不可直接分離變數(shù)型之三

1、1不可直接分離變數(shù)型之三 (a1 x + b1 y + c1) dx + (a2 x + b2 y + c2) dy = 0 a1 b1- = - 時(shí)，則 ； a2 b2 a1 b1- - 時(shí)，則 ； a2 b2 2不可直接分離變數(shù)型之三 (a1 x + b1 y + c1) dx + (a2 x + b2 y + c2) dy = 0 a1 b1- = - = k 時(shí)，a1 = k a2 且 b1 = k b2 ，則 a2 b2 k (a2 x + b2 y) + c1 dx + (a2 x + b2 y) + c2 dy = 0即 f (a2 x + b2 y) = 0。 此與類型此與類型

2、 y = f ( ax + by ) 完全相同完全相同， 可令可令 u = a2 x + b2 y 作變數(shù)變換作變數(shù)變換。3【例】解 (2x + y - - 2) dx - - (4x + 2y +1) dy = 0 - 2 1 - -2Sol. 觀察 - = - -，故令 u 2x + y， 4 2 1 即 y = u - - 2x 且 dy = du - - 2dx， 則原式為 (u - - 2) dx - - (2u +1)(du - - 2dx) = 0 重組後積分如下： 1 ( 2 + - ) du - - 5dx = C， u 得 2u + ln| u | - - 5x = C，

3、即 ln| 2x + y | - - x + 2y = C。4 - - x + 2y - - 3 【練習(xí)】解 y = - 2x - - 4y + 5 - Sol. 原式為 (x - - 2y + 3) dx - - (2x - - 4y + 5) dy = 0， 1 - -2 3 觀察 - = - -，故令 u x - - 2y， 2 - -4 5 即 x = u + 2y 且 dx = du + 2dy， 則原式為 (u + 3)(du + 2dy) + (2u + 5) dy = 0， u +3 重組、分離變數(shù)成 - du + dy = 0， 4u +11 積分得 4u + ln | 4u

4、 + 11 | + 16y = C， 即 ln | 4x - - 8y + 11 | + 4x + 8y = C。不可直接分離變數(shù)型之三 (a1 x + b1 y + c1) dx + (a2 x + b2 y + c2) dy = 0(1) a1 b1- - 時(shí)， a2 b2 令 為相交於點(diǎn) (,) 之兩直線，若以 ( X, Y ) 為新變數(shù)作變數(shù)變換變數(shù)變換，則可令 或 代入 (1)，將 (1) 式轉(zhuǎn)換成 (a1X + b1Y) dX + (a2X + b2Y) dY = 000222111cybxacybxaYyXxyYxX 3x - - y - - 6【例】解 y = - x + y

5、+ 2 -Sol. 原式為 (3x - - y - - 6) dx - - (x + y + 2) dy = 0， 3 - -1 觀察 - -，解 得 1 1 故令 x = X + 1 且 y = Y - - 3 代入原式 成為 (3X - - Y) dX - - (X + Y) dY = 0， 即 3XdX - - (YdX + XdY) - - YdY = 0， 3 1 積分可得 - X 2 - - XY - - - Y 2 = C， 2 2 3 1 即 - (x - - 1) 2 - - (x - - 1)(y + 3) - - - (y + 3) 2 = C。 2 202063yxyx

6、31yx【練習(xí)】解 (x + y) dx + (x - - y - - 2) dy = 0 - 1 1Sol. 觀察 -，解 得 1 - -1 故令 或 代入原式 成為 (X + Y) dX + (X - - Y) dY = 0， 即 XdX + (YdX + XdY) - - YdY = 0， 1 1 積分可得 - X 2 + XY - - - Y 2 = C， 2 2 1 1 即 - (x - - 1) 2 + (x - - 1)(y + 1) - - - (y + 1) 2 = C。 2 2020yxyx11yYxX11YyXx11yxd78不可直接分離變數(shù)型之四 yf ( x y )

7、dx + xg ( x y ) dy = 0 變數(shù)變換：變數(shù)變換：令 u x y d79【例】解 y (1 - - xy) dx - - x (1 + xy) dy = 0 -Sol. u xdu - - udx 令 u xy，即 y = - 且 dy = -， x x 2 u xdu - - udx 則原式為 - (1 - - u) dx - - x (1 + u)( - ) = 0， x x 2 2 1 化簡並分離變數(shù)成 - dx - - (- + 1) du = 0， x u 積分得 2ln| x | - - ln| u | - - u = C， 即 2ln| x | - - ln| xy | - - xy = C。d710【練習(xí)】解 (xy 2 - - y) + xy = 0 - Sol. 改寫原式為 y (xy - - 1) dx + xdy = 0； u xdu - - udx 令 u xy，即 y = - 且 dy = -， x x 2 u xdu - - udx 則原式為 - (u - - 1) dx + x ( - ) = 0， x x 2 2 1 1 化簡並分離變數(shù)成 - dx +