等面四面體的內(nèi)切球與外接球講解

1、-1 -第六講 等面四面體的內(nèi)切球與外接球引理2任意四面體都有內(nèi)切球及外接球。引理3任意四面體的內(nèi)切球在四個(gè)面上的切點(diǎn)與各面頂點(diǎn)連線給出切點(diǎn)處的周角的一 個(gè)相同劃分。證明 如圖38，四面體ABCD的內(nèi)切球在各面上的切點(diǎn)分別為Oi、。2、O3、O4.圖3 8由于球外一點(diǎn)向球引的切線長(zhǎng)相等，可得AO2=AO 3=AO 4,BOi=BO3=BO4,.于是 OiBC O4BC , O2CD O1CD，.可設(shè)/ COiD= / C02D= ：DOiB= / D03B= 一：，/ COiB= / C04B= ，/ A0 3B= / A0 4B= X ,/ A0 2C= / A04C= y，/ A0 2D=

2、 / A0 3D= z.由周角 360 ° ,得5 m 360x y= 360y z- 360z 360四式相加，除以2，得二；亠»亠亠x y z =720式減式，得 x y 360式分別與、式聯(lián)立，可解得 x = ： y二： z =引理3得證。定理5等面四面體的各頂點(diǎn)到內(nèi)切球的切線長(zhǎng)相等。此定理的另一種敘述方式是：等面四面體內(nèi)切球在各面上的切點(diǎn)是該面的外接圓圓心。證明 如圖38,由于 ABC DCB ,可移動(dòng)并翻轉(zhuǎn) ABC ,使其與 DCB重合（A、 B、C分別與D、C、B重合）.現(xiàn)考察04與0i的位置關(guān)系.假設(shè)04與0i不重合，則 04在厶BOiD、 BOiC、A CO

3、iD中的某一個(gè)內(nèi)部或邊上。不 失一般性，不妨設(shè) O4點(diǎn)在 BOi內(nèi)或在BOi上，則/ B04D> / BOiD, / B04D即是原 ABC 中的/ CO4A。由引理 3,得/ C04A= / BOiD，存在矛盾，因此 04必與 0i重合。于是 OiB=O4C=OiC，同理OiD=OiC,即0i是厶BCD的外心。同理可證 。2、O3、O4分別是各面 上的外心。定理6四面體的內(nèi)切球球心與外接球球心重合的充要條件是該四面體是等面四面體。證明 先證充分性。設(shè)等面四面體 ABCD內(nèi)切球球心為 0, 0點(diǎn)在各面上的射影為 0i、。2、。3、。4,這四點(diǎn) 分別是內(nèi)切球與各面的切點(diǎn)。由定理5,這四點(diǎn)分

4、別是各面三角形的外心，再由射影定理，得0A=0B=0C=0D，即0是四面體ABCD的外接球球心.再證必要性。由0A=0B=0C=0D，可得01、。2、。3、04是各面三角形的外心。以下相當(dāng)于證明定理5 的逆定理：由引理 3，得/ C0iD= / B04A，又 0iC=0iD=C04=B04=A0 4，所以 C0iD也 B04A，所以CD=AB。同理可得 BC=AD , BD=AC。由此，ABCD是等面四面體。定理7等面四面體的內(nèi)切球球心、一面的重心及該面所對(duì)的頂點(diǎn)共線。證明作等面四面體ABCD的外接長(zhǎng)方體 ABCD ABCD。由定理6，等面四面體的內(nèi) 切球球心與外接球球心重合，且是外接長(zhǎng)方體的

5、 中心（長(zhǎng)方體對(duì)角線的交點(diǎn)）。如圖3 9,取AC、BD的中點(diǎn)E、F, EF與AC交于0。連結(jié)CF, 交 AC 于 M。顯然 0MFC 'MC ,所以 FM ;MC=0F: C C=1:2。M點(diǎn)是 BCD的重心，所以A、0、M三點(diǎn)共線，定理得證。說(shuō)明 對(duì)于一般四面體，每一面的重心與該面所對(duì)頂點(diǎn)圖39連線共四條，這四條線段交于一點(diǎn)（此點(diǎn)是該四面體外接平行六面體的中心）。該點(diǎn)稱為四面體的重心。等面四面體的重心、內(nèi)心（內(nèi)切球球心）、外心（外接球球心）重合，此點(diǎn)稱為等面四面體的中心。1 .等面四面體每一頂點(diǎn)所處的三個(gè)面角之和必為180°。2. 等面四面體各個(gè)面都是銳角三角形。3. 已知

6、四面體四個(gè)面都是邊長(zhǎng)為10, 17。. 261的三角形，求以它六條棱中點(diǎn)為頂點(diǎn)的八面體的體積。4. 等面四面體的內(nèi)切球球心到各面垂心的距離與到對(duì)頂點(diǎn)在該面上射影的距離相等。5. 等面四面體的四個(gè)旁切球球心都在其外接球上。練習(xí)答案或提示1.等面四面體 ABCD 各個(gè)面全等，得/ BAC= / CDB , / CAD= / DBC , / DAB= / BCD , 由/ CDB+ / DBC+ / BCD=180 °，得/ BAC+ / CAD+ / DAB=180 °2利用三面角中任兩個(gè)面角之和大于第三個(gè)面角及第1題的結(jié)論。3. 先計(jì)算四面體外接長(zhǎng)方體的各棱長(zhǎng)，得6、& 15,內(nèi)接八面體體積是該長(zhǎng)方體體積1的一，為120。64. 如圖3 10, H是厶BCD是垂心，0是A在BCD上射影，由 0作厶BCD各邊垂線 OE', OG', OF '。：厶 ABC DCB , DBG ACG '，二 BG=CG '，同理，有