不定積分知識點復習

1、 不定積分知識點復習不定積分知識點復習 知識總述 原函數(shù)與不定積分概念 不定積分性質 不定積分基本解法 習題 小結 一一, 知識總述知識總述 前面我們學習了一元函數(shù)微分學前面我們學習了一元函數(shù)微分學. 但在實際的科但在實際的科學領域中學領域中, 我們常常遇到與此相反的問題我們常常遇到與此相反的問題: 即尋求一即尋求一個個(可導可導)函數(shù)函數(shù), 要求其導數(shù)等于一個已知函數(shù)要求其導數(shù)等于一個已知函數(shù). 這樣就這樣就產(chǎn)生了一元函數(shù)積分學產(chǎn)生了一元函數(shù)積分學. 積分學分為不定積分和定積分兩部分積分學分為不定積分和定積分兩部分. 本章我們學習的是不定積分本章我們學習的是不定積分, 先從導數(shù)的逆運算先從導

2、數(shù)的逆運算引出不定積分的概念引出不定積分的概念. 然后介紹了其性質然后介紹了其性質, 最后系統(tǒng)最后系統(tǒng)地介紹一些常用的積分方法地介紹一些常用的積分方法. 返回不定積分的基本概念和性質不定積分的基本概念和性質-理解理解基本積分公式基本積分公式-熟記熟記分部積分法和換元積分法分部積分法和換元積分法-熟練運用熟練運用換元積分法換元積分法-如何做變量代換如何做變量代換分部積分法分部積分法-如何選取分部積分公式中的如何選取分部積分公式中的“u”和和“v”難點：難點：重點：重點： vduuvudv分部積分公式分部積分公式: 返回基本要求基本要求正確理解原函數(shù)和不定積分概念正確理解原函數(shù)和不定積分概念熟記基

3、本積分公式熟記基本積分公式熟練地運用換元積分法和分部積分法熟練地運用換元積分法和分部積分法能用待定系數(shù)法求基本的有理函數(shù)積分能用待定系數(shù)法求基本的有理函數(shù)積分 返回例例 xxcossin xsin是是xcos的的原原函函數(shù)數(shù). )0(1ln xxxxln是是x1在區(qū)間在區(qū)間), 0( 內的原函數(shù)內的原函數(shù).如果在區(qū)間如果在區(qū)間I內，內，定義：定義：可可導導函函數(shù)數(shù))(xF的的即即Ix ，都都有有)()(xfxF 或或dxxfxdF)()( ，那那么么函函數(shù)數(shù))(xF就就稱稱為為)(xf導函數(shù)為導函數(shù)為)(xf， 二二, 原函數(shù)與不定積分概念原函數(shù)與不定積分概念 返回若存在可導函數(shù)若存在可導函數(shù)

4、，使使)x(f)x(F)x(F 對原函數(shù)的研究須討論解決下面兩個問題對原函數(shù)的研究須討論解決下面兩個問題(1) 是否任何一個函數(shù)都存在原函數(shù)？是否任何一個函數(shù)都存在原函數(shù)？考察如下的例子考察如下的例子 0100)(xxxf)( xf則由則由的定義的定義時，時，當當0 x 0)()( xfxF1)(CxF 時，時，當當0 x 0)()( xfxF2)(CxF 處連續(xù)處連續(xù)在在可導可導由由0)()( xxFxF關于原函數(shù)的說明：關于原函數(shù)的說明： 返回21CC （左、右極限存在且相等）（左、右極限存在且相等）CxF )(0)0( F而已知而已知1) 0( f) 0(F 這樣得到矛盾這樣得到矛盾.這

5、說明這說明)(xf沒有原函數(shù)沒有原函數(shù). 既然不是每一個函數(shù)都有原函數(shù)既然不是每一個函數(shù)都有原函數(shù), 那么具備什么那么具備什么條件的函數(shù)才有原函數(shù)條件的函數(shù)才有原函數(shù)? 連續(xù)函數(shù)都有原函數(shù)連續(xù)函數(shù)都有原函數(shù). 對此我們有如下的結論對此我們有如下的結論: 返回（2）原函數(shù)是否唯一）原函數(shù)是否唯一? 若不唯一若不唯一, 它們之間有它們之間有 什么聯(lián)系什么聯(lián)系? 若若 ，則對于任意常數(shù)，則對于任意常數(shù) ，)()(xfxF CCxF )(都都是是)(xf的的原原函函數(shù)數(shù). 若若 和和 都是都是 的原函數(shù)，的原函數(shù)，)(xF)(xG)(xf則則.C)x(G)x(F （ 為任意常數(shù)）為任意常數(shù)）C 返回任

6、意常數(shù)任意常數(shù)積分號積分號被積函數(shù)被積函數(shù)不定積分的定義：不定積分的定義：在在區(qū)區(qū)間間I內內，CxFdxxf )()(被積表達式被積表達式積分變量積分變量函函數(shù)數(shù))(xf的的帶帶有有任任意意常數(shù)項的原函數(shù)常數(shù)項的原函數(shù)稱稱為為)(xf在在區(qū)區(qū)間間I內內的的不定積分不定積分，記為，記為 dxxf)(. . 為求不定積分為求不定積分, ,只須求出被積函數(shù)的一個原函數(shù)只須求出被積函數(shù)的一個原函數(shù), ,再加上積分常數(shù)即可再加上積分常數(shù)即可. . 返回例例1 1 求求.5dxx 解解:,656xx .665Cxdxx 解解:例例2 2 求求.112 dxx ,11arctan2xx .arctan112

7、 Cxdxx 返回例例3 3 設曲線通過點設曲線通過點(1，2), 且其上任一點處的切線且其上任一點處的切線斜率等于這點橫坐標的兩倍斜率等于這點橫坐標的兩倍, 求此曲線方程求此曲線方程.解解:設曲線方程為設曲線方程為),(xfy 根據(jù)題意知根據(jù)題意知,2xdxdy 即即)(xf是是x2的一個原函數(shù)的一個原函數(shù).,22 Cxxdx,)(2Cxxf 由曲線通過點（由曲線通過點（1，2）, 1 C所求曲線方程為所求曲線方程為. 12 xy 返回由不定積分的定義，可知由不定積分的定義，可知 ),()(xfdxxfdxd ,)()(dxxfdxxfd ,)()( CxFdxxF.)()( CxFxdF微

8、分運算與求不定積分微分運算與求不定積分(不考慮后面的不考慮后面的常數(shù)常數(shù)C )是逆運算。是逆運算。結論：結論： 返回 dxxgxf)()()1(;)()( dxxgdxxf此性質可推廣到有限多個函數(shù)之和的情況此性質可推廣到有限多個函數(shù)之和的情況 dxxfxfn)()(1 dxxfdxxfn)()(1 三三, 不定積分的性質不定積分的性質 返回 dxxkf)()2(.)( dxxfk（k是是常常數(shù)數(shù)，)0 k dxxfkdxxfkiniiniii)( )(11即線性組合的不定積分等于不定積分的線性組合即線性組合的不定積分等于不定積分的線性組合. 注意到上式中有注意到上式中有n個積分號個積分號,

9、形式上含有形式上含有n個任意常個任意常數(shù)數(shù), 但由于任意常數(shù)的線性組合仍是任意常數(shù)但由于任意常數(shù)的線性組合仍是任意常數(shù), 故實故實際上只含有際上只含有一個任意常數(shù)一個任意常數(shù). 結合結論結合結論(1)與與(2), 我們可以得到我們可以得到 返回實例實例 xx 11.11Cxdxx 提問提問: 能否根據(jù)求導公式得出積分公式？能否根據(jù)求導公式得出積分公式？ 既然積分運算和微分運算是互逆的既然積分運算和微分運算是互逆的, 因因此可以根據(jù)求導公式得出積分公式此可以根據(jù)求導公式得出積分公式.)1( 四四, 不定積分的基本解法不定積分的基本解法 返回基基本本積積分分表表 kCkxkdx()1(是常數(shù)是常數(shù)

10、););1(1)2(1 Cxdxx;ln)3( Cxxdx說明：說明： , 0 x,ln Cxxdx )ln(, 0 xx,1)(1xxx ,)ln( Cxxdx,|ln Cxxdx簡寫為簡寫為.ln Cxxdx 返回 dxx211)4(;arctanCx dxx211)5(;arcsinCx xdxcos)6(;sinCx xdxsin)7(;cosCx xdx2cos)8( xdx2sec;tanCx xdx2sin)9( xdx2csc;cotCx 返回 xdxxtansec)10(;secCx xdxxcotcsc)11(;cscCx dxex)12(;Cex dxax)13(;lnC

11、aax 以上以上1313個公式是求不定積分的個公式是求不定積分的基礎基礎, , 稱為基本積分表稱為基本積分表, , 必須熟練必須熟練掌握掌握. . 返回例例4 4 求積分求積分.2dxxx 解解:dxxx 2dxx 25Cx 125125.7227Cx 根據(jù)積分公式（根據(jù)積分公式（2）Cxdxx 11 返回例例5 5 求積分求積分解解:.)1213(22dxxx dxxx)1213(22 dxxdxx 22112113xarctan3 xarcsin2 C 注注1, 從該題中我們可以看出熟記基本積分表的從該題中我們可以看出熟記基本積分表的重要性重要性.2, 檢驗積分結果是否正確檢驗積分結果是否

12、正確, 只要把最后的結果只要把最后的結果求導求導, 看其導數(shù)是否等于被積函數(shù)看其導數(shù)是否等于被積函數(shù). 返回dx1x21 )x2(d1x2121)1x2(d221 1x1(第一類換元法)例例6 6 求積分求積分解解:原式原式 C|2|n21C|u|ln21du21 1xIu1令令u=2x+1,上式上式 x代回變量代回變量 返回令dx3-xx tdt2t3t2C)3x(32C)t33t(2dt)3t (22132 6)(x(第二類換元法)例例7 7 求積分求積分),t (xt03 ，32 tx.tdt2dx 那么解解:x代代回回變變量量原式原式 返回考慮公式dxxcosx ， vduuvudv(

13、分部積分法)例例8 8 求積分求積分那么解解: ,xsinxd 原式原式 將看做公式中的x,uxsin看做公式中的,v xsinxdCxcosxsinxxdxsinxsinx 返回例例9 9 求積分求積分.)1(122dxxxxx 解解: 原式原式dxxxxx )1()1(22dxxx 1112dxxdxx 1112.lnarctanCxx )x(x)x(x2211 拆分拆分(有理函數(shù)積分法) 返回解解:,sinsec2xxdxdy dxxxy sinsec2,costanCxx , 5)0( y, 6 C所求曲線方程為所求曲線方程為. 6costan xxy 返回說明說明求不定積分時一定要加上積分常數(shù)求不定積分時一定要加上積分常數(shù), 它表明一它表明一個函數(shù)的原函數(shù)有無窮多個個函數(shù)的原函數(shù)有無窮多個, 即要求的是全體原即要求的是全體原函數(shù)函數(shù), 若不加積分常數(shù)則表示只求出了其中一個若不加積分常數(shù)則表示只求出了其中一個原函數(shù)原函數(shù).寫成分項積分后寫成分項積分后, 積分常數(shù)可以只寫一個積分常數(shù)可以只寫一個.積分的結果在形式上可能有所不同積分的結果在形式上可能有所不同, 但實質上但實質上只相差一個常數(shù)只相差一個常數(shù). 返回dx1e1xdx32cosdx)3x(xdx)x31(x2