Matlab優(yōu)化(求極值)

1、第七講 Matlab優(yōu)化（求極值）理論介紹：算法介紹、軟件求解.一線性規(guī)劃問題1.線性規(guī)劃問題是在一組線性約束條件的限制下，求一線性目標(biāo)函數(shù)最大或最小值的問題，Matlab中規(guī)定線性規(guī)劃的標(biāo)準(zhǔn)形式為其中c和x為n維列向量，A、Aeq為適當(dāng)維數(shù)的矩陣，b、beq為適當(dāng)維數(shù)的列向量。注意：線性規(guī)劃問題化為Matlab規(guī)定中的標(biāo)準(zhǔn)形式。求解線性規(guī)劃問題的Matlab函數(shù)形式為linprog(c,A,b)，它返回向量x的值，它的具體調(diào)用形式為：x,fval=linprog(c,A,b,Aeq,beq,LB,UB,x0,OPTIONS)這里fval返回目標(biāo)函數(shù)的值，LB、UB分別是變量x的下界和上界，x

2、0是x的初始值，OPTIONS是控制參數(shù)。例1 求解線性規(guī)劃問題程序：c=2;3;5;>> A=-2,5,-1;1,3,1;b=-10;12;>> Aeq=1,1,1;beq=7;>> LB=0;0;0;(zeros(3,1)>> x,fval=linprog(c,A,b,Aeq,beq,LB,)練習(xí)與思考：求解線性規(guī)劃問題注意：若沒有不等式：存在，則令A(yù)= ，b= . 若沒有等式約束, 則令A(yù)eq= , beq= .2.可以轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃的問題規(guī)劃問題其中為相應(yīng)維數(shù)的矩陣和向量。注意到對(duì)任意的存在滿足，事實(shí)上只要取就可以滿足上面的條件。這樣，記

3、從而可以把問題變成例2 求解規(guī)劃問題，其中對(duì)于這個(gè)問題，如果取，這樣，上面的問題就變換成這是我們通常的線性規(guī)劃問題。練習(xí)與思考：規(guī)劃問題二非線性一元函數(shù)的最小值對(duì)于求一元函數(shù)的最小值問題，Matlab提供了一個(gè)命令函數(shù)fminbnd，fminbnd函數(shù)的調(diào)用格式為：X=fminbnd(fun,x1,x2)和X,fval=fminbnd(fun,x1,x2)其中fun為目標(biāo)函數(shù)，x1，x2為變量的邊界約束，即，X為返回的滿足fun取得最小值的x的值，fval為目標(biāo)函數(shù)值。例3 計(jì)算函數(shù)的最小值和f(x)取最小值時(shí)x的值，程序：>> clear>> fun='(x3

4、+x2-1)/(exp(x)+exp(-x)'>> ezplot(fun,-5,5)>> X,fval=fminbnd(fun,-5,5)練習(xí)與思考：如何求一元函數(shù)的最大值？三無約束非線性多元變量函數(shù)的優(yōu)化對(duì)于無約束非線性多元變量函數(shù)的優(yōu)化問題，主要采用命令函數(shù)fminsearch和fminunc，其中fminsearch比較適合處理低階多間斷點(diǎn)的函數(shù)，fminunc則對(duì)高階連續(xù)函數(shù)有效。1命令函數(shù)fminsearch函數(shù)fminsearch求解目標(biāo)函數(shù)fun的最小值和fun取最小值時(shí)變量x的值，調(diào)用格式為：X=fminsearch(fun,X0)和X,fval

5、=fminsearch(fun,X0)其中X0為聲明變量的初始值，X為返回的x的值，fval為返回的fun的值。例4 求使目標(biāo)函數(shù)取得最小值。程序：>> clear>> X0=0,0;>> X,fval=fminsearch('sin(x(1)+cos(x(2)',X0)說明：聲明變量初始值對(duì)返回的x的值的影響。X0=100,100?2命令函數(shù)fminunc函數(shù)fminunc通過計(jì)算尋找多變量目標(biāo)函數(shù)fun的最小值，調(diào)用格式為：X=fminunc(fun,X0)和X,fval=fminunc(fun,X0)其中X0為優(yōu)化的初始值，X為返回的x

6、的值，fval為返回的fun的值。例5 對(duì)函數(shù)進(jìn)行最小值優(yōu)化。程序：>> clear>> fun='exp(x(1)*(4*x(1)2+2*x(2)2+4*x(1)*x(2)+2*x(2)+1)'>> x0=0,0;>> x,fval=fminunc(fun,x0)注意：fminunc函數(shù)只能處理實(shí)函數(shù)的優(yōu)化問題，目標(biāo)函數(shù)最好是連續(xù)函數(shù)，給出的解可能只是局部解。四有約束非線性多元變量函數(shù)的優(yōu)化1Matlab命令函數(shù)fmincon可以處理有約束的非線性多元變量的優(yōu)化問題，有約束多元變量優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)模型為：求一組變量xi，滿足在給定

7、的約束條件下，使目標(biāo)函數(shù)f(xi)取得最小值。目標(biāo)函數(shù)一般為非線性函數(shù)，約束條件有線性不等式約束、線性等式約束、變量邊界約束和非線性約束。線性約束：，等式約束：，邊界約束：，fmincon函數(shù)的調(diào)用格式為：x,fval=fmincon(fun,x0,A,B,Aeq,Beq,Lb,Ub,nonlcon,options)其中，nonlcon表示非線性約束條件，options為設(shè)置的控制優(yōu)化過程的優(yōu)化參數(shù)向量(可以用optionset打開)。非線性約束的表示形式為：把不等式和等式變換成小于號(hào)(或等號(hào))左邊是函數(shù)表達(dá)式右邊為0的形式，然后以函數(shù)表達(dá)式作為元素分別組成不等式約束矩陣和等式約束矩陣。當(dāng)約束

8、條件比較復(fù)雜時(shí)，常常先建立約束條件的M文件。例6求使目標(biāo)函數(shù)取得最小值，約束條件為：程序：(1)建立非線性約束的M文件function c,ceq=confun(x)c=1.5+x(1)*x(2)-x(1)-x(2);-x(1)*x(2)-10;ceq=;end(2)建立優(yōu)化命令>> clearx0=-1,1;fun='exp(x(1)*(4*x(1)2+2*x(2)2+4*x(1)*x(2)+2*x(2)+1)'lb=0,0;ub=;options=;>> x,fval,exitflag,output=fmincon(fun,x0,lb,ub,'

9、;confun',options)參數(shù)exitflag有3種情況，exitflag>0表示優(yōu)化結(jié)果收斂于解，exitflag<0表示優(yōu)化結(jié)果不收斂于解，exitflag=0表示優(yōu)化超過了聲明的代入函數(shù)值的次數(shù)；output包含優(yōu)化過程的信息。2已知梯度條件的優(yōu)化(例6的第二種解法)對(duì)于復(fù)雜的非線性優(yōu)化問題，利用已知的梯度條件將會(huì)取得更加令人滿意的結(jié)果。例7利用梯度條件對(duì)進(jìn)行優(yōu)化，約束條件為：分析：(1)先寫出目標(biāo)函數(shù)和約束條件的梯度函數(shù)表達(dá)式：目標(biāo)函數(shù)：目標(biāo)函數(shù)的梯度：約束函數(shù)：梯度程序：(1)編寫目標(biāo)函數(shù)及其梯度M文件function f,G=objfungrad(x)f=exp(x(1)*(4*x(1)2+2*x(2)2+4*x(1)*x(2)+2*x(2)+1);t=exp(x(1)*(4*x(1)2+2*x(2)2+4*x(1)*x(2)+2*x(2)+1);G=t+exp(x(1)*(8*x(1)+4*x(2),exp(x(1)*(4*x(1)+4*x(2)+2);end(2)編寫約束函數(shù)及其梯度M文件function c,ceq,dc,dceq=confungrad(x)c=1.5+x(1)*x(2)-x(1)-x(2);-x(1)*x(2)-10;ceq=;dc=x(2)-1,-x(2);x(1)-1,-x