【精選】淺談一般化、特殊化

1、東北師范大學(xué)遠(yuǎn)程與繼續(xù)教育學(xué)院 網(wǎng)絡(luò)教育本科畢業(yè)論文題目淺談一般化，特殊化學(xué)生姓名 熊 輝專(zhuān)業(yè)數(shù)學(xué)教育年級(jí)0402級(jí)學(xué)習(xí)中心陜西漢中教育學(xué)院奧鵬學(xué)習(xí)中心8學(xué) 號(hào)04025042704045指導(dǎo)教師沈廣艷通訊地址陜西省南鄭縣黃官中學(xué)2006年12月10日淺談一般化，特殊化陜西省南鄭縣黃官中學(xué) 熊輝摘 要:特殊化和一般化是數(shù)學(xué)思維中的兩中基本形式，它們?cè)跀?shù)學(xué)領(lǐng)域里發(fā) 揮著重要的作用，同時(shí)它們也是我們常用的數(shù)學(xué)解題思想，理解掌握它們是我們 學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，研究數(shù)學(xué)的前提條件。關(guān)鍵詞:一般化 特殊化 抽象 認(rèn)識(shí) 作用 反思 啟示1對(duì)一般化、特殊化的基本認(rèn)識(shí)1. 1 一般化和特殊化構(gòu)成了數(shù)學(xué)抽象思維的兩種基本

2、形式“從特殊到一般，再由一般到特殊”，這是認(rèn)識(shí)的一個(gè)基本規(guī)律，這一規(guī)律在 數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)活動(dòng)中也有著十分重要的應(yīng)用.具體地說(shuō)，一般化和特殊化即就構(gòu)成 了數(shù)學(xué)抽象思維的兩種基本形式.文11. 1.1“一般化"（generalization） 也可稱(chēng)為“弱抽象”，指由原型中選取某一特征或側(cè)面加以抽象，從而形成比原型更為普遍、更為一般的概念或理論，并 使前者成為后者的特例.由現(xiàn)實(shí)原型出發(fā)去建構(gòu)相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型顯然就是一個(gè)弱抽象的過(guò)程；另外， 除真實(shí)的事物和現(xiàn)象以外，我們也可以已經(jīng)得到建立的數(shù)學(xué)概念或理論為原型去 進(jìn)行抽象，例如，由“全等形”的概念出發(fā)，通過(guò)分離出“形狀相似”和“面積 相等”的特性

3、，我們就可以分別獲得“相似形”和“等積形”的概念，從而，相 對(duì)于后者而言，全等形的概念就可說(shuō)是一個(gè)原型，而由全等形的概念出發(fā)去建立 相似形和等積形的概念則就是一個(gè)弱抽象的過(guò)程.弱抽象在數(shù)學(xué)中有著十分廣泛的應(yīng)用.例如，數(shù)學(xué)中有很多概念是密切相關(guān)、 互相聯(lián)系的，而如果從生成的角度去進(jìn)行分析，它們就可看成一個(gè)“弱抽象概念 鏈”，即由某一概念出發(fā)經(jīng)多次弱抽象逐步生成的.例如，如果用符號(hào)“一 “一”表示弱抽象的關(guān)系，那么，函數(shù)概念的歷史演 變事實(shí)上可以看成一系列弱抽象的過(guò)程，即有（圖1）：早期的 函數(shù)概念（代數(shù)函數(shù)）(-)卜十八世紀(jì)的 函數(shù)概念 （解析函數(shù)）(-)十九世紀(jì)的函數(shù)概念 （建立在“變量”的

4、概念之上）(-)現(xiàn)代的函數(shù)概念（建立在“集合”的概念之上）.尸對(duì)弱抽象在數(shù)學(xué)中的具體應(yīng)用，可歸結(jié)為：第一，只有結(jié)構(gòu)內(nèi)容較為豐富的對(duì) 象才能作為弱抽象的原型；第二，實(shí)現(xiàn)弱抽象的關(guān)鍵在于如何對(duì)原型的性質(zhì)作出 具體分析，并從中分離出某個(gè)或某些特性；第三，為了最終完成所說(shuō)的弱抽象，我們必須用明確的規(guī)范化語(yǔ)言去表達(dá)分離出來(lái)的特性，并以此為定義構(gòu)建出新的、更為一般的對(duì)象1 1 2 “特殊化”(specialization) 也叫做“強(qiáng)抽象”，是指通過(guò)引入新特征強(qiáng)化原型來(lái)完成抽象，因此，所獲得的新概念或理論就是原型的特例例如，由一般三角形的概念出發(fā)，通過(guò)引入“邊相等”與“一個(gè)角為直角”的條件，我們就分別獲得

5、了“等腰三角形”和“直角三角形”的概念，它們顯然都可看成前者的特例與弱抽象的情況相類(lèi)似，在數(shù)學(xué)的歷史發(fā)展中我們也可找到不少?gòu)?qiáng)抽象的例子一般地說(shuō)，這往往是與概念的澄清( 分化 ) 直接相聯(lián)系的就最終的表現(xiàn)形式而言，強(qiáng)抽象即可看成概念的適當(dāng)組合強(qiáng)抽象的最終表現(xiàn)形式也是較為簡(jiǎn)單的但是，就實(shí)際的數(shù)學(xué)研究過(guò)程而言，這又往往并非是現(xiàn)成概念的簡(jiǎn)單組合，而必須通過(guò)新的特征的“發(fā)現(xiàn)”或”引入，才能由原型中分化出更為特殊的概念或理論具體的說(shuō)，為了實(shí)現(xiàn)強(qiáng)抽象，數(shù)學(xué)家們往往必須首先在原形中引入某種新的關(guān)系，如某種映射，對(duì)應(yīng)關(guān)系或運(yùn)算等，然后，如果這種新的關(guān)系造成了原有概念的分化，我們就可以所得出的子類(lèi)的共同特性去定義

6、新的、更為特殊的對(duì)象例如：通過(guò)曲線(xiàn)( 點(diǎn) ) 與方程 ( 數(shù)組 ) 之間建立對(duì)應(yīng)關(guān)系，我們就可依據(jù)方程的類(lèi)別( 一次方程、二次方程) 去對(duì)相應(yīng)曲線(xiàn)作出分類(lèi)，而一次曲線(xiàn)、二次曲線(xiàn)等相對(duì)于一般的曲線(xiàn)而言顯然是更為特殊的1 1 3 弱抽象和強(qiáng)抽象的關(guān)系文 2第一，強(qiáng)抽象和弱抽象是方向相反的兩種思維方法從思維活動(dòng)的方向看，弱抽象是“特殊到一般”的過(guò)程，強(qiáng)抽象則是“一般到特殊”的過(guò)程由于強(qiáng)抽象是“一般到特殊”的過(guò)程，因而其實(shí)際是演繹推理的過(guò)程，這個(gè)過(guò)程比較直接，但不易理解用這種方法建構(gòu)新的數(shù)學(xué)概念，對(duì)思維水平要求較高一些弱抽象是“特殊到一般”的過(guò)程，因而其實(shí)際是歸納推理的過(guò)程，這個(gè)過(guò)程比較直觀，是通過(guò)直

7、接經(jīng)驗(yàn)來(lái)建構(gòu)新的數(shù)學(xué)概念，更貼近學(xué)生的思維水平，更容易理解。例如，中學(xué)關(guān)于四邊形的概念是一個(gè)強(qiáng)抽象鏈：四邊形 一(+) -梯形一(+)-平行四邊形 一(+)-矩形(菱形)一(+) -正方形.但幼兒對(duì)四邊形概念的認(rèn)識(shí)是完全相反的過(guò)程，是弱抽象的過(guò)程，在教育心理學(xué)上稱(chēng)為“概念形成”的過(guò)程。雖然弱抽象和強(qiáng)抽象的思維方向相反，但并不是互逆的，即弱抽象的產(chǎn)物未+)函數(shù)必能經(jīng)過(guò)強(qiáng)抽象還原，反之依然例如：對(duì)應(yīng)-('-映射一第二，弱抽象與強(qiáng)抽象相互依賴(lài)和補(bǔ)充強(qiáng)抽象依賴(lài)于弱抽象，而弱抽象又需要強(qiáng)抽象的補(bǔ)充，不能片面地強(qiáng)調(diào)其中的某一個(gè)在中小學(xué)數(shù)學(xué)教材里，一些有關(guān)的概念常常是以 “強(qiáng)抽象鏈”的形式表述出來(lái)，

8、例如：自然數(shù)一 (+)-正有理數(shù)一(+).有理數(shù)一一實(shí)數(shù)一(+).復(fù)數(shù)但是其中一些強(qiáng)抽象所引入的新元素，是在對(duì)實(shí)際材料進(jìn)行比較經(jīng)過(guò)弱抽象而得到的，像分?jǐn)?shù)、負(fù)數(shù)等在數(shù)學(xué)中正是弱抽象與強(qiáng)抽象的相互依賴(lài)和補(bǔ)充，使數(shù)學(xué)概念不斷擴(kuò)大，并使數(shù)學(xué)得以發(fā)展1 2 希爾伯特的理解關(guān)于一般化與特殊化，希爾伯特有兩段精彩的論述：在解決一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，如果我們沒(méi)有獲得成功，原因常常在于我們沒(méi)有認(rèn)識(shí)到更一般的觀點(diǎn)，即眼下要解決的問(wèn)題不過(guò)是一連串有關(guān)問(wèn)題中的一個(gè)環(huán)節(jié)采取這樣的觀點(diǎn)以后，不僅我們研究的問(wèn)題會(huì)容易地得到解決，同時(shí)還會(huì)獲得一種能應(yīng)用于有關(guān)問(wèn)題的普遍方法在討論數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，我們相信特殊化比一般化起著更為重要的作用可

9、能在大多數(shù)場(chǎng)合，我們尋求一個(gè)問(wèn)題的答案而未能成功的原因是，有一些比手頭的問(wèn)題更簡(jiǎn)單、更容易的問(wèn)題還沒(méi)有完全解決或完全沒(méi)有解決這時(shí)，一切都有賴(lài)于找出這些比較容易的問(wèn)題，并使用盡可能完善的方法和能夠推廣的概念來(lái)解決它們1 3 波利亞的理解從更廣泛的意義上講， “特殊化是從考慮一組給定的對(duì)象集合過(guò)渡到考慮該集合中一個(gè)較小的集合，或僅僅一個(gè)對(duì)象 ”文 3“一般化就是從考慮一個(gè)對(duì)象過(guò)渡到考慮包含該對(duì)象的一個(gè)集合， 或者從考慮一個(gè)較小的集合過(guò)渡到考慮包含該較小集合的更大的集合。 ”文 4在數(shù)學(xué)歸納中，他指出：(1) 類(lèi)比是歸納的基礎(chǔ)；(2) 特殊化與一般化構(gòu)成了整個(gè)歸納過(guò)程的基礎(chǔ)，歸納本身是一個(gè)一般化的過(guò)

10、程然而，這種一般化又是以若干特例的考察( 與類(lèi)比 ) 為基礎(chǔ)的，應(yīng)進(jìn)一步考察其它的特例( 這又是特殊化) 去對(duì)一般化所得出的猜想進(jìn)行檢驗(yàn)( 和改進(jìn) ) ； (3) 如果一批問(wèn)題是密切相關(guān)的，把這些問(wèn)題聯(lián)系起來(lái)加以考察有時(shí)要比單獨(dú)去解決其中一個(gè)孤立的問(wèn)題更容易(1) 4 梅森的理解特殊化與一般化正是數(shù)學(xué)思維的核心，同時(shí)也是怎樣解題的關(guān)鍵所在(2) 梅森指出，由于數(shù)學(xué)中特殊化具有明確的目的性，如為了更好地了解所面臨的問(wèn)題、發(fā)現(xiàn)可能的解題途徑等，因此，我們?cè)诖司筒粦?yīng)對(duì)任意的特例去進(jìn)行考慮，而應(yīng)特別注意那些較為熟悉的、較有信心進(jìn)行操作的對(duì)象因此，梅森寫(xiě)道： “特殊化是一個(gè)相對(duì)的概念 ”這就是說(shuō)，特殊化

11、是與各個(gè)人的特殊經(jīng)驗(yàn)和能力直接相關(guān)的例如，在某個(gè)人看來(lái)是特殊化的東西對(duì)另一個(gè)人來(lái)說(shuō)就可能是十分抽象的于是，有如下方法論原則：有效的特殊化意味著使用你能夠很有信心地予以操作的對(duì)象(3) 梅森指出，相對(duì)于特殊化而言，一般化是較為困難的然而，一般化又是數(shù)學(xué)創(chuàng)造的基本形式，因?yàn)?，?shù)學(xué)認(rèn)識(shí)的根本目的就是要揭示更為普遍、更為深刻的事實(shí)或規(guī)律(4) 梅森指出，盡管特殊化與一般化是在兩個(gè)相反的方向上進(jìn)行的，但是，這兩者在實(shí)際的數(shù)學(xué)研究中又是密切相關(guān)、互相依賴(lài)的具體地說(shuō)，正是特例的考察為由特殊到一般的抽象提供了必要的素材，而且，我們又必須借助于新的特例的考察來(lái)對(duì)由一般化所獲得的一般結(jié)論進(jìn)行檢驗(yàn)并做出必要的修正或

12、改進(jìn)另外，特殊化在很大程度上是為一般化服務(wù)的： “特殊化的目的首先是給抽象命題以?xún)?nèi)容和意義，其次則是借以發(fā)現(xiàn)一般性的結(jié)論何以是真的或何以是假的 ”最后，只有上升到一般的高度，我們才能更為深刻地認(rèn)識(shí)和理解各個(gè)特例2. 一般化、特殊化在解題中的作用當(dāng)代美國(guó)數(shù)學(xué)家哈爾莫斯說(shuō)過(guò)： “數(shù)學(xué)真正的組成部分應(yīng)該是問(wèn)題和解，問(wèn)題才是數(shù)學(xué)的心臟. ”在數(shù)學(xué)教學(xué)中，解題活動(dòng)是最基本的活動(dòng)形式學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，關(guān)鍵之一是學(xué)會(huì)解題解題教學(xué)是數(shù)學(xué)教師的基本功波利亞的名言： “掌握數(shù)學(xué)就是意味著善于解題 ”數(shù)學(xué)家解題時(shí)，一個(gè)最大的特點(diǎn)就是盡量追求問(wèn)題的普遍化，盡可能把問(wèn)題推廣到更一般的情形數(shù)學(xué)家的最大愿望是希望通過(guò)問(wèn)題的解決能夠

13、得到更多的收獲如果教師在指導(dǎo)學(xué)生解題時(shí)也能做到這樣，那就絕不只是解決了一個(gè)問(wèn)題當(dāng)然，并非所有的問(wèn)題都是可以特殊化或普遍化的，但即使不能，也會(huì)在盡力使之特殊化或普遍化的過(guò)程中有所得2 1 作為解題模式特殊化與一般化貫穿于整個(gè)解題過(guò)程之中，或者說(shuō)： “特殊化與一般化構(gòu)成了整個(gè)解題過(guò)程的基礎(chǔ). ”(1) 特殊化在解題過(guò)程中的作用：第一，只有通過(guò)特殊化才能很好地了解所面臨的問(wèn)題；第二，只有通過(guò)特殊化才能認(rèn)識(shí)導(dǎo)致一般化的模式；第三，對(duì)于所得出的結(jié)論又必須借助進(jìn)一步的特殊化去進(jìn)行檢驗(yàn)于是有如下的策略：由隨意的特殊化，去了解問(wèn)題；由系統(tǒng)的特殊化，為一般化提供基礎(chǔ)；由巧妙的特殊化，去對(duì)一般性結(jié)論進(jìn)行檢驗(yàn)(2)

14、 就一般化而言，我們應(yīng)努力去引出一般的結(jié)論，揭示其內(nèi)在的依據(jù)，并作出可能的推廣即一般化是圍繞三個(gè)問(wèn)題展開(kāi)的：什么看上去像是真的?( 猜測(cè) ) 為什么它是真的?( 檢驗(yàn) )它在怎樣的范圍內(nèi)看上去也是真的？（新的問(wèn)題）一般的解題過(guò)程可以劃分為三個(gè)階段：進(jìn)入、著手、回顧.對(duì)此他提出了建議和問(wèn)題：在進(jìn)入的階段，應(yīng)當(dāng)考慮：什么是已知的 ？什么是所要求的？什么是可以引進(jìn) 的？（指引進(jìn)適當(dāng)?shù)谋砀窕驁D像來(lái)對(duì)已知的東西進(jìn)行整理，或是引進(jìn)適當(dāng)?shù)姆?hào)以 使對(duì)象更易于處理）在著手的階段，主要的工作就是提出猜想并對(duì)猜想進(jìn)行改進(jìn)，這時(shí)以下的思 維模式（循環(huán)程序）特別有用：（圖2）就回顧的階段而言，則應(yīng)包括以下工作：對(duì)解答

15、進(jìn)行復(fù)查；對(duì)解題過(guò)程中的 主要思想進(jìn)行回顧；對(duì)已有的結(jié)果進(jìn)行推廣.可以看出，特殊化與一般化的確貫穿于整個(gè)解題過(guò)程之中.另外，上述的“循環(huán)程序”事實(shí)上就是特殊化與一般化的交互作用.2. 2作為解題策略“如果你不能解決所提出的問(wèn)題，那么可先去解決一個(gè)更特殊的問(wèn)題或解決 這個(gè)問(wèn)題的一部分，或者，可考慮一個(gè)更一般的問(wèn)題”文5一般化與特殊化在進(jìn)退互化的解題策略中具有重要作用：向前推進(jìn)是人們認(rèn)識(shí)事物的自然趨向，數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)展和命題序列的形成無(wú)一 不是一個(gè)前進(jìn)的過(guò)程.但是，這種趨勢(shì)和進(jìn)程又是不平坦的，有時(shí)要以退求進(jìn)， 有時(shí)要先進(jìn)后退，恰當(dāng)運(yùn)用進(jìn)退互化正是辨證思維的一條蕈要策略.具體到一個(gè) 問(wèn)題，如果直接下手

16、有困難，就應(yīng)轉(zhuǎn)而考慮一個(gè)更特殊的問(wèn)題，或一個(gè)更普遍的 問(wèn)題.一般說(shuō)來(lái)，發(fā)現(xiàn)新結(jié)論更多用“進(jìn)”，而尋找解題思路更多用“退”，先足夠 地退。，退到我們最易看清楚的地方，認(rèn)透了，鉆深了，然后再上去，這是解決難 題的一個(gè)訣竅.2. 3特殊化與一般化是常用的化歸途徑轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法是數(shù)學(xué)中最基本的思想方法.數(shù)學(xué)中的一切問(wèn)題的解 決都離不開(kāi)轉(zhuǎn)化與化歸，數(shù)形結(jié)合思想體現(xiàn)了數(shù)與形的轉(zhuǎn)化；函數(shù)與方程思想體 現(xiàn)了函數(shù)、方程、不等式問(wèn)的轉(zhuǎn)化；分類(lèi)討論思想體現(xiàn)了局部與整體的相互轉(zhuǎn)化. 以 上三種思想方法都是轉(zhuǎn)化與化歸思想的具體體現(xiàn).各種變換方法、分析法、反證法、待定系數(shù)法、構(gòu)造法等都是轉(zhuǎn)化的手段.所以說(shuō)，轉(zhuǎn)化與化

17、歸是數(shù)學(xué)思想方 法的靈魂.化歸通常需要進(jìn)行特殊與一般的互化.一般情形比較熟悉時(shí)，就要沿著一般化的途徑去實(shí)行化歸.反之，對(duì)特殊形 式比較熟悉時(shí)，就要沿著特殊化的途徑去實(shí)現(xiàn)化歸；兩條途徑是相輔相成的.一般化總是與特殊化結(jié)合在一起去實(shí)現(xiàn)化歸的，就其過(guò)程來(lái)說(shuō)，又有以下模 式：(圖3)文612我們知道，方程、不等式與函數(shù)相比較，前者是特殊形式，后者是一般形式.方 程、不等式的解可理解為對(duì)應(yīng)函數(shù)處在某特定狀態(tài)時(shí)的自變量的值，其個(gè)數(shù)、大 小、范圍都與函數(shù)有著密切的關(guān)系.因此，當(dāng)我們研究方程、不等式時(shí)，一方面 可以把它們化為特殊形式去解決；另一方面，又可用一般化方法，將它們置于函 數(shù)之中，以便能在更一般、更廣

18、闊的領(lǐng)域中，在變化之中去尋求化歸的途徑.例1當(dāng)k為何值時(shí)，關(guān)于x的方程：7x2-(k+13)x+k 2- 2=0的兩個(gè)根分別在 (0, 1)與(1 , 2)區(qū)間內(nèi).思路分析：用函數(shù)的觀點(diǎn)，借助數(shù)形結(jié)合容易解決.2. 4作為思想方法的理解與領(lǐng)悟特殊化與一般化是矛盾的兩個(gè)方面，它們互相對(duì)立又互相統(tǒng)一.同時(shí)它們也 是反映與認(rèn)識(shí)事物的兩種重要的思想方法.對(duì)于數(shù)學(xué)解題，絲毫沒(méi)有例外.這兩 種思想方法，有時(shí)可以單獨(dú)使用，有時(shí)又必須結(jié)合起來(lái)使用.2. 4. 1特殊化的思想方法事物的一般性(普遍性)存在于事物的特殊性之中，因此可以從事物的特殊性 去認(rèn)識(shí)事物的一般性.在數(shù)學(xué)解題中，我們也經(jīng)常這樣去尋找解題的方法

19、.特殊化的思想方法是指，在研究一個(gè)較大的集合性質(zhì)時(shí)，先研究某些個(gè)體或 某些較小的集合作為過(guò)渡，從中發(fā)現(xiàn)每個(gè)個(gè)體都具有的特性后，再回過(guò)頭來(lái)歸納 猜測(cè)一般集合的性質(zhì)，最后用嚴(yán)格的邏輯推理的方法論證猜測(cè)的正確性.特殊化的思想方法的一般模式如下圖所示：(圖4)一般的問(wèn)題結(jié)果1 r猜測(cè)的正確一邏輯論證特殊問(wèn)題的特性般問(wèn)題的性質(zhì)有許多數(shù)學(xué)問(wèn)題，由于抽象、概括程度較高，直接發(fā)現(xiàn)或論證這些性質(zhì)往往 感到困難.這時(shí)，可以先試探它的特殊、局部情況的特性，從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律與解答 的方法.例如，對(duì)于變量的問(wèn)題，我們可從特殊數(shù)值人手探索；對(duì)一般的圖形問(wèn)題，可先考慮特殊圖形或圖形的特殊位置的問(wèn)題等等這樣就先把問(wèn)題簡(jiǎn)化，從中發(fā)

20、現(xiàn)規(guī)律后，再去解決一般性的問(wèn)題特殊化的思想方法可以廣泛用于標(biāo)準(zhǔn)化題型的解題過(guò)程當(dāng)問(wèn)題對(duì)于一般的情況都正確時(shí)，對(duì)于特殊情況一定正確；而當(dāng)問(wèn)題對(duì)特殊情況都不正確，那么對(duì)于一般情況肯定不正確，這使得我們用特殊化法解標(biāo)準(zhǔn)化題目可以更快速、準(zhǔn)確必須強(qiáng)調(diào)的是這種方法并不是嚴(yán)格證明，切不可以偏概全例 2: 如果甲的身高和體重的兩項(xiàng)數(shù)目中至少有一項(xiàng)比乙大，則稱(chēng)甲不亞于乙在 100 個(gè)小伙子中，如果某人不亞于其他99 人，則稱(chēng)之為棒小伙子. 那么這100 個(gè)小伙子中，棒小伙子最多可能有（ ）A 1 個(gè) B 2個(gè) C 50個(gè) D 100個(gè)思路分析：數(shù)目太大，不易判斷，先從特殊人手當(dāng) 2 人的情況，甲比乙高，乙比甲

21、重，兩人都是棒小伙子可推廣知，在100個(gè)小伙子中，如果出現(xiàn)這種情況：這100 人身高從高到矮排列，而他們的體重恰好是從小到大的排列，那么其中任1 人在身高、體重兩項(xiàng)指標(biāo)中總有一項(xiàng)超過(guò)其余 99 人，即說(shuō)明他們中每個(gè)人都是棒小伙子答案應(yīng)選D可見(jiàn)，特殊化不僅能促使問(wèn)題的轉(zhuǎn)化，而且能發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的解法，揭示問(wèn)題的規(guī)律和探求問(wèn)題的結(jié)果羅增儒教授將特殊化的功能（ 作用 ） 概括為：解題的突破口；尋找解題思路的策略；完成解題的方法2 4 2 一般化的思想方法前面已經(jīng)指出：事物的一般性（ 普遍性） 存在于事物的特殊性中，因此可以從特殊性去探索一般性另一方面，事物的一般性又包含著事物的特殊性，因此，從事物的一般性

22、中又可以認(rèn)識(shí)事物的特殊性，這樣的認(rèn)識(shí)和思考問(wèn)題的方法稱(chēng)為一般化的思想方法數(shù)學(xué)思維的一般化方法是指在解答某個(gè)特殊對(duì)象或?qū)ο蟮哪承┨厥庑再|(zhì)時(shí)，有時(shí)由于問(wèn)題的特殊性掩蓋了它的重要性質(zhì)，使問(wèn)題難于解答這時(shí)先去探索包含這一特殊對(duì)象及其性質(zhì)的更大的集合，如果這個(gè)更高一層次的集合的性質(zhì)易于發(fā)現(xiàn)和研究，那么就可以回頭指導(dǎo)我們對(duì)特殊對(duì)象的研究必須注意，對(duì)問(wèn)題一般化后，往往需要再通過(guò)更簡(jiǎn)單的特殊化，去探索問(wèn)題的特性和規(guī)律因此，一般化與特殊化是相輔相成的兩種方法，使用時(shí)切不可機(jī)械地把兩者割裂開(kāi)在數(shù)學(xué)解題過(guò)程中，我們思考一個(gè)問(wèn)題，有時(shí)可以跳出它的范圍而去思考比它大的范圍的更一般性的問(wèn)題一般性的問(wèn)題有時(shí)比特殊性問(wèn)題還易

23、于解決因此，只要解決一般性的問(wèn)題，特殊性的問(wèn)題就迎刃而解了用一般化方法既可發(fā)現(xiàn)解題思路或規(guī)律，又可完成解題（ 如用公式法解方程x2+3x-5=0）.3 5 一般化、特殊化與提出問(wèn)題幾乎所有的數(shù)學(xué)家都認(rèn)為： “問(wèn)題是數(shù)學(xué)的命脈”一個(gè)領(lǐng)域中的問(wèn)題越多，其生命力越強(qiáng)，也就越有發(fā)展?jié)摿μ岢鲆恍┖玫臄?shù)學(xué)問(wèn)題，對(duì)于數(shù)學(xué)發(fā)展來(lái)說(shuō)，有著非常重要的作用例如，歷史上著名的費(fèi)馬大定理、哥的巴赫猜想，七橋問(wèn)題，柳卡趣題（文7 ） ，均體現(xiàn)了或仍在體現(xiàn)著這一點(diǎn)作為解決問(wèn)題的一部分，提出數(shù)學(xué)問(wèn)題實(shí)施素質(zhì)教育和創(chuàng)新教育的切人點(diǎn)，正成為當(dāng)前數(shù)學(xué)教育課程改革關(guān)注的焦點(diǎn)提出數(shù)學(xué)問(wèn)題（ 以下簡(jiǎn)稱(chēng)提出問(wèn)題，） 是指在一個(gè)獨(dú)立的數(shù)學(xué)問(wèn)

24、題情境中創(chuàng)造新問(wèn)題或?qū)σ阎獢?shù)學(xué)問(wèn)題的再闡述提出問(wèn)題是一項(xiàng)重要的課程目標(biāo)，它要求在數(shù)學(xué)課堂上增加學(xué)生的提出問(wèn)題活動(dòng)， “這個(gè)活動(dòng)是做數(shù)學(xué)的核心”對(duì)于一個(gè)給定的數(shù)學(xué)問(wèn)題，它含有已知的信息、未知的信息和一些內(nèi)在的和外在的限制條件，通過(guò)改變問(wèn)題信息的種類(lèi)和考慮證明問(wèn)題、逆向題、特殊例子、一般例子和類(lèi)似例子，可以提出許多新的問(wèn)題就研究性學(xué)習(xí)而言，需要培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和提出問(wèn)題的能力，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和提出問(wèn)題需要一定的方法，而特殊化與一般化正是問(wèn)題產(chǎn)生的重要策略3. 特殊化，一般化的反思與啟示4 1 反思反思一：影響使用特殊化，一般化思想方法的因素分析第一，知識(shí)因素（ 包括陳述性知識(shí)、程序性知識(shí)、策略性知識(shí)）

25、文 8陳述性數(shù)學(xué)知識(shí)主要是關(guān)于一些數(shù)學(xué)概念、命題、公式、法則、定理、公理等方面的知識(shí)。程序性數(shù)學(xué)知識(shí)主要是關(guān)于數(shù)學(xué)運(yùn)算、算法之類(lèi)的操作性知識(shí)程序性知識(shí)具有以下特點(diǎn)：首先，從信息的處理方式和結(jié)果來(lái)看，程序性知識(shí)主要是說(shuō)明性的，它是一種動(dòng)態(tài)的過(guò)程性知識(shí)，它不僅要知道“是什么”，而且要對(duì)信息進(jìn)行識(shí)別或轉(zhuǎn)換來(lái)做出相應(yīng)的動(dòng)作反應(yīng)其次，從對(duì)信息的表征來(lái)看，程序性知識(shí)是按照產(chǎn)生式規(guī)則來(lái)進(jìn)行表征的產(chǎn)生式規(guī)則是由于人經(jīng)過(guò)學(xué)習(xí)，其頭腦中儲(chǔ)存了一系列的“如果那么”的規(guī)則 “如果”指明了規(guī)則運(yùn)用的條件， “那么”是行為，不僅包括外顯行為，還包括內(nèi)在的心理活動(dòng)或運(yùn)算。產(chǎn)生式規(guī)則在某種特定條件得到滿(mǎn)足時(shí)發(fā)生，然后使個(gè)體做

26、出某種動(dòng)作或行為簡(jiǎn)單的產(chǎn)生式只能完成單一的活動(dòng)，當(dāng)需要的任務(wù)是一連串的活動(dòng)時(shí)，就需要把許多簡(jiǎn)單的產(chǎn)生式聯(lián)合起來(lái)，通過(guò)控制流而相互形成聯(lián)系，組合成復(fù)雜的產(chǎn)生式系統(tǒng)策略性數(shù)學(xué)知識(shí)是關(guān)于如何獲取數(shù)學(xué)知識(shí)的知識(shí)，它側(cè)重于知識(shí)學(xué)習(xí)過(guò)程中內(nèi)在的數(shù)學(xué)思想方法。策略性知識(shí)具有如下特點(diǎn)：首先，從信息的處理來(lái)看，策略性知識(shí)具有高度的靈活性認(rèn)知對(duì)象、相關(guān)背景及認(rèn)知過(guò)程本身都處于不斷的變化之中，因此，在應(yīng)用策略性知識(shí)時(shí)，個(gè)體必須根據(jù)認(rèn)知對(duì)象、當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)情境、認(rèn)知過(guò)程的深入等因素變化不斷調(diào)整認(rèn)知策略其次，從信息加工的結(jié)果來(lái)看，策略性知識(shí)具有極強(qiáng)的創(chuàng)造性面對(duì)新的情境時(shí)，原有的策略完全失效，那就只有根據(jù)全新的情況來(lái)監(jiān)控和調(diào)

27、查策略，而新的策略只有依靠個(gè)體去創(chuàng)造才能獲得. 最后 , 從信息的表征來(lái)看，策略性知識(shí)也是由產(chǎn)生式來(lái)表征的，但它更側(cè)重對(duì)規(guī)則以及策略的調(diào)節(jié)和監(jiān)控，能根據(jù)情況的變化及時(shí)地確定應(yīng)對(duì)策略 “一般化”，與特殊化”思想方法屬于認(rèn)知策略按照認(rèn)知心理學(xué)的研究結(jié)論可知，認(rèn)知策略一般由相應(yīng)的陳述性知識(shí)轉(zhuǎn)化而成的 “一般化”與“特殊化”思想是陳述性知知識(shí)階段的心理表現(xiàn)，須達(dá)到“知道”、 “初步了解”這種認(rèn)知水平 文 9 第二，經(jīng)驗(yàn)因素特殊化 （ 一般化 ） 的途徑可能不只一條，不同的人會(huì)根據(jù)自己的情況或喜好來(lái)選擇；一般化推廣的程度依賴(lài)于特殊問(wèn)題的解法，認(rèn)識(shí)越深刻，解法越本質(zhì)，一般化的結(jié)論越有價(jià)值第三，環(huán)境因素環(huán)境

28、的改變會(huì)影響人選擇使用哪一種方法或策略學(xué)生在競(jìng)賽環(huán)境下，解答需快速且準(zhǔn)確：而教師在自主環(huán)境下探索，有較大的自由度：可思考一個(gè)小時(shí)，兩個(gè)小時(shí)，一天，兩天或更長(zhǎng)時(shí)間；可連續(xù)也可間斷；可翻閱資料；可同別人交流等另外，題目以選擇題還是解答題的形式出現(xiàn)也是環(huán)境因素.第四，品質(zhì)與情感因素探索的過(guò)程充滿(mǎn)了挑戰(zhàn)性，個(gè)中滋味，一言難進(jìn)，而當(dāng)歷盡艱辛，最終得到結(jié)論時(shí)的激動(dòng)和興奮又無(wú)法用語(yǔ)言來(lái)表達(dá)，回味無(wú)窮波利亞說(shuō)： “認(rèn)為解題純粹是一種智能活動(dòng)是錯(cuò)誤的，決心與情緒所起的作用很重要”第五，幾種心理因素畏難心理，從而中途放棄。滿(mǎn)足心理，一旦有一種理解或解決方案，就不再深入思考依賴(lài)心理，不愿自己深思依靠書(shū)本或別人盲從心

29、理，缺少獨(dú)立思考和判斷，人云亦云第六，觀念因素第七，原認(rèn)知有實(shí)驗(yàn)表明，認(rèn)知策略的原認(rèn)知成分是策略訓(xùn)練成敗的關(guān)鍵，也是影響認(rèn)知策略遷移的重要因素第八，問(wèn)題的表征第九，對(duì)問(wèn)題的心理表征反思二：如何運(yùn)用特殊化，一般化思想方法.(1) 關(guān)于特殊化思想方法的運(yùn)用第一，特殊化元素的選擇：一般選中點(diǎn)、端點(diǎn)、零點(diǎn)、垂直關(guān)系、平行關(guān)系、最大角、最小角、定值、零值、最值、最小正整數(shù)等總之，要考慮特殊的數(shù)、形、位，先用特殊探路，然后推及一般第二，利用題目本身的特殊性（ 特殊形式、特殊結(jié)構(gòu)、特殊數(shù)字） 解題，常可得到簡(jiǎn)捷解法。運(yùn)用特殊化法需注意的幾點(diǎn)：首先， 選擇要得當(dāng)即選擇的特殊元素要既能說(shuō)明問(wèn)題，又便于討論或計(jì)算

30、一個(gè)問(wèn)題可能有多種方法進(jìn)行特殊化，并非每個(gè)都有用，也決非每個(gè)都簡(jiǎn)捷。數(shù)學(xué)題目千變?nèi)f化，特殊化元素的選擇也決不能千篇一律要具體問(wèn)題具體分析其次以特殊代替一般是不符合邏輯規(guī)律的，用特殊化法來(lái)探路常常是有效的，但也潛藏著相當(dāng)大的危險(xiǎn)盡管可能是符合實(shí)際的猜想，不經(jīng)嚴(yán)格的邏輯論證是決不能認(rèn)可的再次，運(yùn)用特殊化法時(shí)常需綜合考慮，和其它方法聯(lián)合應(yīng)用；需明確，決非所有的數(shù)學(xué)問(wèn)題都能用特殊化法來(lái)解決(2) 關(guān)于一般化思想方法的運(yùn)用不難理解，用一般化解決問(wèn)題的過(guò)程及用特殊化解決問(wèn)題的過(guò)程，均是特殊化及一般化的統(tǒng)一體，是二者相繼運(yùn)用的過(guò)程二者的區(qū)別僅僅在于特殊化與一般化運(yùn)用的先后次序不同：一般化解決問(wèn)題的方法是先一般化、后特殊化；特殊化解決問(wèn)題的方法是先特殊化、后一般化用一般化解決問(wèn)題，有兩種基本情形：一是給定問(wèn)題是某一般問(wèn)題的特殊情況，而此一般問(wèn)題已有了明確的結(jié)論，只要將給定問(wèn)題納入一般問(wèn)題的模式中，通過(guò)將一般結(jié)論特殊化，便可得到給定問(wèn)