高等代數(shù)北大版線性空間

1、第六章 線性空間§1 集合映射一 授課內(nèi)容:§1 集合映射二 教學(xué)目的:通過本節(jié)的學(xué)習(xí),掌握集合映射的有關(guān)定義、運(yùn)算,求和號與乘積號的定義.三 教學(xué)重點(diǎn):集合映射的有關(guān)定義.四 教學(xué)難點(diǎn):集合映射的有關(guān)定義.五 教學(xué)過程:1.集合的運(yùn)算,集合的映射(像與原像、單射、滿射、雙射)的概念定義:(集合的交、并、差) 設(shè)是集合,與的公共元素所組成的集合成為與的交集,記作；把和B中的元素合并在一起組成的集合成為與的并集,記做；從集合中去掉屬于的那些元素之后剩下的元素組成的集合成為與B的差集,記做.定義:(集合的映射) 設(shè)、為集合.如果存在法則,使得中任意元素在法則下對應(yīng)中唯一確定的元

2、素(記做),則稱是到的一個映射,記為如果,則稱為在下的像,稱為在下的原像.的所有元素在下的像構(gòu)成的的子集稱為在下的像,記做,即.若都有 則稱為單射.若 都存在,使得,則稱為滿射.如果既是單射又是滿射,則稱為雙射,或稱一一對應(yīng).2.求和號與求積號(1)求和號與乘積號的定義為了把加法和乘法表達(dá)得更簡練,我們引進(jìn)求和號和乘積號.設(shè)給定某個數(shù)域上個數(shù),我們使用如下記號:, .當(dāng)然也可以寫成, .(2)求和號的性質(zhì)容易證明,.事實上,最后一條性質(zhì)的證明只需要把各個元素排成如下形狀:分別先按行和列求和,再求總和即可.§2 線性空間的定義與簡單性質(zhì)一 授課內(nèi)容：§2 線性空間的定義與簡單

3、性質(zhì)二 教學(xué)目的：通過本節(jié)的學(xué)習(xí),掌握線性空間的定義與簡單性質(zhì).三 教學(xué)重點(diǎn)：線性空間的定義與簡單性質(zhì).四 教學(xué)難點(diǎn)：線性空間的定義與簡單性質(zhì).五 教學(xué)過程：1.線性空間的定義(1)定義4.1(線性空間) 設(shè)V是一個非空集合,且V上有一個二元運(yùn)算“+”,又設(shè)K為數(shù)域,V中的元素與K中的元素有運(yùn)算數(shù)量乘法“”,且“+”與“”滿足如下性質(zhì):1、 加法交換律 ,有；2、 加法結(jié)合律 ,有；3、 存在“零元”,即存在,使得；4、 存在負(fù)元,即,存在,使得；5、 “1律” ；6、 數(shù)乘結(jié)合律 ,都有；7、 分配律 ,都有；8、 分配律 ,都有,則稱V為K上的一個線性空間,我們把線性空間中的元素稱為向量.

4、注意:線性空間依賴于“+”和“”的定義,不光與集合V有關(guān).(2)零向量和負(fù)向量的唯一性,向量減法的定義,線性空間的加法和數(shù)乘運(yùn)算與通常數(shù)的加、乘法類似的性質(zhì)命題4.1 零元素唯一,任意元素的負(fù)元素唯一.證明:設(shè)與均是零元素,則由零元素的性質(zhì),有；,設(shè)都是的負(fù)向量,則,于是命題得證.由于負(fù)向量唯一,我們用代表的負(fù)向量.定義4.2(減法) 我們定義二元運(yùn)算減法“-”如下:定義為. 命題4.2 線性空間中的加法和數(shù)乘滿足如下性質(zhì):1、 加法滿足消去律 ；2、 可移項 ；3、 可以消因子 且,則；4、 .(3)線性空間的例子例4.1令V表示在上可微的函數(shù)所構(gòu)成的集合,令,V中加法的定義就是函數(shù)的加法,

5、關(guān)于K的數(shù)乘就是實數(shù)遇函數(shù)的乘法,V構(gòu)成K上的線性空間.4.1.2線性空間中線性組合和線性表出的定義,向量組的線性相關(guān)與線性無關(guān)的定義以及等價表述,向量組的秩,向量組的線性等價；極大線性無關(guān)組.定義4.3(線性組合) 給定V內(nèi)一個向量組,又給定數(shù)域K內(nèi)s個數(shù),稱為向量組的一個線性組合.定義4.4(線性表出) 給定V內(nèi)一個向量組,設(shè)是V內(nèi)的一個向量,如果存在K內(nèi)s個數(shù),使得,則稱向量可以被向量組線性表出.定義4.5(向量組的線性相關(guān)與線性無關(guān)) 給定V內(nèi)一個向量組,如果對V內(nèi)某一個向量,存在數(shù)域K內(nèi)不全為零的數(shù),使得,則稱向量組線性相關(guān)；若由方程必定推出,則稱向量組線性無關(guān).命題4.3 設(shè),則下

6、述兩條等價:1)線性相關(guān)；2)某個可被其余向量線性表示.證明同向量空間.定義4.6(線性等價) 給定V內(nèi)兩個向量組 (), (),如果()中任一向量都能被()線性表示,反過來,()中任一向量都能被()線性表示,則稱兩向量組線性等價.定義4.7(極大線性無關(guān)部分組) 給定V內(nèi)一個向量組,如果它有一個部分組滿足如下條件:(i)、線性無關(guān)；(ii)、原向量組中任一向量都能被線性表示,則稱此部分組為原向量組的一個極大線性無關(guān)部分組.由于在向量空間中我們證明的關(guān)于線性表示和線性等價的一些命題中并沒有用到的一些特有的性質(zhì),于是那些命題在線性空間中依然成立.定義4.8(向量組的秩) 一個向量組的任一極大線性

7、無關(guān)部分組中均包含相同數(shù)目的向量,其向量數(shù)目成為該向量組的秩.例4.2 求證:向量組的秩等于2(其中).證明:方法一:設(shè)R,滿足,則,假若不全為零,不妨設(shè),則有,而由于,等號左邊為嚴(yán)格單調(diào)函數(shù),矛盾于等號右邊為常數(shù).于是.所以線性無關(guān),向量組的秩等于2.證畢.方法二:若在上,兩端求導(dǎo)數(shù),得,以代入,有而,于是.證畢.§3 維數(shù)、基與坐標(biāo)一 授課內(nèi)容:§3 維數(shù)、基與坐標(biāo)二 教學(xué)目的:通過本節(jié)的學(xué)習(xí),掌握線性空間的基與維數(shù),向量的坐標(biāo)的有關(guān)定義及性質(zhì).三 教學(xué)重點(diǎn):基與維數(shù)、向量坐標(biāo)的有關(guān)定義.四 教學(xué)難點(diǎn):基與維數(shù)、向量坐標(biāo)的有關(guān)定義.五 教學(xué)過程:1.線性空間的基與維數(shù),

8、向量的坐標(biāo)設(shè)V是數(shù)域K上的線性空間,則有:定義4.9(基和維數(shù)) 如果在V中存在n個向量,滿足:1)線性無關(guān)；2)V中任一向量在K上可表成的線性組合,則稱為V的一組基.基即是V的一個極大線性無關(guān)部分組.基的個數(shù)定義為線性空間的維數(shù).命題4.4 設(shè)V是數(shù)域K上的n維線性空間,而.若V中任一向量皆可被線性表出,則是V的一組基.證明:由與V的一組基線性等價可以推出它們的秩相等.命題4.5 設(shè)V為K上的n維線性空間,則下述兩條等價:1)線性無關(guān)；2)V中任一向量可被線性表出.定義4.10(向量的坐標(biāo)) 設(shè)V為K上的n維線性空間,是它的一組基.任給,由命題4.4,可唯一表示為的線性組合,即,使得,于是我

9、們稱為在基下的坐標(biāo).易見,在某組基下的坐標(biāo)與V/K中的向量是一一對應(yīng)的關(guān)系.§4 基變換與坐標(biāo)變換一 授課內(nèi)容:§4 基變換與坐標(biāo)變換二 教學(xué)目的:通過本節(jié)的學(xué)習(xí),掌握基變換與過渡矩陣的定義、運(yùn)算, 坐標(biāo)變換公式.三 教學(xué)重點(diǎn):基變換與過渡矩陣的定義、運(yùn)算, 坐標(biāo)變換公式.四 教學(xué)難點(diǎn):坐標(biāo)變換公式的應(yīng)用.五 教學(xué)過程:1.線性空間的基變換,基的過渡矩陣設(shè)V/K是n維線性空間,設(shè)和是兩組基,且將其寫成矩陣形式.定義4.11 我們稱矩陣為從到的過渡矩陣.命題4.6 設(shè)在n維線性空間V/K中給定一組基.T是K上一個n階方陣.命則有是V/K的一組基,當(dāng)且僅當(dāng)T可逆.證明:若是線性

10、空間V/K的一組基,則線性無關(guān).考察同構(gòu)映射,構(gòu)造方程, 其中,線性無關(guān).構(gòu)成了過渡矩陣的列向量,所以過渡矩陣可逆；反過來,若過渡矩陣可逆,則構(gòu)造方程,其中,兩邊用作用,得到,.證畢.2.向量的坐標(biāo)變換公式；中的兩組基的過渡矩陣(1)向量的坐標(biāo)變換公式設(shè)V/K有兩組基為和,又設(shè)在下的坐標(biāo)為,即,在下的坐標(biāo)為,即.現(xiàn)在設(shè)兩組基之間的過渡矩陣為T,即記,于是.于是,由坐標(biāo)的唯一性,可以知道,這就是坐標(biāo)變換公式.(2)中兩組基的過渡矩陣的求法我們設(shè)中兩組基分別為 和 而 按定義,T的第i個列向量分別是在基下的坐標(biāo).將和看作列向量分別排成矩陣；,則有,將A和B拼成分塊矩陣,利用初等行變換將左邊矩陣A化

11、為單位矩陣E,則右邊出來的就是過渡矩陣T,示意如下:.§5 線性子空間一 授課內(nèi)容:§5 線性子空間二 教學(xué)目的:通過本節(jié)的學(xué)習(xí),掌握線性子空間的定義、判別定理.三 教學(xué)重點(diǎn):線性子空間的定義、判別定理.四 教學(xué)難點(diǎn):線性子空間的判別定理.五 教學(xué)過程:1.線性空間的子空間的定義定義4.12(子空間) 設(shè)V是數(shù)域K上的一個線性空間,M時V的一個非空子集.如果M關(guān)于V內(nèi)的加法與數(shù)乘運(yùn)算也組成數(shù)域K上的一個線性空間,則稱為V的一個子空間.命題4.7 設(shè)V是K上的線性空間,又設(shè)一個非空集合,則是子空間當(dāng)且僅當(dāng)下述兩條成立:i)對減法封閉； ii)對于K中元素作數(shù)乘封閉.證明:必要

12、性由定義直接得出； 充分性:各運(yùn)算律在V中已有,所以W滿足運(yùn)算律的條件. 只需要證明且對于任意,且對加法封閉即可. 事實上,由于關(guān)于數(shù)乘封閉,則；,于是對于,W關(guān)于加法封閉.于是W是V的一個子空間. 證畢.事實上,W關(guān)于加法和數(shù)乘封閉也可以得出上述結(jié)論.命題4.8 設(shè)W是V的一個有限維子空間,則W的任一組基可以擴(kuò)充為V的一組基.證明:設(shè),若,則命題為真；若,對作歸納:設(shè)為W的一組基,取,則線性無關(guān).于是令,易見,W是V的一個子空間,且,此時,對其用歸納假設(shè)即可.§6 子空間的交與和一 授課內(nèi)容:§6子空間的交與和二 教學(xué)目的:通過本節(jié)的學(xué)習(xí),掌握子空間的交與和的定義、性質(zhì)及

13、維數(shù)公式.三 教學(xué)重點(diǎn):子空間的交與和的定義及維數(shù)公式.四 教學(xué)難點(diǎn):子空間的交與和的性質(zhì)及維數(shù)公式.五 教學(xué)過程:1.子空間的交與和,生成元集定義4.13 設(shè),則是V的一個子空間,稱為由生成的子空間,記為.易見,生成的子空間的維數(shù)等于的秩.定義4.14(子空間的交與和) 設(shè)為線性空間V/K的子空間,定義,稱為子空間的交；,稱為子空間的和.命題4.9 和都是V的子空間.證明:由命題4.7,只需要證明和關(guān)于加法與數(shù)乘封閉即可.事實上,則,.由于均是V的子空間,則,于是,關(guān)于加法封閉；,于是,關(guān)于數(shù)乘封閉.,則由的定義,使得,而,則,關(guān)于加法封閉；,使得,由于,則,關(guān)于數(shù)乘封閉.證畢.命題4.10

14、 設(shè)是V的子空間,則和均為V的子空間.2.維數(shù)公式.定理4.1 設(shè)V為有限維線性空間,為子空間,則.這個定理中的公式被稱為維數(shù)公式.證明:設(shè),取的一組基(若=0,則,基為空集),將此基分別擴(kuò)充為的基,只需要證明是的一組基即可.首先,易見中的任一向量都可以被線性表出.事實上,則,其中,而于是可被線性表出.只要再證明向量組線性無關(guān)即可.設(shè),其中.則(*)于是,于是,記為.則可被線性表示,設(shè),代入(*),有,由于是的一組基,所以線性無關(guān),則,代回(*),又有,于是向量組線性無關(guān).證畢.推論2.1 設(shè)都是有限為線性空間V的子空間,則:.證明:對t作歸納.§7 子空間的直和一 授課內(nèi)容:

15、67;7 子空間的直和二 教學(xué)目的:通過本節(jié)的學(xué)習(xí),掌握子空間的直和與補(bǔ)空間的定義及性質(zhì).三 教學(xué)重點(diǎn):子空間的直和的四個等價定義.四 教學(xué)難點(diǎn):子空間的直和的四個等價定義.五 教學(xué)過程:1.子空間的直和與直和的四個等價定義定義 設(shè)V是數(shù)域K上的線性空間,是V的有限為子空間.若對于中任一向量,表達(dá)式.是唯一的,則稱為直和,記為或.定理 設(shè)為數(shù)域K上的線性空間V上的有限為子空間,則下述四條等價:1)是直和；2)零向量表示法唯一；3)；4).證明: 顯然.設(shè)則.由2)知,零向量的表示法唯一,于是,即的表示法唯一.由直和的定義可知,是直和.假若存在某個,使得,則存在向量且,于是存在,使得.由線性空間

16、的定義,則,與零向量的表示法唯一矛盾,于是.若2)不真,則有,其中且.于是,與3)矛盾,于是2)成立.對m作歸納.=2時,由維數(shù)公式得到.設(shè)已證,則對于,而,都有；由歸納假設(shè),可以得到.,都有,于是.證畢.推論 設(shè)為V的有限維子空間,則下述四條等價:i)是直和；ii)零向量的表示法唯一；iii)；iv).2.直和因子的基與直和的基命題 設(shè),則的基的并集為V的一組基.證明: 設(shè)是的一組基,則V中任一向量可被線性表出.又,由命題4.5,它們線性無關(guān),于是它們是V的一組基. 證畢.3.補(bǔ)空間的定義及存在性定義 設(shè)為V的子空間,若子空間滿足,則稱為的補(bǔ)空間.命題 有限維線性空間的任一非平凡子空間都有補(bǔ)

17、空間.證明: 設(shè)為K上的n為線性空間V的非平凡子空間,取的一組基,將其擴(kuò)為V的一組基取,則有,且,于是,即是的補(bǔ)空間.證畢.§8 線性空間的同構(gòu)一 授課內(nèi)容:§1線性空間的同構(gòu)二 教學(xué)目的:通過本節(jié)的學(xué)習(xí),掌握線性空間同構(gòu)的有關(guān)定義及線性空間同構(gòu)的判定.三 教學(xué)重點(diǎn):線性空間同構(gòu)的判定.四 教學(xué)難點(diǎn):線性空間同構(gòu)的判定.五 教學(xué)過程:1.線性映射的定義定義 設(shè)為數(shù)域上的線性空間,為映射,且滿足以下兩個條件:i)；ii),則稱為(由到的)線性映射.由數(shù)域上的線性空間到的線性映射的全體記為Hom,或簡記為Hom.定義中的i)和ii)二條件可用下述一條代替:.例 是上的線性空間,

18、也是上線性空間,取定一個上的矩陣,定義映射則是由到的線性映射.例 考慮區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的全體,它是R上的線性空間,令再令則是由到的一個線性映射.定義 設(shè)是線性映射i)如果是單射,則稱是單線性映射(monomorphism)；ii)如果是滿射,則稱是滿線性映射(endmorphism)；iii)如果既單且滿,則稱為同構(gòu)映射(簡稱為同構(gòu),isomorphism),并說與是同構(gòu)的,同構(gòu)映射也稱為線性空間的同態(tài)(homomorphism),同構(gòu)映射的逆映射也是同構(gòu)映射；iv)的核(kernel)定義為；v)的像(image)定義為,也記為；命題 和是的子空間.證明:容易證明它們關(guān)于加法和數(shù)乘封閉.vi)的余核定義為.命題 線性映射是單的當(dāng)且僅當(dāng)ker,是滿的當(dāng)且僅當(dāng)coker.定理(