解析幾何專題含答案95757

1、橢圓專題練習(xí)1.【2017浙江，2】橢圓的離心率是ABCD2.【2017課標(biāo)3，理10】已知橢圓C：，（a>b>0）的左、右頂點(diǎn)分別為A1，A2，且以線段A1A2為直徑的圓與直線相切，則C的離心率為ABCD3.【2016高考浙江理數(shù)】已知橢圓C1：+y2=1(m>1)與雙曲線C2：y2=1(n>0)的焦點(diǎn)重合，e1，e2分別為C1，C2的離心率，則（）Am>n且e1e2>1 Bm>n且e1e2<1 Cm<n且e1e2>1 Dm<n且e1e2<14.【2016高考新課標(biāo)3理數(shù)】已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，是橢圓：的左焦點(diǎn)，分別為的左，右

2、頂點(diǎn).為上一點(diǎn)，且軸.過(guò)點(diǎn)的直線與線段交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn).若直線經(jīng)過(guò)的中點(diǎn)，則的離心率為（）（A）（B）（C）（D）5.【2015高考新課標(biāo)1，理14】一個(gè)圓經(jīng)過(guò)橢圓的三個(gè)頂點(diǎn)，且圓心在x軸的正半軸上，則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.6.【2016高考江蘇卷】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，是橢圓的右焦點(diǎn)，直線與橢圓交于兩點(diǎn)，且,則該橢圓的離心率是.7.【2017課標(biāo)1，理20】已知橢圓C：（a>b>0），四點(diǎn)P1（1,1），P2（0,1），P3（1，），P4（1，）中恰有三點(diǎn)在橢圓C上.（1）求C的方程；（2）設(shè)直線l不經(jīng)過(guò)P2點(diǎn)且與C相交于A，B兩點(diǎn).若直線P2A與直線P2B的斜率的和為1，證明

3、：l過(guò)定點(diǎn).8.【2017課標(biāo)II，理】設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M在橢圓C：上，過(guò)M作x軸的垂線，垂足為N，點(diǎn)P滿足。(1) 求點(diǎn)P的軌跡方程；(2)設(shè)點(diǎn)Q在直線上，且。證明：過(guò)點(diǎn)P且垂直于OQ的直線l過(guò)C的左焦點(diǎn)F。9.【2017山東，理21】在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓：的離心率為，焦距為.（）求橢圓的方程；（）如圖，動(dòng)直線：交橢圓于兩點(diǎn)，是橢圓上一點(diǎn)，直線的斜率為，且，是線段延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且，的半徑為，是的兩條切線，切點(diǎn)分別為.求的最大值，并求取得最大值時(shí)直線的斜率.10.【2017天津，理19】設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，離心率為.已知是拋物線的焦點(diǎn)，到拋物線的準(zhǔn)線的距離為.（I）求橢圓的方程

4、和拋物線的方程；（II）設(shè)上兩點(diǎn)，關(guān)于軸對(duì)稱，直線與橢圓相交于點(diǎn)（異于點(diǎn)），直線與軸相交于點(diǎn).若的面積為，求直線的方程.11.【2017江蘇，17】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為, ,離心率為,兩準(zhǔn)線之間的距離為8.點(diǎn)在橢圓上，且位于第一象限，過(guò)點(diǎn)作直線的垂線,過(guò)點(diǎn)作直線的垂線.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線的交點(diǎn)在橢圓上,求點(diǎn)的坐標(biāo).F1OF2xy(第17題)12.【2016高考新課標(biāo)1卷】（本小題滿分12分）設(shè)圓的圓心為A,直線l過(guò)點(diǎn)B（1,0）且與x軸不重合,l交圓A于C,D兩點(diǎn),過(guò)B作AC的平行線交AD于點(diǎn)E.（I）證明為定值,并寫(xiě)出點(diǎn)E的軌跡方程；（II）設(shè)點(diǎn)

5、E的軌跡為曲線C1,直線l交C1于M,N兩點(diǎn),過(guò)B且與l垂直的直線與圓A交于P,Q兩點(diǎn),求四邊形MPNQ面積的取值范圍.13.【2016高考山東理數(shù)】（本小題滿分14分）平面直角坐標(biāo)系中，橢圓C：?的離心率是，拋物線E：的焦點(diǎn)F是C的一個(gè)頂點(diǎn).（I）求橢圓C的方程；（II）設(shè)P是E上的動(dòng)點(diǎn)，且位于第一象限，E在點(diǎn)P處的切線與C交與不同的兩點(diǎn)A，B，線段AB的中點(diǎn)為D，直線OD與過(guò)P且垂直于x軸的直線交于點(diǎn)M.（i）求證：點(diǎn)M在定直線上;（ii）直線與y軸交于點(diǎn)G，記的面積為，的面積為，求的最大值及取得最大值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).【答案】（）;（）（i）見(jiàn)解析；（ii）的最大值為，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為【解析】

6、試題分析：（）根據(jù)橢圓的離心率和焦點(diǎn)求方程；（）（i）由點(diǎn)P的坐標(biāo)和斜率設(shè)出直線l的方程和拋物線聯(lián)立，進(jìn)而判斷點(diǎn)M在定直線上；（ii）分別列出，面積的表達(dá)式，根據(jù)二次函數(shù)求最值和此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).試題解析：（）（i）設(shè)，由可得，所以直線的斜率為，因此直線的方程為，即.設(shè)，聯(lián)立方程得，由，得且，因此,將其代入得，因?yàn)?，所以直線方程為.聯(lián)立方程，得點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，即點(diǎn)在定直線上.（ii）由（i）知直線方程為，令得，所以，又，所以，所以，令，則，當(dāng)，即時(shí)，取得最大值，此時(shí)，滿足，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，因此的最大值為，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為.考點(diǎn)：1.橢圓、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)；2.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系；3

7、. 二次函數(shù)的圖象和性質(zhì).14.【2015江蘇高考，18】（本小題滿分16分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓的離心率為，且右焦點(diǎn)F到左準(zhǔn)線l的距離為3.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)F的直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線分別交直線l和AB于點(diǎn)P，C，若PC=2AB，求直線AB的方程.【答案】（1）（2）或【解析】試題分析（1）求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，只需列兩個(gè)獨(dú)立條件即可：一是離心率為，二是右焦點(diǎn)F到左準(zhǔn)線l的距離為3，解方程組即得（2）因?yàn)橹本€AB過(guò)F，所以求直線AB的方程就是確定其斜率，本題關(guān)鍵就是根據(jù)PC=2AB列出關(guān)于斜率的等量關(guān)系，這有一定運(yùn)算量.首先利用直線方程與橢

8、圓方程聯(lián)立方程組，解出AB兩點(diǎn)坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間距離公式求出AB長(zhǎng)，再根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出C點(diǎn)坐標(biāo)，利用兩直線交點(diǎn)求出P點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式求出PC長(zhǎng)，利用PC=2AB解出直線AB斜率,寫(xiě)出直線AB方程.（2）當(dāng)軸時(shí)，又，不合題意當(dāng)與軸不垂直時(shí)，設(shè)直線的方程為，將的方程代入橢圓方程，得，則，的坐標(biāo)為，且若，則線段的垂直平分線為軸，與左準(zhǔn)線平行，不合題意從而，故直線的方程為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，從而因?yàn)?，所以，解得此時(shí)直線方程為或【考點(diǎn)定位】橢圓方程，直線與橢圓位置關(guān)系15.【2016高考天津理數(shù)】（本小題滿分14分）設(shè)橢圓（）的右焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，已知，其中為原點(diǎn)，為橢圓的離心率.（）求橢圓的

9、方程；（）設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于點(diǎn)（不在軸上），垂直于的直線與交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，若，且，求直線的斜率的取值范圍.【答案】（）（）【解析】試題分析：（）求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，只需確定量，由，得，再利用，可解得，（）先化簡(jiǎn)條件：，即M再OA中垂線上，再利用直線與橢圓位置關(guān)系，聯(lián)立方程組求；利用兩直線方程組求H，最后根據(jù)，列等量關(guān)系解出直線斜率.取值范圍試題解析：（1）解：設(shè)，由，即，可得，又，所以，因此，所以橢圓的方程為.（2）（）解：設(shè)直線的斜率為（），則直線的方程為.設(shè)，由方程組，消去，整理得.解得，或，由題意得，從而.由（）知，設(shè)，有，.由，得，所以，解得.因此直線的方程為.所以，直線的斜率的取

10、值范圍為.考點(diǎn)：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)，直線方程16.【2015高考山東，理20】平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的離心率為，左、右焦點(diǎn)分別是，以為圓心以3為半徑的圓與以為圓心以1為半徑的圓相交，且交點(diǎn)在橢圓上.()求橢圓的方程；（）設(shè)橢圓，為橢圓上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，射線交橢圓于點(diǎn).( i )求的值；（ii）求面積的最大值.【答案】（I）；（II）( i )2；（ii） .【解析】試題分析：（I）根據(jù)橢圓的定義與幾何性質(zhì)列方程組確定的值，從而得到橢圓的方程；（II）（i）設(shè)，由題意知，然后利用這兩點(diǎn)分別在兩上橢圓上確定的值; （ii）設(shè)，利用方程組結(jié)合韋達(dá)定理求出弦長(zhǎng)，選將的面積表

11、示成關(guān)于的表達(dá)式，然后，令，利用一元二次方程根的判別式確定的范圍，從而求出的面積的最大值，并結(jié)合（i）的結(jié)果求出面積的最大值.試題解析：（I）由題意知，則 ,又可得 ,所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（II）由（I）知橢圓E的方程為,（i）設(shè)，由題意知因?yàn)?又，即 ,所以，即 .所以因?yàn)橹本€與軸交點(diǎn)的坐標(biāo)為所以的面積令 ,將代入橢圓C的方程可得由，可得 由可知因此 ,故當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取得最大值由（i）知，面積為 ,所以面積的最大值為 .17.【2015高考陜西，理20】（本小題滿分12分）已知橢圓（）的半焦距為，原點(diǎn)到經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，的直線的距離為（I）求橢圓的離心率；（II）如圖，是圓的一條直徑，若橢圓經(jīng)

12、過(guò)，兩點(diǎn)，求橢圓的方程【答案】（I）；（II）【解析】試題分析：（I）先寫(xiě)過(guò)點(diǎn)，的直線方程，再計(jì)算原點(diǎn)到該直線的距離，進(jìn)而可得橢圓的離心率；（II）先由（I）知橢圓的方程，設(shè)的方程，聯(lián)立，消去，可得和的值，進(jìn)而可得，再利用可得的值，進(jìn)而可得橢圓的方程試題解析：（I）過(guò)點(diǎn)，的直線方程為，則原點(diǎn)到直線的距離，由，得，解得離心率.(II)解法一：由（I）知，橢圓的方程為. (1)依題意，圓心是線段的中點(diǎn)，且.易知，不與軸垂直，設(shè)其直線方程為，代入(1)得設(shè)則由，得解得.從而.于是.由，得，解得.故橢圓的方程為.解法二：由（I）知，橢圓的方程為. 因此直線方程為，代入(2)得所以，.于是.由，得，解得

13、.故橢圓的方程為.考點(diǎn)：1、直線方程；2、點(diǎn)到直線的距離公式；3、橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)；4、橢圓的方程；5、圓的方程；6、直線與圓的位置關(guān)系；7、直線與圓錐曲線的位置.18.【2016高考浙江理數(shù)】（本題滿分15分）如圖，設(shè)橢圓（a1）.（I）求直線y=kx+1被橢圓截得的線段長(zhǎng)（用a、k表示）；（II）若任意以點(diǎn)A（0,1）為圓心的圓與橢圓至多有3個(gè)公共點(diǎn)，求橢圓離心率的取值范圍.【答案】（I）；（II）【解析】試題分析：（I）先聯(lián)立和，可得，再利用弦長(zhǎng)公式可得直線被橢圓截得的線段長(zhǎng)；（II）先假設(shè)圓與橢圓的公共點(diǎn)有個(gè)，再利用對(duì)稱性及已知條件可得任意以點(diǎn)為圓心的圓與橢圓至多有個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，的取值

14、范圍，進(jìn)而可得橢圓離心率的取值范圍試題解析：（I）設(shè)直線被橢圓截得的線段為，由得，故，因此（II）假設(shè)圓與橢圓的公共點(diǎn)有個(gè)，由對(duì)稱性可設(shè)軸左側(cè)的橢圓上有兩個(gè)不同的點(diǎn)，滿足記直線，的斜率分別為，且，由（I）知，故因此，因?yàn)槭疥P(guān)于，的方程有解的充要條件是，所以因此，任意以點(diǎn)為圓心的圓與橢圓至多有個(gè)公共點(diǎn)的充要條件為，由得，所求離心率的取值范圍為考點(diǎn)：1、弦長(zhǎng)；2、圓與橢圓的位置關(guān)系；3、橢圓的離心率19.【2015高考新課標(biāo)2，理20】（本題滿分12分）已知橢圓,直線不過(guò)原點(diǎn)且不平行于坐標(biāo)軸，與有兩個(gè)交點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為 ()證明：直線的斜率與的斜率的乘積為定值；（）若過(guò)點(diǎn)，延長(zhǎng)線段與交于點(diǎn)，四邊形

15、能否為平行四邊形？若能，求此時(shí)的斜率，若不能，說(shuō)明理由【答案】()詳見(jiàn)解析；（）能，或【解析】()設(shè)直線，將代入得，故，于是直線的斜率，即所以直線的斜率與的斜率的乘積為定值（）四邊形能為平行四邊形因?yàn)橹本€過(guò)點(diǎn)，所以不過(guò)原點(diǎn)且與有兩個(gè)交點(diǎn)的充要條件是，由()得的方程為設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為由得，即將點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線的方程得，因此四邊形為平行四邊形當(dāng)且僅當(dāng)線段與線段互相平分，即于是解得，因?yàn)?，所以?dāng)?shù)男甭蕿榛驎r(shí)，四邊形為平行四邊形【考點(diǎn)定位】1、弦的中點(diǎn)問(wèn)題；2、直線和橢圓的位置關(guān)系【名師點(diǎn)睛】()題中涉及弦的中點(diǎn)坐標(biāo)問(wèn)題，故可以采取“點(diǎn)差法”或“韋達(dá)定理”兩種方法求解：設(shè)端點(diǎn)的坐標(biāo)，代入橢圓方程并作差，

16、出現(xiàn)弦的中點(diǎn)和直線的斜率；設(shè)直線的方程同時(shí)和橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理求弦的中點(diǎn)，并尋找兩條直線斜率關(guān)系；（）根據(jù)()中結(jié)論，設(shè)直線方程并與橢圓方程聯(lián)立，求得坐標(biāo)，利用以及直線過(guò)點(diǎn)列方程求的值20.【2016高考新課標(biāo)2理數(shù)】已知橢圓的焦點(diǎn)在軸上，是的左頂點(diǎn)，斜率為的直線交于兩點(diǎn)，點(diǎn)在上，（）當(dāng)時(shí)，求的面積；（）當(dāng)時(shí)，求的取值范圍【答案】（）；（）.【解析】試題解析：（I）設(shè)，則由題意知，當(dāng)時(shí)，的方程為，.由已知及橢圓的對(duì)稱性知，直線的傾斜角為.因此直線的方程為.將代入得.解得或，所以.因此的面積.（II）由題意，.將直線的方程代入得.由得，故.由題設(shè)，直線的方程為，故同理可得，由得，即.當(dāng)時(shí)

17、上式不成立，因此.等價(jià)于，即.由此得，或，解得.因此的取值范圍是.考點(diǎn)：橢圓的性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系.21.【2015高考四川，理20】如圖，橢圓E：的離心率是，過(guò)點(diǎn)P（0,1）的動(dòng)直線與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)直線平行與軸時(shí)，直線被橢圓E截得的線段長(zhǎng)為.(1)求橢圓E的方程；（2）在平面直角坐標(biāo)系中，是否存在與點(diǎn)P不同的定點(diǎn)Q，使得恒成立？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1）；（2）存在，Q點(diǎn)的坐標(biāo)為.【解析】（1）由已知，點(diǎn)在橢圓E上.因此，解得.所以橢圓的方程為.所以，若存在不同于點(diǎn)P的定點(diǎn)Q滿足條件，則Q點(diǎn)的坐標(biāo)只可能為.下面證明：對(duì)任意的直線，均有.當(dāng)直線

18、的斜率不存在時(shí)，由上可知，結(jié)論成立.當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，可設(shè)直線的方程為，A、B的坐標(biāo)分別為.聯(lián)立得.其判別式，所以，.因此.易知，點(diǎn)B關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為.又，所以，即三點(diǎn)共線.所以.故存在與P不同的定點(diǎn)，使得恒成立.22.【2016年高考北京理數(shù)】（本小題14分）已知橢圓C：（）的離心率為，的面積為1.（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)的橢圓上一點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)M，直線PB與軸交于點(diǎn)N.求證：為定值.【答案】（1）；（2）詳見(jiàn)解析.【解析】試題分析：（1）根據(jù)離心率為，即，的面積為1，即，橢圓中列方程求解；（2）根據(jù)已知條件分別求出，的值，求其乘積為定值.所以橢圓的方程為.（2）由（）知

19、，設(shè)，則.當(dāng)時(shí)，直線的方程為.令，得.從而.直線的方程為.令，得.從而.所以.當(dāng)時(shí)，所以.綜上，為定值.考點(diǎn)：1.橢圓方程及其性質(zhì)；2.直線與橢圓的位置關(guān)系.23.【2016年高考四川理數(shù)】（本小題滿分13分）已知橢圓E：的兩個(gè)焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)是直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，直線與橢圓E有且只有一個(gè)公共點(diǎn)T.（）求橢圓E的方程及點(diǎn)T的坐標(biāo)；（）設(shè)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，直線l平行于OT，與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)A、B，且與直線l交于點(diǎn)P證明：存在常數(shù)，使得，并求的值.【答案】（），點(diǎn)T坐標(biāo)為（2,1）；（）.【解析】試題分析：（）由橢圓兩個(gè)焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)是直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)可得，從而可得，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方

20、程中可減少一個(gè)參數(shù)，再利用直線和橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，聯(lián)立方程，方程有兩個(gè)相等實(shí)根，解出b的值，從而得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（）首先設(shè)出直線方程為，由兩直線方程求出點(diǎn)坐標(biāo)，得，同時(shí)設(shè)交點(diǎn)，把方程與橢圓方程聯(lián)立后消去得的二次方程，利用根與系數(shù)關(guān)系，得，再計(jì)算，比較可得值.試題解析：（I）由已知，即，所以，則橢圓E的方程為.由方程組得.方程的判別式為，由，得，此方程的解為，所以橢圓E的方程為.點(diǎn)T坐標(biāo)為（2,1）.由方程組可得.方程的判別式為，由，解得.由得.所以，同理，所以.故存在常數(shù)，使得.考點(diǎn)：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì).24.【2015高考重慶，理21】如題（21）圖，橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為過(guò)的

21、直線交橢圓于兩點(diǎn)，且（1）若，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（2）若求橢圓的離心率【答案】（1）；（2）【解析】試題解析：（1）本題中已知橢圓上的一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離，因此由橢圓定義可得長(zhǎng)軸長(zhǎng)，即參數(shù)的值，而由，應(yīng)用勾股定理可得焦距，即的值，因此方程易得；（2）要求橢圓的離心率，就是要找到關(guān)于的一個(gè)等式，題中涉及到焦點(diǎn)距離，因此我們?nèi)匀粦?yīng)用橢圓定義，設(shè)，則，于是有，這樣在中求得，在中可建立關(guān)于的等式，從而求得離心率.(1)由橢圓的定義，設(shè)橢圓的半焦距為c，由已知，因此即從而故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.由橢圓的定義，,從而由，有又由，知，因此于是解得.解法二：如圖(21)圖由橢圓的定義，,從而由，有又由，知，因此,

22、從而由,知，因此【考點(diǎn)定位】考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，橢圓的幾何性質(zhì).，直線和橢圓相交問(wèn)題，考查運(yùn)算求解能力25.【2015高考安徽，理20】設(shè)橢圓E的方程為，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，點(diǎn)M在線段AB上，滿足，直線OM的斜率為.（I）求E的離心率e；（II）設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為，N為線段AC的中點(diǎn)，點(diǎn)N關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，求 E的方程.【答案】（I）；（II）.【解析】（I）由題設(shè)條件知，點(diǎn)的坐標(biāo)為，又，從而，進(jìn)而得，故.（II）由題設(shè)條件和（I）的計(jì)算結(jié)果可得，直線的方程為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為，則線段的中點(diǎn)的坐標(biāo)為.又點(diǎn)在直線上，且,從而有解得，所以，故橢圓的方程為.【考點(diǎn)定位】1