2009年高考熱點(diǎn)：數(shù)列熱點(diǎn)預(yù)測

1、 2009年高考熱點(diǎn)：數(shù)列問題熱點(diǎn)預(yù)測江蘇省東臺市五烈中學(xué) 黃良懷一、 知識點(diǎn)梳理 等差、等比數(shù)列的概念、性質(zhì)、通項(xiàng)公式及遞推關(guān)系式 判斷或者證明數(shù)列為等差數(shù)列（或等比數(shù)列）數(shù)列的四種常用方法：定義法、通項(xiàng)公式法、前n項(xiàng)和的公式法、等差（或等比）中項(xiàng)法 在等差數(shù)列中，有關(guān)的最值問題的解決方法：一是用相鄰項(xiàng)異號法求解；二是用關(guān)于n的二次函數(shù)，由配方求得最值；特別要注意各項(xiàng)絕對值的數(shù)列的前n項(xiàng)和的最值，必須使用轉(zhuǎn)化、化歸的思想方法來解決 數(shù)列求和的常用方法：通過數(shù)列的通項(xiàng)的構(gòu)成可有拆項(xiàng)分組（適用數(shù)列的構(gòu)成是由幾個(gè)等差或等比數(shù)列的和或差）；裂項(xiàng)相消（“裂”成某個(gè)數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)的差，后疊加）；錯位相減

2、（適用于一個(gè)等差數(shù)列的各項(xiàng)與等比數(shù)列的各項(xiàng)的相應(yīng)乘積構(gòu)成的數(shù)列） 注意在數(shù)列中的函數(shù)思想、方程的思想、分類討論的思想方法在數(shù)列綜合題中的應(yīng)用二、 高考考點(diǎn)綜述數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的得要內(nèi)容，是高考的熱點(diǎn)，也是進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，因此高考對這部分知識的考查的題型多樣、解答題的難度也較高縱觀近幾年的高考，關(guān)于數(shù)列的考查主要有以三個(gè)方面的內(nèi)容：一是數(shù)列本身的知識，主要是等差數(shù)列、等比數(shù)列概念、通項(xiàng)公式、性質(zhì)、前n項(xiàng)和公式；二是數(shù)列與其它知識的交匯如：與函數(shù)、方程、不等式、三角函數(shù)、解析幾何等知識的結(jié)合；三是數(shù)列的應(yīng)用問題，主要是增長率、分期付款等試題主要體現(xiàn)中低檔題為小題，數(shù)列與幾何、函數(shù)、三角、不等式

3、知識的結(jié)合為綜合性高難度大的解答題三、 例題精析1數(shù)列本身的知識考查例1若等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，則公比 點(diǎn)拔：本題是等比數(shù)列中問題，常用的方法是以和為未知數(shù)建立方程，解出和解析：2或 Þ q2或點(diǎn)評：數(shù)列中的填空題與選擇題，常常是考查數(shù)列的概念、性質(zhì)、通項(xiàng)公式等，解決問題的方法，基本上是轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列，再用方程與數(shù)列性質(zhì)來解決，即建立以和（或）為未知數(shù)建立方程，解出和（或），問題基本就可以解決了2數(shù)列與函數(shù)相結(jié)合的考查例2已知數(shù)列滿足，且（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）數(shù)列是否存在最大項(xiàng)？若存在最大項(xiàng)，求出該項(xiàng)和相應(yīng)的項(xiàng)數(shù)；若不存在，說明理由點(diǎn)拔：根據(jù)所給的條件，從方程的角度來思考

4、，將當(dāng)成末知數(shù)，則可得到一個(gè)關(guān)于的一元二次方程，用求根公式可求得第（2）問建立關(guān)于n的函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)來判斷函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而可求得最值解析：（1）由得 由一元二次方程求根公式得 （2）由知數(shù)列各項(xiàng)滿足函數(shù) 當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，即函數(shù)在上為減函數(shù)即有數(shù)列有最大項(xiàng)，最大項(xiàng)為第一項(xiàng)點(diǎn)評：本題第（1）問是用方程的思想看待等式，則可以用解方程來求解，通常在解等差數(shù)列、等比數(shù)列的問題時(shí)，常常將題設(shè)條件轉(zhuǎn)化成關(guān)于和d（或q）的方程（組）通過求解方程（組）來解決問題求數(shù)列中的最值問題一般是建立n的函數(shù)，但要注意n的取值為正自然數(shù)3數(shù)列與向量相結(jié)合的問題例3設(shè)軸、軸正方向上的單位向量分別是、，坐標(biāo)平面上點(diǎn)、分別滿足下

5、列兩個(gè)條件：且；且（1）求及的坐標(biāo)；（2）若四邊形的面積是，求的表達(dá)式；（3）對于（2）中的，是否存在最小的自然數(shù)M，對一切都有M成立？若存在，求M；若不存在，說明理由點(diǎn)拔：本題首先利用有向線段的向量加法寫出向量及的坐標(biāo)，（2）問中利用直角坐標(biāo)平面內(nèi)的四邊形面積轉(zhuǎn)化為三角形面積來求解，（3）問是開放性的問題，常是先假設(shè)存在，然后去尋找或證明解：（1）（2）（3） ， ，等等即在數(shù)列中，是數(shù)列的最大項(xiàng)，所以存在最小的自然數(shù)，對一切，都有M成立點(diǎn)評：本題是向量與數(shù)列的結(jié)合，其實(shí)這里的向量只是個(gè)“外衣”，是個(gè)載體，利用向量的運(yùn)算，就可以將向量的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)列的問題4數(shù)列與解析幾何結(jié)合問題的考查 例4

6、如圖，在直角坐標(biāo)系中，有一組對角線長為的正方形，其對角線依次放置在軸上（相鄰頂點(diǎn)重合）. 設(shè)是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，點(diǎn)的坐標(biāo)為.（1）當(dāng)時(shí)，證明：頂點(diǎn)不在同一條直線上；（2）在（1）的條件下，證明：所有頂點(diǎn)均落在拋物線上；（3）為使所有頂點(diǎn)均落在拋物線上，求與之間所應(yīng)滿足的關(guān)系式.點(diǎn)拔：數(shù)列與解析幾何相結(jié)合，常常通過點(diǎn)的坐標(biāo)來聯(lián)系（1）中要證三點(diǎn)不在同一直線上，只要說明它們的斜率不等就可以了，（2）說明點(diǎn)在曲線上，就是說明點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程（3）說明所有的點(diǎn)在曲線上，只要說明第n個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)滿足曲線方程，就可以尋找到關(guān)系式解析：（1）由題意可知， . ， 頂點(diǎn)不在同一條直線上. （2）由題意可知，頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)， 頂點(diǎn)的縱坐標(biāo). 對任意正整數(shù)，點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程， 所有頂點(diǎn)均落在拋物線上. （3）解法一 由題意可知，頂點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)分別是 消去，可得 . 為使得所有頂點(diǎn)均落在拋物線上，則有 解之，得 . 所應(yīng)滿足的關(guān)系式是：. 解法二 點(diǎn)的坐標(biāo)為 點(diǎn)在拋物線上， . 又點(diǎn)的坐標(biāo)為 且點(diǎn)也在拋物線上， ，把點(diǎn)代入拋物線方程，解得 . 因此， 拋物線方程為. 又 所有頂點(diǎn)落在拋物線上. 所應(yīng)滿足的關(guān)系式是：. 點(diǎn)評：對于數(shù)列與解析幾何相結(jié)合的問題，這