2014年高考數(shù)學(xué)雙曲線(xiàn)的最值問(wèn)題、與雙曲線(xiàn)有關(guān)的定點(diǎn)與定值問(wèn)題_經(jīng)典資料(有答案)

1、2014年雙曲線(xiàn)的最值問(wèn)題、與雙曲線(xiàn)有關(guān)的定點(diǎn)與定值問(wèn)題考點(diǎn) 雙曲線(xiàn)典型考法1 雙曲線(xiàn)的最值問(wèn)題典型例題已知點(diǎn)動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足條件記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為(1)求的方程；(2)若是上的不同兩點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)，求的最小值解析 (1)由知?jiǎng)狱c(diǎn)的軌跡是以，為焦點(diǎn)的雙曲線(xiàn)的右支，實(shí)半軸長(zhǎng)，半焦距 c=2，故虛半軸長(zhǎng)，從而W的方程為()(2)方法一：分兩種情況進(jìn)行討論，設(shè)的坐標(biāo)分別為和當(dāng)軸時(shí)，從而；當(dāng)不與垂直時(shí)，設(shè)直線(xiàn)的方程為，與的方程聯(lián)立，消去得，故，所以，又，綜上所述，取得最小值2方法二：設(shè)的坐標(biāo)分別為，則令，于是，且，所以， ，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)不等式取等號(hào)，所以的最小值是2 方法三：設(shè)的坐標(biāo)分別為，則，因?yàn)?，要求的最?/p>

2、值，必須， ，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最小值2 方法四：注意到，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取最小值2 必殺技： 利用求函數(shù)最值的方法+雙曲線(xiàn)性質(zhì)解決與雙曲線(xiàn)有關(guān)的最值問(wèn)題須注意：1最值問(wèn)題的題型大致有：求距離的最值、角度的最值、面積的最值2最值問(wèn)題的求解策略：(1)總方針：建立目標(biāo)函數(shù)（或目標(biāo)不等式）(2)具體方法：轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)（或雙鉤函數(shù)、三次函數(shù)等常用函數(shù)）的最值問(wèn)題利用三角換元，轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值問(wèn)題結(jié)合雙曲線(xiàn)的定義，利用圖形的幾何特征求最值利用基本不等式求最值還須值得注意的是，有些求最值的問(wèn)題可能要先求目標(biāo)函數(shù)的局部最值，而復(fù)雜的求最值問(wèn)題甚至需要多種方法的綜合運(yùn)用結(jié)合本例的求解，試問(wèn)對(duì)于一般的等軸雙曲

3、線(xiàn)，是否有類(lèi)似的結(jié)論，回答是肯定的，即結(jié)論一：若，是等軸雙曲線(xiàn)的右支上的不同兩點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)，則的最小值為對(duì)于上述結(jié)論，我們可作進(jìn)一步地推廣，得到更一般的結(jié)論：結(jié)論二：實(shí)戰(zhàn)演練1是雙曲線(xiàn)的右支上一點(diǎn)，分別是圓和上的點(diǎn)，則的最大值為 圖8-2-12已知雙曲線(xiàn)C的方程為，離心率，頂點(diǎn)到漸近線(xiàn)的距離為(1)求雙曲線(xiàn)C的方程； (2)如圖8-2-1，P是雙曲線(xiàn)C上一點(diǎn)，A，B兩點(diǎn)在雙曲線(xiàn)C的兩條漸近線(xiàn)上，且分別位于第一、二象限，若，求面積的取值范圍 3已知雙曲線(xiàn)：，拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，又的焦點(diǎn)是的左焦點(diǎn)(1)求證：與總有兩個(gè)不同的交點(diǎn)；(2)是否存在過(guò)的焦點(diǎn)的的弦，使的面積有最大值或最小值？若有，求出

4、所在直線(xiàn)方程與最值；若沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由參考答案：19 . 提示：方法一： P是雙曲線(xiàn)的右支上一點(diǎn)，(5，0)、(5，0)是兩個(gè)焦點(diǎn)，則=6，又分別是圓和上的點(diǎn)，=9方法二：設(shè)雙曲線(xiàn)的兩個(gè)焦點(diǎn)分別是F1（5，0）與F2（5，0），則這兩點(diǎn)正好是兩圓的圓心，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)P與M、F1三點(diǎn)共線(xiàn)以及P與N、F2三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)所求的值最大，此時(shí)|PM|PN|（|PF1|2）（|PF2|1）1019 2(1) . (2) . 提示：方法一：方法二：3(1)證略(2) 的面積有最小值，所在直線(xiàn)的方程為；最大值不存在提示：典型考法2 與雙曲線(xiàn)有關(guān)的定點(diǎn)與定值問(wèn)題典型例題已知雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)分別為，過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線(xiàn)與雙曲

5、線(xiàn)相交于兩點(diǎn)(1)若動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)），求點(diǎn)的軌跡方程；(2)在軸上是否存在定點(diǎn)，使·為常數(shù)？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由 解析 (1)方法一：由條件知，設(shè)，設(shè)，則，由得，即，于是的中點(diǎn)坐標(biāo)為當(dāng)不與軸垂直時(shí)，即又因?yàn)閮牲c(diǎn)在雙曲線(xiàn)上，所以，兩式相減得，即將代入上式，化簡(jiǎn)得當(dāng)與軸垂直時(shí)，求得，也滿(mǎn)足上述方程所以點(diǎn)的軌跡方程是方法二：同方法一得當(dāng)不與軸垂直時(shí)，設(shè)直線(xiàn)的方程是代入有則是上述方程的兩個(gè)實(shí)根，所以由得，當(dāng)時(shí)，由得，將其代入有整理得當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，滿(mǎn)足上述方程當(dāng)與軸垂直時(shí)，求得，也滿(mǎn)足上述方程故點(diǎn)的軌跡方程是(2)方法一：假設(shè)在軸上存在定點(diǎn)，使為常數(shù)當(dāng)不與軸

6、垂直時(shí)，設(shè)直線(xiàn)的方程是代入有則是上述方程的兩個(gè)實(shí)根，所以，于是因?yàn)槭桥c無(wú)關(guān)的常數(shù)，所以，即，此時(shí)=當(dāng)與軸垂直時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)可分別設(shè)為，此時(shí)故在軸上存在定點(diǎn)，使為常數(shù)方法二：假設(shè)在軸上存在定點(diǎn)點(diǎn)，使為常數(shù)，當(dāng)不與軸垂直時(shí)，由(1)的方法二知，以下同方法一必殺技： 遵循“一選、二求、三定點(diǎn)”的原則本節(jié)的注意事項(xiàng)參見(jiàn)典型考法2，這里不再贅述本例實(shí)質(zhì)上反映了圓錐曲線(xiàn)焦點(diǎn)弦的一個(gè)性質(zhì)，將雙曲線(xiàn)推廣到一般雙曲線(xiàn)，便有下面的結(jié)論：結(jié)論1： 若將雙曲線(xiàn)換為橢圓或拋物線(xiàn)，則有類(lèi)似結(jié)論：結(jié)論2：結(jié)論3：讀者自行完成可以上結(jié)論，在此不再贅述在平時(shí)的解題中，我們?cè)谡莆諉?wèn)題的基本求解方法后，還有必要對(duì)問(wèn)題進(jìn)行聯(lián)想、類(lèi)比和

7、推廣，搞清問(wèn)題的內(nèi)涵和外延，挖掘出問(wèn)題的本質(zhì)特征，觸類(lèi)旁通，這樣才能充分發(fā)揮問(wèn)題的知識(shí)功能，不斷提高自己分析問(wèn)題和解答問(wèn)題的能力實(shí)戰(zhàn)演練1已知點(diǎn)(1)求軌跡E的方程；(2)若直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)且法向量為，直線(xiàn)與軌跡交于兩點(diǎn)過(guò)作軸的垂線(xiàn)記，試確定的取值范圍；在軸上是否存在定點(diǎn)M，無(wú)論直線(xiàn)繞點(diǎn)怎樣轉(zhuǎn)動(dòng)，使恒成立？如果存在，求出定點(diǎn)M；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由2已知點(diǎn)為雙曲線(xiàn)（為正常數(shù)）上任一點(diǎn)，為雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)，過(guò)作右準(zhǔn)線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足為，連接并延長(zhǎng)交軸于(1)求線(xiàn)段的中點(diǎn)的軌跡的方程；(2)設(shè)軌跡與軸交于兩點(diǎn)，在上任取一點(diǎn)，直線(xiàn)分別交軸于兩點(diǎn)求證：以為直徑的圓過(guò)兩定點(diǎn)3A、B為雙曲線(xiàn)上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿(mǎn)足(1)求

8、的值；(2)動(dòng)點(diǎn)P在線(xiàn)段AB上，滿(mǎn)足，試問(wèn)點(diǎn)P能否在定圓上參考答案：1(1) . (2) . 提示：由直線(xiàn)的方程與雙曲線(xiàn)方程聯(lián)立并利用韋達(dá)定理可得（），故 存在定點(diǎn)滿(mǎn)足條件 提示：設(shè)存在點(diǎn)滿(mǎn)足條件，同可得，得對(duì)任意恒成立，所以，解得 2(1) .(2) 提示：不妨設(shè)，則易得，于是，以為直徑的圓的方程為：，令得：，而在上，則，所以，即以為直徑的圓過(guò)兩定點(diǎn)3(1) . (2) P在以O(shè)為圓心、為半徑的定圓上提示：由三角形面積公式，得，即即，利用(1)即得 典型考法3 雙曲線(xiàn)與直線(xiàn) 圖8-2-2典型例題已知以原點(diǎn)為中心，為右焦點(diǎn)的雙曲線(xiàn)的實(shí)軸與焦距之比為(1)求雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程及其漸近線(xiàn)方程；(2)

9、如圖8-2-2，已知過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)：與過(guò)點(diǎn)（其中）的直線(xiàn)：的交點(diǎn)在雙曲線(xiàn)上，直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的兩條漸近線(xiàn)分別交于、兩點(diǎn)，求的值 解析 (1)設(shè)C的標(biāo)準(zhǔn)方程是，則由題意得，因此，所以C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，C的漸近線(xiàn)方程為 (2)方法一：如圖8-2-5，由題意，點(diǎn)在直線(xiàn)：和：上，因此有，故點(diǎn)M、N均在直線(xiàn)上，因此直線(xiàn)MN的方程為，設(shè)G、H分別是直線(xiàn)MN與漸近線(xiàn)及的交點(diǎn)，由方程組及，解得，故，因?yàn)辄c(diǎn)E在雙曲線(xiàn)上，所以，有，從而方法二：設(shè)，由方程組得，解得，故直線(xiàn)MN的方程為，注意到，因此，直線(xiàn)MN的方程為下同方法一必殺技： 綜合運(yùn)用基礎(chǔ)知識(shí)與基本方法本題主要考查雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程、漸近線(xiàn)方程等基礎(chǔ)知識(shí)；并以對(duì)這些基

10、礎(chǔ)知識(shí)的考查為依托，考查了對(duì)解析幾何的基本思想的理解與掌握情況及綜合運(yùn)算能力、探究意識(shí)與創(chuàng)新意識(shí) 如果進(jìn)一步探究，易得，本題中的直線(xiàn)、與橢圓相切，而直線(xiàn)是雙曲線(xiàn)的切線(xiàn)，于是，我們提出如下問(wèn)題：答案：，直線(xiàn)是雙曲線(xiàn)的切線(xiàn)，且還可求得的面積為證明過(guò)程留給讀者自行完成，這里不再贅述實(shí)戰(zhàn)演練1設(shè)直線(xiàn)：（其中為整數(shù)）與橢圓交于不同的兩點(diǎn)、，與雙曲線(xiàn)交于不同的兩點(diǎn)、，問(wèn)是否存在直線(xiàn)，使得成立，若存在，指出這樣的直線(xiàn)有多少條？若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由 2已知雙曲線(xiàn)右支上任意一點(diǎn)作拋物線(xiàn)的兩切線(xiàn)，兩切點(diǎn)，所在直線(xiàn)分別與雙曲線(xiàn)的兩條漸近線(xiàn)交于，兩點(diǎn)，試問(wèn)：(1)是否存在正實(shí)數(shù)，使得為定值？(2)是否存在正實(shí)數(shù)，使得

11、為定值？3已知雙曲線(xiàn)：(1)已知點(diǎn)的坐標(biāo)為設(shè)是雙曲線(xiàn)上的點(diǎn)，是點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，記求的取值范圍；(2)已知點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為、，為雙曲線(xiàn)上在第一象限內(nèi)的點(diǎn)記為經(jīng)過(guò)原點(diǎn)與點(diǎn)的直線(xiàn)，為截直線(xiàn)所得線(xiàn)段的長(zhǎng)試將表示為直線(xiàn)的斜率的函數(shù)參考答案：1存在直線(xiàn)，其中，共9條提示：方法一：將直線(xiàn)的方程分別與橢圓、雙曲線(xiàn)的方程聯(lián)立方程組，并利用韋達(dá)定理及可得分別討論及的對(duì)應(yīng)情形，即可得所求結(jié)果方法二：設(shè)，利用點(diǎn)差法可得，再由可得，因此，便有，所以或若，則點(diǎn)與關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，此時(shí)直線(xiàn)過(guò)原點(diǎn)，有因此，有及以下同方法一注：我們可將本題推廣為：結(jié)論1：結(jié)論2：以上結(jié)論的證明，讀者可自行完成 2(1)不存在。提示： (2)不

12、存在，同(1)的方法3(1) 。(2) 提示：若P為雙曲線(xiàn)C上第一象限內(nèi)的點(diǎn)，則直線(xiàn)的斜率，由計(jì)算可得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)， s表示為直線(xiàn)的斜率k的函數(shù)是典型考法4 雙曲線(xiàn)與圓典型例題已知雙曲線(xiàn)：的實(shí)軸長(zhǎng)與焦距的比為(1)求雙曲線(xiàn)的方程；(2)設(shè)直線(xiàn)是圓：上動(dòng)點(diǎn)處的切線(xiàn)，與雙曲線(xiàn)交于不同的兩點(diǎn)，證明的大小為定值 解析 (1)由題意，得，解得，所求雙曲線(xiàn)的方程為(2)方法一：點(diǎn)在圓上，則圓在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為，由及得，切線(xiàn)與雙曲線(xiàn)C交于不同的兩點(diǎn)A、B，且，且，設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，則，且 的大小為方法二：點(diǎn)在圓上，圓在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為由及得 切線(xiàn)與雙曲線(xiàn)C交于不同的兩點(diǎn)A、B，設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分

13、別為，則， 的大小為（且，從而當(dāng)時(shí)，方程和方程的判別式均大于零）必殺技： 綜合運(yùn)用基礎(chǔ)知識(shí)與基本方法 本例主要考查雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程、圓的切線(xiàn)方程、向量等基礎(chǔ)知識(shí)，考查曲線(xiàn)和方程的關(guān)系等解析幾何的基本思想方法，考查推理、運(yùn)算能力將本題作進(jìn)一步的探究，可得如下結(jié)論： 實(shí)戰(zhàn)演練1從雙曲線(xiàn) 的左焦點(diǎn) 引圓的切線(xiàn)，切點(diǎn)為，延長(zhǎng)交雙曲線(xiàn)右支于點(diǎn)若為線(xiàn)段的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，則 2已知雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為，左焦點(diǎn)為F，過(guò)，的直線(xiàn)為，原點(diǎn)到直線(xiàn)的距離是(1)求雙曲線(xiàn)的方程； (2)已知直線(xiàn)交雙曲線(xiàn)于不同的兩點(diǎn)C，D，問(wèn)是否存在實(shí)數(shù)，使得以CD為直徑的圓經(jīng)過(guò)雙曲線(xiàn)的左焦點(diǎn)F若存在，求出m的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由3若動(dòng)圓恒過(guò)定點(diǎn)，且和定圓：外切(1)求動(dòng)圓圓心的軌跡的方程；(2)若過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與曲線(xiàn)交于、兩點(diǎn)，試判斷以為直徑的圓與直線(xiàn)：是否相交，若相交，求出截得劣弧所對(duì)圓心角的弧度數(shù)，若不相交，請(qǐng)說(shuō)明理由參考答案：1 .