第3章 矩陣及其運(yùn)算

1、第3章 矩陣及其運(yùn)算3.1 基本要求、重點(diǎn)難點(diǎn)基本要求：1 1掌握矩陣的定義.2 2掌握矩陣的運(yùn)算法則.3 3掌握伴隨矩陣的概念及利用伴隨矩陣求逆矩陣的方法.4 4掌握矩陣秩的概念及求矩陣秩的方法.5 5  掌握初等變換和初等矩陣的概念，能夠利用初等變換計(jì)算矩陣的秩，求可逆矩陣的逆矩陣.6 6掌握線形方程組有解得判定定理及其初等變換解線形方程組的方法.  重點(diǎn)難點(diǎn)：重點(diǎn)是矩陣定義，矩陣乘法運(yùn)算，逆矩陣的求法，矩陣的秩，初等變換及線性方程組的解. 難點(diǎn)是矩陣乘法，求逆矩陣的伴隨矩陣方法. 3.2 基本內(nèi)容 3.2.1 3.2.1  &#

2、160;         重要定義 定義3.1 由個(gè)數(shù)組成的行列的數(shù)表成為一個(gè)行列矩陣，記為簡(jiǎn)記為，或, 注意行列式與矩陣的區(qū)別：（1） （1）    行列式是一個(gè)數(shù)，而矩陣是一個(gè)數(shù)表.（2） （2）    行列式的行數(shù)、列數(shù)一定相同，但矩陣的行數(shù)、列數(shù)不一定相同.（3） （3）    一個(gè)數(shù)乘以行列式，等于這個(gè)數(shù)乘以行列式的某行（或列）的所有元素，而一個(gè)數(shù)乘以矩陣等于這個(gè)數(shù)乘以矩陣的所有元素.（4） （4） 

3、60;  兩個(gè)行列式相等只要它們表示的數(shù)值相等即可，而兩個(gè)矩陣相等則要求兩個(gè)矩陣對(duì)應(yīng)元素相等.（5） （5）    當(dāng)時(shí)，有意義，而無(wú)意義.的矩陣叫做階方陣或階方陣.一階方陣在書寫時(shí)不寫括號(hào)，它在運(yùn)算中可看做一個(gè)數(shù).對(duì)角線以下（上）元素都是0的矩陣叫上（下）三角矩陣，既是上三角陣，又是下三角的矩陣，也就是除對(duì)角線以外的元素全是0的矩陣叫對(duì)角矩陣.在對(duì)角矩陣中，對(duì)角線上元素全一樣的矩陣叫數(shù)量矩陣；數(shù)量矩陣中，對(duì)角線元素全是1的階矩陣叫階單位矩陣，常記為（或），簡(jiǎn)記為（或），元素都是0的矩陣叫零矩陣，記為，或簡(jiǎn)記為.行和列分別相等的兩個(gè)矩陣叫做同型矩陣，兩個(gè)

4、同型矩陣的且對(duì)應(yīng)位置上的元素分別相等的矩陣叫做相等矩陣.設(shè)有矩陣=，則稱為的負(fù)矩陣.若是方陣，則保持相對(duì)元素不變而得到的行列式稱為方針的行列式，記為或.將矩陣的行列式互換所得到的矩陣為的轉(zhuǎn)置矩陣，記為或.若方陣滿足，則稱為對(duì)稱矩陣，若方陣滿足，則稱為反對(duì)稱矩陣.若矩陣的元素都是實(shí)數(shù)，則矩陣稱為實(shí)矩陣.若矩陣的元素含有復(fù)數(shù)，則稱矩陣為復(fù)矩陣，若=是復(fù)矩陣，則稱矩陣（其中為的共軛矩陣，記為.定義3.2 對(duì)于階矩陣，如果存在階矩陣，使得，則稱方陣可逆，稱為的逆矩陣，記做.對(duì)于方陣，設(shè)的代數(shù)余子式為，則矩陣稱為的伴隨矩陣，要注意伴隨矩陣中元素的位置.定義3.3 設(shè)有矩陣，如果：（1） （1） 

5、;               在中有一個(gè)階子式不為零.（2） （2）                                

6、60;                                                 

7、60;                                                 

8、60;                                                 

9、60;                                     中任意階子式（如果有的話）全為零，則稱是矩陣的一個(gè)最高階非零子式，數(shù)稱為矩陣的秩，記為.定義3.4 初等變換與初等方陣：（1） （1）  &

10、#160;   初等變換：變換矩陣的某兩行（記為）；把非零數(shù)乘以矩陣的某行的所有元素（記為）；把矩陣的第行的倍加到第行上（記為）.以上為矩陣的三種類型的初等行變換，同樣可以定義矩陣的初等列變換.矩陣的初等行變換、初等列變換統(tǒng)稱為矩陣的初等變換.矩陣的初等行（列）變換皆可逆，且為同種類型的初等變換.例如：變換的逆是其自身，變換的逆變換為變換的逆變換為.初等變換的性質(zhì)：若矩陣經(jīng)有限次初等行（列）變換為，則的行（列）向量組與的行（列）向量組等價(jià).若矩陣經(jīng)有限次初等行（列）變換為，則的任意個(gè)列（行）向量與中對(duì)應(yīng)的個(gè)列（行）向量有相同的線形相關(guān)性.（2） （2）  

11、;  初等方陣：由單位矩陣經(jīng)過(guò)一次初等變換而得的矩陣叫做初等矩陣，初等矩陣也叫初等方陣.初等方陣共分三種，它們是：，.它們與單位矩陣的關(guān)系是： ，或， ，或 ，或容易搞錯(cuò)的是第三組關(guān)系式，讀者仔細(xì)些.初等矩陣皆可逆，且=，=，=初等方陣的性質(zhì)：若為可逆方陣，則存在有限個(gè)初等方陣，使.矩陣等價(jià)的充要條件是存在階可逆方陣和階可逆方陣，使.3.2.2 3.2.2            重要定理定理3.1 對(duì)矩陣施行一次初等行（列）變換相對(duì)于左（右）乘一個(gè)同類型的初等矩陣.例如：若，

12、則；若，則=；若，則=；等等.定理3.2 方陣可逆的充分必要條件是：（1），且.（2）可以表示成一些初等矩陣的乘積.若方陣可逆，則的逆陣唯一，可逆陣也叫做非奇異矩陣或稱為滿秩矩陣，否則稱為奇異矩陣或降秩矩陣，非奇異矩陣經(jīng)過(guò)初等變換后仍是非奇異的，奇異矩陣經(jīng)過(guò)初等變換后仍是奇異的.階方陣的秩的充要條件是：，即可逆.任一可逆矩陣只用初等行（列）變換可化為單位矩陣.定理3.3 對(duì)矩陣施以初等變換，不改變矩陣的秩.若矩陣經(jīng)有限次初等變換為，則稱與等價(jià)，記為.若，則=對(duì)任何矩陣，可通過(guò)初等變換成階梯形矩陣，進(jìn)一步可化成行最簡(jiǎn)形矩陣，再通過(guò)初等列變換可化成一個(gè)即是行最簡(jiǎn)形又是列最簡(jiǎn)形的矩陣，即所謂的標(biāo)準(zhǔn)形

13、，設(shè)矩陣的秩，由于初等變換不改變矩陣的秩，所以，其中是階單位矩陣.定理3.4 （線性方程組有解的判定定理）（1） （1）          非奇次線形方程組有解的充要條件是=，當(dāng)=時(shí)，方程組有無(wú)窮多解；當(dāng)是=時(shí)，方程組有惟一解；當(dāng)時(shí)，方程組無(wú)解.（為系數(shù)矩陣，為增廣矩陣.）（2） （2）          齊次線形方程組一定有零解；如果，則只有零解，它有非零解的充分必要條件是.3.2.3 3.2.3 

14、60;          主要運(yùn)算1 1矩陣的運(yùn)算法則：（1） （1）    加法法則：（加法滿足交換律）；（加法滿足結(jié)合律）；若，則（移項(xiàng)法則）.以上運(yùn)算法則說(shuō)明了矩陣相加、減的運(yùn)算有類似于初等代數(shù)中相加、減的運(yùn)算法則，矩陣相加、減是不難掌握的，只有注意矩陣間是否可以相加、減就可以了.（2） （2）    數(shù)乘矩陣的運(yùn)算法則：，其中表示數(shù)，、表示同型矩陣.注意：，則或；或且，換句話說(shuō)：若是零矩陣，則數(shù)是0，矩陣是零矩陣至少有一個(gè)成立.（3） （

15、3）    矩陣相乘的運(yùn)算法則：（矩陣乘法對(duì)加法滿足分配律）；（矩陣乘法滿足結(jié)合律）；，（乘法滿足數(shù)因子的結(jié)合律）.說(shuō)明：1） 1）          左邊矩陣的列數(shù)必須與右邊矩陣的行數(shù)相等才能相乘.矩陣乘法不滿足交換律，也就是說(shuō)不一定成立，若成立的話，則稱，可交換.2） 2）          顯然有，當(dāng)是方陣時(shí)，有.這就是說(shuō)單位矩陣在矩陣乘法中的作用相當(dāng)于數(shù)1在數(shù)的乘法中的作用.要注

16、意：是錯(cuò)誤的，正確的寫法應(yīng)是，同樣可知.3） 3）          按矩陣乘法的定義，只有方陣才能自乘，故若是階方陣，定義：是整數(shù)）當(dāng)為整數(shù)時(shí)有由于矩陣乘法一般不滿足交換律，所以對(duì)于兩個(gè)階矩陣與，一般來(lái)說(shuō).4） 4）          伴隨矩陣的運(yùn)算法則： 5） 5）          方陣行列式的運(yùn)算法則： 其中、市同階矩陣

17、，是任一數(shù)，是的階數(shù).6） 6）          轉(zhuǎn)置矩陣的運(yùn)算法則： 是任一數(shù)），.7） 7）          逆矩陣的運(yùn)算法則： ；若可逆，則.8） 8）          共軛矩陣的運(yùn)算法則： 是任一數(shù)），.2 2分塊矩陣的運(yùn)算:(1) (1) 將一個(gè)矩陣用橫線和縱線分成若干小塊，以這些小塊為元素的矩陣稱為分塊矩陣.(

18、2) (2) 分塊矩陣有類似于普通矩陣的運(yùn)算法則，只是進(jìn)行運(yùn)算的矩陣的分塊要恰當(dāng).(3) (3) 分塊對(duì)角方陣.若方陣的分塊矩陣只有在主對(duì)角線上有非零方陣子快，而其他子快都是零，即則稱為分塊對(duì)角方陣，分塊對(duì)角方陣的行列式.3.2.4 3.2.4            重要方法本章研討的是矩陣運(yùn)算，因此凡矩陣定義、矩陣運(yùn)算的定義、矩陣運(yùn)算法則等等，都是重要的，應(yīng)很好地掌握，只是有些較容易掌握，可少花時(shí)間和精力；有些較困難，應(yīng)認(rèn)真對(duì)待，多做練習(xí)，多思考，仔細(xì)鉆研范例，注意每一個(gè)特殊點(diǎn).1

19、1    矩陣的運(yùn)算方法：（1） （1）    以矩陣乘法為綱.矩陣運(yùn)算有些是較簡(jiǎn)單的，如矩陣的線性運(yùn)算、轉(zhuǎn)置等，而矩陣相乘就較困難了，可以這樣說(shuō)，有關(guān)矩陣乘法的運(yùn)算掌握好了，其他的矩陣運(yùn)算也就不在話下.因此對(duì)初學(xué)者來(lái)說(shuō)，遇到矩陣乘法，就應(yīng)該多留心.（2） （2）    邊學(xué)習(xí)，邊積累，逐步提高.這一章有很多定義（要重視定義！）、很多運(yùn)算，每種運(yùn)算又有若干條運(yùn)算法則，一開始掌握不了那么多，應(yīng)該學(xué)一點(diǎn)積累一點(diǎn)，直到全部掌握.例如：已知，計(jì)算行列式.如果先算出，再算出及，算出矩陣乘積，最后計(jì)算行列式；這樣比較

20、麻煩，而且易錯(cuò)，如果利用方陣則行列式的性質(zhì)就簡(jiǎn)單多了.因，所以.2 2    化矩陣為行階梯矩陣、行最簡(jiǎn)矩陣以及標(biāo)準(zhǔn)行的方法： 一定要能熟練地用初等行變換化一個(gè)矩陣成為階梯矩陣（或行最簡(jiǎn)行）矩陣，因?yàn)榍竽婢仃嚒⒕仃嚨闹?、解線性方程組等都要用到這樣的方法.3 3    求逆矩陣的方法：（1） （1）    用定義求. 用存在方陣，使，則.此法要求對(duì)矩陣乘法比較熟練，對(duì)于元素比較特殊的矩陣，可直觀看出滿足條件的（只要驗(yàn)證或一個(gè)即可）.（2） （2）    用，其中是的伴隨矩陣.要注意2階矩陣求伴隨矩陣的口訣：“主換位，副變號(hào).”例如，設(shè)，則.（3） （3）    初等變換法. 因?yàn)?所以把同時(shí)做初等行變換，當(dāng)處變?yōu)闀r(shí)，處得，即，同理.（4） （4）    分塊矩陣求逆.對(duì)于分塊對(duì)角陣，若的逆都存在，則也存在，且有.若方陣 且的逆都存在，則的逆也存在，且有4 4    求矩陣秩的方法：（