圓錐曲線題型完美版

1、高中數(shù)學(xué)選修2-1資料第一章 圓錐曲線第一節(jié) 橢圓1橢圓的定義(1)定義：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)2a(2a_|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的_，兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的_(2)另一種定義方式(見人教A版教材選修21 P47例6、P50)：平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)M到定點(diǎn)F的距離和它到定直線l的距離之比等于常數(shù)e(0e1)的軌跡叫做橢圓定點(diǎn)F叫做橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，定直線l叫做橢圓的一條準(zhǔn)線，常數(shù)e叫做橢圓的_2橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)焦點(diǎn)在x軸上焦點(diǎn)在y軸上(1)圖形(2)標(biāo)準(zhǔn)方程1(a>b>0)(3)范圍axa，bybaya，bxb(4)中心原點(diǎn)O(0，0

2、)(5)頂點(diǎn)A1(a，0)，A2(a，0)B1(0，b)，B2(0，b)(6)對(duì)稱軸x軸，y軸(7)焦點(diǎn)F1(0，c)，F(xiàn)2(0，c)(8)焦距2c2(9)離心率(10)準(zhǔn)線x±y±3.橢圓的焦點(diǎn)三角形橢圓上的點(diǎn)P(x0，y0)與兩焦點(diǎn)構(gòu)成的PF1F2叫做焦點(diǎn)三角形如圖所示，設(shè)F1PF2.(1)當(dāng)P為短軸端點(diǎn)時(shí)，最大(2)SPF1F2|PF1|PF2|·sinb2·b2tanc|y0|，當(dāng)|y0|b，即P為短軸端點(diǎn)時(shí)，SPF1F2取最大值，為bc.(3)焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)為2(ac) (4)通徑：過焦點(diǎn)的垂直于x軸（或y軸）的直線與橢圓的兩交點(diǎn)A,B之間的

3、距離。大小為。題型一 橢圓的定義【例1】(1)平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之和等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是橢圓()(2)方程mx2ny21(m>0，n>0，mn)表示的曲線是橢圓()(3)1(ab)表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓()(4)1(a>b>0)與1(a>b>0)的焦距相同()【例2】已知方程1表示橢圓，則m的取值范圍為()A(3,5) B(3,1)C(1,5) D(3,1)(1,5)【變式1】“3<m<5”是“方程1表示橢圓”的()A充分不必要條件 B必要不充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件【變式2】方程表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，則m的取值范

4、圍是_.【變式3】（2017南開區(qū)模擬）已知橢圓長(zhǎng)軸在x軸上，若焦距為4，則m等于（） A4 B5 C7 D8【變式4】（2013秋西山區(qū)校級(jí)期末）已知橢圓方程為x2+4y2=16，求出其頂點(diǎn)、焦點(diǎn)坐標(biāo)及離心率題型二 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程第一類 定義法求軌跡方程【例1】AOBPx y已知圓，圓A內(nèi)一定點(diǎn)B（2，0），圓P過B點(diǎn)且與圓A內(nèi)切，求圓心P的軌跡方程.【例2】設(shè)動(dòng)圓與圓外切，與內(nèi)切，求動(dòng)圓圓心的軌跡方程.【變式1】已知圓C：(x3)2y2100及點(diǎn)A(3,0)，P是圓C上任意一點(diǎn)，線段PA的垂直平分線l與PC相交于點(diǎn)Q，求點(diǎn)Q的軌跡方程【變式2】()已知圓M：(x1)2y21，圓N：(x1)

5、2y29，動(dòng)圓P與圓M外切并且與圓N內(nèi)切，圓心P的軌跡為曲線C，則C的方程為_第二類 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程【例1】已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)P（2，0）和點(diǎn)，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【例2】已知一橢圓的對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸且與橢圓有相同的焦點(diǎn)，并且經(jīng)過點(diǎn)（3，2），求此橢圓的方程.【變式1】?jī)蓚€(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)是（0，2）、（0，2），并且橢圓經(jīng)過點(diǎn)【變式2】已知橢圓的中心在原點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)P（3，0）且a=3b，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【例3】（2016河?xùn)|區(qū)一模）已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓C的離心率為，且經(jīng)過點(diǎn)M(1，)，過點(diǎn)P（2，1）的直線l與橢圓C相交于不同的兩點(diǎn)A，B求橢圓C的方程；【變式3】（2016秋灌南縣校級(jí)期中

6、）求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：（1）焦點(diǎn)在x軸上，a=6，e=；（2）焦點(diǎn)在y軸上，c=3，e=【例3】（2016春伊寧市校級(jí)期中）已知橢圓的兩焦點(diǎn)為F1（0，-1）、F2（0，1），直線y=4是橢圓的一條準(zhǔn)線求橢圓方程【例4】（2016秋延安期末）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C的中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2在x軸上，離心率為，過F1的直線l交C于A、B兩點(diǎn)，且ABF2的周長(zhǎng)是16，求橢圓C的方程【變式4】（2015秋霍邱縣校級(jí)期末）已知橢圓的中心在原點(diǎn)，它在x軸上的一個(gè)焦點(diǎn)與短軸兩端點(diǎn)連線互相垂直，且此焦點(diǎn)和x軸上的較近端點(diǎn)的距離為4（-1），求橢圓方程【例5】（2015秋永年縣期末）已

7、知F1，F(xiàn)2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，現(xiàn)有橢圓上一點(diǎn)M到兩焦點(diǎn)的距離之和為20，且|MF1|、|F1F2|、|MF2|成等差數(shù)列，試求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程【變式5】（2016天津）設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為F，右頂點(diǎn)為A，已知，其中O為原點(diǎn)，e為橢圓的離心率求橢圓的方程；題型三 橢圓的焦點(diǎn)三角形性質(zhì)一：過橢圓焦點(diǎn)的所有弦中通徑(垂直于焦點(diǎn)的弦)最短，通徑為性質(zhì)二：已知橢圓方程為兩焦點(diǎn)分別為設(shè)焦點(diǎn)三角形中則.性質(zhì)三：已知橢圓方程為兩焦點(diǎn)分別為設(shè)焦點(diǎn)三角形中則【例1】若P是橢圓上的一點(diǎn)，、是其焦點(diǎn)，且，求的面積.【例2】已知、是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，橢圓上一點(diǎn)使，求橢圓離心率的取值范圍?！咀兪?】已知F1，F(xiàn)2是橢圓的兩個(gè)焦

8、點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)，F(xiàn)1PF260°.求橢圓離心率的范圍【變式2】橢圓上一點(diǎn)P與橢圓兩個(gè)焦點(diǎn)、的連線互相垂直，則的面積為（ ） A. 20 B. 22 C. 28 D. 24【變式3】橢圓的左右焦點(diǎn)為、， P是橢圓上一點(diǎn)，當(dāng)?shù)拿娣e為1時(shí)，的值為（ ） A. 0 B. 1 C. 3 D. 61.（2017崇明縣一模）如圖，已知橢圓C的中心為原點(diǎn)O，F(xiàn)（-2，0）為C的左焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，滿足|OP|=|OF|且|PF|=4，則橢圓C的方程為（） A B C D2.已知橢圓的焦點(diǎn)是F1(0，1)、F2(0,1)，P是橢圓上一點(diǎn)，并且PF1PF22F1F2，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是_3.已知一

9、橢圓的對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸且與橢圓有相同的焦點(diǎn)，并且經(jīng)過點(diǎn)（3，2），求此橢圓的方程。4.已知P為橢圓上的一點(diǎn)，是兩個(gè)焦點(diǎn)，求的面積.我們根據(jù)橢圓來研究橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)1.橢圓的范圍橢圓上所有的點(diǎn)都位于直線x=±a和y=±b所圍成的矩形內(nèi)，所以橢圓上點(diǎn)的坐標(biāo)滿足|x|a，|y|b.2.橢圓的對(duì)稱性對(duì)于橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，把x換成-x，或把y換成-y，或把x、y同時(shí)換成-x、-y，方程都不變，所以橢圓是以x軸、y軸為對(duì)稱軸的軸對(duì)稱圖形，且是以原點(diǎn)為對(duì)稱中心的中心對(duì)稱圖形，這個(gè)對(duì)稱中心稱為橢圓的中心.3.橢圓的頂點(diǎn)橢圓的對(duì)稱軸與橢圓的交點(diǎn)稱為橢圓的頂點(diǎn).橢圓（ab0）與坐標(biāo)軸的四個(gè)交點(diǎn)即

10、為橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)，坐標(biāo)分別為A1（-a，0），A2（a，0），B1（0，-b），B2（0，b）.線段A1A2，B1B2分別叫做橢圓的長(zhǎng)軸和短軸，|A1A2|=2a，|B1B2|=2b.a和b分別叫做橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)和短半軸長(zhǎng).4.橢圓的離心率橢圓的焦距與長(zhǎng)軸長(zhǎng)度的比叫做橢圓的離心率，用e表示，記作.因?yàn)閍c0，所以e的取值范圍是0e1.e越接近1，則c就越接近a，從而越小，因此橢圓越扁；反之，e越接近于0，c就越接近0，從而b越接近于a，這時(shí)橢圓就越接近于圓.當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，c=0，這時(shí)兩個(gè)焦點(diǎn)重合，圖形變?yōu)閳A，方程為x2+y2=a2.要點(diǎn)詮釋：橢圓的圖象中線段的幾何特征（如下圖）：（1），；

11、（2），；（3）,，；5橢圓的第二定義、準(zhǔn)線當(dāng)點(diǎn)與一個(gè)定點(diǎn)的距離和它到一條定直線的距離的比是常數(shù)時(shí)，這個(gè)點(diǎn)的軌跡是橢圓定點(diǎn)是橢圓的焦點(diǎn)，定直線叫做橢圓的準(zhǔn)線，常數(shù)是橢圓的離心率對(duì)于橢圓，相應(yīng)于焦點(diǎn)的準(zhǔn)線方程是根據(jù)對(duì)稱性，相應(yīng)于焦點(diǎn)的準(zhǔn)線方程是對(duì)于橢圓的準(zhǔn)線方程是可見橢圓的離心率就是橢圓上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與到相應(yīng)準(zhǔn)線距離的比，這就是離心率的幾何意義由橢圓的第二定義可得：右焦半徑公式為；左焦半徑公式為題型一 橢圓簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)【例1】求橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)、離心率、焦點(diǎn)和頂點(diǎn)坐標(biāo)，并用描點(diǎn)法畫出這個(gè)橢圓.【變式1】求橢圓16x2+25y2=400的長(zhǎng)軸和短軸的長(zhǎng)、離心率、焦點(diǎn)和頂點(diǎn)的坐標(biāo).【例2】

12、已知橢圓的離心率為，求的值【例3】求橢圓的右焦點(diǎn)和右準(zhǔn)線；左焦點(diǎn)和左準(zhǔn)線【變式2】求橢圓方程的準(zhǔn)線方程題型二 橢圓的離心率【例1】（2017河?xùn)|區(qū)模擬）橢圓的離心率為_.【變式1】（2017河北區(qū)模擬）橢圓的離心率等于_.【例2】（1）已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)將長(zhǎng)軸分成長(zhǎng)為的兩段，求其離心率；（2）已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)到長(zhǎng)軸兩端點(diǎn)的距離分別為10和4，求其離心率.【例3】從橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)看長(zhǎng)軸兩端點(diǎn)的視角為，則此橢圓的離心率為 .【變式1】橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)與兩焦點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形，則此橢圓的離心率是（ ）【變式2】已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍，則橢圓的離心率 .【例4】橢圓上一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離分別為

13、，焦距為，若成等差數(shù)列，則橢圓的離心率為_.【例5】已知m,n,m+n成等差數(shù)列，m，n，mn成等比數(shù)列，則橢圓的離心率為 .【變式3】已知橢圓的焦距、短軸長(zhǎng)、長(zhǎng)軸長(zhǎng)成等差數(shù)列，則橢圓的離心率是 .【例6】已知橢圓（>0,>0）的左焦點(diǎn)為F，右頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為B，若BFBA,則稱其為“優(yōu)美橢圓”，那么“優(yōu)美橢圓”的離心率為 ?！纠?】在ABC中，如果一個(gè)橢圓過A、B兩點(diǎn)，它的一個(gè)焦點(diǎn)為C，另一個(gè)焦點(diǎn)在AB上，求這個(gè)橢圓的離心率.【變式4】以、為焦點(diǎn)的橢圓（）上一動(dòng)點(diǎn)P，當(dāng)最大時(shí)的正切值為2，則此橢圓離心率e的大小為 ?！咀兪?】如圖,橢圓中心在坐標(biāo)原點(diǎn),F為左焦點(diǎn),當(dāng)時(shí),其離心率

14、為,此類橢圓被稱為“黃金橢圓”.類比“黃金橢圓”,可推算出”黃金雙曲線”的離心率e等于 .【變式6】如圖所示,橢圓中心在原點(diǎn),F是左焦點(diǎn),直線與BF交于D,且,則橢圓的離心率為 .1.平面內(nèi)點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系橢圓將平面分成三部分：橢圓上、橢圓內(nèi)、橢圓外，因此，平面上的點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系有三種，任給一點(diǎn)M（x,y），若點(diǎn)M（x,y）在橢圓上，則有；若點(diǎn)M（x,y）在橢圓內(nèi)，則有；若點(diǎn)M（x,y）在橢圓外，則有.2.直線與橢圓的位置關(guān)系將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立成方程組，消元轉(zhuǎn)化為關(guān)于x或y的一元二次方程，其判別式為.0直線和橢圓相交直線和橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)(或兩個(gè)公共點(diǎn)）；0直線和橢圓相切直線和橢

15、圓有一個(gè)切點(diǎn)(或一個(gè)公共點(diǎn))；0直線和橢圓相離直線和橢圓無公共點(diǎn)3.直線與橢圓的相交弦設(shè)直線交橢圓于點(diǎn)兩點(diǎn)，則=同理可得這里的求法通常使用韋達(dá)定理，需作以下變形：【例1】若直線與橢圓恒有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍 .【例2】對(duì)不同實(shí)數(shù)m，討論直線與橢圓的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù).【變式1】直線y=kx+1與焦點(diǎn)在x軸上的橢圓x2/9+y2/m=1總有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍是（ ） A.1/2m9 B.9m10 C.1m9 D.1m9【變式2】直線y=mx+1與橢圓x2+4y2=1有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則m2=（ ） A. B. C. D.題型二 弦長(zhǎng)【例1】求直線xy1=0被橢圓截得的弦長(zhǎng)【變式1】已知橢圓

16、及直線（1）當(dāng)為何值時(shí)，直線與橢圓有公共點(diǎn)？（2）若直線被橢圓截得的弦長(zhǎng)為，求直線的方程【例2】（2016秋仙桃校級(jí)期末）已知橢圓，過左焦點(diǎn)F1傾斜角為的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)求弦AB的長(zhǎng)【變式2】（2016秋黃陵縣校級(jí)期末）已知橢圓C：的一個(gè)頂點(diǎn)為A（2，0），離心率為直線y=x-1與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M，N（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求線段MN的長(zhǎng)度題型三 點(diǎn)差法【例1】已知點(diǎn)P（4，2）是直線被橢圓所截得線段的中點(diǎn)，求直線的方程.【變式1】已知橢圓的一條弦的斜率為3，它與直線的交點(diǎn)恰為這條弦的中點(diǎn)，求點(diǎn)的坐標(biāo).【例2】已知橢圓E：1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F(3,0)，

17、過點(diǎn)F的直線交E于A，B兩點(diǎn)若AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1，1)，則E的方程為()A.1 B.1C.1 D.1【例3】過點(diǎn)M(1,1)作斜率為的直線與橢圓C：1(a>b>0)相交于A，B兩點(diǎn)，若M是線段AB的中點(diǎn)，則橢圓C的離心率等于_【變式2】過橢圓內(nèi)一點(diǎn)引一條弦，使弦被點(diǎn)平分，求這條弦所在直線的方程?！咀兪?】已知雙曲線，經(jīng)過點(diǎn)能否作一條直線，使與雙曲線交于、，且點(diǎn)是線段的中點(diǎn)。若存在這樣的直線，求出它的方程，若不存在，說明理由。橢圓綜合1.（2016春平?jīng)鲂＜?jí)期末）已知橢圓M：1(a>b>0)的離心率為，短軸的長(zhǎng)為2（1）求橢圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程（2）若經(jīng)過點(diǎn)（0，2）的直線l

18、與橢圓M交于P，Q兩點(diǎn)，滿足0，求l的方程2.（2016秋龍海市校級(jí)期末）已知橢圓C：1(a>b>0)的焦距為，橢圓C上任意一點(diǎn)到橢圓兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為6（）求橢圓C的方程；（）設(shè)直線l：y=kx-2與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P（0，1），且|PA|=|PB|，求直線l的方程3.（2016秋萬州區(qū)校級(jí)期末）已知命題p：方程所表示的曲線為焦點(diǎn)在x軸上的橢圓；命題q：關(guān)于實(shí)數(shù)t的不等式.（1）若命題p為真，求實(shí)數(shù)t的取值范圍；（2）若命題p是命題q的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍4.（2016秋鄰水縣期末）已知橢圓C：1(a>b>0)的離心率為，左焦點(diǎn)為F（-1，0）

19、，過點(diǎn)D（0，2）且斜率為k的直線l交橢圓于A，B兩點(diǎn)（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求k的取值范圍.5.（2016秋尖山區(qū)校級(jí)期末）已知橢圓1(a>b>0)的離心率為，且（1）求橢圓的方程；（2）直線l：x-y+m=0與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，是否存在實(shí)數(shù)m，使線段AB的中點(diǎn)在圓x2+y2=5上，若存在，求出m的值；若不存在，說明理由第二節(jié) 雙曲線1.雙曲線的定義在平面內(nèi)，到兩個(gè)定點(diǎn)、的距離之差的絕對(duì)值等于常數(shù)（大于0且）的動(dòng)點(diǎn)的軌跡叫作雙曲線.這兩個(gè)定點(diǎn)、叫雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫作雙曲線的焦距.要點(diǎn)詮釋：1.雙曲線的定義中，常數(shù)應(yīng)當(dāng)滿足的約束條件：，這可以借助于三角形中邊的相

20、關(guān)性質(zhì)“兩邊之差小于第三邊”來理解；2.若去掉定義中的“絕對(duì)值”，常數(shù)滿足約束條件：（），則動(dòng)點(diǎn)軌跡僅表示雙曲線中靠焦點(diǎn)的一支；若（），則動(dòng)點(diǎn)軌跡僅表示雙曲線中靠焦點(diǎn)的一支；3.若常數(shù)滿足約束條件：，則動(dòng)點(diǎn)軌跡是以F1、F2為端點(diǎn)的兩條射線（包括端點(diǎn)）；4.若常數(shù)滿足約束條件：，則動(dòng)點(diǎn)軌跡不存在；5.若常數(shù)，則動(dòng)點(diǎn)軌跡為線段F1F2的垂直平分線.2.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程1.當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：，其中；2.當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：，其中題型一 雙曲線的定義【例1】已知點(diǎn)F1(4,0)和F2(4,0)，曲線上的動(dòng)點(diǎn)P到F1、F2距離之差為6，則曲線方程為（ ）A. B.1(y&

21、gt;0)C.或 D.(x>0)【例2】已知點(diǎn)P(x,y)的坐標(biāo)滿足，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是（ ）A橢圓 B雙曲線中的一支 C兩條射線 D以上都不對(duì)【變式1】“ab<0”是“曲線ax2by21為雙曲線”的（ ）A充分不必要條件 B必要不充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件【變式2】（2015南市區(qū)校級(jí)模擬）已知M（-2，0）、N（2，0），|PM|-|PN|=4，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是（） A雙曲線 B雙曲線左邊一支 C一條射線 D雙曲線右邊一支【例3】已知方程表示雙曲線，則k的取值范圍是（ ）A1<k<1 Bk>0Ck0 Dk>1或k<1【變式3】（201

22、4大連二模）如果方程表示雙曲線，則m的取值范圍是（）A（2，+） B（-2，-1） C（-，-1） D（1，2）【變式3】已知雙曲線8kx2ky2=2的一個(gè)焦點(diǎn)為，則k的值等于（ ）A2 B1 C1 D題型一 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程類型一 定義法求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程【例1】一動(dòng)圓過定點(diǎn)A(4,0)，且與定圓B：(x4)2y216相外切，則動(dòng)圓圓心的軌跡方程為_【例2】動(dòng)圓與圓x2y21和x2y28x120都相外切，則動(dòng)圓圓心的軌跡為()A雙曲線的一支 B圓C拋物線 D雙曲線【變式】已知圓C1：(x3)2y21和圓C2：(x3)2y29，動(dòng)圓M同時(shí)與圓C1及圓C2相外切，則動(dòng)圓圓心M的軌跡方程為_類型二

23、 求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程【例1】求適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：（1）已知兩焦點(diǎn),雙曲線上的點(diǎn)與兩焦點(diǎn)的距離之差的絕對(duì)值等于8.（2）雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為，經(jīng)過點(diǎn).【例2】求中心在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，且虛軸長(zhǎng)與實(shí)軸長(zhǎng)的比為，焦距為10的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.【變式1】對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，經(jīng)過點(diǎn)P(3，2)，Q(6，7)?！纠?】求與雙曲線有公共焦點(diǎn)，且過點(diǎn)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.【變式2】求中心在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，且頂點(diǎn)在軸，焦距為10，的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.焦點(diǎn)三角形：性質(zhì)1：若則特別地，當(dāng)時(shí)，有.性質(zhì)2：雙曲線焦點(diǎn)三角形的內(nèi)切圓與F1F2相切于實(shí)軸頂點(diǎn)；且當(dāng)P點(diǎn)在雙曲線左支時(shí)，切點(diǎn)為左頂點(diǎn)，且當(dāng)P

24、點(diǎn)在雙曲線右支時(shí)，切點(diǎn)為右頂點(diǎn)。性質(zhì)3：雙曲線離心率為e，其焦點(diǎn)三角形PF1F2的旁心為A，線段PA的延長(zhǎng)線交F1F2的延長(zhǎng)線于點(diǎn)B，則.性質(zhì)4：雙曲線的焦點(diǎn)三角形PF1F2中，當(dāng)點(diǎn)P在雙曲線右支上時(shí)，有當(dāng)點(diǎn)P在雙曲線左支上時(shí)，有【例1】已知F1，F(xiàn)2是雙曲線y21的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是雙曲線上一點(diǎn)，且F1PF290°，則F1PF2的面積是()A1 B C2 D【變式1】已知雙曲線1的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，若雙曲線上一點(diǎn)P使F1PF290°，則F1PF2的面積是()A12 B16 C24 D32【例2】雙曲線焦點(diǎn)三角形的內(nèi)切圓與相切于點(diǎn)，則 .【例3】設(shè)雙曲線，、是其兩個(gè)焦

25、點(diǎn)，點(diǎn)在雙曲線右支上一點(diǎn)若離心率，則 .【例4】雙曲線離心率為，其焦點(diǎn)三角形的旁心為，線段的延長(zhǎng)線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，若，則離心率 .1.雙曲線兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)方程幾何性質(zhì)的比較標(biāo)準(zhǔn)方程圖形性質(zhì)焦點(diǎn)，焦距范圍，對(duì)稱性關(guān)于x軸、y軸和原點(diǎn)對(duì)稱頂點(diǎn)軸實(shí)軸長(zhǎng)=，虛軸長(zhǎng)=離心率漸近線方程 要點(diǎn)詮釋：雙曲線的焦點(diǎn)總在實(shí)軸上，因此已知標(biāo)準(zhǔn)方程，判斷焦點(diǎn)位置的方法是：看x2、y2的系數(shù)，如果x2項(xiàng)的系數(shù)是正的，那么焦點(diǎn)在x軸上；如果y2項(xiàng)的系數(shù)是正的，那么焦點(diǎn)在y軸上.對(duì)于雙曲線，a不一定大于b，因此不能像橢圓那樣通過比較分母的大小來判定焦點(diǎn)在哪一條坐標(biāo)軸上.2.雙曲線的漸近線（1）已知雙曲線方程求漸近線方程：若雙曲線

26、方程為，則其漸近線方程為已知雙曲線方程，將雙曲線方程中的“常數(shù)”換成“0”，然后因式分解即得漸近線方程.（2）已知漸近線方程求雙曲線方程：若雙曲線漸近線方程為，則可設(shè)雙曲線方程為，根據(jù)已知條件，求出即可.（3）與雙曲線有公共漸近線的雙曲線與雙曲線有公共漸近線的雙曲線方程可設(shè)為（，焦點(diǎn)在軸上，焦點(diǎn)在y軸上）（4）等軸雙曲線的漸近線等軸雙曲線的兩條漸近線互相垂直，為，因此等軸雙曲線可設(shè)為.3.雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離為.題型一 雙曲線簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)【例1】求雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)和虛軸長(zhǎng)、頂點(diǎn)坐標(biāo)、焦點(diǎn)坐標(biāo)、漸近線方程與離心率.【變式1】雙曲線mx2y21的虛軸長(zhǎng)是實(shí)軸長(zhǎng)的2倍，則m等于()A B4 C

27、4 D.【例2】已知雙曲線方程，求漸近線方程：（1）；（2）【變式2】求下列雙曲線方程的漸近線方程：（1）；（2）；（3）【變式3】中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，離心率為的圓錐曲線的焦點(diǎn)在y軸上，則它的漸近線方程為（ ）A B C D【例3】根據(jù)下列條件，求雙曲線方程.（1）與雙曲線有共同的漸近線，且過點(diǎn)；（2）一漸近線方程為，且雙曲線過點(diǎn)【變式4】過點(diǎn)(2，-2)且與雙曲線有公共漸近線的雙曲線是（ ） A. B. C. D.【變式5】設(shè)雙曲線的漸近線方程為，則的值為（ ）A4 B3 C2 D1【變式6】雙曲線與有相同的（ ）A實(shí)軸 B焦點(diǎn) C漸近線 D以上都不對(duì)【例4】雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離等于_【變

28、式7】雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離等于（）A2 B3 C4 D5題型二 雙曲線的離心率【例1】已知雙曲線的一條漸近線方程為yx，則雙曲線的離心率為 .【變式1】已知雙曲線的一條準(zhǔn)線為，則該雙曲線的離心率為 .【例2】已知雙曲線的兩條漸近線的夾角為,則雙曲線的離心率為 .【例3】已知F1、F2是雙曲線的兩焦點(diǎn)，以線段F1F2為邊作正三角形MF1F2，若邊MF1的中點(diǎn)在雙曲線上，則雙曲線的離心率是 .【變式2】已知雙曲線(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)為F，若過點(diǎn)F且傾斜角為60°的直線與雙曲線的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則此雙曲線離心率的取值范圍是 .【變式3】已知以雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)

29、及虛軸的兩個(gè)端點(diǎn)為原點(diǎn)的四邊形中，有一個(gè)內(nèi)角為60°，則雙曲線C的離心率為 .【例4】已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，P是準(zhǔn)線上一點(diǎn)，且PF1PF2，PF1PF24ab，則雙曲線的離心率是 .【例5】設(shè)和為雙曲線()的兩個(gè)焦點(diǎn)，若，是正三角形的三個(gè)頂點(diǎn),則雙曲線的離心率為 .【變式4】過雙曲線(a0，b0)的左焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線與雙曲線相交于M、N兩點(diǎn)，以MN為直徑的圓恰好過雙曲線的右頂點(diǎn)，則雙曲線的離心率等于 .【變式5】設(shè)雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為，虛軸的一個(gè)端點(diǎn)為,如果直線與該雙曲線的一條漸近線垂直，那么此雙曲線的離心率為 .【例6】已知雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別為,點(diǎn)P在雙曲

30、線的右支上，且,則此雙曲線的離心率e的最大值為 .【例7】雙曲線（a0,b0）的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1、F2,若P為其上一點(diǎn)，且|PF1|=2|PF2|,則雙曲線離心率的取值范圍為 .【變式6】雙曲線（，）的左、右焦點(diǎn)分別是，過作傾斜角為的直線交雙曲線右支于點(diǎn)，若垂直于軸，則雙曲線的離心率為 .1.直線與雙曲線的位置關(guān)系將直線的方程與雙曲線的方程聯(lián)立成方程組，消元轉(zhuǎn)化為關(guān)于x或y的一元二次方程，其判別式為.若即，直線與雙曲線漸近線平行，直線與雙曲線相交于一點(diǎn)；若即，0直線和雙曲線相交直線和雙曲線相交，有兩個(gè)交點(diǎn)；0直線和雙曲線相切直線和雙曲線相切，有一個(gè)公共點(diǎn)；0直線和雙曲線相離直線和雙曲線相離，無公

31、共點(diǎn)直線與雙曲線有一個(gè)公共點(diǎn)是直線與雙曲線相切的必要不充分條件。2.直線與雙曲線的相交弦設(shè)直線交雙曲線于點(diǎn)兩點(diǎn)，則=同理可得這里的求法通常使用韋達(dá)定理，需作以下變形：題型一 直線與雙曲線的位置關(guān)系【例1】直線l過點(diǎn)(1，1)，與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，則滿足條件的l有（ ） A.1條 B.2條 C.4條 D.無數(shù)條【例2】已知雙曲線x2y2=4，直線l：y=k(x1)，討論直線與雙曲線公共點(diǎn)個(gè)數(shù).【例3】過點(diǎn)與雙曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有幾條，分別求出它們的方程?！咀兪?】“直線與雙曲線有唯一交點(diǎn)”是“直線與雙曲線相切”的（ ） A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.不充

32、分不必要條件【變式2】若直線y=kx+1與曲線x=有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則k的取值范圍是（ ） A.-<k< B.-<k<-1 C.1<k< D.k<-或k>【變式3】直線y=(x)與雙曲線的交點(diǎn) 個(gè)數(shù)是（ ） A.0個(gè) B.1個(gè) C.2個(gè) D.4個(gè)題型二 弦長(zhǎng)【例1】求直線被雙曲線截得的弦長(zhǎng).【例2】垂直于直線的直線被雙曲線截得的弦長(zhǎng)為，求直線的方程.【變式1】斜率為2的直線l被雙曲線截得的弦長(zhǎng)為2，則直線l的方程是（ ）A.y=2x± B.y=2x± C.y=2x± D.y=2x±【變式2】過雙曲線16x2

33、-9y2=144的右焦點(diǎn)作傾斜角為的弦AB，則|AB|等于 .題型三 點(diǎn)差法 在雙曲線（0，0）中，若直線與雙曲線相交于M、N兩點(diǎn)，點(diǎn)是弦MN的中點(diǎn)，弦MN所在的直線的斜率為，則.同理可證，在雙曲線（0，0）中，若直線與雙曲線相交于M、N兩點(diǎn)，點(diǎn)是弦MN的中點(diǎn)，弦MN所在的直線的斜率為，則.【例1】已知雙曲線，過點(diǎn)作直線交雙曲線C于A、B兩點(diǎn).若P恰為弦AB的中點(diǎn)，求直線的方程.【例2】已知雙曲線與點(diǎn)（1）斜率為且過點(diǎn)P的直線與C有兩個(gè)公共點(diǎn)，求的取值范圍；（2）是否存在過點(diǎn)P的弦AB，使得AB的中點(diǎn)為P？（3）試判斷以為中點(diǎn)的弦是否存在.【例3】設(shè)雙曲線的中心在原點(diǎn)，以拋物線的頂點(diǎn)為雙曲線的

34、右焦點(diǎn)，拋物線的準(zhǔn)線為雙曲線的右準(zhǔn)線（）試求雙曲線C的方程；（）設(shè)直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，求；（）對(duì)于直線，是否存在這樣的實(shí)數(shù)，使直線與雙曲線的交點(diǎn)關(guān)于直線(為常數(shù))對(duì)稱，若存在，求出值；若不存在，請(qǐng)說明理由【變式1】已知雙曲線中心在原點(diǎn)且一個(gè)焦點(diǎn)為，直線與其相交于M、N兩點(diǎn)，MN的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則此雙曲線的方程為（ ） A. B. C. D. 【變式2】設(shè)A、B是雙曲線上兩點(diǎn)，點(diǎn)是線段AB的中點(diǎn).求直線AB的方程?！咀兪?】已知雙曲線，過點(diǎn)作直線交雙曲線于A、B兩點(diǎn). （1）求弦AB的中點(diǎn)M的軌跡; （2）若點(diǎn)P恰好是弦AB的中點(diǎn)，求直線的方程和弦AB的長(zhǎng).雙曲線綜合1.（2016秋寧城縣期

35、末）已知命題p：k2-8k-200，命題q：方程表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線（）命題q為真命題，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；（）若命題“pq”為真，命題“pq”為假，求實(shí)數(shù)k的取值范圍2.（2016秋泉港區(qū)校級(jí)期末）若拋物線的頂點(diǎn)是雙曲線x2-y2=1的中心，焦點(diǎn)是雙曲線的右頂點(diǎn)（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線l過點(diǎn)C（2，1）交拋物線于M，N兩點(diǎn)，是否存在直線l，使得C恰為弦MN的中點(diǎn)？若存在，求出直線l方程；若不存在，請(qǐng)說明理由3.（2016春內(nèi)江期末）（1）若雙曲線的離心率e（1，2），求實(shí)數(shù)m的取值范圍；（2）若方程表示橢圓，求實(shí)數(shù)t的取值范圍第三節(jié) 拋物線1.拋物線的定義平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F

36、和一條定直線l(l不經(jīng)過點(diǎn)F)的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn)，直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線2.拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸正半軸上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：y22px(p>0)；頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸負(fù)半軸上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：y22px(p>0)；頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸正半軸上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：x22py(p>0)；頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸負(fù)半軸上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：x22py(p>0)注意：定義的理解和方程中p的意義(1)定義的實(shí)質(zhì)可歸納為“一動(dòng)三定”，一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)為M；一個(gè)定點(diǎn)F，叫做拋物線的焦點(diǎn)；一條定直線l，叫做拋物線

37、的準(zhǔn)線；一個(gè)定值，即點(diǎn)M到點(diǎn)F的距離和它到直線l的距離的比值等于1.(2)p的幾何意義是焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離.【例1】若動(dòng)圓與定圓:相外切，且與直線相切，求動(dòng)圓圓心的軌跡方程.【變式1】平面上動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)F（1，0）的距離比P到y(tǒng)軸的距離大1，求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程?！咀兪?】若點(diǎn)M到定點(diǎn)F（4，0）的距離比它到直線l：x+6=0的距離小2，求點(diǎn)M的軌跡方程?！纠?】求適合下列條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程：（1）過點(diǎn)(-2，3)；（2）焦點(diǎn)在直線3x-4y-12=0上；（3）準(zhǔn)線過點(diǎn)(2，3)；（4）焦點(diǎn)在y軸上，拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于5。【例3】已知拋物線關(guān)于y軸對(duì)稱，它的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，并且經(jīng)過點(diǎn)

38、，求它的標(biāo)準(zhǔn)方程?！咀兪?】求過點(diǎn)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，并求對(duì)應(yīng)拋物線的準(zhǔn)線方程.【變式4】拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸是x軸，拋物線上的點(diǎn)(5,2)到焦點(diǎn)的距離是6，則拋物線的方程為()Ay22x By24xCy22x Dy24x或y236x【例4】（2017西安一模）若拋物線的焦點(diǎn)與雙曲線的右焦點(diǎn)重合，則p的值為（） A-2 B2 C-4 D4【變式5】（2017河西區(qū)模擬）若拋物線y2=2px（p0）的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），則p的值為（） A1 B2 C4 D8【變式6】（2017和平區(qū)模擬）拋物線y2=8x的準(zhǔn)線方程是（） Ax=2 By=2 Cx=-2 Dy=-2【變式7】若拋物線的焦點(diǎn)

39、與橢圓的右焦點(diǎn)重合，則a的值為（ ）A-2B2C-4D4【例5】已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上，拋物線上一點(diǎn)M（m，3）到焦點(diǎn)的距離為5，求m的值、拋物線的方程和準(zhǔn)線方程?！咀兪?】設(shè)拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，其焦點(diǎn)F在y軸上，又拋物線上的點(diǎn)(k，2)與F點(diǎn)的距離為4，則k的值是()A4B4或4C2 D2或21.拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)：圖形標(biāo)準(zhǔn)方程y2=2px（p0）y2=2px（p0）x2=2py（p0）x2=2py（p0）頂點(diǎn)O（0，0）范圍x0， x0，y0，y0，對(duì)稱軸x軸y軸焦點(diǎn)離心率e=1準(zhǔn)線方程焦半徑2.拋物線的性質(zhì)：焦點(diǎn)坐標(biāo)是：；準(zhǔn)線方程是：；焦半徑公式：若點(diǎn)是拋物線上一點(diǎn)，則該

40、點(diǎn)到拋物線的焦點(diǎn)的距離（稱為焦半徑）是：；拋物線上的動(dòng)點(diǎn)可設(shè)為P或或P3.拋物線焦點(diǎn)弦的性質(zhì)：焦點(diǎn)弦：線段AB為拋物線y22px(p>0)的焦點(diǎn)弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，則(1)x1x2；(2)y1y2p2；(3)焦半徑|AF|x1；(4)弦長(zhǎng)dx1x2p.當(dāng)弦ABx軸時(shí)，弦長(zhǎng)最短為2p，此時(shí)的弦又叫通徑；(5)弦長(zhǎng)d(為AB的傾斜角)題型一 拋物線簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)【例】（1）寫出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程；（2）已知拋物線的焦點(diǎn)為寫出其標(biāo)準(zhǔn)方程；（3）已知拋物線的焦點(diǎn)在x軸的正半軸上，且焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為3，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程.【變式】已知拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方

41、程是，求它的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程.題型二 拋物線的焦點(diǎn)弦性質(zhì)1：設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),則y1y2=-p2；.性質(zhì)2：拋物線焦點(diǎn)弦的長(zhǎng)度：=.性質(zhì)3：三角形OAB的面積公式：性質(zhì)4：以拋物線的焦點(diǎn)弦為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切.性質(zhì)5：以拋物線y2=2px(p0),焦點(diǎn)弦PQ端點(diǎn)向準(zhǔn)線作垂線，垂足分別為M、N，則FMFN.(其中F為焦點(diǎn)).性質(zhì)6：設(shè)拋物線y2=2px(p0),焦點(diǎn)為F，焦點(diǎn)弦PQ，則+=(定值).性質(zhì)8：如圖，A、O、B1和B、O、A1三點(diǎn)分別共線【例1】斜率為1的直線l經(jīng)過拋物線y2=4x的焦點(diǎn)，且與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，求線段AB的長(zhǎng)【例2】拋物線y=4x2

42、上的一點(diǎn)M到焦點(diǎn)F的距離為1,則點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為。【例3】以拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)弦AB為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線l位置關(guān)系為( ) A.相交 B.相離 C.相切 D.不確定【變式1】以拋物線y2=2px( p>0) 的焦半徑|PF|為直徑的圓與y軸位置關(guān)系為( ) A.相交 B.相離 C.相切 D.不確定【變式2】（2017百色一模）若拋物線y2=2px（p0）上的點(diǎn)A（x0，）到其焦點(diǎn)的距離是A到y(tǒng)軸距離的3倍，則p等于（） A B1 C D2【例4】（2017本溪模擬）已知拋物線C：y2=8x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，P是l上一點(diǎn)，Q是直線PF與C的一個(gè)交點(diǎn)，若，則|QF

43、|=（） A3 B C D【例5】（2017廈門一模）拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)A（3，2），P為拋物線上一點(diǎn)，且P不在直線AF上，則PAF周長(zhǎng)的最小值為（） A4 B5 C D【例6】（2017大連模擬）已知過拋物線y2=4x焦點(diǎn)F的直線l交拋物線于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在第一象限），若，則直線l的方程為（） Ax-2y-1=0 B2x-y-2=0 Cx-y-1=0 D【例7】（2015浙江）如圖，設(shè)拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F，不經(jīng)過焦點(diǎn)的直線上有三個(gè)不同的點(diǎn)A，B，C，其中點(diǎn)A，B在拋物線上，點(diǎn)C在y軸上，則BCF與ACF的面積之比是（）A B C D【變式3】（2017廈門一模）已知拋物線C：y2=2px（p0）的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，A，B是C上兩動(dòng)點(diǎn)，且AFB=（為常數(shù)），線段AB中點(diǎn)為M，過點(diǎn)M作l的垂線，垂足為N，若的最小值為1，則=（） A B C D【變式4】（2017襄陽模擬）拋物線y2=2px（p0）的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，A，B是拋物