矩陣A的m重伴隨矩陣的性質(zhì)

1、矩陣A的m重伴隨矩陣的性質(zhì) 數(shù)學(xué)系 01數(shù)本 2001141105 程清妹 指導(dǎo)老師：楊忠鵬摘要本文定義了矩陣的重伴隨矩陣，并利用已有的理論成果，對的性質(zhì)進(jìn)行推廣，主要討論了的行列式、秩、轉(zhuǎn)置和逆矩陣與的關(guān)系，及為特殊陣與為特殊陣之間的聯(lián)系，發(fā)現(xiàn)的重伴隨矩陣的性質(zhì)與的性質(zhì)很相似.關(guān)鍵詞矩陣；伴隨矩陣；秩；特征值；數(shù)學(xué)歸納法0引言設(shè)是階方陣，的伴隨矩陣定義如下定義1設(shè)是階方陣的元素的代數(shù)余子式，則階方陣，其中，稱為的伴隨矩陣本文推廣了這一定義，給出了的重伴隨矩陣的概念定義2設(shè)為階方陣，稱階方陣為的重伴隨矩陣，記為, 特別地，引理設(shè)為階方陣，則秩證明：（1）當(dāng)秩，即可逆時，由于，故也是可逆的，即秩

2、；（2）當(dāng)秩時，有，于是，從而秩；又因為秩，所以至少有一個代數(shù)余子式，從而又有秩，于是秩（3）當(dāng)引理設(shè)為階方陣，則有證明：（1）當(dāng)時，由引理1知秩，如果，由引理1知秩，因此如果，令也有（2）當(dāng)時，則也，則，于是主要結(jié)果命題1.1當(dāng)時，秩當(dāng)>2時，秩證明：當(dāng)>時由引理1知，秩 所以秩秩 當(dāng)時 設(shè)，則， 所以因此秩秩命題得證命題1.2設(shè)為階方陣（），證明：（1）因為當(dāng)，時從而得到關(guān)于的指數(shù)的一個數(shù)列，且由數(shù)列的性質(zhì)得到通項公式，則同理可證，當(dāng)，從而得到關(guān)于的指數(shù)的一個數(shù)列，且由數(shù)列性質(zhì)得到通項公式，則（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明結(jié)論 當(dāng)，時，取，有，則，等式成立設(shè)時，等式成立，即當(dāng)時， =

3、等式成立綜上所述，當(dāng)，有同理可證，當(dāng)，有命題得證命題1.3證明：若，由引理1知，當(dāng)時，則有若， 即時，有命題1.4可逆時，有=證明：（數(shù)學(xué)歸納法）當(dāng)時，等式成立設(shè)時，當(dāng)時，綜上所述，當(dāng)時，有又由1.2知，命題得證命題1.5證明：由數(shù)學(xué)歸納法和1.2即可證得命題1.6若是冪等陣，則也是冪等陣。證明：因為，所以或 若，由引理1知，則 若，可逆，則，即，所以 命題得證命題1.7若是對合陣，則也是對合陣。反之也成立證明：由，得或，且由1.2知，當(dāng)時，由知， 當(dāng)時，由知所以，當(dāng)時，有 反之，若，則或=，且 由1.2知，或， 由1.4，當(dāng)時， 所以，由知，即同理可證，當(dāng)時，因此，當(dāng)，時，有命題得證命題1.

4、8若是正定陣，則也是正定陣，反之為正定陣，且為偶數(shù)，可逆時，為正定陣證明：若正定，則，有因為，又由，正定，得正定同理可證，正定，以此類推，正定 反之，若正定，有正定因為，當(dāng)為偶數(shù)時，有為奇數(shù)，則由1.2知，當(dāng)時，正定，所以為正定陣同理可證，當(dāng)時，也是正定陣命題得證命題1.9若是正交陣，則是正交陣。反之也成立證明：由已知得，且或 當(dāng)時，由1.5知由1.4知， 由上述可得時，有，即為正交陣若， 當(dāng)， ，由，知同理可證，當(dāng)時，有 所以，有，即為正交陣綜上所述，若是正交陣，則是正交陣 反之，若，且或，則由1.2知或由1.5知，當(dāng)時， 得，由知，即同理可證，當(dāng)時，綜上所述，當(dāng)時，有命題得證命題1.10

5、設(shè)是階方陣（），若是冪零陣，則是冪零陣證明： 由，得或秩（1）若，則（2）若秩，由1.1知，當(dāng)時，秩，則當(dāng)時，有 所以，當(dāng)，有命題1.11若是對稱陣，則也是對稱。反之是對稱陣，且是可逆的，則是對稱陣證明：運(yùn)用1.2即可得到命題1.12若為反對稱陣，當(dāng)為奇數(shù)時，為對稱陣；當(dāng)為偶數(shù)時，為反對稱證明：運(yùn)用1.2即可得到結(jié)束語：本文得出的重伴隨矩陣的一些性質(zhì)與的關(guān)系，使的重伴隨矩陣的性質(zhì)簡單化，望以后能進(jìn)一步探論的重伴隨矩陣的其它性質(zhì)。參考文獻(xiàn):北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室代數(shù)小組. 高等代數(shù).第2版.M 高等教育出版社.1978.(176-207)楊子胥. 高等代數(shù)習(xí)題解.第2版.M 山東科學(xué)技術(shù)

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