立體幾何復(fù)習(xí)專題空間角

1、 專題:空間角一、基礎(chǔ)梳理1.兩條異面直線所成的角（1）異面直線所成的角的范圍：。（2）異面直線垂直：如果兩條異面直線所成的角是直角，則叫兩條異面直線垂直。兩條異面直線 垂直，記作。（3）求異面直線所成的角的方法：（1）通過平移，在一條直線上（或空間）找一點，過該點作另一（或兩條）直線的平行線；（2）找出與一條直線平行且與另一條相交的直線，那么這兩條相交直線所成的角即為所求。平移技巧有：平行四邊形對邊平移、三角形中位線平移、補形平移技巧等。1：三棱柱，平面平面OAB，且，求異面直線與所成角的余弦。2直線和平面所成的角（簡稱“線面角”）（1）定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角叫做這

2、條斜線和這個平面所成的角。一直線垂直于平面，所成的角是直角；一直線平行于平面或在平面內(nèi)，所成角為0°角。直線和平面所成角范圍：0，。（2）最小角定理：斜線和平面所成角是這條斜線和平面內(nèi)經(jīng)過斜足的直線所成的一切角中最小的角。（3）公式：已知平面a的斜線a與a內(nèi)一直線b相交成角，且a與a相交成j1角，a在a上的射影c與b相交成j2角，則有 。由（3）中的公式同樣可以得到：平面的斜線和它在平面內(nèi)的射影所成角，是這條斜線和這個平面內(nèi)的任一條直線所成角中最小的角?？键c二：直線和平面所成的角例2. 如圖，在三棱柱中，四邊形是菱形，四邊形是矩形，,，求與平面所成角的正切。3：（1）在的二面角的兩個

3、面與內(nèi)分別有兩點，已知點和點到棱的距離分別為，且線段。求：直線和棱所成角的正弦值；直線和平面所成角的正弦值。（2）（08全國11）已知三棱柱的側(cè)棱與底面邊長都相等，在底面內(nèi)的射影為的中心，則與底面所成角的正弦值等于（ ）A B C D（3）如圖，在矩形中，沿對角線將折起，使點移到點，且點在平面上的射影恰在上。求直線與平面所成角的大小。（4）為平面的斜線，則平面內(nèi)過點的直線與所成的最小角為_，最大角為_。平面內(nèi)過點的直線與所成角的范圍為_。與平面內(nèi)不過點的直線所成的角的范圍為_。直線與平面所成的角為，直線與所成角為，則與平面所成角的取值范圍是_。設(shè)直線平面，過平面外一點與都成角的直線有且只有(

4、)（）條 （）條 （）條 （）條過正方體的頂點作截面，使正方體的12條棱所在直線與截面所成的角皆相等。試寫出滿足條件的一個截面_（注：只須任意寫出一個），并證明。3二面角（1）二面角的概念：平面內(nèi)的一條直線把平面分為兩個部分，其中的每一部分叫做半平面；從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫做二面角的棱，每個半平面叫做二面角的面。若棱為，兩個面分別為的二面角記為。（2）二面角的平面角：過二面角的棱上的一點分別在兩個半平面內(nèi)作棱的兩條垂線，則叫做二面角的平面角。說明：二面角的平面角范圍是，因此二面角有銳二面角、直二面角與鈍二面角之分。二面角的平面角為直角時，則稱為直二面角，組

5、成直二面角的兩個平面互相垂直。（3） 二面角的求法：（4） （一）直接法：作二面角的平面角的作法：定義法；棱的垂面法；三垂線定理或逆定理法；（注意一些常見模型的二面角的平面角的作法）（二）間接法：面積射影定理的方法。（4）面積射影定理：面積射影定理：已知的邊在平面內(nèi)，頂點。設(shè)的面積為，它在平面內(nèi)的射影面積為，且平面與所在平面所成的二面角為，則。注：面積射影定理反映了斜面面積、射影面積和這兩個平面所成二面角的平面角間的關(guān)系；可以推廣到任意的多邊形。在二面角的平面角不易作時，經(jīng)常采用“面積射影定理法”。例3如圖，在四棱錐中，底面為正方形，側(cè)棱底面分別為的中點。（1）證明平面；（2）設(shè)，求二面角的大

6、小。如圖所示，在直三棱柱中，為側(cè)棱上一點，。（1）求證：；（2）求二面角的大??；（3）求點到平面的距離。CDEAB四棱錐中，底面為矩形，側(cè)面底面，。證明：；設(shè)與平面所成的角為，求二面角的大小。為直角梯形所在平面外一點面 EMBED Equation.DSMT4 ，求平面與平面所成二面角的大小。等邊三角形與正方形有一公共邊，二面角的余弦值為，分別是的中點，則所成角的余弦值等于 。例4如圖所示，已知平行六面體的底面是矩形，且側(cè)面底面，、分別是、的中點，是的中點，側(cè)棱與底面成的角。（1）求證：底面；（2）求二面角的大??；（3）求與平面所成角的大小。1（1）已知正三棱柱ABCA1B1C1中，A1BCB

7、1，則A1B與AC1所成的角為（） （A）450 （B）600 （C）900 （D）1200（2）（08全國10）已知正四棱錐的側(cè)棱長與底面邊長都相等，是的中點，則所成的角的余弦值為（ ）ABCD（3）的斜邊在平面內(nèi)，頂點在外，在平面內(nèi)的射影是，則的范圍是_。（4）從平面外一點向平面引垂線和斜線，為垂足，為斜足，射線，這時為鈍角，設(shè)，則（ ）A. B. C. D.的大小關(guān)系不確定（5）相交成60°的兩條直線與一個平面所成的角都是45°，那么這兩條直線在平面內(nèi)的 射影所成的角是（ ）A30° B45° C60° D90°（6）一條與平面

8、相交的線段，其長度為10cm，兩端點到平面的距離分別是2cm，3cm，這條線段與平面a所成的角是 ；若一條線段與平面不相交，兩端點到平面的距離分別是2cm，3cm，則線段所在直線與平面a所成的角是 。（7）PA、PB、PC是從P點引出的三條射線，每兩條夾角都是60°，那么直線PC與平面PAB 所成角的余弦值是（ ）A B C D（8）如圖，在正方體中，分別是上的點，若，那么的大小是（ ）A.大于 B.小于 C. D.不能確定（9）已知所在平面于點，且到三點等距離，若中，有，則點（ ）A.必在的某一邊上 B.必在外部（不含邊界） C.必在內(nèi)部（不含邊界） D.以上都不對（10）如果直角

9、三角形的斜邊與平面平行，兩條直角邊所在直線與平面所成的角分別為 ，則（ ）A BC DABabl（11）如圖，到的距離分別是和，與所成的角分別是和，在內(nèi)的射影分別是和，若，則（ ）ABCD（12）與正方形各面成相等的角且過正方體三個頂點的截面的個數(shù)是_。2.已知直三棱柱為上一點，。（1）若為的中點，為上不同于的任意一點，證明：；（2）若，求與平面所成角的正弦值。3.已知直角三角形的兩直角邊，為斜邊上的一點，現(xiàn)沿將折起，使點到點，且在面內(nèi)的射影在上。當時，求二面角的大小。4如圖正三棱柱中，底面邊長為，側(cè)棱長為，若經(jīng)過對角線且與對角線平行的平面交上底面于。（1）試確定點的位置，并證明你的結(jié)論；（2

10、）求平面與側(cè)面所成的角及平面與底面所成的角；（3）求到平面的距離。 5如圖, 在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，ABAD2，DC2，AA1，ADDC，ACBD, 垂足為E。（I）求證：BDA1C；（II）求二面角A 1BDC 1的大??；（III）求異面直線 AD與 BC 1所成角的大小。6.如圖，平面平面，四邊形與都是直角梯形，。（）證明：四點共面；（）設(shè)，求二面角的大小。FABCDE7（08江西20）如圖，正三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，且長度均為2。分別是的中點，H是的中點，過的一個平面與側(cè)棱或其延長線分別相交于，已知。（1）證明：平面；（2）求二面角的大小。 ABCHFOC1A1EB18如圖，已知平行六面體的底面為正方形，、分別為上、下底面的中心，且在底面上的射影是。（1）求證：平面平面；（2）若點分別在棱上，且，問點在何處時，？（3）若，求二面角的大?。ㄓ梅慈呛瘮?shù)表示）。D1OA1B D AB1CC19如圖，正四棱柱，側(cè)棱長為3，底面邊長為2，是棱的中點。（1