近世代數(shù)課程總結(jié)

1、近世代數(shù)基礎(chǔ)學(xué)習(xí)報(bào)告現(xiàn)代數(shù)學(xué)現(xiàn)代數(shù)學(xué)的主要研究方向?yàn)榻Y(jié)構(gòu)數(shù)學(xué),結(jié)構(gòu)反映事物構(gòu)成部分之間的關(guān)系，部分與整體的關(guān)系,或幾種事物間的相互組成聯(lián)系?，F(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)是集合，在集合上附加代數(shù)結(jié)構(gòu)、分析結(jié)構(gòu)和拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)或集合結(jié)構(gòu)得到數(shù)學(xué)的各種分支。本門課程的主要學(xué)習(xí)內(nèi)容就是以集合理論為基礎(chǔ)而逐步展開的。群論是在集合上賦予運(yùn)算法則，形成群、環(huán)、域等基本的運(yùn)算系統(tǒng)；流形同樣是在集合上賦予相應(yīng)的結(jié)構(gòu)而形成具有獨(dú)特性質(zhì)的數(shù)學(xué)研究對(duì)象。這些抽象的理論往往會(huì)在實(shí)際系統(tǒng)中得到應(yīng)用，用集合的思想去解決問題往往會(huì)提升效率。一 抽象代數(shù)1.1 群定義群是特殊的集合，它是一個(gè)包含了二元運(yùn)算法則并滿足一定條件的集合。一般說來，群是指

2、對(duì)于某種運(yùn)算法則滿足以下四個(gè)條件的集合：(1) 封閉性：若，則存在唯一確定的使得；(2) 結(jié)合律成立：任意，有；(3) 單位元存在：存在對(duì)任意，滿足；(4) 逆元存在：對(duì)任意，存在唯一確定的使得； 若群還滿足交換律，則成為交換群或者阿貝爾群。若群中元素個(gè)數(shù)有限，則為有限群；否則稱為無限群。有限群的元素個(gè)數(shù)稱為有限群的階。子群對(duì)于群，若集合對(duì)于群上定義的二元運(yùn)算構(gòu)成一個(gè)群，則稱是的子群，記做。小結(jié)在群論的研究中，我們需要關(guān)心的是個(gè)元素之間的運(yùn)算關(guān)系，即群的結(jié)構(gòu)，而不用去管某個(gè)元素的具體含義是什么。1.2 環(huán)當(dāng)在一個(gè)集合上附加兩種代數(shù)運(yùn)算，而這兩種運(yùn)算是有機(jī)集合，可得到所謂的環(huán)。定義設(shè)是一個(gè)非空集

3、合，其上定義了兩種二元運(yùn)算，通常表示為加法+和乘法，若(1) 是交換群 (2) 是半群 (3) 乘法對(duì)加法滿足分配律則稱為一個(gè)環(huán)。環(huán)也是一種群。子環(huán)環(huán)的一個(gè)非空子集，若對(duì)于的兩種運(yùn)算構(gòu)成一個(gè)環(huán)，則稱為的子環(huán)。整環(huán)設(shè)為含單位的環(huán)，且。若為沒有零因子的交換環(huán)，則稱為整環(huán)。1.3 域域也是一種環(huán)，要求要滿足交換律，除了有+的單位元還要有的單位元(二者不等)，除了+的單位元外其他元素都有的逆元。1.4 群的應(yīng)用群是刻畫事物對(duì)稱性的有效工具，比如圖形的對(duì)稱、函數(shù)的對(duì)稱等。二 微分幾何微分幾何學(xué)是運(yùn)用數(shù)學(xué)分析的理論研究曲線或曲面上一點(diǎn)的鄰域的性質(zhì)，即研究一般曲線或曲面在小范圍上的性質(zhì)。它主要包含曲線論和曲

4、面論。曲線論主要就是Frenet公式，曲面論主要是從曲面上曲線的弧長(zhǎng)公式推出曲面的第一基本形式（等距變換，保角變換，內(nèi)蘊(yùn)量的性質(zhì)），從曲面與切平面間的有向距離推出第二基本形式，而曲率的推導(dǎo)順序是：曲面上曲線的曲率、法曲率、主曲率、高斯曲率和平均曲率。微分幾何有兩個(gè)十分重要的基礎(chǔ)：坐標(biāo)變換和求導(dǎo)的技巧。在學(xué)習(xí)微分幾何之前需要熟練運(yùn)用這兩個(gè)部分。標(biāo)架標(biāo)架，這一概念在張量分析的學(xué)習(xí)中曾經(jīng)涉及到。張量可以看作一個(gè)實(shí)體（幾何體，幾何量），這個(gè)實(shí)體由這組分量和分量所對(duì)應(yīng)的基共同構(gòu)成。通常說的張量是不依賴于坐標(biāo)系的，而觀察者和標(biāo)架是等同的。用一個(gè)坐標(biāo)系來充當(dāng)觀察者，再配上時(shí)間坐標(biāo)，標(biāo)架成為四維的。坐標(biāo)系和標(biāo)

5、架（或者觀察者）是不同的，同一個(gè)標(biāo)架下可以觀察到多個(gè)“坐標(biāo)系”。測(cè)地線曲面上測(cè)地曲率恒等于零的曲線，稱為測(cè)地線。平面上的測(cè)地線就是直線；測(cè)地線的概念就是平面上直線的概念在曲面上的推廣。曲面上的曲線，當(dāng)且僅當(dāng)它是直線或者它的主法向量處處是曲線的法向量時(shí)，它才是測(cè)地線。旋轉(zhuǎn)面上的經(jīng)線是測(cè)地線，球面上的大圓周是測(cè)地線。距離最短的曲線在相對(duì)論中的專業(yè)術(shù)語是測(cè)地線，事實(shí)上，相應(yīng)于速度小于C、等于c、大于c 的三種測(cè)地線分別稱為類時(shí)測(cè)地線，類光測(cè)地線和類空測(cè)地線。三 微分流形3.1微分流形的數(shù)學(xué)定義n 維流形就是一個(gè)Hausdorff 空間，它的每一點(diǎn)有開鄰域與n 維歐式空間的開集同胚。微分流形是一類重要

6、的拓?fù)淇臻g，它除了具有通常的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)外，還添加上了微分結(jié)構(gòu)，因而可以應(yīng)用微積分學(xué)，從而就能建立一些微分幾何的性質(zhì)。3.2流形描述流形（Manifold），是局部具有歐幾里得空間性質(zhì)的空間。流形在數(shù)學(xué)中用于描述幾何形體，它們提供了研究可微性的自然的舞臺(tái)。物理上，經(jīng)典力學(xué)的相空間和構(gòu)造廣義相對(duì)論的時(shí)空模型的四維偽黎曼流形都是流形的實(shí)例。3.3 流形的應(yīng)用可以把經(jīng)典數(shù)學(xué)分析中的幾個(gè)著名公式，如格林公式、高斯公式、斯托克司公式等在高維的流形上，利用外微分，統(tǒng)一為一個(gè)形式?？臻g最最本質(zhì)的東西就是有關(guān)測(cè)度的概念。測(cè)度不同，導(dǎo)致空間定義，空間結(jié)構(gòu)和形式的不同。歐氏空間和黎曼空間的區(qū)別也在于此，有了測(cè)度的概念，任何空間的構(gòu)型就可以被決定，對(duì)空間的研究也就不