立體幾何中的數(shù)學(xué)思想方法面面觀

1、立體幾何中的數(shù)學(xué)思想方法面面觀湖南祁東育賢中學(xué) 周友良 421600衡陽縣一中 馬中平 立體幾何是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的一個重要內(nèi)容，這部分內(nèi)容蘊含著豐富的數(shù)學(xué)思想方法。實踐證明，教學(xué)中適時滲透有關(guān)的數(shù)學(xué)思想方法，有助于學(xué)生降低學(xué)習(xí)難度，把握知識本質(zhì)和內(nèi)在規(guī)律，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)，發(fā)展思維能力。本文主要談?wù)勗诹Ⅲw幾何中的幾種主要數(shù)學(xué)思想方法。 一、轉(zhuǎn)化的思想方法研究問題時，將研究對象在一定條件下轉(zhuǎn)化為熟悉的、簡單的、基本的研究對象的思維方法稱為轉(zhuǎn)化的思想方法。這種思想方法是立體幾何中最重要的思想方法，貫穿在立體幾何教學(xué)的始終。立體幾何中轉(zhuǎn)化的思想方法主要體現(xiàn)在如下幾個方面：1、空間問題向平面問題轉(zhuǎn)化 將空間

2、問題轉(zhuǎn)化為熟知的平面問題是研究立體幾何問題最重要的數(shù)學(xué)方法之一。如線面垂直的判定定理轉(zhuǎn)化為三角形全等的平面幾何問題；教材中的幾種多面體和旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積公式的推導(dǎo)（除球面和球冠外）、側(cè)面上最短線問題都是通過側(cè)面展開轉(zhuǎn)化為平面幾何問題；旋轉(zhuǎn)體的有關(guān)問題不也是轉(zhuǎn)化為關(guān)于軸截面的平面幾何問題嗎？其實，立體幾何中的三種角（線線角、線面角、二面角）和四種距離（線線距、點面距、線面距、面面距）從定義到具體的計算以及三垂線定理都體現(xiàn)了空間到平面的轉(zhuǎn)化。例1. 正三棱錐A-BCD，底面邊長為a，側(cè)棱為2a，過點B作與側(cè)棱AC、AD相交的截面，在這樣的截面三角形中，求周長的最小值。解析：沿側(cè)棱AB把正三棱錐的側(cè)面

3、剪開展成平面圖.如圖1，當(dāng)周長最小時，EF在直線BB上，ABEBAF，AEAF，ACAD，BBCD，123，BEBCa，同理BFBDa.FDBADB，,DFa,AFa.又AEFACD，BBa+a+aa,截面三角形的周長的最小值為a.評析 把曲面上的最短路線問題利用展開圖轉(zhuǎn)化為平面上兩點間距離的問題，從而使問題得到解決，這是求曲面上最短路線的一種常用方法.又如異面直線所成的角、線面角、面面角的計算，最終都是轉(zhuǎn)化為平面上兩相交直線成的角來進行的。實現(xiàn)空間問題向平面問題轉(zhuǎn)化的方法很多，常用的就有：平移法、射影法、展開法和輔助面法等等。2、位置關(guān)系的轉(zhuǎn)化線線、線面、面面平行與垂直的位置關(guān)系既互相依存，

4、又在一定條件下不僅能縱向轉(zhuǎn)化：線線平行（或垂直） 線面平行（或垂直） ; 面面平行（或垂直），而且還可以橫向轉(zhuǎn)化：線線、線面、面面的平行 ; 線線、線面、面面的垂直。這些轉(zhuǎn)化關(guān)系在平行或垂直的判定和性質(zhì)定理中得到充分體現(xiàn)。平行或垂直關(guān)系的證明（除少數(shù)命題外），大都可以利用上述相互轉(zhuǎn)化關(guān)系去證明。例2. 如圖，正方體ABCDA1B1C1D1中，E在AB1上，F(xiàn)在BD上，且B1EBF.求證：EF平面BB1C1C.證法一：連AF延長交BC于M，連結(jié)B1M.ADBCAFDMFB又BDB1A，B1EBFDFAEEFB1M，B1M平面BB1C1CEF平面BB1C1C.證法二：作FHAD交AB于H，連結(jié)HE

5、ADBCFHBC，BCBB1C1CFH平面BB1C1C由FHAD可得又BFB1E，BDAB1EHB1B，B1B平面BB1C1CEH平面BB1C1C，EHFHH平面FHE平面BB1C1CEF平面FHEEF平面BB1C1C說明：證法一用了證線面平行，先證線線平行.證法二則是證線面平行，先證面面平行，然后說明直線在其中一個平面內(nèi).3、位置關(guān)系中的定性與定量的轉(zhuǎn)化立體幾何中對點、線、面在空間中特定位置關(guān)系的研究是從定性和定量兩個方向進行的。這兩者既有聯(lián)系又有區(qū)別，在一定條件下還可以互相轉(zhuǎn)化。 線線、線面、面面平行,這些定性描述,表示線線、線面、面面的成角是0°,反之則不然；線線、線面、面面的

6、成角是90°，這些量的結(jié)果，則反映了它們的垂直關(guān)系，反之亦然?？梢娊滩闹猩羁痰靥N含著位置關(guān)系中的定性與定量的轉(zhuǎn)化關(guān)系。 例3. 空間四邊形PABC中，PA、PB、PC兩兩相互垂直，PBA45°，PBC60°，M為AB的中點.(1)求BC與平面PAB所成的角；(2)求證：AB平面PMC.解析：此題數(shù)據(jù)特殊，先考慮數(shù)據(jù)關(guān)系及計算、發(fā)現(xiàn)解題思路.解 PAAB，APB90°在RtAPB中，ABP45°，設(shè)PAa，則PBa,ABa,PBPC，在RtPBC中，PBC60°,PBa.BC2a,PCa.APPC 在RtAPC中，AC2a(1)PCPA

7、,PCPB,PC平面PAB，BC在平面PBC上的射影是BP.CBP是CB與平面PAB所成的角PBC60°，BC與平面PBA的角為60°.(2)由上知，PAPBa,ACBC2a.M為AB的中點，則ABPM，ABCM.AB平面PCM.說明 要清楚線面的垂直關(guān)系，線面角的定義，通過數(shù)據(jù)特點，發(fā)現(xiàn)解題捷徑.例4.如圖919，在棱長為a的正方體ABCD中，O是AC、BD的交點，E、F分別是AB與AD的中點圖919（1）求異面直線與所成角的大小；（2）求異面直線EF與所成角的大??；解析：（1） AC， 與AC所成的銳角或直角就是與所成的角，連結(jié)、，在和， ，是等腰三角形 O是底邊AC的

8、中點， ，故與所成的角是90°（2） E、F分別是AB、AD中點， EFBD，又 AC， AC與BD所成的銳角或直角就是EF與所成的角 四邊形ABCD是正方形， ACBD， EF與所成的角為90°4、體積問題中的轉(zhuǎn)化研究簡單幾何體體積問題的過程中，利用祖暅定理，將一般柱體體積問題轉(zhuǎn)化為長方體體積問題，一般錐體體積問題轉(zhuǎn)化為三棱錐體積問題，從而推導(dǎo)出柱體和錐體體積公式等。三棱錐體積公式推導(dǎo)過程中，“補法”和“割法”的先后運用，臺體的體積，即補臺成錐。所展示的割補轉(zhuǎn)化；利用四面體、平面六面體等幾何體體積的自等性，以體積為媒介溝通有關(guān)元素間的聯(lián)系，從而使問題獲解的等積轉(zhuǎn)化等，均是

9、轉(zhuǎn)化的思想方法在體積問題中的體現(xiàn)。所有上述這些都充分展現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想方法在立體幾何中的“用武之地”。教學(xué)中的適時揭示與恰當(dāng)運用，確能強化學(xué)生思維的目標(biāo)意識，增強思維的敏捷性和靈活性，提高學(xué)習(xí)效率。例5. 如圖，平行六面體ABCDA1B1C1D1的底面是邊長為1的正方形，側(cè)棱AA1長為2，且A1ABA1AD60°則此平行六面體的體積為 解析：一 求平行六面體ABCDA1B1C1D的體積，應(yīng)用公式.由于底面是正方形，所以關(guān)鍵是求高，即到底面ABCD的距離解法一：過點A1做A1O平面ABCD，垂足為O，過O做OEAB，OFAD，垂足分別為E、F，連結(jié)A1E，A1F，可知O在BAD的平分線A

10、C上.cosA1AO·cosOAF·cosA1AF即cosA1AO·cos45°cos60°cosA1AOsinA1AOA1OA1AsinA1AOVSABCD·A1O分析二 如圖，平行六面體的對角面B1D1DB把平行六面體分割成兩個斜三棱柱，它們等底面積、等高、體積相等，考察其中之一三棱柱A1B1D1ABD.解法二：過B作BEA1A，連結(jié)DE，可知面BDE是其直截面，把斜三棱柱分割成上下兩部分，若把兩部分重新組合，讓面A1D1B1與面ADB重合，則得到一直棱柱，BDE是其底面，DD1是其側(cè)棱，并且和斜三棱柱A1B1D1ABD的體積相等

11、.取BD中點O，連結(jié)OE，易知SBEDBD·OEBD···V直棱柱SDEB·DD1×22點評 在解決體積問題時，“割”“補”是常用的手段，另外本題分析二給出了求斜棱柱體積的另一方法：斜棱柱的體積直截面面積×側(cè)棱長.例6. 求證：球的外切正四面體的高是球的直徑的2倍.證明： 設(shè)球的半徑為R，正四面體的高為h，側(cè)面積為S，則有VABCDVOABC+VOABD+VOBCD+VOACD如圖，即Sh4×SR,h4R.二、分類的思想方法分類的思想方法在數(shù)學(xué)中較為普遍。如立體幾何中的一些知識和問題：空間兩直線的位置關(guān)系分為相交、

12、平行、異面三種；線面、面面的位置關(guān)系以它們公共點的多少為標(biāo)準分別分為相交、平行、線在面內(nèi)的三種和平行、相交兩種，而對于相交的情形，根據(jù)其交角是否為直角又分為斜交和直交兩種；簡單幾何體可劃分為柱體、錐體、臺體和球四類，每一類（除球外）又可分為若干個子類；教學(xué)直線和平面所成的角時，要分直線和平面斜交、直線和平面垂直、直線和平面平行或直線在平面內(nèi)三種情況加以說明。教學(xué)中，不失時機地揭示并幫助學(xué)生運用分類的思想方法，有助于學(xué)生全面系統(tǒng)地歸納整理，消化知識，亦有益于訓(xùn)練思維的條理性和嚴密性，發(fā)展思維能力。 另外，根據(jù)幾何圖形及位置存在的不同情況也需分類討論。例7 若四面體各棱長是1或2，且該四面體不是正

13、四面體，則其體積的值是 .(只須寫出一個可能的值)解析： 該題的顯著特點是結(jié)論發(fā)散而不惟一.本題表面上是考查錐體求積公式這個知識點，實際上主要考查由所給條件構(gòu)造一個四面體的能力，首先得考慮每個面的三條棱是如何構(gòu)成的.排除1，1，2，可得1，1，1，1，2，2，2，2，2，然后由這三類面在空間構(gòu)造滿足條件的一個四面體，再求其體積.由平時所見的題目，至少可構(gòu)造出二類滿足條件的四面體，五條邊為2，另一邊為1，對棱相等的四面體.對于五條邊為2，另一邊為1的四面體，參看圖1所示，設(shè)AD=1，取AD的中點為M，平面BCM把三棱錐分成兩個三棱錐，由對稱性可知AD面BCM，且VABCM=VDBCM，所以VAB

14、CD=SBCM·AD.CM=.設(shè)N是BC的中點，則MNBC，MN=，從而SBCM=×2×=，故VABCD=××1=.對于對棱相等的四面體，可參見圖2.其體積的計算可先將其置于一個長方體之中，再用長方體的體積減去四個小三棱錐的體積來進行.亦可套公式V=·，不妨令a=b=2，c=1，則V=·=·=.例8 四面體的四個頂點到平面M的距離之比為1113，則平面M的個數(shù)應(yīng)有多少個?解 這樣的平面應(yīng)分4種情況討論：(1)4個頂點都在平面M的同側(cè)，則有C41·14個(平面)；(2)距離比為3的頂點與其他3個頂點不同側(cè)，

15、則有C41·14個(平面)；(3)距離比為3的頂點與其他3個頂點中的1個同側(cè)，則有C31·C41·112個(平面)(4)距離比為3的頂點與其他3個頂點中的2個同側(cè)，則有C32·C41·112個(平面)； 一共應(yīng)有4+4+12+1232個(平面)例9 直線上有兩點到平面的距離相等，這條直線和平面的位置如何？解析：(1)若直線上的兩點到平面的距離都等于0，這時直線在平面內(nèi)(如圖)(2)若直線上的兩點在平面的兩側(cè),且到平面的距離相等,這時直線與平面相交(如圖)(3)若直線l上的兩點在平面的同一側(cè)，且到平面的距離相等(如圖)AA1于點A1，BB1于點B

16、1又 A、B均在l上，且在的同側(cè)AA1 BB1AA1BB1為一平行四邊形ABA1B1 這時直線l與平面平行想一想：若直線l上各點到平面的距離都相等，那么直線l和平面的位置關(guān)系又怎樣？ 三 、運動變化的思想方法運動變化的思想方法是數(shù)學(xué)中重要的思想方法。運用它易于提示概念的本質(zhì)，便于認識事物的性質(zhì)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律。立體幾何中，不少的知識和問題蘊含著這一思想方法。如圓柱、圓錐、圓臺、球面和旋轉(zhuǎn)面的含義；二面角可看作是一個半平面以其棱為軸旋轉(zhuǎn)而成的；圓柱（或圓錐）亦可看作是當(dāng)圓臺上底面半徑和下底面半徑相等（或縮小到其半徑等于零）時，轉(zhuǎn)化而成的。教學(xué)線面平行的性質(zhì)時，在定義的條件下，讓該直線和平面運動起來，在

17、運動中保持不變的性質(zhì)就是線面平行的性質(zhì)。研究平面圖形折疊問題時，需要從運動變化的角度出發(fā)，弄清圖形中涉及的元素在折疊前后的數(shù)量及位置關(guān)系的變化等。教學(xué)實踐表明，有意識而及時地對這一思想方法的揭示與滲透，可使學(xué)生對知識的理解更深刻，運用更得心應(yīng)手，思維能力得到發(fā)展，同時使學(xué)生受到辯證唯物主義教育。例10。求正三棱錐相鄰的兩個側(cè)面所成的二面角大小的取值范圍。分析：因為這個正三棱錐是動態(tài)的，無法作出相鄰的兩個側(cè)面所成的二面角的平面角，故不能通過正常的途徑算出其范圍，既然是動態(tài)的圖形，我們則可以從圖形的極限思想出發(fā)思考這個問題。當(dāng)正三棱錐的高接近于零時，相鄰的兩個側(cè)面趨向于在底面內(nèi)，故二面角大小趨向于

18、，但不能等于；當(dāng)正三棱錐的高趨向于時，正三棱錐趨向于正三棱柱，故二面角大小趨向于，但不能等于。故相鄰的兩個側(cè)面所成的二面角大小的取值范圍為。例11  如圖3，在棱長為a的正方體中，EF是棱AB上的一條線段，且EFba，若Q是上的定點，P在上滑動，則四面體PQEF的體積（ ）（A)是變量且有最大值  （B）是變量且有最小值  （C）是變量無最大最小值   （D）是常量分析：此題的解決需要我們仔細分析圖形的特點這個圖形有很多不確定因素，線段EF的位置不定，點P在滑動，但在這一系列的變化中是否可以發(fā)現(xiàn)其中的穩(wěn)定因素？求四

19、面體的體積要具備哪些條件？仔細觀察圖形，應(yīng)該以哪個面為底面？觀察，我們發(fā)現(xiàn)它的形狀位置是要變化的，但是底邊EF是定值，且P到EF的距離也是定值，故它的面積是定值再發(fā)現(xiàn)點Q到面PEF的距離也是定值因此，四面體PQEF的體積是定值我們沒有一點計算，對圖形的分析幫助我們解決了問題四、數(shù)與方程的思想方法函數(shù)與方程的思想方法滲透到中學(xué)數(shù)學(xué)的全過程，具有廣泛應(yīng)用性。它們是根據(jù)問題的數(shù)量特征及其相互關(guān)系設(shè)定變量，建立函數(shù)關(guān)系或方程，通過對函數(shù)性態(tài)或方程的研究而求得原問題的解的一種思維方法。 函數(shù)與方程的思想方法在立體幾何中亦大有“用武之地”。如立體幾何中求某些量的最值問題大都需要用函數(shù)的思想方法去處理，多面

20、體和旋轉(zhuǎn)體的表面積與體積的計算中，也經(jīng)常要用方程的思想方法去解決有關(guān)問題。教學(xué)中適時啟發(fā)和引導(dǎo)學(xué)生用函數(shù)與方程的思想方法去思考和解決問題，有利于學(xué)生將某些研究對象或?qū)嶋H問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的意識和習(xí)慣的形成，同時學(xué)生分析、解決問題的能力也必將得到提高。例12.如圖，正方形ABCD、ABEF的邊長都是1,而且平面ABCD、ABEF互相垂直。點M在AC上移動，點N在BF上移動，若CM=BN=（1）求MN的長；（2）當(dāng)為何值時，MN的長最?。?（3）當(dāng)MN長最小時，求面MNA與面MNB所成的二面角的大小。解析：（1）作MPAB交BC于點P，NQAB交BE于點Q，連接PQ，依題意可得MPNQ，且MP=NQ，即MNQP是平行四邊形。MN=PQ,由已知，CM=BN=a,CB=AB=BE=1, 即, （2）由（1）知: ，(3)取MN的中點G，連接AG、B