高等數(shù)學函數(shù)極限

1、第一章 函數(shù)極限與連續(xù)高等數(shù)學可以說是變量數(shù)學，它的研究對象、研究方法與初等數(shù)學相比都有相當大的差異。它主要研究對象是函數(shù)，它的主要內(nèi)容是微積分學，它的主要手段是以極限為工具，并在實數(shù)范圍內(nèi)研究函數(shù)的變化率及其規(guī)律性，從而產(chǎn)生微積分的基本概念及性質。本章主要介紹函數(shù)的概念及其基本性質；數(shù)列與函數(shù)的極限及其基本性質；連續(xù)函數(shù)的概念及其基本性質，為進一步學好函數(shù)的微積分打下一個良好的基礎。第一節(jié) 函數(shù)的概念一、幾個基本概念1 常量與變量 在日常生活或生產(chǎn)實踐中，觀察某一個事件的結果往往是用一個量的形式來表現(xiàn)的，在觀察的某一個過程中始終保持不變的量稱之為常量，經(jīng)常變化的量稱之為變量。通常用小寫字母a

2、、b、c 等表示常量，用小寫字母x、y、z、 表示變量。例如：圓周率是永遠不變的量，它是一個常量；某商品的價格在一定的時間段內(nèi)是不變的，所以，在這段時間內(nèi)它也是常量；又如一天中的氣溫，工廠在生產(chǎn)過程中的產(chǎn)量都是不斷變化的量，這些量都是變量。注意：1 常量和變量是相對的，它們依賴于所研究的過程和所研究的對象。在不同的過程中常量和變量是可以轉化的。如商品的價格，某段時間是常量，另一段時間就有可能是變量了；2 從幾何意義上來表示，常量對應數(shù)軸上的定點，變量對應數(shù)軸上的動點。2 集合、區(qū)間集合是表示具有同一種屬性的全體。例如：某班的全體學生組成一個集合；長虹集團05年度的所有產(chǎn)品組成一個集合；所有正有

3、理數(shù)仍組成一個集合等等。有關集合的運算、集合的表示等方面的基本知識，中學數(shù)學已有介紹，這里就不一一贅述了下面向讀者介紹高等數(shù)學中常用的數(shù)集及其簡明表示符號：1 / 53開區(qū)間：= ；閉區(qū)間：；左半開區(qū)間（或右半閉區(qū)間）；右半開區(qū)間（或左半閉區(qū)間）；上述四個區(qū)間的長度都是有限長的，因此把它們統(tǒng)稱為有限區(qū)間。無窮區(qū)間有：；。如無特別聲明，可用如下符號表示一些常用數(shù)集：R 實數(shù)集；Q 有理數(shù)集；Z 整數(shù)集；N 自然數(shù)集。有時為了討論數(shù)軸上某點附近的性質，為此引入鄰域的概念。定義1設是一個實數(shù)，是正數(shù)（通常是指很小的數(shù)），數(shù)軸上到點的距離小于的點的全體，稱為點的鄰域，記為。即：=數(shù)集稱為點的去心鄰域。

4、記為二、函數(shù)的概念定義2 設x, y是兩個變量，是上的非空數(shù)集，對任意的，通過某一個確定對應關系（或對應法則），在實數(shù)集上有唯一的一個與之對應，則稱是從到上的一個函數(shù)（也稱為定義在D上的函數(shù)），記為：，簡記為：通常把稱為自變量，稱為因變量（或x的函數(shù)），的取值范圍稱為函數(shù)的定義域（就是本定義中的）。一般情況下，用Df表示函數(shù)的定義域。當取時，按照對應法則有與之相對應，并稱其為函數(shù)在點x0處的函數(shù)值；當在區(qū)域上取遍時，所對應的函數(shù)值的全體稱為函數(shù)的值域，記為Rf 。即對于函數(shù)概念，以下幾點是值得注意的：1 以上函數(shù)定義基本上是按照初等數(shù)學中所描述的方式給出的，它指的是單值函數(shù)；2 函數(shù)的實質是對

5、應關系（或對應法則），只要兩個變量之間能找到一種對應，我們就說它們之間確定了一個函數(shù)；3 確定函數(shù)有兩個要素，這就是：定義域與對應關系；4 函數(shù)之間可以定義加、減、乘、除等運算，但是運算必須在所有函數(shù)都有意義的公共范圍內(nèi)進行。有關函數(shù)的相等、函數(shù)的定義域、值域；函數(shù)的四則運算等概念在中學數(shù)學課本中已有介紹，這里就不再復述了。下面我們來看幾個具體的例子：例1 由關系式 能確定兩個變量x與y之間的一種對應關系，可以說是一個函數(shù)關系，但它不是我們所指的函數(shù)。比如x = 0時，相應的y可以等于1，也可以等于-1。其實它們是這樣兩段函數(shù)，這類函數(shù)我們稱為多值函數(shù)。例2 函數(shù)的定義區(qū)域為R，值區(qū)域為，它稱

6、為絕對值函數(shù)，其圖像如圖1-1。通常這類函數(shù)稱為分段函數(shù)。所謂分段函數(shù)是指：函數(shù)在定義域的不同范圍內(nèi)的函數(shù)表達式不同，它實質上是一個函數(shù)，不能理解為兩個或多個函數(shù)。例3 函數(shù) 稱為符號函數(shù)，這也是分段函數(shù)，記為，它的定義區(qū)域Df =，值域Rf =，它的圖形如圖1-2所示。對任何實數(shù)都有下列關系式：成立，所以它起著一個符號的作用。圖 1-2xy1-10xy圖 1-1例4 狄立克萊函數(shù)（ 它的定義區(qū)域是Df =，值域是Rf =。三、函數(shù)的表示法1 解析法（公式法）：把兩個變量之間的關系直接用數(shù)學式子表示出來，必要的時候還可以注明函數(shù)的定義域、值域，這種表示函數(shù)的方法稱之為解析法。這在高等數(shù)學中是最

7、常見的函數(shù)表示法，它便于我們進行的理論研究。如：例1，例2等。2 表格法：就是把自變量和因變量的對應值用表格形式列出。這種表示法有較強的實用價值，比如三角函數(shù)表、常用對數(shù)表等等。3 圖示法：用某坐標系下的一條曲線反映自變量與因變量的對應關系的方法。比如，氣象臺自動溫度計記錄了某地區(qū)的一晝夜氣溫的變化情況，這條曲線在直角坐標系下反映出來的就是一個函數(shù)關系。這種方法，幾何直觀性強，函數(shù)的基本性態(tài)一目了然，看圖就基本上都知道了，但它不利于理論研究。四、函數(shù)的初等性質微積分學的主要研究對象是函數(shù)，既然要對函數(shù)進行研究，自然要對函數(shù)有哪些基本幾何性質有一定的了解，下面我們將逐一進行介紹。定義3（函數(shù)的單

8、調性） 設f ( x )在區(qū)間I上有定義，若對任意的，當時，有（或），則稱f ( x )在區(qū)間I上為單調增加函數(shù)（或單調減少函數(shù)）；若對任意的，當時，有（或），則稱f ( x )在區(qū)間I上為嚴格單調增加函數(shù)（或嚴格單調減少函數(shù)）。單調增加函數(shù)（或單調減少函數(shù)）、嚴格單調增加函數(shù)（或嚴格單調減少函數(shù)）統(tǒng)稱為單調函數(shù)（也稱函數(shù)具有單調性）。在幾何上，單調增加（減少）函數(shù)的圖形是沿x軸的正向漸升的（或漸降的）。如下圖所示。xy圖 1-3x1x2xy圖 1-4x1x2圖 1-5xy例5 函數(shù)在區(qū)間上嚴格單調遞減，而在區(qū)間上卻嚴格單調遞增，這在考慮函數(shù)的單調性時，是要特別注意的問題。函數(shù)的單調性是函數(shù)在

9、一個有定義區(qū)間內(nèi)的特征性質，在不同的區(qū)間上可能有不同的單調性。即便在各個不同的區(qū)間內(nèi)單調性相同，但在整個定義域內(nèi)仍有可能不單調。比如，函數(shù) 的定義域為，函數(shù)如圖1-5所示，它不是單調函數(shù)，但它在或上分別單調遞減。定義4（函數(shù)的有界性）設函數(shù)在區(qū)間上有定義，若存在M 0，使得對任意，恒有 ，則稱函數(shù)在區(qū)間上有界，否則稱為無界。如果存在M 0，使得對任意，恒有（或者），那么稱函數(shù)在區(qū)間上有上界（或下界）。其幾何特征如圖1-6顯然，在區(qū)間上有界等價于它在區(qū)間上既有上界又有下界。有界有上界有下界圖 1-6例如，三角函數(shù)是有界函數(shù)。因為對任意的都有，因此它們在整個數(shù)軸上有界。函數(shù)在內(nèi)無上界，但有下界（0

10、為一個下界）；而在內(nèi)無下界，但有上界（0為一個上界）。它在定義域內(nèi)是無界的。但是它在任何不包含原點的閉區(qū)間上是有界的。定義5 (函數(shù)的奇偶性）設函數(shù)的定義域關于原點對稱，即對有。(如圖1-7)(1) 若對 有 則稱為偶函數(shù)；(2) 若對 有 則稱為奇函數(shù)。x-xf (x)f (-x)x-xf (x)f (-x)圖 1-7從幾何特征來說，偶函數(shù)的圖形關于y軸對稱，奇函數(shù)的圖形關于原點對稱。例如：等等都是偶函數(shù)；而等等都是奇函數(shù)。對于定義域相同的函數(shù)來說，有如下結論：偶（奇）函數(shù)的和仍為偶（奇）函數(shù)；兩個偶（奇）函數(shù)的積為偶函數(shù)；一偶一奇兩個函數(shù)的積為奇函數(shù)。但是，不是任何函數(shù)都有奇偶性的，如：y

11、 = x+1既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)。定義6 （函數(shù)的周期性）設函數(shù)的定義域為，若存在常數(shù)，使得對，有，并且有成立，則稱為周期函數(shù),并稱T是函數(shù)的一個周期。值得注意的是：一個函數(shù)如果是周期函數(shù)的話,它就有無窮多個周期。我們通常所說的周期，是指它的最小的正周期。周期函數(shù)一定存在一個周期，它的幾何特征是：以一個周期為跨度，把曲線劃斷，各段曲線再移到一起，它們完全重合。可是，周期函數(shù)不一定存在最小正周期。比如：y = 2就是一個以任意正實數(shù)為一個周期的周期函數(shù)，由于不存在最小正實數(shù)，所以y = 2不存在周期。五、初等函數(shù)(一) 基本的初等函數(shù)所謂基本初等函數(shù)就是指如下函數(shù)：常量函數(shù)：；冪函數(shù)：；指數(shù)

12、函數(shù)：；對數(shù)函數(shù)：；三角函數(shù)：；反三角函數(shù)：。上述函數(shù)的基本性質和幾何特征中學數(shù)學已有比較透徹的討論，這里就不再一一復述了。（二）復合函數(shù) 在日常生活或生產(chǎn)實踐中，表現(xiàn)事物之間的關系往往是錯綜復雜的，因此在數(shù)學中表示自然規(guī)律，生產(chǎn)規(guī)律的函數(shù)結構也是復雜的。通常情況下，我們遇到的函數(shù)往往不是基本初等函數(shù)，而是由這些基本初等函數(shù)所構造的較為復雜的函數(shù)。也就是說需要把兩個或兩個以上的函數(shù)組合成另一個新的函數(shù)。如由，當時，通過變量就建立了變量與變量之間的對應關系，即，；這時稱是的復合函數(shù)。定義7設函數(shù)的定義域為，函數(shù)的定義域是，當時，有函數(shù)的值在的范圍內(nèi)，這樣通過變量就得到與之間的對應關系，稱為復合函

13、數(shù)。記為 其中，y是因變量，是中間變量，是自變量。按定義的要求可知，構建復合函數(shù)的前提條件就是：內(nèi)層函數(shù)的值域與外層函數(shù)的定義域的交不空。也就是說，內(nèi)層函數(shù)必須有函數(shù)值落在外層函數(shù)的定義域內(nèi)。否則就會成為無意義的函數(shù)。比如：，復合起來在實函數(shù)范圍內(nèi)就無意義了。例6 設 ，求。解 =它的定義域是。例7 是由以下簡單函數(shù) 復合而成的。 有時在實際應用中既要知道由簡單函數(shù)構造成復合函數(shù)，同時也要會從復合函數(shù)中分解為簡單函數(shù)。 （三）反函數(shù) 函數(shù)反映的是因變量隨著自變量的變化而變化的規(guī)律，用另一種語言來說的話，就是：有兩個變量，一個是主動變量（自變量x），另一個是被動變量（因變量y），主動變量一旦取定

14、了，被動變量也相繼唯一確定。但是變量之間的制約是相互的，在我們研究的不同領域里，經(jīng)常需要更換這兩個變量的主次關系，當這種主次關系對換后，仍然成為函數(shù)關系，這就是我們所要介紹的反函數(shù)。定義8 設函數(shù)的定義域是，值域是，若對，有唯一的一個，使得=。這就定義了上的一個函數(shù)，此函數(shù)稱為的反函數(shù)。記為 ，。這時稱為直接函數(shù)。由反函數(shù)的定義不難發(fā)現(xiàn)，存在反函數(shù)當且僅當f是到的一一對應關系，并且反函數(shù)的定義域是直接函數(shù)的值域，反函數(shù)的值域是直接函數(shù)的定義域。當我們把反函數(shù)與直接函數(shù)的圖像描在同一坐標系下（直角坐標系），我們會發(fā)現(xiàn)，兩圖完全重合。在數(shù)學上，我們總習慣用x表示自變量，用y表示因變量，為了滿足習慣

15、記法的需要，最后我們會把反函數(shù)記為。既然這樣，在幾何上，直接函數(shù)與其反函數(shù)有何關系呢？其實它們的圖像關于直線y = x對稱。圖 1-8通常把反函數(shù)記為 , 稱為互為反函數(shù)。它們在同一直角坐標系下是關于直線對稱的。例如： (如圖1-8)（四）初等函數(shù) 前面已經(jīng)說過，在實際問題中我們遇到的不僅是基本初等函數(shù)，而且往往是較為復雜的函數(shù)，也就是指初等函數(shù)。定義9 由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運算和有限次復合運算得到的,并能用一個解析式表示的函數(shù)稱為初等函數(shù)。 如：在高等數(shù)學中討論的函數(shù)主要是初等函數(shù)。第二節(jié) 數(shù)列的極限從極限產(chǎn)生的歷史背景來看，極限是從解決微分學與積分學的實際問題中產(chǎn)生的。在人們的日常

16、生活中，經(jīng)常用到這樣的描述：用市場變化趨勢來研究產(chǎn)品需求量的狀況；用學校發(fā)展的趨勢來分析學校未來的前途等等，這種趨勢用在數(shù)學上就是極限，極限是變量變化的終極狀態(tài)。極限是微積分學中一個基本概念，微分學與積分學的許多概念都是由極限引入的，并且最終由極限知識來解決。因此它在微積分學中占有非常重要的地位。一、極限概念的引入我國春秋戰(zhàn)國時期的莊子 天下篇中說：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”，這就是極限的最樸素思想。在這個過程中可以試想一下，一根棒子，每天取其一半，盡管永遠取不完，可到了一定的時候，還能看得見嗎？看不見意味著什么？不就是沒了嗎？終極的時候，就徹底地沒有了。它的終極狀態(tài)就是零。那么我們?nèi)绾?/p>

17、去理解這個終極狀態(tài)和零呢？公元三世紀，中國數(shù)學家劉徽的割圓術，就是用圓內(nèi)接正多邊形的周長逼近圓的周長的極限思想來近似計算圓周率的。他說：“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至不可再割，則與圓合體而無所失矣！”直到17世紀60年代18世紀初，牛頓（Newton 1642-1727）和萊布尼茲（Leibniz）兩人分別從力學問題和幾何學問題入手，在前人工作的基礎上，利用還不嚴密的極限方法各自獨立地建立了微積分學，最后由柯西（Cauchy 1789-1857）和維爾斯特拉斯（Weierstrass 1815-1897）完善了微積分的基礎概念極限。用現(xiàn)代數(shù)學的思想來說，劉徽割圓術中所述的不可再割的情況是

18、不存在的，無論怎么一種割法，都不可能“與圓合體而無所失”，但是，他體現(xiàn)出來的終極思想是無可非議的。微分學與積分學中還有許多有關極限思想的應用問題，在后面的課程中我們還會有這方面的闡述，在這里我們就不作介紹了。二、數(shù)列極限1 數(shù)列的概念定義1 按照一定次序排列起來的一組數(shù)就稱為數(shù)列。比如： 簡記為：其中稱為該數(shù)列的通項或一般項。由于數(shù)列完全可由其通項決定，故也常簡稱為數(shù)列。注：1） 數(shù)列分有窮數(shù)列和無窮數(shù)列，有窮數(shù)列是指只含有限項的數(shù)列。比如：1；3；5；7；9這五項數(shù)值構成一個有窮數(shù)列。對此，本書不作討論。本書所討論的數(shù)列都是無窮數(shù)列。2） 數(shù)列也是函數(shù)，它可以看作定義在自然數(shù)集N上的函數(shù)，即

19、 ， 數(shù)列也稱為整標函數(shù)就是這個道理。例1 數(shù)列1， 其通項為，可簡記為例2 數(shù)列的通項，則數(shù)列為：例3 數(shù)列 1，0，1，0，1，0，數(shù)列在幾何上有兩種表示（1）數(shù)軸上的表示數(shù)列中每一個數(shù)都可用數(shù)軸上的一個點來表示，這些點的全體就是數(shù)列在數(shù)軸上的幾何表示。01數(shù)列可表示如下：(如圖1-9) 圖1-9圖 1-10（2）直角坐標平面上的表示數(shù)列中每一個數(shù)都可用直角坐標平面上的點來表示，這些點的全體就是數(shù)列在平面上的幾何表示。比如：描在直角坐標系上如圖 1-10。下面再看幾個數(shù)列的例子例4 ：；：；：；：。2 數(shù)列極限的概念就拿例4列舉的幾個數(shù)列來看，當無限增大時，相應項的值的變化情況各不相同，在

20、變化過程中：數(shù)列的一般項在與之間交替變化，它沒有一個確定的終極趨勢；數(shù)列的一般項的值無限地與靠近；數(shù)列的一般項，k = 它沒有一個確定的終極趨勢；數(shù)列的一般項它最終無限靠近2。從上面幾個例題可以看出，當無限增大時，有的數(shù)列的值無限地接近一個定數(shù)，有的數(shù)列則在無限增大的過程中飄浮不定。對于這些現(xiàn)象，用數(shù)學語言描述出來就是下列數(shù)列極限。定義2 設有數(shù)列，如果當無限增大時，數(shù)列相應的項無限趨近于常數(shù)，則稱數(shù)列當趨于無窮時以為極限，或稱數(shù)列收斂于。一般記為 =，或 , （ n）。這時也簡稱收斂。如果數(shù)列沒有極限(當時)，稱發(fā)散。如上例中數(shù)列的極限為，記為=；數(shù)列的極限為2，可記為：。而數(shù)列與沒有極限，

21、即是發(fā)散的。關于極限，有一點是必須明確的，極限是變量變化的終極趨勢，也可以說是變量變化的最終結果。因此，可以說，數(shù)列極限的值與數(shù)列前面有限項的值無關。比如，某人的目的地是北京，至于他是從武漢出發(fā)的，還是從廣州出發(fā)的，這與它的目的無關，最終到了北京，就算達到目的了。這種比方盡管不嚴格，但編者認為它有助于讀者對上面的說法的理解。上面給出的數(shù)列極限的定義，采用的是描述性方式給出的。為了讓讀者對極限的分析定義有個初步的了解，下面我們給出數(shù)列極限的分析定義：定義3 （“”語言）設有數(shù)列，A是一個常數(shù)，如果對，總存在自然數(shù)N，當時，恒有 成立則稱數(shù)列當趨于無窮時存在極限，稱為它的極限值?；蛘哒f數(shù)列收斂于，

22、記作=，或,（n）。如果數(shù)列沒有極限，就稱數(shù)列發(fā)散。下面我們從一個例題分析來解釋“”語言，從而加深對這個概念的理解。設有數(shù)列=1+，不難看出，當無限增大時，數(shù)列相應的值與1無限接近。如何刻畫數(shù)列與1無限地接近呢？當然就是通過的大小來實現(xiàn)了。自然越小就越近。另一方面， 變到什么時候，才夠得上無限大了呢？比如：要使得，就可以找到=100，當 100時，其后所有的項與1的距離都小于0.01（這就是說，大于100的n就夠大了）；要使得，可以找到N=1000，當1000（大于1000的n就夠大了），其以后所有的項與1的距離都小于0.001。更一般地，要使成立（與1的距離比還要?。簿褪?，所以只要就可以

23、了，所以，存在自然數(shù)，當時（這時n就達到無限大的要求了），總有。于是，按分析定義有例5 觀察以下數(shù)列的變化趨勢，確定它們的斂散性，對收斂數(shù)列，寫出其極限.。（1）= （2） （3）解（1）=即通項與之間的距離=，當自變量無限增大時，無限接近于，即相應的項無限趨近于，故數(shù)列收斂 ，且=；（2） 即通項與之間的距離=，當自變量無限增大時，無限接近于，即相應項無限趨近于，故數(shù)列收斂 ，且=；（3）即，,當為奇數(shù)時， =，當為偶數(shù)時， = ，即當無限增大時，奇數(shù)項等于1，而偶數(shù)項等于，沒有一個固定的終極趨勢，因此該數(shù)列發(fā)散。3 數(shù)列極限的幾何解釋：（1）數(shù)軸上的解釋：若，那么對于任意給定的正數(shù)，總存在

24、一個自然數(shù)，使得數(shù)列中第+1項以后所有項所表示的點，即都落在點A的-鄰域內(nèi)(外面的項最多只有N項)。除有限項外，所有項都在這個區(qū)間內(nèi)。.圖 1-11也就是說，若，那么數(shù)列對應的點非常密集地“堆積”在點A的周圍。(如圖1-11)（2）直角坐標平面上的解釋：若，那么對于任意給定的正數(shù)，總存在一個自然數(shù)，使得數(shù)列中第+1項以后的所有項所表示的點，即 都落在直線與之間。(如圖1-12)圖 1-12三、數(shù)列極限的性質定理1（有界性）若數(shù)列收斂，則一定存在，使得對任意的，有。即收斂數(shù)列必有界。這是數(shù)列收斂的必要條件，如果已知一個數(shù)列無界，則它一定不收斂。比如：是無界數(shù)列，所以它是發(fā)散的。反之不一定成立，即

25、數(shù)列有界，它不一定收斂。 比如：數(shù)列1，0，1，0，1，0，有界，但它無極限。定理2（唯一性）若數(shù)列收斂，則其極限值唯一。也就是，如果 則A = B。定理3（保號性）設 且，則一定存在自然數(shù)，當時，有不等式 恒成立。注：這些性質在此不證明，因為要證明它就要用到“”語言。但在以后學習中經(jīng)常要用到。公理 單調有界數(shù)列必有極限。有時也可以敘述為：單調遞增有上界（或單調遞減有下界）數(shù)列必有極限。注意，單調有界只是數(shù)列收斂的充分條件，其中有界是必要的，單調并非必要條件。如數(shù)列收斂，但不單調。后面將要介紹一個重要極限 ，該極限的存在性證明就要用此公理。定理4（極限的四則運算）設為常數(shù)，則1 2 3） 4）

26、 （）特別提醒：四則運算法則的應用，是有前提的其一，參與運算的每一項必須存在極限；否則就會出現(xiàn)類似于的推理錯誤。其二，參與運算的項數(shù)必須有限。否則就會出現(xiàn)類似于 的計算錯誤。其三，分母極限不能為零（即）當然如果兩個數(shù)列都不收斂，它們的和、差、積、商有可能存在極限。比如：當時都沒有極限，但它們的和的極限為0。再比如：是發(fā)散的，但是收斂的。例6 求 （為常數(shù)）解 因為 所以，。例7 求。解 上面已經(jīng)提到，此題就不能直接用四則運算和差的法則，注意到 所以=例8 求解 此題也不能直接用性質或運算法則,要進行拆項處理，因為 所以有=例9 求解 因為，它是未定型，所以不能直接用商的運算法則進行計算，若用同

27、除分子分母，則有 =例10 求解 這是“”未定型，不能用差的運算法則，像這樣含有根式的求極限，通常情況下是用分子有理化的方法。 = = =總結：通過以上幾個例題就可以看出，計算數(shù)列的極限沒有固定的方法，要根據(jù)題目本身的特點，相應找到解決它的辦法。這里不僅要掌握極限的基本概念和性質，同時還需要一定的技巧。在以后函數(shù)的極限中還會繼續(xù)介紹它的技巧和方法。第三節(jié) 函數(shù)極限數(shù)列作為定義在自然數(shù)集上的函數(shù)，我們討論了它的極限，即自變量無限增大時，相應的函數(shù)值（即相應項的值）的變化趨勢；因為數(shù)列中的自變量是離散變量，對于函數(shù)中連續(xù)的自變量而言，我們是否同樣可以討論當自變量連續(xù)趨近某個數(shù)值時，函數(shù)的變化情況呢

28、？這就是我們這節(jié)要講的內(nèi)容。一、自變量趨于無窮時的極限 1 +時的極限為了和數(shù)列的極限相對應，我們先給出自變量趨于正無窮時極限定義。定義1 若存在常數(shù)0，函數(shù)在時有定義，當自變量沿x軸正方向無限遠離原點時，相應的函數(shù)值無限趨近于常數(shù)，則稱函數(shù)當趨向正無窮大時以為極限，記作= A 或。例如： ， =1， =，這個概念描述的是當自變量朝正無窮遠方向變化時，相應的函數(shù)值趨近于某個常數(shù)的變化趨勢。當然，不是所有的函數(shù)都有這種性質，比如函數(shù)=+1，可以看到，當自變量朝正無窮遠方向變化時（即+），相應的函數(shù)值=+1也隨之無限增大，不會趨于任何常數(shù)，因此這個函數(shù)在趨于正無窮大時沒有極限。2 時的極限定義2

29、若存在常數(shù)0，函數(shù)在0，函數(shù)在時有定義，當自變量無限遠離原點時，相應的函數(shù)值無限趨近于常數(shù)，則稱函數(shù)當趨向無窮大時以為極限，記作=A或。例如 =1， 而。前面介紹了自變量以三種個不同的方式無限遠離原點時的函數(shù)極限，它們之間有何關系呢？定理1 =的充分必要條件是：=的幾何解釋：在平面上，對于任給的兩條直線與（其中0），可找到兩條直線x = M和x = -M，使得這兩條直線外側的函數(shù)曲線y =完全落在與兩條直線之間。(如圖1-13)圖 1-13讀者可自己給出的幾何解釋。以上都是描述性的定義，同樣可以給出數(shù)學邏輯語言的定義，供讀者參照。我們僅以為例，其它情況可以仿照給出。定義 設函數(shù)在上有定義，如果

30、，總存在，當時，恒有 成立。則稱函數(shù)當時以A為極限，記為 。y二、自變量趨于有限值時函數(shù)的極限12x圖 1-14在引入概念之，我們前先看一個例子。設函數(shù) 函數(shù)的定義域是 ，也就是說在這點沒有定義。但我們關心的是，當自變量從1的附近無限地趨近于1時，相應的函數(shù)值的變化情況，它的終極結果是什么？其實，當x無限趨近于1時，相應函數(shù)值就無限趨近2（如圖 1-14所示）。這時稱當時以2為極限。為此我們可以給出函數(shù)在某定點的極限的定義。定義4 設函數(shù)在的某一去心鄰域內(nèi)有定義，當在內(nèi)無限趨近時，相應的函數(shù)值無限趨近于常數(shù)，則稱當時以A為極限，記作 或 。值得注意的是：1）描述的是當自變量無限接近時，相應的函

31、數(shù)值無限趨近于常數(shù)的一種變化趨勢，與函數(shù)在點是否有定義無關。2）在無限趨近的過程中，既可以從大于的方向趨近，也可以從小于的方向趨近于，整個過程沒有任何方向限制。3）當自變量與無限接近時，相應的函數(shù)值無限趨近于常數(shù)的意義是：當進入的充分小的去心鄰域內(nèi)，可以小于任意給定的正數(shù)，即對于任意給定的，總可以找到一個，當時，都有。下面我們給出數(shù)學上嚴格的定義，定義（“”語言）設函數(shù)在的某一去心鄰域內(nèi)有定義，對，總存在，當時， 有 恒成立.則稱當時以A為極限，記作 或 。例1 對R，討論解 對，又當0時，故有，所以有顯然當，即無限趨近于,因此 =同樣地有：R，=，(為常數(shù))，。的幾何意義：對任意正數(shù)，在平面

32、上，作兩條直線與。總可找到另外兩條直線和，使得在這兩條直線之間的曲線完全落在兩條水平直線之間（如下圖所示）。圖 1-12有時我們在考察函數(shù)時只考慮在點左鄰域（或它的右鄰域內(nèi)）有定義的情況，為此我們給出函數(shù)當從的左側無限接近于和從的右側無限接近于時的極限定義。定義5 設函數(shù)在的某個右半鄰域（或左半鄰域）內(nèi)有定義，當對（或對）與無限接近時，相應的函數(shù)值無限趨近于常數(shù)，則稱函數(shù)在點存在右（或左）極限，記作（或）?；蛴洖?。這時稱A為在的右極限（或左極限）的值。定理2 的充分必要條件是：并且。例2 討論函數(shù) 在的極限的存在性。解 函數(shù)在點的內(nèi)有定義，當從的右側趨于時，相應的函數(shù)值無限趨近于1，即；當從

33、的左側趨于時，相應的函數(shù)值無限趨近于1，即，有，所以。而對于函數(shù)，容易知道，所以不存在。五、函數(shù)極限的性質性質1（唯一性）若，則=。性質2（局部有界性）若，則存在去心鄰域和，使得，有。性質3（保號性）若，且，則存在，使得，有。推論1若在某個鄰域內(nèi)，有，且，則（或）性質4（四則運算法則）若, 則 1）2）3） （注意：1 以上性質我們只以方式給出，它對任何其它方式，如：都成立。2 性質4結論成立的前提要求和數(shù)列極限相同，函數(shù)與的極限必須存在；參與運算的項數(shù)必須有限；分母極限必須不為零等等，否則結論不成立。如這個做法是錯誤的，因為在時，函數(shù)沒有極限。推論1 若，c為常數(shù)，則。推論2 若，則。如，。

34、特別提醒：推論2不對n取極限，在這個式子里n是常數(shù)。定理3 設函數(shù)是由函數(shù)復合而成，如果，且在的一個鄰域內(nèi)（除外），又，則。如，則。例3 設多項式函數(shù)，其中，證明。證明： =+ +=。例1說明當時多項式函數(shù)的極限就等于這個函數(shù)在的函數(shù)值。例4 求解 =22例5 設函數(shù)，其中表示次多項式函數(shù)，表示多項式函數(shù)，且0，證明。證明 由性質4及例1有。例6 求解 首先看分母的極限 =，所以同由上例知=例7 解 首先看分母的極限，所以不能運用商的極限的運算法則，再看看分子的極限，這種兩個無窮小量之比的極限通常稱為未定型，記為“”型，由于分子、分母在的函數(shù)值都為，說明分子、分母都含有因式。注意到，函數(shù)在一點

35、的極限值與函數(shù)在這一點的函數(shù)值無關，對本例來說，在整個變化過程中，x始終不等于1。因此，可先消去分子分母同為零的因式，然后，再運用極限的運算法則進行計算。=,例8 求。解 當時分子、分母都是無窮大量，我們不能運用商的極限的運算法則，這種兩個無窮大量之比的極限，也稱為不定式，記為：“”型，對這種形式的極限，首先將分子分母的的最高次冪提出，再進行運算。=一般地，有如下結論例9 求（為正整數(shù)）。解 =因為 1) 當時，=；2) 時, =3) 時, =綜上所述，當 為正整數(shù)時，例10 求解 這是“”型，先分子有理化，再進行運算.=.例11 設函數(shù)，當b取什么值時，存在？解 函數(shù)在點左、右兩側的表達式不

36、同，而求時的極限，要考察從的兩側趨于時相應的函數(shù)值的變化情況，因此要分別求在這點的左(右)極限：=， ，因為存在充分必要條件是=所以當時, 存在。 由以上例題，我們可以得出求函數(shù)極限一般方法。在求極限的過程中，分母的極限不能為零, 若為零則想辦法去掉使分母為零的因式；有根式的要設法有理化。要注意的是,是表示無限地接近于，但永遠不等于。還有很多求極限的方法和技巧在以后課程中會有介紹。第四節(jié) 無窮小量與無窮大量一、無窮小量定義1 若, 則稱當時是無窮小量(或無窮小)。注意：1) 同一個函數(shù)，在不同的趨向下，可能是無窮小量，也可能不是無窮小量。如 對于，在時的極限為，所以在時是一個無窮小量；當時的極

37、限為 1，因而當時不是一個無窮小量。所以稱一個函數(shù)為無窮小量，一定要明確指出其自變量的趨向。2) 無窮小量不是一個量的概念，不能把它看作一個很小很小的（常）量，它是一個變化過程中的變量，最終在自變量的某一趨向下，函數(shù)以零為極限。3) 特別地，零本身看作無窮小量。4) 此定義中可以將自變量的趨向換成其它任何一種情形（,，或+），結論同樣成立。以后不再說明。例1 指出自變量在怎樣的趨向下，下列函數(shù)為無窮小量。（1）； （2）； （3）。解（1）因為，所以當時，函數(shù)是一個無窮小量；（2）因為與，所以當時函數(shù)都是無窮小量；（3）對于，因為，所以當時，為一個無窮小量；而對于, 因為，所以當+時，為一個無

38、窮小量。函數(shù)的極限與無窮小量之間具有密切的關系：若，即當時，相應的函數(shù)值無限趨近于常數(shù)，也即當時，相應的函數(shù)值無限趨近于常數(shù)，即 =，若令()= ，則當時, 相應的函數(shù)值無限趨近于常數(shù)。所以有()（當時()是一個無窮小量）；反之，若函數(shù)可以表示為（當時,(x)是一個無窮小量），易知，當時，相應的函數(shù)值無限趨近于常數(shù)，即相應的函數(shù)值無限趨近于常數(shù)，故有。定理1 的充分必要條件是：，其中，當時(x)是一個無窮小量。無窮小量具有以下性質：定理2 若 為常數(shù), 則：1) (常數(shù)與無窮小的乘積仍為無窮小)2) (簡稱無窮小的和差仍為無窮小)3) 在內(nèi)是有界函數(shù)，則（簡稱無窮小量與有界變量的乘積仍為無窮小

39、）4) （兩個無窮小的乘積仍為無窮?。┩普? 有限個無窮小量的和（差）仍為無窮小量。推論2 有限個無窮小量的積是無窮小量。注意：無窮多個無窮小量之和不一定是無窮小量。如當都是無窮小量，但=。兩個無窮小量的商不一定是無窮小量。比如：當0時，與2都是無窮小量，但，所以當時不是無窮小量。有界函數(shù)與無窮小量的乘積仍為無窮小。如當，函數(shù)是無窮小量，而函數(shù)，都是有界函數(shù)，根據(jù)定理2知： =。二、無窮大量圖 1-15考察當時，函數(shù)的變化情況。在自變量無限接近于時，函數(shù)值的絕對值無限增大，也就是對于任意給定的正數(shù)，總存在一個正數(shù)，當時，恒有。定義2 設函數(shù)在點的去心鄰域內(nèi)有定義，當自變量無限地趨近于時，相應的

40、函數(shù)絕對值無限增大，則稱函數(shù)在趨近于時為一個無窮大量。若相應的函數(shù)值（或 ）無限增大，則稱函數(shù)在趨近于時為一個正(或負)無窮大量。分別記為=，=+，等。易知。無窮大量描述的是一個函數(shù)在自變量的某一趨向下，相應的函數(shù)值的變化趨勢，即無限增大。同一個函數(shù)在自變量的不同趨向下，相應的函數(shù)值有不同的變化趨勢。如對函數(shù)，當時，它為無窮大量，；當1時，它以為極限。因此稱一個函數(shù)為無窮大量時，必須明確指出其自變量的變化趨向，否則毫無意義。注意：1 無窮大量也不是一個量的概念，它是一個變化的過程。反映了自變量在某個趨近過程中，函數(shù)的絕對值無限地增大的一種趨勢。2 無窮大量與無界函數(shù)的區(qū)別：一個無窮大量一定是一

41、個無界函數(shù)，但一個無界函數(shù)不一定是一個無窮大量。無窮大量與無窮小量之間的關系：定理3 1）若，且對，則；2）若=，則。定理4 （）且=，則=。證明 由（），根據(jù)定理知。由，根據(jù)定理4知，由定理2，有，所以=。例2 指出自變量在怎樣的趨向下，下列函數(shù)為無窮大量。（1）； （2）解（1）因為,根據(jù)無窮小量與無窮大量之間的關系有；（2）若,因為當時，；當,所以當時，函數(shù)為正無窮大量，當 函數(shù)為負無窮大量。若，因為當時，；當所以當時，函數(shù)為負無窮大量，當 函數(shù)為正無窮大量。第五節(jié) 兩個重要極限在極限理論中，有兩個重要極限1） ， 2） 本節(jié)主要討論它們的存在性及其基本應用。一、收斂準則I（夾逼定理）設

42、在點的去心鄰域內(nèi)有定義，且滿足：1） 對 有2） 則 說明：上述準則僅以類型的極限給出，對于其他各種類型的極限，本定理仍然成立。特別，當定理中的三個函數(shù)換成三個數(shù)列時，定理也成立。下面運用準則I證明兩個重要極限的存在性。二、兩個重要極限 極限 I =1。證明 因為函數(shù)是偶函數(shù)，圖 1-16所以只證明=1的情形。先考慮的情形。如圖，在單位圓中，的面積 扇形的面積 的面積，所以有 ,從而有，,又 =1，所以 =1，根據(jù) 夾逼定理，有，當，令，則，并且，所以， 綜上述有 。這個極限在形式上的特點是：（1）它是“”型；（2）自變量應與函數(shù)的一致。這個極限的一般形式為：=1。例1 求。解 令，則，當時，

43、有=注意：函數(shù)通過變量替換成為，極限中的同時要變?yōu)?。有時可以直接計算，例2 求（解 =例3 求解 雖然這是“”型的，但不是，因此不能直接運用這個重要極限。令，則，而，因此，=1例4 求解 例5 求 (為非零常數(shù))解 =極限II 首先證明數(shù)列存在極限。令，用二項展開式展開，得 ， （1）于是， 注意到， （），并且比多一項，所以，即是單調遞增數(shù)列。另一方面，由（1）式得所以，是單調有界數(shù)列。于是，存在。由于極限值是一個無理數(shù)，我們記它為： 再證明 當時，令（即所包含的最大的整數(shù)），則，于是 ，且,又 ,另外，由夾逼定理 當時，令，并且，于是，所以， 故 在（2）式中，令，則時，可得到重要極限的另

44、一種形式： 重要極限II的一般形式為: ， 例6 求解 例7 求解法1 令則；當時，解法2 這個結論也可以作為公式來用。例8 求解法1 =,令，則；當時，解法2 =注，在以后的解題中常常用此方法更為簡便。例9 證明證明 例10 證明證明 令則；當時，注：例10、例11可作為公式使用。例11 求解 ，令，則當時，。第六節(jié) 函數(shù)的連續(xù)性一、連續(xù)函數(shù)的概念在自然界中有許多現(xiàn)象都是連續(xù)不斷地變化的，如氣溫隨著時間的變化而連續(xù)變化；又如金屬軸的長度隨氣溫有極微小的改變也是連續(xù)變化的等等。這些現(xiàn)象反映在數(shù)量關系上就是我們所說的連續(xù)性。函數(shù)的連續(xù)性反映在幾何上就是看作一條不間斷的曲線；下面給出連續(xù)函數(shù)的概念

45、。定義1 若自變量從初值變?yōu)榻K值時，差值稱為自變量的增量（通常稱為改變量），記為，增量可正可負。設函數(shù)，當自變量在點有一個改變量時，相應函數(shù)的值從變?yōu)椋瑒t稱為函數(shù)的增量（或改變量），記作，或通常使用改變量時，用下列形式：若=，則=，=或= 定義2 設函數(shù)在的某一個鄰域內(nèi)有定義，若 （或）則稱函數(shù)在點處連續(xù).由于 =可得到函數(shù)在點處連續(xù)的下列等價定義：定義3設函數(shù)在的某一個鄰域內(nèi)有定義，若=，則稱函數(shù)在點處連續(xù)。由定義可知，一個函數(shù)在點連續(xù)必須滿足下列三個條件（通常稱為三要素）：（1）函數(shù)在的一個鄰域有定義，即有確定的函數(shù)值。（2），即有極限（3）=注意：1 函數(shù)在點有極限并不要求其在點有定義，

46、而函數(shù)在點連續(xù)，則要求其在點本身和它的鄰域內(nèi)有定義。2 如果三個條件有一個不滿足，則函數(shù)在點不連續(xù)。用“”語言描述，就得到以下定義。定義4 設函數(shù)在點的鄰域內(nèi)有定義，對 總 當時，有成立，則稱函數(shù)在點連續(xù)。相應于函數(shù)在點處的左、右極限的概念，可以給出函數(shù)在點左（右）連續(xù)的定義。定義5 設函數(shù)在點點左鄰域（或右鄰域）內(nèi)有定義，若 即） 或 （即）則稱函數(shù)在點處左（右）連續(xù)。定理1 函數(shù)在點處連續(xù)的充分必要條件是：函數(shù)在點處左連續(xù)且右連續(xù)。即定義6 若函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)每一點都連續(xù)，則稱函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)連續(xù)。若函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)連續(xù)，且在點右連續(xù)，在點左連續(xù)，則稱函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)。若函數(shù)在它的定義域內(nèi)每一

47、點都連續(xù)，則稱為連續(xù)函數(shù)。例1 證明函數(shù)在處連續(xù)。證明 因為=，=，,故有=，所以函數(shù)在1處連續(xù)。例2 證明函數(shù) 在處連續(xù)。證明 因為=，,有=，所以函數(shù)在處連續(xù)。例3 證明函數(shù)在處不連續(xù)。證明 因為=， =, 所以不存在,故函數(shù)在1處不連續(xù)。注意：對于討論分段函數(shù)在分段點處連續(xù)性問題，如果函數(shù)在左、右兩邊的表達式相同，則直接計算函數(shù)在處的極限，如果函數(shù)在左、右兩邊的表達式不相同，則要分別計算函數(shù)在處的左、右極限，再確定函數(shù)在處的極限。二、連續(xù)函數(shù)的運算性質定理2（四則運算）設函數(shù)與在處連續(xù)，則1） 在處連續(xù)；2） 當時，在處連續(xù)。根據(jù)函數(shù)連續(xù)的定義及函數(shù)的和差積商的極限運算法則，可給出上述定

48、理的證明。證明：就乘積的情形加以證明，已知=，=，則=，即函數(shù)在處連續(xù)。其它情形讀者作為練習自行完成。定理3 若函數(shù)在處連續(xù)， ，函數(shù)在處連續(xù)，則復合函數(shù)在處連續(xù)。如在處連續(xù),在處連續(xù),則復合函數(shù)在處連續(xù)。定理4 若函數(shù)在某區(qū)間上嚴格單調且連續(xù)，則其反函數(shù)在相應的區(qū)間上也嚴格單調且連續(xù)。定理5 若，則=。事實上，由于當函數(shù)的極限與在處有無定義無關，因此不管函數(shù)在處的值是不是，可通過重新定義，使得函數(shù)在處連續(xù)，通過同樣的方法，定義，也可使數(shù)在處連續(xù)，根據(jù)定理4，復合函數(shù)在處連續(xù)，即=A當換成其它的趨向時，這個定理也成立；以下相同。推論1 若函數(shù)在處連續(xù)，則 .例4 求解 因為函數(shù)是由與復合而成的

49、，又在處連續(xù)，所以=.例5 。解 是由與復合而成，因為=，在處連續(xù)，所以=）=。三、初等函數(shù)的連續(xù)性結論:基本初等函數(shù)、初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)。注意：1）基本初等函數(shù)、初等函數(shù)在其定義域內(nèi)不一定連續(xù)。比如：曲線在處是斷開的。函數(shù)的定義域本身都是分離的，怎么談得上在定義域內(nèi)連續(xù)呢？ 2）說函數(shù)在某點連續(xù)，一定是在該點的鄰域內(nèi)討論的，在孤立的點不存在連續(xù)的概念。如 3）分段函數(shù)不一定是初等函數(shù). 例6 已知，求。解 當時在處連續(xù)，所以=解7 求解 當時，分母、分子的極限都為零，此極限為型，要設法消去為零因式，首先分子有理化。=。四、間斷點定義7 設函數(shù)在點的某一去心鄰域內(nèi)有定義，在可有定義也可無定義，若函數(shù)在點處不連續(xù)，則稱點是函數(shù)一個間斷點或不連續(xù)點。由函數(shù)在點連續(xù)的定義可知，函數(shù)在點處不連續(xù)應至少有下列三種情形之一：（1）在點無定義；（2）不存在；（3）。下面以具體的例子說明函數(shù)間斷點的類型。例8 設函數(shù)，討論在點處的連續(xù)性。解 雖然，但， ，即在 處左、右極限存在，但不相等，故不存在，函數(shù)在點處是間斷的。見圖 1-17，圖 1-18圖 1-17這種類型的間斷點稱為跳躍間斷點。例9 設函數(shù)，討論在點處的連續(xù)性。解 函數(shù)在無定義，是函數(shù)的間斷點，又，稱這類間斷點為無窮間斷點。例10 設函數(shù)，討論在點處的連續(xù)性。解 函數(shù)在無定義，是函