適合所有學(xué)校必考的自控重點(diǎn)

1、例1. 已知系統(tǒng)特征方程如下。試用勞斯判據(jù)確定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。1. 2. 3. 4. 解:1. 由系統(tǒng)特征方程列寫勞斯表由勞斯表可知，第一列元符號(hào)全部為正，所以系統(tǒng)穩(wěn)定，系統(tǒng)特征根均位于左半平面。2. 由系統(tǒng)特征方程列寫勞斯表由勞斯表可知，第一列元符號(hào)變化兩次，所以系統(tǒng)不穩(wěn)定，且有兩個(gè)根在右半平面；而勞斯表中無全為零的行，故無虛軸上的根；因特征方程為4階，所以有2個(gè)根在左半平面。3. 由系統(tǒng)特征方程列寫勞斯表因是一個(gè)很小的正數(shù)，所以，勞斯表第一列元符號(hào)變化兩次，所以系統(tǒng)不穩(wěn)定，且有兩個(gè)根在右半平面；而勞斯表中無全為零的行，故無虛軸上的根；因特征方程為4階，所以有2個(gè)根在左半平面。4. 由系統(tǒng)特征

2、方程列寫勞斯表勞斯表的行的元素全為0，所以系統(tǒng)不穩(wěn)定，有對(duì)稱于原點(diǎn)的根。以該行的上一行構(gòu)造輔助方程，并對(duì)輔助方程求一階導(dǎo)數(shù)，用所得導(dǎo)數(shù)方程的系數(shù)繼續(xù)勞斯表的計(jì)算。求解輔助方程 解得 ，因?yàn)閯谒贡淼谝涣性胤?hào)變化兩次，所以系統(tǒng)有兩個(gè)根在右半平面；由輔助方程有兩個(gè)根在虛軸上；因特征多項(xiàng)式為6階，故有兩個(gè)根在左半平面?？键c(diǎn)2 利用奈氏判據(jù)判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性。例2. 單位反饋的二階系統(tǒng)，其單位階躍輸入下的系統(tǒng)響應(yīng)如圖所示。要求：1. 確定系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)。2. 求出系統(tǒng)在單位斜坡輸入信號(hào)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差。解：1. 由圖所示系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線，知系統(tǒng)的超調(diào)量及峰值時(shí)間分別為，。由超調(diào)量及峰值時(shí)間的計(jì)

3、算公式，有解得，rad/s。故系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為2. 單位斜坡輸入信號(hào)，即。因二階系統(tǒng)穩(wěn)定，故有系統(tǒng)的速度靜態(tài)誤差系數(shù)為作用下系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。例3 已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為1. 繪制系統(tǒng)的根軌跡圖。2. 為使系統(tǒng)的階躍響應(yīng)呈現(xiàn)衰減振蕩形式，試確定的取值范圍。解:1. 繪制系統(tǒng)的根軌跡。系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為其中。 系統(tǒng)有三個(gè)開環(huán)極點(diǎn)：，沒有開環(huán)零點(diǎn)。將開環(huán)零、極點(diǎn)標(biāo)在平面上。 根軌跡的分支數(shù)。特征方程為三階，故有三條根軌跡分支。3條根軌跡分支分別起始于開環(huán)極點(diǎn)，終止于開環(huán)無限零點(diǎn)。 實(shí)軸上的根軌跡。實(shí)軸上的根軌跡區(qū)段為,和 漸近線的位置與方向。漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)漸近線與正實(shí)軸的夾角 分離點(diǎn)和分

4、離角。根據(jù)分離點(diǎn)公式解得，（舍去）。不在時(shí)的根軌跡上，故應(yīng)舍去。分離角 。 與虛軸的交點(diǎn)。將代入系統(tǒng)閉環(huán)特征方程實(shí)部、虛部為零解得，即。根據(jù)以上所計(jì)算根軌跡參數(shù)，繪制根軌跡如圖所示。2. 確定的取值范圍。與分離點(diǎn)相應(yīng)的可由模值條件求得由如圖可知，使系統(tǒng)的階躍響應(yīng)呈現(xiàn)衰減振蕩形式的的取值范圍為。例4已知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 （1）畫出系統(tǒng)的根軌跡；  （2）確定系統(tǒng)呈阻尼振蕩瞬態(tài)響應(yīng)的 值范圍； （3）求產(chǎn)生持續(xù)等幅振蕩時(shí)的值和振蕩頻率； （4）求閉環(huán)主導(dǎo)復(fù)數(shù)極點(diǎn)具有阻尼比為時(shí)的值和閉環(huán)極點(diǎn)。解：（1）畫根軌跡該系統(tǒng)有三條根軌跡，開環(huán)極點(diǎn)為 。 于是，漸近線與實(shí)軸交點(diǎn)

5、為 。求漸近線 當(dāng)  時(shí)， 。當(dāng)  時(shí)， 。求分離點(diǎn)：由開環(huán)傳遞函數(shù)知，代入方程 有，不在根軌跡上，舍去。 是分離點(diǎn)，分離角為。根據(jù)幅值條件可求出分離點(diǎn)處的增益根軌跡與虛軸的交點(diǎn) 特征方程為勞斯表為當(dāng) 時(shí)，輔助方程為 解得        根軌跡如圖所示。（2）當(dāng) 時(shí)，系統(tǒng)閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)為一對(duì)共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)，系統(tǒng)瞬態(tài)響 應(yīng)為欠阻尼狀態(tài)，階躍響應(yīng)呈阻尼振蕩形式。（3）當(dāng) 時(shí)，系統(tǒng)有一對(duì)共軛虛根，系統(tǒng)產(chǎn)生持續(xù)等幅振蕩，。   （4）阻尼角，解方程或由圖可知

6、阻尼角為的主導(dǎo)極點(diǎn)由于 ，因此閉環(huán)極點(diǎn)之和等于開環(huán)極點(diǎn)之和，另一個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)為根據(jù)幅值條件知w/(rad/s)03020540L(w)/dB0020-20-40-60100w1w3w40.1w2例5、某最小相位系統(tǒng)的開環(huán)bode圖如下，寫開環(huán)傳遞函數(shù)。解：例6.某單位反饋的最小相角系統(tǒng)，其開環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性如圖所示，要求求該系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)。例7. 單位負(fù)反饋?zhàn)钚∠辔幌到y(tǒng)校正前、后的開環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性如圖所示。1. 求串聯(lián)校正裝置的傳遞函數(shù)。2. 求串聯(lián)校正后，使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的開環(huán)增益的值。解:1. 求串聯(lián)校正裝置的傳遞函數(shù)。由圖知，校正前系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為式中可由低頻段求出校正后系統(tǒng)的開環(huán)傳遞

7、函數(shù)為由圖知，在時(shí)，開環(huán)對(duì)數(shù)幅值dB，即,故根據(jù)，則有2. 求串聯(lián)校正后，使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的開環(huán)增益的值。根據(jù)校正后系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)，其相頻特性為運(yùn)用三角公式并整理，得當(dāng)相角為時(shí)，有解得。此時(shí)幅值為即將開環(huán)增益增大倍，系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。根據(jù)頻率穩(wěn)定判據(jù)，當(dāng)即時(shí)，對(duì)數(shù)頻率特性曲線不穿越線，系統(tǒng)穩(wěn)定。例8. 已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為要求校正后系統(tǒng)的靜態(tài)速度誤差系數(shù)s1，相角裕度40º，截止頻率2.3rad/s，試設(shè)計(jì)串聯(lián)校正裝置。解：1. 確定開環(huán)增益。s12. 繪制s1時(shí)待校正系統(tǒng)的開環(huán)對(duì)數(shù)幅頻曲線如圖所示。由圖列寫直線方程rad/s可見待校正系統(tǒng)不穩(wěn)定，且截止頻率遠(yuǎn)大于期望值，故

8、選擇串聯(lián)滯后校正。3. 在待校正系統(tǒng)的頻率特性曲線上選擇頻率點(diǎn)，使其滿足并將其作為校正后系統(tǒng)的穿越頻率。rad/s4. 根據(jù)下述關(guān)系式確定遲后網(wǎng)絡(luò)參數(shù)和選 由圖6-5知即為 s5. 驗(yàn)算。rad/s>2.3rad/s全部性能指標(biāo)均已滿足。例9. 設(shè)開環(huán)離散系統(tǒng)如圖所示，試求開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)。（a）（b）圖7-4解：圖（a）：兩個(gè)環(huán)節(jié)間有采樣開關(guān)，因此有圖（b）：兩個(gè)環(huán)節(jié)間沒有采樣開關(guān)，因此有例10. 設(shè)有單位反饋誤差采樣系統(tǒng)，連續(xù)部分傳遞函數(shù)為輸入，采樣周期s。試求：（1）輸出變換；（2）輸出響應(yīng)的終值()。解：（1）開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為（2）輸出響應(yīng)的終值由閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)，系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為解得，故閉環(huán)極點(diǎn)均位于單位圓內(nèi)，系統(tǒng)穩(wěn)定。滿足終值定理應(yīng)用條件，故有() 例11、閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)采樣開關(guān)在離散閉環(huán)系統(tǒng)中有多種配置方式，求時(shí)，一般沒有像梅遜公式一樣的通用方法，需要根據(jù)閉環(huán)結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，用代數(shù)方法或結(jié)構(gòu)圖變換方法逐步導(dǎo)