 (3) 兩式可知， AC 、 CB 兩段上剪力分別為常數(shù)，故剪力圖為兩條平行于 x 軸的直線，如圖 5-12b 所示，由 (2) 、 (4) 兩式可知，彎矩方程均為線性函數(shù)，故彎矩圖為兩條斜直線，如圖 5 -

7、 12c 所示。由內(nèi)力圖可知，當 a b 的情況下，絕對值最大的剪力在 CB 段上，其值為。最大彎矩在集中力作用點處，其值為。在詼截面處，剪力圖上有突變，其突變量等于集中力的數(shù)值。5.4.2 剛架的剪力、彎矩方程和剪力、彎矩圖 在工程中，常常遇到幾根桿件組成的框架結構。例如，圖 5-13 所示的鉆床機架由 AB 、 BC 兩根直桿剛性連接而成。在結點 B 處，兩桿的截面不能發(fā)生相對轉動。或者說，在結點處兩桿間的夾角保持不變，這樣的結點稱為剛結點，具有剛結點的框架稱為剛架。 如果剛架的支座反力和內(nèi)力均能由靜力平衡條件確定，這樣的剛架稱為靜定剛架。直桿內(nèi)力圖的繪制方法，基本上適用于剛架。圖 5-13 例 5-4 平面剛架 ABC ，承受圖 5 - 14a 所示載荷作用，已知，試作剛架的彎矩圖。 圖 5-14解： (1) 計算支反力 利用剛架的平衡條件確定支座反力。設固定鉸 A 的反力 XA,YA，可動鉸 C 的反力為YA，則 (2) 建立彎矩方程并作彎矩圖 在 BC 桿上，以 C 為原點，取坐標 x 1 。由于集中力 P 的作用， BC 桿上的彎矩方程應