考研高數(shù)一真題附答案

1、2008年考研數(shù)學(xué)一試題分析、詳解和評(píng)注一、選擇題：(本題共8小題，每小題4分，共32分. 每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi))（1）設(shè)函數(shù)，則的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為【 】(A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3【答案】應(yīng)選(B).【詳解】顯然在區(qū)間上連續(xù)，且，由零點(diǎn)定理，知至少有一個(gè)零點(diǎn)又，恒大于零，所以在上是單調(diào)遞增的又因?yàn)椋鶕?jù)其單調(diào)性可知，至多有一個(gè)零點(diǎn)故有且只有一個(gè)零點(diǎn)故應(yīng)選(B).（2）函數(shù)在點(diǎn)(0,1)處的梯度等于【 】(A) (B) . (C) . (D) . 【答案】 應(yīng)選(A).【詳解】因?yàn)樗裕谑?故應(yīng)選(A).（3）在下列

2、微分方程中，以（為任意的常數(shù)）為通解的是【 】(A) . (B) . (C) . (D) . 【答案】 應(yīng)選(D).【詳解】由，可知其特征根為，故對(duì)應(yīng)的特征值方程為所以所求微分方程為應(yīng)選(D).（4）設(shè)函數(shù)在內(nèi)單調(diào)有界，為數(shù)列，下列命題正確的是【 】(A) 若收斂，則收斂 (B) 若單調(diào)，則收斂 (C) 若收斂，則收斂. (D) 若單調(diào)，則收斂. 【答案】 應(yīng)選(B).【詳解】若單調(diào)，則由函數(shù)在內(nèi)單調(diào)有界知，若單調(diào)有界，因此若收斂故應(yīng)選(B).（5）設(shè)為階非零矩陣，為階單位矩陣若，則【 】 則下列結(jié)論正確的是：(A) 不可逆，則不可逆. (B) 不可逆，則可逆.(C) 可逆，則可逆. (D)

3、可逆，則不可逆. 【答案】應(yīng)選(C).【詳解】故應(yīng)選(C).，故，均可逆故應(yīng)選(C).（6）設(shè)為3階實(shí)對(duì)稱矩陣，如果二次曲面方程在正交變換下的標(biāo)準(zhǔn)方程的圖形如圖，則的正特征值個(gè)數(shù)為【 】(A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3. 【答案】 應(yīng)選(B).【詳解】此二次曲面為旋轉(zhuǎn)雙葉雙曲面，此曲面的標(biāo)準(zhǔn)方程為故的正特征值個(gè)數(shù)為1故應(yīng)選(B).（7） 設(shè)隨機(jī)變量獨(dú)立同分布且的分布函數(shù)為，則的分布函數(shù)為【 】(A) . (B) . (C) . (D) .【答案】應(yīng)選(A)【詳解】故應(yīng)選(A)（8）設(shè)隨機(jī)變量, , 且相關(guān)系數(shù)，則【 】(A) (B) (C) (D) 【答案】應(yīng)選 (D)【詳

4、解】用排除法設(shè)由，知，正相關(guān)，得排除（A）和（C）由，得，從而排除(B).故應(yīng)選 (D)二、填空題：(914小題，每小題4分，共24分. 把答案填在題中橫線上.)（9）微分方程滿足條件的解是 .【答案】 應(yīng)填【詳解】由，得兩邊積分，得代入條件，得所以（10）曲線在點(diǎn)的切線方程為 .【答案】 應(yīng)填【詳解】設(shè)，則，于是斜率故所求得切線方程為（11）已知冪級(jí)數(shù)在處收斂，在處發(fā)散，則冪級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?.【答案】 【詳解】由題意，知的收斂域?yàn)?，則的收斂域?yàn)樗缘氖諗坑驗(yàn)?12)設(shè)曲面是的上側(cè)，則 .【答案】 【詳解】作輔助面取下側(cè)則由高斯公式，有(13) 設(shè)為2階矩陣，為線性無關(guān)的2維列向量，則的非零特

5、征值為_.【答案】應(yīng)填1【詳解】根據(jù)題設(shè)條件，得記，因線性無關(guān)，故是可逆矩陣因此，從而記，則與相似，從而有相同的特征值因?yàn)?，故的非零特征值?(14) 設(shè)隨機(jī)變量服從參數(shù)為1的泊松分布，則_【答案】應(yīng)填.【詳解】因?yàn)榉膮?shù)為1的泊松分布，所以從而由得故三、解答題：(1523小題，共94分. )(15)(本題滿分10分)求極限【詳解1】(或，或)【詳解2】（或）（16）(本題滿分9分)計(jì)算曲線積分，其中是曲線上從到的一段【詳解1】按曲線積分的計(jì)算公式直接計(jì)算【詳解2】添加輔助線，按照Green公式進(jìn)行計(jì)算設(shè)為軸上從點(diǎn)到的直線段是與L圍成的區(qū)域因?yàn)楣省驹斀?】令對(duì)于，記因?yàn)?，故與積分路徑無關(guān)對(duì)于

6、，故 17（本題滿分11分）已知曲線求上距離面最遠(yuǎn)的點(diǎn)和最近的點(diǎn)【詳解1】 點(diǎn)到面的距離為，故求上距離面最遠(yuǎn)的點(diǎn)和最近的點(diǎn)的坐標(biāo)等價(jià)于求函數(shù)在條件下的最大值點(diǎn)和最小值點(diǎn)構(gòu)造拉格朗日函數(shù)，由 得，從而解得或根據(jù)幾何意義，曲線上存在距離面最遠(yuǎn)的點(diǎn)和最近的點(diǎn)，故所求點(diǎn)依次為和【詳解2】 點(diǎn)到面的距離為，故求上距離面最遠(yuǎn)的點(diǎn)和最近的點(diǎn)的坐標(biāo)等價(jià)于求函數(shù)在條件下的最大值點(diǎn)和最小值點(diǎn)構(gòu)造拉格朗日函數(shù)，由 得，從而解得或根據(jù)幾何意義，曲線上存在距離面最遠(yuǎn)的點(diǎn)和最近的點(diǎn)，故所求點(diǎn)依次為和【詳解3】由得代入，得所以只要求的最值令，得，解得從而或根據(jù)幾何意義，曲線上存在距離面最遠(yuǎn)的點(diǎn)和最近的點(diǎn)，故所求點(diǎn)依次為和（

7、18）(本題滿分10分)設(shè)是連續(xù)函數(shù)，（I）利用定義證明函數(shù)可導(dǎo)，且；（II）當(dāng)是以2為周期的周期函數(shù)時(shí)，證明函數(shù)也是以2為周期的周期函數(shù)（I）【證明】【注】不能利用LHospital法則得到(II) 【證法1】根據(jù)題設(shè)，有，當(dāng)是以2為周期的周期函數(shù)時(shí)，從而 因而取得，故 即是以2為周期的周期函數(shù)【證法2】根據(jù)題設(shè)，有，對(duì)于，作換元，并注意到，則有，因而 于是即是以2為周期的周期函數(shù)【證法3】根據(jù)題設(shè)，有，當(dāng)是以2為周期的周期函數(shù)時(shí)，必有事實(shí)上，所以取得，所以即是以2為周期的周期函數(shù)(19)(本題滿分11分)將函數(shù)展開成余弦級(jí)數(shù)，并求級(jí)數(shù)的和【詳解】將作偶周期延拓，則有所以，令x=0，有又，所

8、以（20）(本題滿分10分)設(shè)為3維列向量，矩陣，其中分別是得轉(zhuǎn)置證明：（I） 秩；（II） 若線性相關(guān)，則秩【詳解】（I）【證法1】【證法2】因?yàn)?，為矩陣，所以因?yàn)闉?維列向量，所以存在向量，使得于是 所以有非零解，從而【證法3】因?yàn)?，所以為矩陣又因?yàn)椋怨?（II）【證法】由線性相關(guān)，不妨設(shè)于是(21) (本題滿分12分)設(shè)元線性方程組，其中 ， （I）證明行列式；（II）當(dāng)為何值時(shí)，該方程組有惟一解，并求（III）當(dāng)為何值時(shí)，該方程組有無窮多解，并求其通解【詳解】（I）【證法1】數(shù)學(xué)歸納法記以下用數(shù)學(xué)歸納法證明當(dāng)時(shí)，結(jié)論成立當(dāng)時(shí)，結(jié)論成立假設(shè)結(jié)論對(duì)小于的情況成立將按第一行展開得故 【注】本題（1）也可用遞推法由得，于是（I）【證法2】消元法記（II）【詳解】當(dāng)時(shí)，方程組系數(shù)行列式，故方程組有惟一解由克萊姆法則，將得第一列換成，得行列式為所以，（III）【詳解】 當(dāng)時(shí)，方程組為此時(shí)方程組系數(shù)矩陣得秩和增廣矩陣得秩均為，所以方程組有無窮多組解，其通解為，其中為任意常數(shù)(22) (本題滿分11分) 設(shè)隨機(jī)變量與相互獨(dú)立，的概率密度為，的概率密度為記（I） 求；（II）求的概率密度.（I）【詳解】 解法1解法2 （II