高中總復(fù)習(xí)第一輪數(shù)學(xué) 第二章 2.4 函數(shù)的奇偶性教案 新人教A版

1、2.4 函數(shù)的奇偶性鞏固·夯實(shí)基礎(chǔ) 一、自主梳理 1.奇函數(shù):對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個(gè)x,都有f(-x)=-f(x)或f(x)+f(-x)=0,則稱f(x)為奇函數(shù). 2.偶函數(shù):對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個(gè)x,都有f(-x)=f(x)或f(x)-f(-x)=0,則稱f(x)為偶函數(shù). 3.奇、偶函數(shù)的性質(zhì) (1）具有奇偶性的函數(shù),其定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(也就是說，函數(shù)為奇函數(shù)或偶函數(shù)的必要條件是其定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱). (2)奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱. (3)若奇函數(shù)的定義域包含數(shù)0，則f(0)=0. (4)奇函數(shù)的反函數(shù)也為奇函數(shù). (5)

2、定義在(-,+)上的任意函數(shù)f(x)都可以唯一表示成一個(gè)奇函數(shù)與一個(gè)偶函數(shù)之和. 二、點(diǎn)擊雙基1下面四個(gè)結(jié)論中，正確命題的個(gè)數(shù)是( ）偶函數(shù)的圖象一定與y軸相交 奇函數(shù)的圖象一定通過原點(diǎn) 偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱 既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)的函數(shù)一定是f(x)=0(xR)A.1 B.2 C.3 D.4解析:不對(duì)；不對(duì)，因?yàn)槠婧瘮?shù)的定義域可能不包含原點(diǎn)；正確；不對(duì)，既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)可以為f(x)=0x(-a,a).答案:A2已知函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a0)是偶函數(shù)，那么g(x)=ax3+bx2+cx是( )A.奇函數(shù) B.偶函數(shù) C.既奇且偶函數(shù) D.非奇非偶函數(shù)解析:由f(x)

3、為偶函數(shù)，知b=0，有g(shù)(x)=ax3+cx(a0)為奇函數(shù).答案:A3 若函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),在(-,0上是減函數(shù),且f(2)=0,則使得f(x)<0的x的取值范圍是( )A.(-,2) B.(2,+) C.(-2)(2,+) D.(-2,2)解析：由圖象法可解,由函數(shù)的性質(zhì)可畫出其圖象如圖所示. 顯然f(x)<0的解集為x|-2<x<2,故選D.答案：D4已知函數(shù)f(x)是R上的偶函數(shù),g(x)是R上的奇函數(shù),且g(x)=f(x-1),若f(2)=2,則f(2 006)的值為( )A.2 B.0 C.-2 D.±2解析:由題意得g(-x)=f

4、(-x-1)=f-(x+1),g(x+2)=f(x+1), g(x+2)=g(-x)=-g(x). g(x+4)=-g(x+2)=g(x). g(x)為周期函數(shù)且T=4. f(2 006)=g(2 007)=g(3+2 004)=g(3)=f(2)=2. 故選A.答案:A5已知f(x)=ax2+bx+3A+b是偶函數(shù)，且其定義域?yàn)閍-1，2a，則a=_，b=_.解析:定義域應(yīng)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱， 故有a-1=-2a，得A=. 又對(duì)于所給解析式，要使f(-x)=f(x)恒成立，應(yīng)b=0.答案: 0誘思·實(shí)例點(diǎn)撥 【例1】f(x)是定義在R上的以3為周期的奇函數(shù),且f(2)=0,則方程f(x)

5、=0在區(qū)間(0,6)內(nèi)解的個(gè)數(shù)的最小值是( )A.2 B.3 C.4 D.5解析:周期為3,且f(2)=0,是R上的奇函數(shù), f(2)=f(-1)=-f(1),f(2)=-f(-2), f(-2)=f(1)=f(4),f(2)=f(5). f(1)=f(2)=f(3)=f(4)=f(5)=0.答案:D【例2】 判斷下列函數(shù)的奇偶性:(1）f(x)=|x+1|-|x-1|;(2)f(x)=(x-1)·(3)f(x)=;(4)f(x)=剖析:根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義進(jìn)行判斷.解:(1)函數(shù)的定義域x(-,+),對(duì)稱于原點(diǎn). f(-x)=|-x+1|-|-x-1|=|x-1|-|x+1|=-(

6、|x+1|-|x-1|)=-f(x), f(x)=|x+1|-|x-1|是奇函數(shù). (2)先確定函數(shù)的定義域.由0,得-1x<1,其定義域不對(duì)稱于原點(diǎn)， 所以f(x)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù). (3)去掉絕對(duì)值符號(hào)，根據(jù)定義判斷. 由 得 故f(x)的定義域?yàn)?1，0(0，1)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且有x+2>0.從而有f(x)=，這時(shí)有f(-x)=-f(x),故f(x)為奇函數(shù). (4)函數(shù)f(x)的定義域是(-,0)(0,+),并且當(dāng)x>0時(shí)，-x<0, f(-x)=(-x)1-(-x)=-x(1+x)=-f(x)(x>0).當(dāng)x<0時(shí)，-x>0, f(

7、-x)=-x(1-x)=-f(x)(x<0). 故函數(shù)f(x)為奇函數(shù).講評(píng):(1)分段函數(shù)的奇偶性應(yīng)分段證明. (2)判斷函數(shù)的奇偶性應(yīng)先求定義域再化簡(jiǎn)函數(shù)解析式.【例3】 函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈=x|x0,且滿足對(duì)于任意x1、x2D,有f(x1·x2)=f(x1)+f(x2).(1)求f(1)的值；(2)判斷f(x)的奇偶性并證明；(3)如果f(4)=1,f(3x+1)+f(2x-6)3,且f(x)在(0,+)上是增函數(shù)，求x的取值范圍.(1)解:令x1=x2=1,有f(1×1)=f(1)+f(1),解得f(1)=0.(2)證明:令x1=x2=-1,有f(-1)

8、×(-1)=f(-1)+f(-1).解得f(-1)=0. 令x1=-1,x2=x,有f(-x)=f(-1)+f(x),f(-x)=f(x). f(x)為偶函數(shù).(3)解:f(4×4)=f(4)+f(4)=2,f(16×4)=f(16)+f(4)=3. f(3x+1)+f(2x-6)3,即f(3x+1)(2x-6)f(64). (*) f(x)在(0,+)上是增函數(shù)， (*)等價(jià)于不等式組 或 即 3<x5或-x<-或-<x<3. x的取值范圍為x|-x<-或-<x<3或3<x5.講評(píng):解答本題易出現(xiàn)如下思維障礙: (1)無(wú)從下手，不知如何脫掉“f”.解決辦法:利用函數(shù)的單調(diào)性. (2）無(wú)法得到另一個(gè)不等式.解決辦法:關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)區(qū)間上，奇函數(shù)的單調(diào)性相同，偶函數(shù)的單調(diào)性相反.鏈接·拓展 已知f(x)、g(x)都是奇函數(shù)，f(x)>0的解集是(a2,b),g(x)>0的解集