高等數(shù)學(xué)同濟(jì)大學(xué)版 課程講解映射與函數(shù)

1、課時(shí)授課計(jì)劃課次序號(hào)： 01 一、課題：§1.1 映射與函數(shù)二、課型：新授課三、目的要求：1.了解集合與映射的有關(guān)概念；2.理解函數(shù)的概念，了解函數(shù)的四種特性；3.理解復(fù)合函數(shù)的概念，了解反函數(shù)的概念；4.熟悉基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形；5.會(huì)建立簡單實(shí)際問題的函數(shù)關(guān)系式四、教學(xué)重點(diǎn)：函數(shù)的概念，函數(shù)的各種性態(tài).教學(xué)難點(diǎn)：反函數(shù)、復(fù)合函數(shù)、分段函數(shù)的理解.五、教學(xué)方法及手段：啟發(fā)式教學(xué)，傳統(tǒng)教學(xué)與多媒體教學(xué)相結(jié)合六、參考資料：1.高等數(shù)學(xué)釋疑解難，工科數(shù)學(xué)課程教學(xué)指導(dǎo)委員會(huì)編，高等教育出版社；2.高等數(shù)學(xué)教與學(xué)參考，張宏志主編，西北工業(yè)大學(xué)出版社七、作業(yè)：習(xí)題11 3（1），6（4）

2、（7），9（1）八、授課記錄：授課日期班次九、授課效果分析：第一章 函數(shù)與極限第一節(jié) 映射與函數(shù)高等數(shù)學(xué)研究的主要對(duì)象是函數(shù). 為了準(zhǔn)確而深刻地理解函數(shù)概念，集合與映射的知識(shí)是不可缺少的. 本節(jié)將簡要復(fù)習(xí)回顧集合、映射的一些基本概念，在此基礎(chǔ)上重點(diǎn)介紹函數(shù)概念與相關(guān)知識(shí).一、集合1. 集合的概念集合是數(shù)學(xué)中的一個(gè)最基本的概念一般地，我們將具有某種確定性質(zhì)的事物的全體叫做一個(gè)集合，簡稱集組成集合的事物稱為該集合的元素例如，某大學(xué)一年級(jí)學(xué)生的全體組成一個(gè)集合，其中的每一個(gè)學(xué)生為該集合的一個(gè)元素；自然數(shù)的全體組成自然數(shù)集合，每個(gè)自然數(shù)是它的元素，等等通常我們用大寫的英文字母A，B，C，表示集合；用小

3、寫的英文字母a，b，c，表示集合的元素若a是集合A的元素，則稱a屬于A，記作aA；否則稱a不屬于A，記作aA（或aA）含有有限個(gè)元素的集合稱為有限集；不含任何元素的集合稱為空集，用表示；不是有限集也不是空集的集合稱為無限集例如，某大學(xué)一年級(jí)學(xué)生的全體組成的集合是有限集；全體實(shí)數(shù)組成的集合是無限集；方程+1=0的實(shí)根組成的集合是空集集合的表示方法：一種是列舉法，即將集合的元素一一列舉出來，寫在一個(gè)花括號(hào)內(nèi)例如，所有正整數(shù)組成的集合可以表示為N=1，2，n，另一種表示方法是指明集合元素所具有的性質(zhì)，即將具有性質(zhì)p（x）的元素x所組成的集合A記作A =xx具有性質(zhì)p（x）例如，正整數(shù)集N也可表示成N

4、=nn =1，2，3，；又如 A=（x，y）+ =1，x，y為實(shí)數(shù)表示xOy平面單位圓周上點(diǎn)的集合2. 集合的運(yùn)算設(shè)A，B是兩個(gè)集合，若A的每個(gè)元素都是B的元素，則稱A是B的子集，記作A B（或B A）；若A B，且有元素ab，但a A，則說A是B的真子集，記作A B對(duì)任何集A，規(guī)定A若A B，且BA，則稱集A與B相等，記作A=B由屬于A或?qū)儆贐的所有元素組成的集稱為A與B的并集，記作AB，即AB=xxA或xB由同時(shí)屬于A與B的元素組成的集稱為A與B的交集，記作AB，即AB=xxA且xB由屬于A但不屬于B的元素組成的集稱為A與B的差集，記作AB，即AB=xxA但x B如圖1-1所示陰影部分圖1

5、-1在研究某個(gè)問題時(shí)，如果所考慮的一切集都是某個(gè)集X的子集，則稱X為基本集或全集X中的任何集A關(guān)于X的差集XA稱為A的補(bǔ)集（或余集），記作 集合的交、并、余的運(yùn)算滿足下列運(yùn)算法則:設(shè)A，B，C為三個(gè)任意集合，則下列法則成立：（1）交換律AB=BA，AB=BA；（2）結(jié)合律（AB）C=A（BC），（AB）C=A（BC）；（3）分配律（AB）C=（AC）（BC），（AB）C=（AC）（BC），（AB）C=（AC）（BC）；（4）冪等律AA=A，AA=A；（5）吸收律A=A，A=設(shè)Ai（i=1，2，）為一列集合，則下列法則成立：（1）若AiC（i=1，2，），則C；（2）若AiC（i=1，2，），則

6、C設(shè)X為基本集，Ai（i=1，2，）為一列集合，則= ， = 3. 區(qū)間與鄰域（1） 區(qū)間設(shè)a和b都是實(shí)數(shù)，將滿足不等式axb的所有實(shí)數(shù)組成的數(shù)集稱為開區(qū)間，記作（a，b）即（a，b）=xaxb，a和b稱為開區(qū)間（a，b）的端點(diǎn)，這里a （a，b）且b （a，b）類似地，稱數(shù)集a，b=xaxb為閉區(qū)間，a和b也稱為閉區(qū)間a，b的端點(diǎn)，這里aa，b且ba，b稱數(shù)集a，b）=xaxb和（a，b=xaxb為半開半閉區(qū)間以上這些區(qū)間都稱為有限區(qū)間 數(shù)ba稱為區(qū)間的長度 此外還有無限區(qū)間：（-，+）=x-x+=R，（-，b=x-xb，（-，b）=x-xb，a，+）=xax+，（a，+）=xax+，等等這

7、里記號(hào)“-”與“+”分別表示“負(fù)無窮大”與“正無窮大”（2） 鄰域設(shè)x0是一個(gè)給定的實(shí)數(shù)，是某一正數(shù)，稱數(shù)集 xx0-xx0+為點(diǎn)x0的鄰域，記作U（x0，）稱點(diǎn)x0為這鄰域的中心，為這鄰域的半徑（如圖1-2）圖1-2稱U（x0，）-x0為x0的去心鄰域，記作(x0,)=x0x-x0,記( x0-,)=xx0-xx0, (x0+,)=xx0xx0+,它們分別稱為x0的去心左鄰域和去心右鄰域當(dāng)不需要指出鄰域的半徑時(shí)，我們常用U（x0），(x0)分別表示x0的某鄰域和x0的某去心鄰域。二、映射1映射的定義 定義1 設(shè)A，B是兩個(gè)非空的集合，若對(duì)A中的每個(gè)元素x，按照某種確定的法則f，在B中有惟一的

8、一個(gè)元素y與之對(duì)應(yīng)，則稱f是從A到B的一個(gè)映射，記作f：AB， 稱y為x在映射f下的像，x稱為y在映射f下的原像 集合A稱為映射f的定義域，A中所有元素x的像y的全體所構(gòu)成的集合稱為f的值域，記作Rf 或f（A），即Rf = f (A)=yy=f(x),xA定義中x的像是惟一的，但y的原像不一定惟一，且f（A）B映射概念中的兩個(gè)基本要素是定義域和對(duì)應(yīng)法則定義域表示映射存在的范圍，對(duì)應(yīng)法則是映射的具體表現(xiàn)例1 設(shè)A表示某高校大學(xué)一年級(jí)學(xué)生所構(gòu)成的集合，用一種方法給每一個(gè)學(xué)生編一個(gè)學(xué)號(hào)，B表示該校一年級(jí)學(xué)生學(xué)號(hào)的集合，f表示編號(hào)方法，于是確定了從A到B的一個(gè)映射fAB例2 設(shè)A=1，2，n，B=2

9、，4，2n，令 f(x)=2x，xA， 則f是一個(gè)從A到B的映射例3 設(shè)A=0，1，B=（x，y）y=x，xA，如圖1-3所示令fx（x，x），xA，則f是一個(gè)從A到B的映射 圖1-3設(shè)有映射fAB，若B = f（A）=f（x）xA，則稱f是滿射若f將A中不同的元素映射到B中的像也不同，即若x1，x2A且x1x2，則f（x1） f(x2),則稱f是單射若f既是滿射又是單射，則稱f是從A到B的一一映射若A與B之間存在一一映射，則稱A與B是一一對(duì)應(yīng)的上面的例1，例2與例3的兩個(gè)集合都是一一對(duì)應(yīng)的 2. 復(fù)合映射定義2 設(shè)有映射gAB，fBC，于是對(duì)xA有xu = g（x）y = f（u）= fg（

10、x）C這樣，對(duì)每個(gè)xA，經(jīng)過uB，有惟一的yC與之對(duì)應(yīng)，因此，又產(chǎn)生了一個(gè)從A到C的新映射，記作AC，即（）（x）=fg（x），xA，稱為f與g的復(fù)合映射,如圖1-4所示圖1-43. 逆映射定義3 設(shè)有映射fAB，B=f（A），若存在一個(gè)映射gBA，對(duì)每個(gè)yB，通過g，有惟一的xA與之對(duì)應(yīng)，且滿足關(guān)系f（x）=y，則稱g是f的逆映射，記作g=f -1 若映射f：AB是一一映射，則f必存在一個(gè)從B到A的逆映射f -1三、函數(shù)1. 函數(shù)的概念定義4 設(shè)A，B是兩個(gè)實(shí)數(shù)集，將從A到B的映射f：AB稱為函數(shù)，記作y = f（x），其中x稱為自變量，y稱為因變量，f（x）表示函數(shù)f在x處的函數(shù)值，A稱為

11、函數(shù)f的定義域，記作；f（A）=yy=f（x），xAB稱為函數(shù)f的值域，記作通常函數(shù)是指對(duì)應(yīng)法則f，但習(xí)慣上用“y =f（x），xA”表示函數(shù)，此時(shí)應(yīng)理解為“由對(duì)應(yīng)關(guān)系y=f（x）所確定的函數(shù)f ”從幾何上看，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)集（x，y）y=f（x），x稱為函數(shù)y=f（x）的圖像（如圖1-5所示）函數(shù)y=f（x）的圖像通常是一條曲線，y=f（x）也稱為這條曲線的方程這樣，函數(shù)的一些特性常?？山柚趲缀沃庇^來發(fā)現(xiàn)；相反，一些幾何問題，有時(shí)也可借助于函數(shù)來作理論探討圖1-5例 求函數(shù)y=+的定義域解 要使數(shù)學(xué)式子有意義，x必須滿足 即 由此有1x2， 因此函數(shù)的定義域?yàn)椋?，2有時(shí)一個(gè)函數(shù)在

12、其定義域的不同子集上要用不同的表達(dá)式來表示對(duì)應(yīng)法則，稱這種函數(shù)為分段函數(shù)下面給出一些今后常用的分段函數(shù)例 絕對(duì)值函數(shù) y=x= 的定義域=（-，+），值域=0，+，如圖1-6所示例 符號(hào)函數(shù) y=sgnx=的定義域=（-，+），值域=-1，0，1，如圖17所示 圖1-6 圖1-7例 取整函數(shù)y=x，其中x表示不超過x的最大整數(shù)例如，-=-1，0=0，=1，=3等等函數(shù)y=x的定義域=（-，+），值域=整數(shù)一般地，y =x= n，nxn+1，n=0，±1,±2,如圖1-8所示圖1-82. 復(fù)合函數(shù)與反函數(shù)(1)復(fù)合函數(shù)定義5 設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，值域?yàn)椋欢瘮?shù)的定義域?yàn)?，值域?yàn)?/p>

13、，則對(duì)任意，通過有惟一的與對(duì)應(yīng)，再通過又有惟一的與對(duì)應(yīng)這樣，對(duì)任意，通過，有惟一的與之對(duì)應(yīng)因此是的函數(shù)，稱這個(gè)函數(shù)為與的復(fù)合函數(shù)，記作，稱為中間變量兩個(gè)函數(shù)的復(fù)合也可推廣到多個(gè)函數(shù)復(fù)合的情形例如，y=x=（a0且a1）可看成由指數(shù)函數(shù)y = au與u=logax復(fù)合而成 例 設(shè)f（x）=（x-1）,求f（f（f（x）解 令，則y=f（f（f（x）是通過兩個(gè)中間變量w和u復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)，因?yàn)?，x-；=,x-，所以 f（f（f（x）=，x-1,- ,-（2）反函數(shù)定義6 設(shè)A，B為實(shí)數(shù)集，映射f：AB的逆映射f -1稱為y=f（x）的反函數(shù)即：若對(duì)每個(gè)yB，有惟一的xA，使y=f（x），則稱

14、x也是y的函數(shù)，記作f -1，即x=f -1（y），并稱它為函數(shù)y=f（x）的反函數(shù)，而y=f（x）也稱為反函數(shù)x=f -1（y）的直接函數(shù)從幾何上看，函數(shù)y=f（x）與其反函數(shù)x=f -1（y）有同一圖像但人們習(xí)慣上用x表示自變量，y表示因變量，因此反函數(shù)x=f -1（y）常改寫成y=f -1（x）今后，我們稱y=f -1（x）為y=f（x）的反函數(shù)此時(shí)，由于對(duì)應(yīng)關(guān)系f -1未變，只是自變量與因變量交換了記號(hào)，因此反函數(shù)y=f -1（x）與直接函數(shù)y=f（x）的圖像關(guān)于直線y=x對(duì)稱，如圖 1 - 9所示圖1 - 9值得注意的是，并不是所有函數(shù)都存在反函數(shù)，例如函數(shù)y=x2的定義域?yàn)椋?，+

15、），值域?yàn)?，+），但對(duì)每一個(gè)y（0，+），有兩個(gè)x值即x1=和x2=-與之對(duì)應(yīng)，因此x不是y的函數(shù)，從而y=x2不存在反函數(shù)事實(shí)上，由逆映射存在定理知，若f是從到的一一映射，則f才存在反函數(shù)f -1例 設(shè)函數(shù)（x-1）,求解 函數(shù)可看成由y=f（u），u=x+1復(fù)合而成所求的反函數(shù)可看成由y=f -1（u），u=x+1復(fù)合而成因?yàn)閒（u）=，u0,即 y=，從而，u（y-1）=-1，u=，所以 y=f -1（u）=，因此 =-，x03. 函數(shù)的幾種特性(1) 函數(shù)的有界性定義7 設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，?shù)集，若存在某個(gè)常數(shù)（或），使得對(duì)任一，都有（或），則稱函數(shù)在上有上界（或有下界），常數(shù)（或）稱

16、為在上的一個(gè)上界（或下界），否則，稱在上無上界（或無下界）若函數(shù)在既有上界又有下界，則稱在上有界，否則，稱在上無界易知，函數(shù)在上有界的充要條件是：存在常數(shù)M0，使得對(duì)任一，都有 例如，函數(shù)在其定義域（-，+）內(nèi)是有界的，因?yàn)閷?duì)任一x（-，+）都有，函數(shù)在（0，1）內(nèi)無上界，但有下界從幾何上看，有界函數(shù)的圖像界于直線之間(2) 函數(shù)的單調(diào)性定義8 設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，?shù)集，若對(duì)中的任意兩數(shù)x1，x2（x1x2），恒有 （或），則稱函數(shù)在上是單調(diào)增加（或單調(diào)減少）的若上述不等式中的不等號(hào)為嚴(yán)格不等號(hào)時(shí)，則稱為嚴(yán)格單調(diào)增加（或嚴(yán)格單調(diào)減少）的單調(diào)增加或單調(diào)減少的函數(shù)統(tǒng)稱為單調(diào)函數(shù)；嚴(yán)格單調(diào)增加或嚴(yán)格單

17、調(diào)減少的函數(shù)統(tǒng)稱為嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)，如圖110所示圖110例如，函數(shù)在其定義域（-，+）內(nèi)是嚴(yán)格單調(diào)增加的；函數(shù)在（0，）內(nèi)是嚴(yán)格單調(diào)減少的從幾何上看，若是嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)，則任意一條平行于x軸的直線與它的圖像最多交于一點(diǎn)，因此有反函數(shù)(3) 函數(shù)的奇偶性定義9 設(shè)函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱（即若，則必有）若對(duì)任意的，都有（或），則稱f（x）是上的奇函數(shù)（或偶函數(shù)）奇函數(shù)的圖像對(duì)稱于坐標(biāo)原點(diǎn)，偶函數(shù)的圖像對(duì)稱于y軸，如圖111所示圖111例10 討論函數(shù)f（x）=ln（x+）的奇偶性解 函數(shù)f（x）的定義域（-，+）是對(duì)稱區(qū)間，因?yàn)閒（-x）=ln（-x+）=ln（）=-ln（x+）=-f（x）所以，f

18、（x）是（-，+）上的奇函數(shù)(4) 函數(shù)的周期性定義10 設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，若存在一個(gè)不為零的常數(shù)T，使得對(duì)任意，有（），且，則稱為周期函數(shù)，其中使上式成立的常數(shù)T稱為的周期，通常，函數(shù)的周期是指它的最小正周期，即：使上式成立的最小正數(shù)T（如果存在的話）例如，函數(shù)的周期為2；的周期是并不是所有函數(shù)都有最小正周期，例如，狄利克雷函數(shù)，任意正有理數(shù)都是它的周期，但此函數(shù)沒有最小正周期4. 函數(shù)應(yīng)用舉例例11 火車站收取行李費(fèi)的規(guī)定如下：當(dāng)行李不超過50千克時(shí)，按基本運(yùn)費(fèi)計(jì)算如從上海到某地每千克以015元計(jì)算基本運(yùn)費(fèi)，當(dāng)超過50千克時(shí)，超重部分按每千克025元收費(fèi)試求上海到該地的行李費(fèi)y（元）與重量

19、x（千克）之間的函數(shù)關(guān)系式，并畫出函數(shù)的圖像解 當(dāng)0x50時(shí)，y=015x;當(dāng)x50時(shí)，y=015×50+025(x-50)所以函數(shù)關(guān)系式為 y=這是一個(gè)分段函數(shù)，其圖像如圖112所示圖112例12 一打工者，每天上午到培訓(xùn)基地A學(xué)習(xí)，下午到超市B工作，晚飯后再到酒店C服務(wù)，早、晚飯?jiān)谒奚岢?，中午帶飯?jiān)趯W(xué)習(xí)或工作的地方吃A，B，C位于一條平直的馬路一側(cè)，且酒店在基地與超市之間，基地與酒店相距3km，酒店與超市相距5km，問該打工者在這條馬路的A與B之間何處找一宿舍（設(shè)隨處可找到），才能使每天往返的路程最短解 如圖1-13所示，設(shè)所找宿舍D距基地A為x（km），用f（x）表示每天往返的

20、路程函數(shù)圖1-13當(dāng)D位于A與C之間，即0x3時(shí)，易知f（x）=x+8+（8-x）+2（3-x）=22-2x，當(dāng)D位于C與B之間,即3x8時(shí)，則f(x)=x+8+(8-x)+2(x-3)=10+2x所以f(x)= 這是一個(gè)分段函數(shù)，如圖1-14所示,在0,3上,f(x)是單調(diào)減少,在3,8上,f(x)是單調(diào)增加從圖像可知,在x=3處,函數(shù)值最小這說明,打工者在酒店C處找宿舍,每天走的路程最短圖1-14 圖1-155. 基本初等函數(shù)(1) 冪函數(shù)函數(shù) y=x（是常數(shù)）稱為冪函數(shù)冪函數(shù)y=x的定義域隨的不同而異，但無論為何值，函數(shù)在（0，+）內(nèi)總是有定義的當(dāng)0時(shí)，y=x在0，+）上是單調(diào)增加的，其

21、圖像過點(diǎn)（0，0）及點(diǎn)（1，1），圖1-16列出了=12，=1，=2時(shí)冪函數(shù)在第一象限的圖像圖1-16 圖1-17當(dāng)0時(shí)，y=x在（0，+）上是單調(diào)減少的，其圖像通過點(diǎn)（1，1），圖1-17列出了=- ，= -1，= -2時(shí)冪函數(shù)在第一象限的圖像(2) 指數(shù)函數(shù)函數(shù) y=ax（a是常數(shù)且a0，a1）稱為指數(shù)函數(shù)圖1-18指數(shù)函數(shù)y=ax的定義域是（-，+），圖像通過點(diǎn)(0,1),且總在x軸上方當(dāng)a1時(shí),y=ax是單調(diào)增加的;當(dāng)0a1時(shí),y=ax是單調(diào)減少的,如圖1-18所示以常數(shù)e=271828182為底的指數(shù)函數(shù) y=ex 是科技中常用的指數(shù)函數(shù)(3) 對(duì)數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)y=ax的反函數(shù)，記作

22、y=loga x（a是常數(shù)且a0,a1),稱為對(duì)數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax的定義域?yàn)椋?，+），圖像過點(diǎn)（1，0）當(dāng)a1時(shí)，y=logax單調(diào)增加；當(dāng)0a1時(shí)，y=logax單調(diào)減少，如圖1-19所示科學(xué)技術(shù)中常用以e為底的對(duì)數(shù)函數(shù)y=logex，它被稱為自然對(duì)數(shù)函數(shù)，簡記作y=lnx圖1-19另外以10為底的對(duì)數(shù)函數(shù)y=log10x也是常用的對(duì)數(shù)函數(shù)，簡記作y=lgx(4) 三角函數(shù)常用的三角函數(shù)有正弦函數(shù)y=sinx；余弦函數(shù)y=cosx；正切函數(shù)y=tanx；余切函數(shù)y=cotx，其中自變量以弧度作單位來表示它們的圖形如圖1-20，圖1-21，圖1-22和圖1-23所示，分別稱為正弦曲

23、線，余弦曲線，正切曲線和余切曲線圖1-20圖1-21圖1-22 圖1-23正弦函數(shù)和余弦函數(shù)都是以2為周期的周期函數(shù)，它們的定義域都為（-,+）,值域都為-1，1正弦函數(shù)是奇函數(shù)，余弦函數(shù)是偶函數(shù)由于cosx=sin（x+ ），所以，把正弦曲線y=sinx沿x軸向左移動(dòng)個(gè)單位，就獲得余弦曲線y=cosx正切函數(shù)y=tanx= 的定義域?yàn)镈（f）=xxR，x(2n+1) ,n為整數(shù)余切函數(shù)y=cotx= 的定義域?yàn)镈（f）=xxR，xn,n為整數(shù)正切函數(shù)和余切函數(shù)的值域都是（-，+），且它們都是以為周期的函數(shù)，它們都是奇函數(shù)另外，常用的三角函數(shù)還有正割函數(shù)y=secx； 余割函數(shù)y=cscx它們

24、都是以2為周期的周期函數(shù)，且secx= ； cscx= (5) 反三角函數(shù)常用的反三角函數(shù)有反正弦函數(shù) y=arcsinx（如圖1-24）；反余弦函數(shù) y=arccosx（如圖1-25）；反正切函數(shù) y=arctanx（如圖1-26）；反余切函數(shù) y=arccotx（如圖1-27）它們分別稱為三角函數(shù)y=sinx，y=cosx，y=tanx和y=cotx的反函數(shù) 圖1-24 圖1-25圖1-26 圖1-27這四個(gè)函數(shù)都是多值函數(shù)嚴(yán)格來說，根據(jù)反函數(shù)的概念，三角函數(shù)y=sinx，y=cosx，y=tanx,y=cotx在其定義域內(nèi)不存在反函數(shù)，因?yàn)閷?duì)每一個(gè)值域中的數(shù)y，有多個(gè)x與之對(duì)應(yīng)但這些函數(shù)

25、在其定義域的每一個(gè)單調(diào)增加（或減少）的子區(qū)間上存在反函數(shù)例如，y=sinx在閉區(qū)間- , 上單調(diào)增加，從而存在反函數(shù)，稱此反函數(shù)為反正弦函數(shù)arcsinx的主值，記作y=arcsinx通常我們稱y=arcsinx為反正弦函數(shù)其定義域?yàn)?1,1,值域?yàn)? , 反正弦函數(shù)y=arcsinx在-1,1上是單調(diào)增加的,它的圖像如圖1-24中實(shí)線部分所示類似地,可以定義其他三個(gè)反三角函數(shù)的主值y=arccosx,y=arctanx和y=arccotx，它們分別簡稱為反余弦函數(shù)，反正切函數(shù)和反余切函數(shù)反余弦函數(shù)y=arccosx的定義域?yàn)?1，1，值域?yàn)?，在-1，1上是單調(diào)減少的，其圖像如圖1-25中實(shí)

26、線部分所示反正切函數(shù)y=arctanx的定義域?yàn)椋?,+）,值域?yàn)椋? ，），在（-，+）上是單調(diào)增加的，其圖像如圖1-26中實(shí)線部分所示反余切函數(shù)y=arccotx的定義域?yàn)椋?，+），值域?yàn)椋?，），在（-，+）上是單調(diào)減少的，其圖像如圖1-27中實(shí)線部分所示以上五種類型的函數(shù)統(tǒng)稱為基本初等函數(shù).6. 初等函數(shù)定義11 由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)有限次四則運(yùn)算和復(fù)合運(yùn)算得到并且能用一個(gè)式子表示的函數(shù)，稱為初等函數(shù)例如，y=3x2+sin4x，y=ln（x+ ），y=arctan2x3+ + 等等都是初等函數(shù)分段函數(shù)是按照定義域的不同子集用不同表達(dá)式來表示對(duì)應(yīng)關(guān)系的，有些分段函數(shù)也可以不分段而表示出來，分段只是為了更加明確函數(shù)關(guān)系而已例如，絕對(duì)值函數(shù)也可以表示成y=x= ；函數(shù)f（x）= 也可表示成f(x)= (1- )這兩個(gè)函數(shù)也是初等函數(shù)7. 雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)(1) 雙曲函數(shù)雙曲函數(shù)是工程和物理問題中很有用的一類