函數(shù)迭代和函數(shù)方程上

1、函數(shù)迭代與函數(shù)方程21函數(shù)迭代 函數(shù)迭代的定義設(shè)（其中）是一個(gè)函數(shù)，對(duì)任意，記，則稱是函數(shù)在上的次迭代，并稱是的迭代指數(shù)如果有反函數(shù)，則記為，于是，迭代指數(shù)可取所有整數(shù) 簡(jiǎn)單的函數(shù)迭代求一個(gè)函數(shù)的次迭代，是數(shù)學(xué)競(jìng)賽中的一種基本題型對(duì)于一些簡(jiǎn)單的函數(shù)，它的次迭代是容易得到的若，則，若，則，若，則， 函數(shù)迭代的求法數(shù)學(xué)歸納法這里用到的是先猜后證的想法，即先對(duì)函數(shù)迭代幾次，觀察出其規(guī)律，然后猜測(cè)出的表達(dá)式，最后用數(shù)學(xué)歸納法證之這種方法只適用于一些較為簡(jiǎn)單的函數(shù)遞歸法設(shè)是定義在上且取值于的函數(shù)，由此定義數(shù)列：已知，且，一方面，若已求得，則，即通項(xiàng)公式；另一方面，如果已求得的通項(xiàng)公式，則取，而，從而，即

2、的表達(dá)式由上述知，函數(shù)的次迭代可以通過(guò)構(gòu)造數(shù)列的方法來(lái)解，其步驟為第一步，設(shè)，；第二步，由，求出；第三步，相似法相似法是求函數(shù)的次迭代的一個(gè)重要方法若存在一個(gè)函數(shù)以及它的反函數(shù)，使得，我們就稱通過(guò)和相似，簡(jiǎn)稱和相似，記為，其中稱為橋函數(shù)相似關(guān)系是一個(gè)等價(jià)關(guān)系，也就是說(shuō)它滿足：自身性，；對(duì)稱性，若，則；傳遞性，若，則如果與相似，即，那么， ，這樣一來(lái)，我們便把的迭代問(wèn)題轉(zhuǎn)化為的迭代問(wèn)題不動(dòng)點(diǎn)法關(guān)于的方程的根稱為的不動(dòng)點(diǎn)不動(dòng)點(diǎn)法的基本思想是根據(jù)函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)得出橋函數(shù)的一個(gè)性質(zhì)，進(jìn)而確定橋函數(shù)的形狀，然后利用相似法求出函數(shù)的次迭代 函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)具有如下的性質(zhì)：若是的不動(dòng)點(diǎn)，則，即也是的不動(dòng)點(diǎn)設(shè)，因此

3、有，若，則有，即是的不動(dòng)點(diǎn)對(duì)于一些簡(jiǎn)單的函數(shù)，利用不動(dòng)點(diǎn)，把函數(shù)變形后再迭代，最后用數(shù)學(xué)歸納法證之，會(huì)使計(jì)算簡(jiǎn)單些利用不動(dòng)點(diǎn)找橋函數(shù)的方法：由不動(dòng)點(diǎn)的性質(zhì)知，橋函數(shù)具有下列性質(zhì)：它將的不動(dòng)點(diǎn)映成的不動(dòng)點(diǎn)，通常為了便于求解，通常為，等2函數(shù)方程 函數(shù)方程的定義解為函數(shù)的方程為函數(shù)方程例如等都是函數(shù)方程 函數(shù)方程解法 尋求函數(shù)方程的解或證明函數(shù)方程無(wú)解的過(guò)程叫作解函數(shù)方程，一般有以下幾種方法：代換法代換法是解函數(shù)方程的常用手段，其基本思想是：將函數(shù)方程中的自變量適當(dāng)?shù)匾詣e的自變量代換（當(dāng)然在代換時(shí)應(yīng)特別注意函數(shù)的定義域不能發(fā)生變化），得到一個(gè)新的函數(shù)方程，然后設(shè)法求得未知數(shù)如，令，則，于是，即，經(jīng)

4、檢驗(yàn)它是函數(shù)方程的解代換法在單變量函數(shù)方程中尤為多用賦值法所謂賦值法，就是對(duì)自變量賦予某些特殊的數(shù)值，從而挖掘出題中隱含的條件，并且通過(guò)這些新條件簡(jiǎn)化函數(shù)方程，逼近最終目標(biāo)如函數(shù)滿足，求令，得，由此令則，從而可知令易得；令易知綜上可知遞歸法函數(shù)方程的遞歸解法，是一種借助于數(shù)列對(duì)函數(shù)方程加以研究的方法設(shè)是定義在正整數(shù)集上的函數(shù)，如果存在一個(gè)遞推關(guān)系和初始條件，當(dāng)知道，的值后，由可以惟一地確定的值，我們就稱為遞歸函數(shù)，遞歸法主要解決遞歸函數(shù)板塊一 函數(shù)的迭代【例 1】 已知是定義在上的函數(shù)，并且滿足，求的值【例 2】 設(shè)，求；設(shè)，求；設(shè)，求【例 3】 設(shè)，求；設(shè)，求；設(shè)，求板塊二 函數(shù)方程【例 4】 定義在上的函數(shù)滿足關(guān)系式，求求解函數(shù)方程，已知函數(shù)對(duì)任意、有，求【例 5】 求所有滿足下列條件的函數(shù)，使得；對(duì)所有，成立；若，則【例 6】 已知函數(shù)滿足，求滿足條件的一個(gè) 習(xí)題1. 設(shè)，其中為實(shí)數(shù)，若，則 習(xí)題2. 某同學(xué)從換乘中心出發(fā)坐車去第一家商店，在店里花了剩余的錢的一半，然后坐車返回?fù)Q乘中心之后又坐車去第二家商店，在店里花了剩余錢的一半，然后坐車返回?fù)Q乘中心接著他用同樣的方式進(jìn)出第三家和第四家商店，當(dāng)他返回?fù)Q乘中心時(shí)候，發(fā)現(xiàn)身上只剩一元錢若無(wú)論從換乘中心到商店還是從商店到換乘中心的車費(fèi)都是一元錢，問(wèn)：他在四家商店總共花了多少錢？ 習(xí)題3.