解析幾何專題含答案95757

1、橢圓專題練習(xí)1.【2017浙江，2】橢圓的離心率是ABCD2.【2017課標3，理10】已知橢圓C：，（a>b>0）的左、右頂點分別為A1，A2，且以線段A1A2為直徑的圓與直線相切，則C的離心率為ABCD3.【2016高考浙江理數(shù)】已知橢圓C1：+y2=1(m>1)與雙曲線C2：y2=1(n>0)的焦點重合，e1，e2分別為C1，C2的離心率，則（）Am>n且e1e2>1 Bm>n且e1e2<1 Cm<n且e1e2>1 Dm<n且e1e2<14.【2016高考新課標3理數(shù)】已知為坐標原點，是橢圓：的左焦點，分別為的左，右

2、頂點.為上一點，且軸.過點的直線與線段交于點，與軸交于點.若直線經(jīng)過的中點，則的離心率為（）（A）（B）（C）（D）5.【2015高考新課標1，理14】一個圓經(jīng)過橢圓的三個頂點，且圓心在x軸的正半軸上，則該圓的標準方程為.6.【2016高考江蘇卷】如圖，在平面直角坐標系中，是橢圓的右焦點，直線與橢圓交于兩點，且,則該橢圓的離心率是.7.【2017課標1，理20】已知橢圓C：（a>b>0），四點P1（1,1），P2（0,1），P3（1，），P4（1，）中恰有三點在橢圓C上.（1）求C的方程；（2）設(shè)直線l不經(jīng)過P2點且與C相交于A，B兩點.若直線P2A與直線P2B的斜率的和為1，證明

3、：l過定點.8.【2017課標II，理】設(shè)O為坐標原點，動點M在橢圓C：上，過M作x軸的垂線，垂足為N，點P滿足。(1) 求點P的軌跡方程；(2)設(shè)點Q在直線上，且。證明：過點P且垂直于OQ的直線l過C的左焦點F。9.【2017山東，理21】在平面直角坐標系中，橢圓：的離心率為，焦距為.（）求橢圓的方程；（）如圖，動直線：交橢圓于兩點，是橢圓上一點，直線的斜率為，且，是線段延長線上一點，且，的半徑為，是的兩條切線，切點分別為.求的最大值，并求取得最大值時直線的斜率.10.【2017天津，理19】設(shè)橢圓的左焦點為，右頂點為，離心率為.已知是拋物線的焦點，到拋物線的準線的距離為.（I）求橢圓的方程

4、和拋物線的方程；（II）設(shè)上兩點，關(guān)于軸對稱，直線與橢圓相交于點（異于點），直線與軸相交于點.若的面積為，求直線的方程.11.【2017江蘇，17】如圖,在平面直角坐標系中,橢圓的左、右焦點分別為, ,離心率為,兩準線之間的距離為8.點在橢圓上，且位于第一象限，過點作直線的垂線,過點作直線的垂線.（1）求橢圓的標準方程；（2）若直線的交點在橢圓上,求點的坐標.F1OF2xy(第17題)12.【2016高考新課標1卷】（本小題滿分12分）設(shè)圓的圓心為A,直線l過點B（1,0）且與x軸不重合,l交圓A于C,D兩點,過B作AC的平行線交AD于點E.（I）證明為定值,并寫出點E的軌跡方程；（II）設(shè)點

5、E的軌跡為曲線C1,直線l交C1于M,N兩點,過B且與l垂直的直線與圓A交于P,Q兩點,求四邊形MPNQ面積的取值范圍.13.【2016高考山東理數(shù)】（本小題滿分14分）平面直角坐標系中，橢圓C：?的離心率是，拋物線E：的焦點F是C的一個頂點.（I）求橢圓C的方程；（II）設(shè)P是E上的動點，且位于第一象限，E在點P處的切線與C交與不同的兩點A，B，線段AB的中點為D，直線OD與過P且垂直于x軸的直線交于點M.（i）求證：點M在定直線上;（ii）直線與y軸交于點G，記的面積為，的面積為，求的最大值及取得最大值時點P的坐標.【答案】（）;（）（i）見解析；（ii）的最大值為，此時點的坐標為【解析】

6、試題分析：（）根據(jù)橢圓的離心率和焦點求方程；（）（i）由點P的坐標和斜率設(shè)出直線l的方程和拋物線聯(lián)立，進而判斷點M在定直線上；（ii）分別列出，面積的表達式，根據(jù)二次函數(shù)求最值和此時點P的坐標.試題解析：（）（i）設(shè)，由可得，所以直線的斜率為，因此直線的方程為，即.設(shè)，聯(lián)立方程得，由，得且，因此,將其代入得，因為，所以直線方程為.聯(lián)立方程，得點的縱坐標為，即點在定直線上.（ii）由（i）知直線方程為，令得，所以，又，所以，所以，令，則，當(dāng)，即時，取得最大值，此時，滿足，所以點的坐標為，因此的最大值為，此時點的坐標為.考點：1.橢圓、拋物線的標準方程及其幾何性質(zhì)；2.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系；3

7、. 二次函數(shù)的圖象和性質(zhì).14.【2015江蘇高考，18】（本小題滿分16分）如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓的離心率為，且右焦點F到左準線l的距離為3.（1）求橢圓的標準方程；（2）過F的直線與橢圓交于A，B兩點，線段AB的垂直平分線分別交直線l和AB于點P，C，若PC=2AB，求直線AB的方程.【答案】（1）（2）或【解析】試題分析（1）求橢圓標準方程，只需列兩個獨立條件即可：一是離心率為，二是右焦點F到左準線l的距離為3，解方程組即得（2）因為直線AB過F，所以求直線AB的方程就是確定其斜率，本題關(guān)鍵就是根據(jù)PC=2AB列出關(guān)于斜率的等量關(guān)系，這有一定運算量.首先利用直線方程與橢

8、圓方程聯(lián)立方程組，解出AB兩點坐標，利用兩點間距離公式求出AB長，再根據(jù)中點坐標公式求出C點坐標，利用兩直線交點求出P點坐標，再根據(jù)兩點間距離公式求出PC長，利用PC=2AB解出直線AB斜率,寫出直線AB方程.（2）當(dāng)軸時，又，不合題意當(dāng)與軸不垂直時，設(shè)直線的方程為，將的方程代入橢圓方程，得，則，的坐標為，且若，則線段的垂直平分線為軸，與左準線平行，不合題意從而，故直線的方程為，則點的坐標為，從而因為，所以，解得此時直線方程為或【考點定位】橢圓方程，直線與橢圓位置關(guān)系15.【2016高考天津理數(shù)】（本小題滿分14分）設(shè)橢圓（）的右焦點為，右頂點為，已知，其中為原點，為橢圓的離心率.（）求橢圓的

9、方程；（）設(shè)過點的直線與橢圓交于點（不在軸上），垂直于的直線與交于點，與軸交于點，若，且，求直線的斜率的取值范圍.【答案】（）（）【解析】試題分析：（）求橢圓標準方程，只需確定量，由，得，再利用，可解得，（）先化簡條件：，即M再OA中垂線上，再利用直線與橢圓位置關(guān)系，聯(lián)立方程組求；利用兩直線方程組求H，最后根據(jù)，列等量關(guān)系解出直線斜率.取值范圍試題解析：（1）解：設(shè)，由，即，可得，又，所以，因此，所以橢圓的方程為.（2）（）解：設(shè)直線的斜率為（），則直線的方程為.設(shè)，由方程組，消去，整理得.解得，或，由題意得，從而.由（）知，設(shè)，有，.由，得，所以，解得.因此直線的方程為.所以，直線的斜率的取

10、值范圍為.考點：橢圓的標準方程和幾何性質(zhì)，直線方程16.【2015高考山東，理20】平面直角坐標系中，已知橢圓的離心率為，左、右焦點分別是，以為圓心以3為半徑的圓與以為圓心以1為半徑的圓相交，且交點在橢圓上.()求橢圓的方程；（）設(shè)橢圓，為橢圓上任意一點，過點的直線交橢圓于兩點，射線交橢圓于點.( i )求的值；（ii）求面積的最大值.【答案】（I）；（II）( i )2；（ii） .【解析】試題分析：（I）根據(jù)橢圓的定義與幾何性質(zhì)列方程組確定的值，從而得到橢圓的方程；（II）（i）設(shè)，由題意知，然后利用這兩點分別在兩上橢圓上確定的值; （ii）設(shè)，利用方程組結(jié)合韋達定理求出弦長，選將的面積表

11、示成關(guān)于的表達式，然后，令，利用一元二次方程根的判別式確定的范圍，從而求出的面積的最大值，并結(jié)合（i）的結(jié)果求出面積的最大值.試題解析：（I）由題意知，則 ,又可得 ,所以橢圓C的標準方程為.（II）由（I）知橢圓E的方程為,（i）設(shè)，由題意知因為,又，即 ,所以，即 .所以因為直線與軸交點的坐標為所以的面積令 ,將代入橢圓C的方程可得由，可得 由可知因此 ,故當(dāng)且僅當(dāng)，即時取得最大值由（i）知，面積為 ,所以面積的最大值為 .17.【2015高考陜西，理20】（本小題滿分12分）已知橢圓（）的半焦距為，原點到經(jīng)過兩點，的直線的距離為（I）求橢圓的離心率；（II）如圖，是圓的一條直徑，若橢圓經(jīng)

12、過，兩點，求橢圓的方程【答案】（I）；（II）【解析】試題分析：（I）先寫過點，的直線方程，再計算原點到該直線的距離，進而可得橢圓的離心率；（II）先由（I）知橢圓的方程，設(shè)的方程，聯(lián)立，消去，可得和的值，進而可得，再利用可得的值，進而可得橢圓的方程試題解析：（I）過點，的直線方程為，則原點到直線的距離，由，得，解得離心率.(II)解法一：由（I）知，橢圓的方程為. (1)依題意，圓心是線段的中點，且.易知，不與軸垂直，設(shè)其直線方程為，代入(1)得設(shè)則由，得解得.從而.于是.由，得，解得.故橢圓的方程為.解法二：由（I）知，橢圓的方程為. 因此直線方程為，代入(2)得所以，.于是.由，得，解得

13、.故橢圓的方程為.考點：1、直線方程；2、點到直線的距離公式；3、橢圓的簡單幾何性質(zhì)；4、橢圓的方程；5、圓的方程；6、直線與圓的位置關(guān)系；7、直線與圓錐曲線的位置.18.【2016高考浙江理數(shù)】（本題滿分15分）如圖，設(shè)橢圓（a1）.（I）求直線y=kx+1被橢圓截得的線段長（用a、k表示）；（II）若任意以點A（0,1）為圓心的圓與橢圓至多有3個公共點，求橢圓離心率的取值范圍.【答案】（I）；（II）【解析】試題分析：（I）先聯(lián)立和，可得，再利用弦長公式可得直線被橢圓截得的線段長；（II）先假設(shè)圓與橢圓的公共點有個，再利用對稱性及已知條件可得任意以點為圓心的圓與橢圓至多有個公共點時，的取值

14、范圍，進而可得橢圓離心率的取值范圍試題解析：（I）設(shè)直線被橢圓截得的線段為，由得，故，因此（II）假設(shè)圓與橢圓的公共點有個，由對稱性可設(shè)軸左側(cè)的橢圓上有兩個不同的點，滿足記直線，的斜率分別為，且，由（I）知，故因此，因為式關(guān)于，的方程有解的充要條件是，所以因此，任意以點為圓心的圓與橢圓至多有個公共點的充要條件為，由得，所求離心率的取值范圍為考點：1、弦長；2、圓與橢圓的位置關(guān)系；3、橢圓的離心率19.【2015高考新課標2，理20】（本題滿分12分）已知橢圓,直線不過原點且不平行于坐標軸，與有兩個交點，線段的中點為 ()證明：直線的斜率與的斜率的乘積為定值；（）若過點，延長線段與交于點，四邊形

15、能否為平行四邊形？若能，求此時的斜率，若不能，說明理由【答案】()詳見解析；（）能，或【解析】()設(shè)直線，將代入得，故，于是直線的斜率，即所以直線的斜率與的斜率的乘積為定值（）四邊形能為平行四邊形因為直線過點，所以不過原點且與有兩個交點的充要條件是，由()得的方程為設(shè)點的橫坐標為由得，即將點的坐標代入直線的方程得，因此四邊形為平行四邊形當(dāng)且僅當(dāng)線段與線段互相平分，即于是解得，因為，所以當(dāng)?shù)男甭蕿榛驎r，四邊形為平行四邊形【考點定位】1、弦的中點問題；2、直線和橢圓的位置關(guān)系【名師點睛】()題中涉及弦的中點坐標問題，故可以采取“點差法”或“韋達定理”兩種方法求解：設(shè)端點的坐標，代入橢圓方程并作差，

16、出現(xiàn)弦的中點和直線的斜率；設(shè)直線的方程同時和橢圓方程聯(lián)立，利用韋達定理求弦的中點，并尋找兩條直線斜率關(guān)系；（）根據(jù)()中結(jié)論，設(shè)直線方程并與橢圓方程聯(lián)立，求得坐標，利用以及直線過點列方程求的值20.【2016高考新課標2理數(shù)】已知橢圓的焦點在軸上，是的左頂點，斜率為的直線交于兩點，點在上，（）當(dāng)時，求的面積；（）當(dāng)時，求的取值范圍【答案】（）；（）.【解析】試題解析：（I）設(shè)，則由題意知，當(dāng)時，的方程為，.由已知及橢圓的對稱性知，直線的傾斜角為.因此直線的方程為.將代入得.解得或，所以.因此的面積.（II）由題意，.將直線的方程代入得.由得，故.由題設(shè)，直線的方程為，故同理可得，由得，即.當(dāng)時

17、上式不成立，因此.等價于，即.由此得，或，解得.因此的取值范圍是.考點：橢圓的性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系.21.【2015高考四川，理20】如圖，橢圓E：的離心率是，過點P（0,1）的動直線與橢圓相交于A，B兩點，當(dāng)直線平行與軸時，直線被橢圓E截得的線段長為.(1)求橢圓E的方程；（2）在平面直角坐標系中，是否存在與點P不同的定點Q，使得恒成立？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由.【答案】（1）；（2）存在，Q點的坐標為.【解析】（1）由已知，點在橢圓E上.因此，解得.所以橢圓的方程為.所以，若存在不同于點P的定點Q滿足條件，則Q點的坐標只可能為.下面證明：對任意的直線，均有.當(dāng)直線

18、的斜率不存在時，由上可知，結(jié)論成立.當(dāng)直線的斜率存在時，可設(shè)直線的方程為，A、B的坐標分別為.聯(lián)立得.其判別式，所以，.因此.易知，點B關(guān)于y軸對稱的點的坐標為.又，所以，即三點共線.所以.故存在與P不同的定點，使得恒成立.22.【2016年高考北京理數(shù)】（本小題14分）已知橢圓C：（）的離心率為，的面積為1.（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)的橢圓上一點，直線與軸交于點M，直線PB與軸交于點N.求證：為定值.【答案】（1）；（2）詳見解析.【解析】試題分析：（1）根據(jù)離心率為，即，的面積為1，即，橢圓中列方程求解；（2）根據(jù)已知條件分別求出，的值，求其乘積為定值.所以橢圓的方程為.（2）由（）知

19、，設(shè)，則.當(dāng)時，直線的方程為.令，得.從而.直線的方程為.令，得.從而.所以.當(dāng)時，所以.綜上，為定值.考點：1.橢圓方程及其性質(zhì)；2.直線與橢圓的位置關(guān)系.23.【2016年高考四川理數(shù)】（本小題滿分13分）已知橢圓E：的兩個焦點與短軸的一個端點是直角三角形的三個頂點，直線與橢圓E有且只有一個公共點T.（）求橢圓E的方程及點T的坐標；（）設(shè)O是坐標原點，直線l平行于OT，與橢圓E交于不同的兩點A、B，且與直線l交于點P證明：存在常數(shù)，使得，并求的值.【答案】（），點T坐標為（2,1）；（）.【解析】試題分析：（）由橢圓兩個焦點與短軸的一個端點是直角三角形的三個頂點可得，從而可得，橢圓的標準方

20、程中可減少一個參數(shù)，再利用直線和橢圓只有一個公共點，聯(lián)立方程，方程有兩個相等實根，解出b的值，從而得到橢圓的標準方程；（）首先設(shè)出直線方程為，由兩直線方程求出點坐標，得，同時設(shè)交點，把方程與橢圓方程聯(lián)立后消去得的二次方程，利用根與系數(shù)關(guān)系，得，再計算，比較可得值.試題解析：（I）由已知，即，所以，則橢圓E的方程為.由方程組得.方程的判別式為，由，得，此方程的解為，所以橢圓E的方程為.點T坐標為（2,1）.由方程組可得.方程的判別式為，由，解得.由得.所以，同理，所以.故存在常數(shù)，使得.考點：橢圓的標準方程及其幾何性質(zhì).24.【2015高考重慶，理21】如題（21）圖，橢圓的左、右焦點分別為過的

21、直線交橢圓于兩點，且（1）若，求橢圓的標準方程（2）若求橢圓的離心率【答案】（1）；（2）【解析】試題解析：（1）本題中已知橢圓上的一點到兩焦點的距離，因此由橢圓定義可得長軸長，即參數(shù)的值，而由，應(yīng)用勾股定理可得焦距，即的值，因此方程易得；（2）要求橢圓的離心率，就是要找到關(guān)于的一個等式，題中涉及到焦點距離，因此我們?nèi)匀粦?yīng)用橢圓定義，設(shè)，則，于是有，這樣在中求得，在中可建立關(guān)于的等式，從而求得離心率.(1)由橢圓的定義，設(shè)橢圓的半焦距為c，由已知，因此即從而故所求橢圓的標準方程為.由橢圓的定義，,從而由，有又由，知，因此于是解得.解法二：如圖(21)圖由橢圓的定義，,從而由，有又由，知，因此,

22、從而由,知，因此【考點定位】考查橢圓的標準方程，橢圓的幾何性質(zhì).，直線和橢圓相交問題，考查運算求解能力25.【2015高考安徽，理20】設(shè)橢圓E的方程為，點O為坐標原點，點A的坐標為，點B的坐標為，點M在線段AB上，滿足，直線OM的斜率為.（I）求E的離心率e；（II）設(shè)點C的坐標為，N為線段AC的中點，點N關(guān)于直線AB的對稱點的縱坐標為，求 E的方程.【答案】（I）；（II）.【解析】（I）由題設(shè)條件知，點的坐標為，又，從而，進而得，故.（II）由題設(shè)條件和（I）的計算結(jié)果可得，直線的方程為，點的坐標為，設(shè)點關(guān)于直線的對稱點的坐標為，則線段的中點的坐標為.又點在直線上，且,從而有解得，所以，故橢圓的方程為.【考點定位】1