立體幾何高考數(shù)學(xué)理試題分項(xiàng)解析

1、1.【2017課標(biāo)1，理7】某多面體的三視圖如圖所示，其中正視圖和左視圖都由正方形和等腰直角三角形組成，正方形的邊長(zhǎng)為2，俯視圖為等腰直角三角形.該多面體的各個(gè)面中有若干個(gè)是梯形，這些梯形的面積之和為A10B12C14D16【答案】B【解析】【 考點(diǎn)】簡(jiǎn)單幾何體的三視圖【名師點(diǎn)睛】三視圖往往與幾何體的體積、表面積以及空間線面關(guān)系、角、距離等問(wèn)題相結(jié)合，解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是由三視圖準(zhǔn)確確定空間幾何體的形狀及其結(jié)構(gòu)特征并且熟悉常見(jiàn)幾何體的三視圖.2.【2017課標(biāo)II，理4】如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗實(shí)線畫出的是某幾何體的三視圖，該幾何體由一平面將一圓柱截去一部分所得，則該幾何體的體積為

2、（ ）A B C D【答案】B【解析】【考點(diǎn)】 三視圖；組合體的體積【名師點(diǎn)睛】在由三視圖還原為空間幾何體的實(shí)際形狀時(shí)，要從三個(gè)視圖綜合考慮，根據(jù)三視圖的規(guī)則，空間幾何體的可見(jiàn)輪廓線在三視圖中為實(shí)線，不可見(jiàn)輪廓線在三視圖中為虛線。在還原空間幾何體實(shí)際形狀時(shí)，一般是以正視圖和俯視圖為主，結(jié)合側(cè)視圖進(jìn)行綜合考慮。求解以三視圖為載體的空間幾何體的體積的關(guān)鍵是由三視圖確定直觀圖的形狀以及直觀圖中線面的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，利用相應(yīng)體積公式求解。3.【2017課標(biāo)II，理10】已知直三棱柱中，則異面直線與所成角的余弦值為（ ）A B C D【答案】C【解析】試題分析：如圖所示，補(bǔ)成四棱柱 ,則所求角為 因

3、此 ，故選C。【考點(diǎn)】 異面直線所成的角；余弦定理；補(bǔ)形的應(yīng)用【名師點(diǎn)睛】平移線段法是求異面直線所成角的常用方法，其基本思路是通過(guò)平移直線，把異面問(wèn)題化歸為共面問(wèn)題來(lái)解決，具體步驟如下：平移：平移異面直線中的一條或兩條，作出異面直線所成的角；認(rèn)定：證明作出的角就是所求異面直線所成的角；計(jì)算：求該角的值，常利用解三角形；取舍：由異面直線所成的角的取值范圍是，當(dāng)所作的角為鈍角時(shí)，應(yīng)取它的補(bǔ)角作為兩條異面直線所成的角。求異面直線所成的角要特別注意異面直線之間所成角的范圍。 4.【2017課標(biāo)3，理8】已知圓柱的高為1，它的兩個(gè)底面的圓周在直徑為2的同一個(gè)球的球面上，則該圓柱的體積為ABCD【答案】B

4、【解析】【考點(diǎn)】 圓柱的體積公式【名師點(diǎn)睛】(1)求解以空間幾何體的體積的關(guān)鍵是確定幾何體的元素以及線面的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，利用相應(yīng)體積公式求解；(2)若所給幾何體的體積不能直接利用公式得出，則常用等積法、分割法、補(bǔ)形法等方法進(jìn)行求解. 5.【2017浙江，3】某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm），則該幾何體的體積（單位：cm3）是AB C D【答案】A【考點(diǎn)】 三視圖【名師點(diǎn)睛】思考三視圖還原空間幾何體首先應(yīng)深刻理解三視圖之間的關(guān)系，遵循“長(zhǎng)對(duì)正，高平齊，寬相等”的基本原則，其內(nèi)涵為正視圖的高是幾何體的高，長(zhǎng)是幾何體的長(zhǎng)；俯視圖的長(zhǎng)是幾何體的長(zhǎng)，寬是幾何體的寬；側(cè)視圖的高是幾何體的高，寬

5、是幾何體的寬由三視圖畫出直觀圖的步驟和思考方法：1、首先看俯視圖，根據(jù)俯視圖畫出幾何體地面的直觀圖；2、觀察正視圖和側(cè)視圖找到幾何體前、后、左、右的高度；3、畫出整體，然后再根據(jù)三視圖進(jìn)行調(diào)整6.【2017北京，理7】某四棱錐的三視圖如圖所示，則該四棱錐的最長(zhǎng)棱的長(zhǎng)度為（A）3 （B）2 （C）2 （D）2【答案】B【解析】【考點(diǎn)】三視圖【名師點(diǎn)睛】本題考查了空間想象能力，由三視圖還原幾何體的方法:或者也可根據(jù)三視圖的形狀，將幾何體的頂點(diǎn)放在正方體或長(zhǎng)方體里面，便于分析問(wèn)題. 7.【2017山東，理13】由一個(gè)長(zhǎng)方體和兩個(gè)圓柱體構(gòu)成的幾何體的三視圖如右圖，則該幾何體的體積為 .【答案】【考點(diǎn)】

6、1.三視圖.2.幾何體的體積.【名師點(diǎn)睛】1.解答此類題目的關(guān)鍵是由多面體的三視圖想象出空間幾何體的形狀并畫出其直觀圖2三視圖中“正側(cè)一樣高、正俯一樣長(zhǎng)、俯側(cè)一樣寬”，因此，可以根據(jù)三視圖的形狀及相關(guān)數(shù)據(jù)推斷出原幾何圖形中的點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系及相關(guān)數(shù)據(jù)3.利用面積或體積公式計(jì)算.8.【2017浙江，9】如圖，已知正四面體DABC（所有棱長(zhǎng)均相等的三棱錐），P，Q，R分別為AB，BC，CA上的點(diǎn)，AP=PB，分別記二面角DPRQ，DPQR，DQRP的平面角為，則A<<B<<C<<D<<【答案】B【解析】【考點(diǎn)】 空間角（二面角）【名師點(diǎn)睛】立

7、體幾何是高中數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容，也是高考重點(diǎn)考查的考點(diǎn)與熱點(diǎn)這類問(wèn)題的設(shè)置一般有線面位置關(guān)系的證明與角度距離的計(jì)算等兩類問(wèn)題解答第一類問(wèn)題時(shí)一般要借助線面平行與垂直的判定定理進(jìn)行；解答第二類問(wèn)題時(shí)先建立空間直角坐標(biāo)系，運(yùn)用空間向量的坐標(biāo)形式及數(shù)量積公式進(jìn)行求解9.【2017天津，理10】已知一個(gè)正方體的所有頂點(diǎn)在一個(gè)球面上，若這個(gè)正方體的表面積為18，則這個(gè)球的體積為 .【答案】 【解析】設(shè)正方體邊長(zhǎng)為 ，則 ，外接球直徑為.【考點(diǎn)】 球【名師點(diǎn)睛】求多面體的外接球的面積和體積問(wèn)題常用方法有（1）三條棱兩兩互相垂直時(shí)，可恢復(fù)為長(zhǎng)方體，利用長(zhǎng)方體的體對(duì)角線為外接球的直徑，求出球的半徑；（2）直棱柱

8、的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的對(duì)稱性，球心為上下底面外接圓的圓心連線的中點(diǎn)，再根據(jù)勾股定理求球的半徑；（3）如果設(shè)計(jì)幾何體有兩個(gè)面相交，可過(guò)兩個(gè)面的外心分別作兩個(gè)面的垂線，垂線的交點(diǎn)為幾何體的球心，本題就是第三種方法.10.【2017課標(biāo)3，理16】a，b為空間中兩條互相垂直的直線，等腰直角三角形ABC的直角邊AC所在直線與a，b都垂直，斜邊AB以直線AC為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)，有下列結(jié)論：當(dāng)直線AB與a成60°角時(shí)，AB與b成30°角；當(dāng)直線AB與a成60°角時(shí)，AB與b成60°角；直線AB與a所成角的最小值為45°；直線AB與a所成角的最

9、小值為60°.其中正確的是_.（填寫所有正確結(jié)論的編號(hào)）【答案】【解析】【考點(diǎn)】 異面直線所成的角【名師點(diǎn)睛】(1)平移線段法是求異面直線所成角的常用方法，其基本思路是通過(guò)平移直線，把異面問(wèn)題化歸為共面問(wèn)題來(lái)解決，具體步驟如下：平移：平移異面直線中的一條或兩條，作出異面直線所成的角；認(rèn)定：證明作出的角就是所求異面直線所成的角；計(jì)算：求該角的值，常利用解三角形；取舍：由異面直線所成的角的取值范圍是，當(dāng)所作的角為鈍角時(shí)，應(yīng)取它的補(bǔ)角作為兩條異面直線所成的角.(2)求異面直線所成的角要特別注意異面直線之間所成角的范圍. 11.【2017課標(biāo)1，理16】如圖，圓形紙片的圓心為O，半徑為5 c

10、m，該紙片上的等邊三角形ABC的中心為O.D、E、F為圓O上的點(diǎn)，DBC，ECA，F(xiàn)AB分別是以BC，CA，AB為底邊的等腰三角形.沿虛線剪開后，分別以BC，CA，AB為折痕折起DBC，ECA，F(xiàn)AB，使得D、E、F重合，得到三棱錐.當(dāng)ABC的邊長(zhǎng)變化時(shí)，所得三棱錐體積（單位：cm3）的最大值為_.【答案】【解析】【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單幾何體的體積【名師點(diǎn)睛】對(duì)于三棱錐最值問(wèn)題，肯定需要用到函數(shù)的思想進(jìn)行解決，本題解決的關(guān)鍵是設(shè)好未知量，利用圖形特征表示出三棱錐體積.當(dāng)體積中的變量最高次是2次時(shí)可以利用二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行解決，當(dāng)變量是高次時(shí)需要用到求導(dǎo)得方式進(jìn)行解決.12.【2017課標(biāo)1，理18】如圖

11、，在四棱錐P-ABCD中，AB/CD，且.（1）證明：平面PAB平面PAD；（2）若PA=PD=AB=DC，求二面角A-PB-C的余弦值.【解析】試題解析：（1）由已知，得ABAP，CDPD.由于ABCD ，故ABPD ，從而AB平面PAD.又AB 平面PAB，所以平面PAB平面PAD.由（1）及已知可得，.所以，.設(shè)是平面的法向量，則，即，可取.設(shè)是平面的法向量，則，即，可取.則，所以二面角的余弦值為.【考點(diǎn)】面面垂直的證明，二面角平面角的求解【名師點(diǎn)睛】高考對(duì)空間向量與立體幾何的考查主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：求異面直線所成的角，關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為兩直線的方向向量的夾角；求直線與平面所成的角，關(guān)鍵是

12、轉(zhuǎn)化直線的方向向量和平面的法向量的夾角；求二面角，關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為兩平面的法向量的夾角.建立空間直角坐標(biāo)系和表示出所需點(diǎn)的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵. 13.【2017課標(biāo)II，理19】如圖，四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PAD為等比三角形且垂直于底面ABCD， E是PD的中點(diǎn)。（1）證明：直線 平面PAB；（2）點(diǎn)M在棱PC 上，且直線BM與底面ABCD所成角為 ，求二面角的余弦值。【答案】(1)證明略；(2) 。【解析】試題解析：（1）取的中點(diǎn)，連結(jié)，。因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以,由得，又,所以。四邊形為平行四邊形，。又平面，平面，故平面。（2）由已知得,以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閤軸正方向，為單位長(zhǎng)，建立如圖所示的

13、空間直角坐標(biāo)系，則，,，設(shè)則，因?yàn)锽M與底面ABCD所成的角為45°，而是底面ABCD的法向量，所以， ，即。又M在棱PC上，設(shè),則 。【考點(diǎn)】 判定線面平行；面面角的向量求法【名師點(diǎn)睛】(1)求解本題要注意兩點(diǎn)：一是兩平面的法向量的夾角不一定是所求的二面角，二是利用方程思想進(jìn)行向量運(yùn)算，要認(rèn)真細(xì)心，準(zhǔn)確計(jì)算。(2)設(shè)m，n分別為平面，的法向量，則二面角與<m，n>互補(bǔ)或相等，故有|cos |cos<m，n>|=。求解時(shí)一定要注意結(jié)合實(shí)際圖形判斷所求角是銳角還是鈍角。 14.【2017課標(biāo)3，理19】如圖，四面體ABCD中，ABC是正三角形，ACD是直角三角形

14、，ABD=CBD，AB=BD（1）證明：平面ACD平面ABC；（2）過(guò)AC的平面交BD于點(diǎn)E，若平面AEC把四面體ABCD分成體積相等的兩部分，求二面角DAEC的余弦值.【答案】(1)證明略；(2) .【解析】（2）由題設(shè)及（1）知，兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S正方向，為單位長(zhǎng)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.則 由題設(shè)知，四面體ABCE的體積為四面體ABCD的體積的，從而E到平面ABC的距離為D到平面ABC的距離的，即E為DB的中點(diǎn)，得 .故【考點(diǎn)】 二面角的平面角；面面角的向量求法【名師點(diǎn)睛】(1)求解本題要注意兩點(diǎn)：一是兩平面的法向量的夾角不一定是所求的二面角，二是利用方程思想進(jìn)行向

15、量運(yùn)算，要認(rèn)真細(xì)心，準(zhǔn)確計(jì)算.(2)設(shè)m，n分別為平面，的法向量，則二面角與<m，n>互補(bǔ)或相等，故有|cos |cos<m，n>|=.求解時(shí)一定要注意結(jié)合實(shí)際圖形判斷所求角是銳角還是鈍角. 15.【2017山東，理17】如圖，幾何體是圓柱的一部分，它是由矩形（及其內(nèi)部）以邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)得到的，是的中點(diǎn).（）設(shè)是上的一點(diǎn)，且，求的大小；（）當(dāng)，求二面角的大小.【答案】（）.（）.思路二：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，所在的直線為，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，求平面的一個(gè)法向量，平面的一個(gè)法向量計(jì)算即得.（）解法一：取的中點(diǎn)，連接，.因?yàn)?，所以四?/p>

16、形為菱形，所以.取中點(diǎn)，連接，.則，所以為所求二面角的平面角.又，所以.在中，由于，由余弦定理得，所以，因此為等邊三角形，故所求的角為.解法二：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，所在的直線為，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.因此所求的角為.【考點(diǎn)】1.垂直關(guān)系.2. 空間角的計(jì)算.【名師點(diǎn)睛】此類題目是立體幾何中的常見(jiàn)問(wèn)題.解答本題，關(guān)鍵在于能利用直線與直線、直線與平面、平面與平面關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化，通過(guò)嚴(yán)密推理，明確角的構(gòu)成.立體幾何中角的計(jì)算問(wèn)題，往往可以利用幾何法、空間向量方法求解，應(yīng)根據(jù)題目條件，靈活選擇方法.本題能較好的考查考生的空間想象能力、邏輯推理能力轉(zhuǎn)化與化歸思想及基本運(yùn)算能力等. 16.【

17、2017北京，理16】如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，平面PAD平面ABCD，點(diǎn)M在線段PB上，PD/平面MAC，PA=PD=，AB=4（I）求證：M為PB的中點(diǎn)；（II）求二面角B-PD-A的大小；（III）求直線MC與平面BDP所成角的正弦值【答案】（）詳見(jiàn)解析：（） ；（） 【解析】（III）由題意知，.設(shè)直線與平面所成角為，則.所以直線與平面所成角的正弦值為.【考點(diǎn)】1.線線，線面的位置關(guān)系；2.向量法.【名師點(diǎn)睛】本題涉及到了立體幾何中的線面平行與垂直的判定與性質(zhì)，全面考查立體幾何中的證明與求解，意在考查學(xué)生的空間想象能力和邏輯推理能力；利用空間向量解決立體幾何問(wèn)

18、題是一種成熟的方法，要注意建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系以及運(yùn)算的準(zhǔn)確性.17.【2017天津，理17】如圖，在三棱錐P-ABC中，PA底面ABC，.點(diǎn)D，E，N分別為棱PA，PC，BC的中點(diǎn)，M是線段AD的中點(diǎn)，PA=AC=4，AB=2. （）求證：MN平面BDE；（）求二面角C-EM-N的正弦值；（）已知點(diǎn)H在棱PA上，且直線NH與直線BE所成角的余弦值為，求線段AH的長(zhǎng).【答案】 （1）證明見(jiàn)解析（2） （3） 或 試題解析：如圖，以A為原點(diǎn)，分別以，方向?yàn)閤軸、y軸、z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系.依題意可得A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，4，0），P（0，0，4），D（0，0，2

19、），E（0，2，2），M（0，0，1），N（1，2，0）.（）證明：=（0，2，0），=（2，0，）.設(shè)，為平面BDE的法向量，則，即.不妨設(shè)，可得.又=（1，2，），可得.因?yàn)槠矫鍮DE，所以MN/平面BDE.【考點(diǎn)】直線與平面平行、二面角、異面直線所成的角【名師點(diǎn)睛】空間向量是解決空間幾何問(wèn)題的銳利武器，不論是求空間角、空間距離還是證明線面關(guān)系利用空間向量都很方便，利用向量夾角公式求異面直線所成的角又快又準(zhǔn)，特別是借助平面的法向量求線面角，二面角或點(diǎn)到平面的距離都很容易. 18.【2017浙江，19】（本題滿分15分）如圖，已知四棱錐PABCD，PAD是以AD為斜邊的等腰直角三角形，CDA

20、D，PC=AD=2DC=2CB，E為PD的中點(diǎn)（）證明：平面PAB；（）求直線CE與平面PBC所成角的正弦值【答案】（）見(jiàn)解析；（）【解析】試題解析：MH是MQ在平面PBC上的射影，所以QMH是直線CE與平面PBC所成的角設(shè)CD=1在PCD中，由PC=2，CD=1，PD=得CE=，在PBN中，由PN=BN=1，PB=得QH=，在RtMQH中，QH=，MQ=，所以sinQMH=， 所以直線CE與平面PBC所成角的正弦值是【考點(diǎn)】證明線面平行，求線面角【名師點(diǎn)睛】本題主要考查線面平行的判定定理、線面垂直的判定定理及面面垂直的判定定理，屬于中檔題證明線面平行的常用方法：利用線面平行的判定定理，使用這個(gè)定理的關(guān)鍵是設(shè)法在平面內(nèi)找到一條與已知直線平行的直線，可利用幾何體的特征，合理利用中位線定理、線面平行的性質(zhì)或者構(gòu)造平行四邊形、尋找比例式證明兩直線平行利用面面平行的性質(zhì)，即兩平面平行，在其中一平面內(nèi)的直線平行于另一平面 本題（1）是就是利用方法證明的另外，本題也可利用空間向量求解線面角 19.【2017江蘇，6】 如圖,在圓柱內(nèi)有一個(gè)球,該球與