二階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)

1、二階線性微分方程解的結(jié)構(gòu) 高等數(shù)學(xué)在線開放課程目 錄 二階線性微分方程二階線性微分方程01 線性相關(guān)和線性無(wú)關(guān)線性相關(guān)和線性無(wú)關(guān)02通解結(jié)構(gòu)定理通解結(jié)構(gòu)定理0301 二階線性微分方程二階線性微分方程的一般形式為二階線性微分方程的一般形式為( ) ( )( )yp x yq x yf x (1)如果如果 ( )0f x 方程方程(1)(1)變?yōu)榉匠套優(yōu)榉匠? : (2)稱方程稱方程(2)(2)為二階線性齊次方程；為二階線性齊次方程；( )( )0yp x yq x y1122yC yC y如果如果系數(shù)系數(shù) 都是都是常數(shù)常數(shù)，稱稱方程方程(1)(1)，(2)(2)為二階常為二階常系數(shù)系數(shù)線性線性微

2、分方程微分方程( ), ( )p x q x如果如果 , ,稱方程稱方程(1)(1)為二為二階階線性線性非齊次方程，并稱方程非齊次方程，并稱方程(2)(2)為為對(duì)應(yīng)對(duì)應(yīng)于線性非齊次方程于線性非齊次方程(1)(1)的的線性線性齊次方程齊次方程；( )0f x ( (疊加原理疊加原理) )若若 是是二階二階線性齊次微分方程線性齊次微分方程( (2)2)的兩個(gè)解，則的兩個(gè)解，則12,y y也是方程也是方程(2)(2)的解的解，其中，其中 為為任意常數(shù)任意常數(shù)12,CC則稱這則稱這n n個(gè)函數(shù)在個(gè)函數(shù)在I I內(nèi)線性相關(guān)內(nèi)線性相關(guān)，否則否則稱函數(shù)稱函數(shù)，使在，使在I I內(nèi)內(nèi)為零的常數(shù)為零的常數(shù)1122(

3、 )( )( )0nnk y xk yxk yx在在I I內(nèi)線性無(wú)關(guān)內(nèi)線性無(wú)關(guān)設(shè)設(shè)12( ),( ),( )ny xyxyx是是定義在區(qū)間定義在區(qū)間I I上上的的n n個(gè)函數(shù)，個(gè)函數(shù)，若存在不全若存在不全121,nnk kkk ，則在，則在R R內(nèi)內(nèi) 例如對(duì)函數(shù)例如對(duì)函數(shù) 1cosyx 21cos3yx 我們可取我們可取11K 23K 11 cos( 3)cos03xx 是一個(gè)常數(shù)是一個(gè)常數(shù)02 線性相關(guān)和線性無(wú)關(guān) 123yy 因此因此 與與 線性相關(guān)線性相關(guān). .且且可以看到可以看到 1y2y當(dāng)當(dāng) 與與 在在I I內(nèi)線性相關(guān)時(shí)內(nèi)線性相關(guān)時(shí), ,設(shè)有設(shè)有1221yKKyK 恒恒為常數(shù)為常數(shù)，則

4、它們線性相關(guān)則它們線性相關(guān). .11220K yK y 反之若它們的比反之若它們的比因?yàn)橐驗(yàn)?判斷判斷兩個(gè)兩個(gè)函數(shù)線性相關(guān)的簡(jiǎn)便函數(shù)線性相關(guān)的簡(jiǎn)便方法方法例如函數(shù)例如函數(shù)313exy 224exy ，31223e3e4e4xxxyy不恒為常數(shù)，不恒為常數(shù)，線性無(wú)關(guān)。線性無(wú)關(guān)。 又如函數(shù)又如函數(shù)163yx221yx因?yàn)橐驗(yàn)?1263321yxyx 所以所以1y2y其中其中 不不全為全為0 0，不妨，不妨設(shè)設(shè) ，則則12,KK10K 即即 之之比為一個(gè)常數(shù)；比為一個(gè)常數(shù)；12,yy與與1y2y所以所以線性相關(guān)線性相關(guān)。 與與1y2y由由定理可以定理可以看出看出，對(duì)于對(duì)于二階線性齊次微分方程二階線性

5、齊次微分方程，只要只要求得它的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特解求得它的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特解，就就可以求得它的通解?？梢郧蟮盟耐ń狻?03 通解結(jié)構(gòu)定理若若 是是二階線性齊次二階線性齊次方程方程的的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特解兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特解，則則 是是該方程的通解該方程的通解，其中其中 為為任意常數(shù)任意常數(shù) 1122yC yC y 12,yy12,CC( (二階線性齊次微分方程二階線性齊次微分方程通解結(jié)構(gòu)定理通解結(jié)構(gòu)定理) ) 若若是二階線性非齊次方程是二階線性非齊次方程 *y( ) ( )( )yp x yq x yf x (1) (1) 的一個(gè)特解的一個(gè)特解， ( ) ( )0yp x yq x y的通解，的通

6、解， 則則 *yYy （2 2） 是方程是方程(1)(1)的通解的通解 注解：注解： 任意任意常數(shù)常數(shù)，從而從而它是方程它是方程(1)(1)的通解的通解 是方程是方程(1)(1)的解的解，又因，又因*y Yy 中中也含有兩個(gè)獨(dú)立的也含有兩個(gè)獨(dú)立的*y Yy 常數(shù)，所以常數(shù)，所以 ( (二階線性非齊次微分方程二階線性非齊次微分方程通解結(jié)構(gòu)定理通解結(jié)構(gòu)定理) )1122YC yCy 是是(2)(2)的通解，的通解， 中中含有兩個(gè)含有兩個(gè)獨(dú)立獨(dú)立的的任意任意YY是方程是方程(1)(1)對(duì)應(yīng)的線性齊次方程對(duì)應(yīng)的線性齊次方程12( ) ( )( )( )(3)yp x yq x yf xf x 若二階線性非齊次方程為若二階線性非齊次方程為 且且 *1y*2y與與分別是分別是 1( ) ( )( )yp x yq x yf x 2( ) ( )( )yp x yq x yf x 的特解，則的特解，則 *12y